【文档说明】备战2024年高考数学易错题（新高考专用）专题08 数列 Word版无答案.docx，共(21)页，1.282 MB，由小赞的店铺上传

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专题08数列易错点一：混淆数列与函数的区别（数列求最值问题）1、等差数列的定义（1）文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；（2）符号语言：1nnaad+−=(*nN，d为常数)．2、等差中项：若三个数

a，A，b组成等差数列，则A叫做a，b的等差中项．3、通项公式与前n项和公式（1）通项公式：1(1)naand=+−．（2）前n项和公式：11()(1)22nnnaannSnad+−=+=．（3）等差数列与函数的关系①通项公式：当公差0d时，等差数列的通项公式11(1)

naanddnad=+−=+−是关于n的一次函数，且一次项系数为公差d.若公差0d，则为递增数列，若公差0d，则为递减数列．②前n项和：当公差0d时，211(1)()222nnnddSnadnan−=+=+−是关于n的二次函

数且常数项为0.已知数列na是等差数列，nS是其前n项和．1、等差数列通项公式的性质：（1）通项公式的推广：*()(,)nmaanmdnmN=+−．（2）若*(,,,)klmnklmnN+=+，则klmnaaaa+=+．（3）若na的公差为d，则2na也是等

差数列，公差为2d．（4）若nb是等差数列，则nnpaqb+也是等差数列．2、等差数列前n项和的性质（1）2121()()nnnnSnaanaa+=+==+；（2）21(21)nnSna−=−；（3）两个等差数列na，nb的前n项和nS，nT之间的关系为2121nnnnSaT

b−−=.（4）数列mS，2mmSS−，32mmSS−，…构成等差数列．3、关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质（1）若项数为2n，则SSnd−=奇偶，1nnSaSa+=奇偶；（2）若项数为21n−，则(1)nSna=−偶，nSna=奇，nSSa−=奇偶，1SnSn=−奇偶.最值问题：解决此类问

题有两种思路：一是利用等差数列的前n项和公式，可用配方法求最值，也可用顶点坐标法求最值；二是依据等差数列的通项公式()()111naanddnad=+−=+−，当0d时，数列一定为递增数列，当0d时，数列一定为递减数列．所以当10a，且

0d时，无穷等差数列的前n项和有最大值，其最大值是所有非负项的和；当10a，且0d时，无穷等差数列的前n项和有最小值，其最小值是所有非正项的和，求解非负项是哪一项时，只要令0na即可易错提醒：数列是一种特殊的函数

，在求解数列问题时有时可以利用函数的性质，但是在利用函数单调性求解数列问题，要注意n的取值不是连续实数，忽略这一点很容易出错.例．已知等差数列na的前n项和为nS，且41a=，510S=，求nS取得最大值时对应的

n值.变式1．数列na是等差数列，150a=，0.6d=−．(1)从第几项开始有0na？(2)求此数列的前n项和的最大值．变式2．记nS为等差数列na的前n项和，已知17a=−，315S=−．(1)求na的通项公式；(2)求nS的最小值．变式3．等差数列na，1111

S=−，公差3d=−．(1)求通项公式和前n项和公式；(2)当n取何值时，前n项和最大，最大值是多少．1．已知数列na是等差数列，若9120+aa，10110aa，且数列na的前n项和nS，有最大值，当0nS时，n的最大值为（）A．2

0B．17C．19D．212．已知等差数列na的前n项和为nS，59750aa+=，且95aa，则nS取得最小值时n的值为（）A．5B．6C．7D．83．已知数列na中，1125,447,nnaaa+==−若其

前n项和为Sn，则Sn的最大值为（）A．15B．750C．7654D．70524．若na是等差数列，首项10a，202120220aa+，202120220aa，则使前n项和0nS成立的最大

自然数n是（）A．2021B．2022C．4042D．40435．设na是等差数列，nS是其前n项和，且56SS，678SSS=，则下列结论正确的是（）.A．0dB．70a=C．95SSD．6S与7S均为nS的最大值6．设等差数列na的前n项和

为nS，公差为d．已知412a=，140S，150S，则下列结论正确的是（）A．70aB．2437d−−C．784S=D．设nSn的前n项和为nT，则0nT时，n的最大值为277．已知数列na的前n项和nS满足()2*11,R,NnS

annbabn=++，则下列说法正确的是（）A．0b=是na为等差数列的充要条件B．na可能为等比数列C．若0a，Rb，则na为递增数列D．若1a=−，则nS中，5S，6S最大8．已知数列na的前

n项和()29nSnnn=−+N，则下列结论正确的是（）A．na是等差数列B．460aa+=C．910aaD．nS有最大值8149．数列na的前n项和为nS，已知27nSnn=−+，则下列说法正确的是（）A．na是递增数列B．1014a=−C．当

4n时，0naD．当3n=或4时，nS取得最大值10．等比数列na中316a=，62a=，则数列2logna的前n项和的最大值为．11．记等差数列na的前n项和为nS，若10a，220230aa+=，则当nS取得最大值时，n＝．易

错点二：忽视两个“中项”的区别（等比数列利用中项求其它）1、等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。数学语言表达式：1nnaqa−=(2n

，q为非零常数)．2、等比中项性质：如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，其中Gab=.注意：同号的两个数才有等比中项。3、通项公式及前n项和公式（1）通项公式：若等比数列na的首项为1a，公比是q，则其通

项公式为11nnaaq−=；通项公式的推广：nmnmaaq−=.（2）等比数列的前n项和公式：当1q=时，1nSna=；当1q时，11(1)11nnnaaqaqSqq−−==−−.已知na是等比数列，nS

是数列na的前n项和．（等比中项）1、等比数列的基本性质（1）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ka，kma+，2kma+，…仍是等比数列，公比为mq.（2）若na，nb（项数相同）是等比数列，则(0)na，1na，2

na，nnab，nnab仍是等比数列．（3）若*(,,,)klmnklmnN+=+，则有klmnaaaa=口诀：角标和相等，项的积也相等推广：2(,,1)nnknkaaankNnk−+=−且（4）若na是等比数列，且0na，则logan

a（0a且1a）是以1logaa为首项，logaq为公差的等差数列。（5）若na是等比数列，123kkTaaaa=，则*232,,,()kkkkkTTTkNTT构成公比为2kq的等比数列。易错提醒：若,,abc成等比数列，则b为a和c的

等比中项。只有同号的两数才有等比中项，“2bac=”仅是“b为a和c的等比中项”的必要不充分条件，在解题时务必要注意此点。例．已知各项均为正数的等比数列na中，243546225aaaaaa++=，则35aa

+等于（）A．5B．10C．15D．20变式1．已知等差数列na的公差0d，且1a，3a，9a成等比数列，则1392410aaaaaa++=++()A．1316B．1013C．1113D．1516变式2．已知,,a

bcR，如果1−，a，b，c，9−成等比数列，那么（）A．3b=，9ac=B．3b=−，9ac=C．3b=，9ac=−D．3b=−，9ac=−变式3．已知等比数列na中，265aa+=，354aa=，则4ta

n3a=（）A．3B．3−C．3或3−D．32−1．已知等差数列na的前n项和为nS，公差不为0，若满足1a、3a、4a成等比数列，则3253SSSS−−的值为（）A．2B．3C．15D．不存在2．已知公差不为零的等差数列na中，3514aa+=，且1a，2a，5

a成等比数列，则数列na的前9项的和为（）A．1B．2C．81D．803．已知526a=+，526c=−，则使得,,abc成等比数列的充要条件的b值为（）A．1B．1C．5D．264．已知等差

数列na的公差不为0，11a=且248,,aaa成等比数列，则错误的是（）A．19232aaaa+=+B．4534aaaaC．1112nSnn++=+D．nnSa5．正项等比数列na中，34a是5a与42a−的等差

中项，若212a=，则35aa=（）A．4B．8C．32D．646．已知实数4，m，9构成一个等比数列，则圆锥曲线2xm＋y2＝1的离心率为（）A．306B．7C．306或7D．56或77．数列na为等比数列，11a=，54a=，命题3:2p

a=，命题3:qa是1a、5a的等比中项，则p是q的（）条件A．充要B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分也不必要8．在数列na中，12a=，()1*2nnnaa+=N，则13241012aaaaaa+++=（）．A．()10441

3−B．()114413−C．11161134−D．1041134−9．已知{}na是等差数列，公差0d，前n项和为nS，若3a，4a，8a成等比数列，则()A．10a，40SB．10a，40S

C．10a，40SD．10a，40S10．数1与4的等差中项，等比中项分别是（）A．52，2B．52，2C．52，2D．52，211．已知数列{}na是等差数列，12a=，其中公差0d，若

5a是3a和8a的等比中项，则18S=（）A．398B．388C．189D．199易错点三：忽略等比数列求和时对q的讨论（等比数列求和）等比数列前n项和的性质（1）在公比1q−或1q=−且n为奇数时，nS，2nnSS−，32nnSS−，……仍成等比数列，其公比为nq；（2）对*,m

pN，有mmpmpSSqS+=+；（3）若等比数列na共有2n项，则SqS=偶奇，其中S偶，S奇分别是数列na的偶数项和与奇数项和；（4）等比数列的前n项和1111nnaaSqqq=−−−，令11a

kq=−，则nnSkkq=−（k为常数，且0,1q）易错提醒：注意等比数列的求和公式是分段表示的：()11,11,11nnnaqSaqqq==−−，所以在利用等比数列求和公式求和时要先判断公比是否可能为1，，若公比未

知，则要注意分两种情况q＝1和q≠1讨论..例．设等比数列na的前n项和为nS.已知1122nnSS+=+，*nN，则6S=.变式1．记nS为等比数列na的前n项和，若45S=−，6221SS=，则8S=．变式2．在

等比数列na中，112a=，44a=−，令nnba=，求数列nb的前n项和nS．变式3．数列na前n项和nS满足1123,3nnaSa+=+=，数列nb满足33log9nnab=．(1)求数列na和nb的通项公式；(2)对任意*Nm，将

数列nb中落入区间()1,mmaa+内项的个数记为mc，求数列nc前m项和mT．1．已知na为等比数列，其公比2q=，前7项的和为1016，则()235logaa的值为（）A．8B．10C．12D．162．已知正项等比数列na的前n项和为nS，若1421,

9100aSS=−=，则5S=（）A．139B．4027C．12181D．80273．已知11a=，21a=，1221nnnaaa−−++=（3n，*Nn），nS为其前n项和，则60S=（）A．30231−B．30431−C．30230−D．30430−4．在等比数列

na中，21a=，58a=，则（）A．1nnaa+的公比为4B．2logna的前20项和为170C．na的前10项积为352D．1nnaa++的前n项和为()13212n−−5．已知正项等比数列

na的前n和为nS，若313S=，且5436aaa=+，则满足123nS的n的最大值为.6．已知等比数列na的前n项和为nS，22743aaa=，且－3，4S，39a成等差数列，则数列na的通项na=．7．设nS为等比数列na的前n项和，若4212aa−=，31

6aa−=，则63SS=8．已知正项等比数列na的前n项和为nS，若22a=，且3312Sa=−，则nS=．9．已知各项均为正数的等比数列na的前n项和为nS，29a=，42110900aSa−−=，则9a=．10．数列na的前n项和为nS，且11a=

，121nnaan+−=+，则满足2048nS的最小的自然数n的值为．11．在正项等比数列na中，已知12a=，326S=，则公比q=．易错点四：由nS求na时忽略对“1n=”的检验（求通项公式）类型1观察法：已知

数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．类型2公式法：若已知数列的前项和与na的关系，求数列na的通项na可用公式nnS11,(1),(2)−==−nnnSnaSSn构造两式作差求解．用此公式时要注意结论有两种可能，一

种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即1a和na合为一个表达，（要先分1=n和2n两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．类型3累加法：形如1()+=+nnaafn型的递推数列（其中()fn是关于n的函数）可构造：11221(1)(2)(1)...−−−

−=−−=−−=nnnnaafnaafnaaf将上述2m个式子两边分别相加，可得：1(1)(2)...(2)(1),(2)=−+−+++nafnfnffan①若()fn是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；②若()fn是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；③若()fn是关

于n的二次函数，累加后可分组求和；④若()fn是关于n的分式函数，累加后可裂项求和．类型4累乘法：形如1()+=nnaafn1()+=nnafna型的递推数列（其中()fn是关于n的函数）可构造：11221(1)(2)(1)...−−−=−=−

=nnnnafnaafnaafa将上述2m个式子两边分别相乘，可得：1(1)(2)...(2)(1),(2)=−−nafnfnffan有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．类型5

构造数列法：（一）形如1+=+nnapaq（其中,pq均为常数且0p）型的递推式：（1）若1=p时，数列{na}为等差数列；（2）若0=q时，数列{na}为等比数列；（3）若1p且0q时，数列{na}为线性递推数列，其通项可通过待定系数

法构造等比数列来求．方法有如下两种：法一：设1()++=+nnapa，展开移项整理得1(1)+=+−nnapap，与题设1+=+nnapaq比较系数（待定系数法）得1,(0)()111+=+=+−−−nnqqqpapap

pp1()11−+=+−−nnqqapapp，即1+−nqap构成以11+−qap为首项，以p为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出1+−nqap的通项整理可得.na法二：由1+=+nnapaq得1(2)−=+nnapaqn两式相减并

整理得11,+−−=−nnnnaapaa即1+−nnaa构成以21−aa为首项，以p为公比的等比数列．求出1+−nnaa的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出.na（二）形如1()+=+nnapafn(1)p型的递推式：（1）当()fn为一次函数类型（即等差数列）时：法一：设

1(1)−++=+−+nnaAnBpaAnB，通过待定系数法确定、AB的值，转化成以1++aAB为首项，以()!！=−mnnAnm为公比的等比数列++naAnB，再利用等比数列的通项公式求出++naAnB的通项整理

可得.na法二：当()fn的公差为d时，由递推式得：1()+=+nnapafn，1(1)−=+−nnapafn两式相减得：11()+−−=−+nnnnaapaad，令1+=−nnnbaa得：1−=+nnbpbd转化为类型Ⅴ㈠求

出nb，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出.na（2）当()fn为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设1()(1)−+=+−nnafnpafn，通过待定系数法确定的值，转化成以1(1)+af为首项，以()!！=−mnnAnm为公比的等比数列

()+nafn，再利用等比数列的通项公式求出()+nafn的通项整理可得.na法二：当()fn的公比为q时，由递推式得：1()+=+nnapafn——①，1(1)−=+−nnapafn，两边同时乘以q得1(1)−=+−nnaqpqaqfn——②，由①②两式相减得11()+−−

=−nnnnaaqpaqa，即11+−−=−nnnnaqapaqa，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出.na法三：递推公式为1+=+nnnapaq（其中p，q均为常数）或1+=+nnnaparq（其中p，q，r均为常

数）时，要先在原递推公式两边同时除以1+nq，得：111++=+nnnnaapqqqq，引入辅助数列nb（其中=nnnabq），得：11+=+nnpbbqq再应用类型Ⅴ㈠的方法解决．（3）当()fn为任意数列时，可用

通法：在1()+=+nnapafn两边同时除以1+np可得到111()+++=+nnnnnaafnppp，令=nnnabp，则11()++=+nnnfnbbp，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出nb之后得=nnnapb．类型6对数变换法：形

如1(0,0)+=qnnapapa型的递推式：在原递推式1+=qnapa两边取对数得1lglglg+=+nnaqap，令lg=nnba得：1lg+=+nnbqbp，化归为1+=+nnapaq型，求出nb之后得1

0.=nbna（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）．类型7倒数变换法：形如11−−−=nnnnaapaa（p为常数且0p）的递推式：两边同除于1−nnaa，转化为111−=+nnpaa形式，化归为1+=+nnapaq型求出1na的表达式，再求na；还有形如1+=+nnnmaa

paq的递推式，也可采用取倒数方法转化成111+=+nnmmaqap形式，化归为1+=+nnapaq型求出1na的表达式，再求na．类型8形如21++=+nnnapaqa型的递推式：用待定系数法，化为特

殊数列1{}−−nnaa的形式求解．方法为：设211()+++−=−nnnnakahaka，比较系数得,+=−=hkphkq，可解得、hk，于是1{}+−nnaka是公比为h的等比数列，这样就化归为1+=

+nnapaq型．总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式.na易错提醒：在数列问题中，数列的通项na与其前n项和nS之间关系如

下1*1(1)(2,)nnnSnaSSnnN−==−，在使用这个关系式时，要牢牢记住其分段的特点。当题中给出数列｛na｝的na与nS关系时，先令1n=求出首项1a，然后令2n求出通项1nnnaSS−=−，最后代入验证。解答此类题常见错误为直接令2n求

出通项1nnnaSS−=−，也不对1n=进行检验.例．已知数列na和nb，其中na的前项和为nS，且22nnaS−=，()2log2nnbS=+.(1)分别求出数列na和nb的通项公式；

(2)记1212nnnbbbTaaa=+++，求证：3nT.变式1．数列na的前n项和nS，已知214aa=+，()2nnSnankn=++N，k为常数.(1)求常数k和数列na的通项公式；(2)数列1nS的前n项和为nT，证明：4133212nT

n−+.变式2．设各项均为正数的数列na的前n项和为nS，满足()()431nnnSaa=+−.(1)求数列na的通项公式；(2)记13nnnab−=，数列nb的前n项和为nT.证明：对一切正整数n，6nT.变式3．已知数列

na的前n项和为nS，且21nnSa=−（*Nn）.(1)求数列na的通项公式；(2)设2log=nnnbaa，求数列nb的前n项和nT.1．已知数列na的前n项和为2,9nSa=，且()133nnnnnSaSa++

=++R.(1)当12a=时，求3S；(2)若na为等比数列，求的值.2．已知数列na的前n项和为1,1nSa=，且22n+与4nS的等差中项为*1,NnSn+Î.(1)求数列na的通项公式.(2)设()1311nnnnnabaa++=-?，求数列nb的前n项和

nT.3．已知数列na的前n项和为nS，11S=且1120nnnaSS+++=，*nN.(1)求na；(2)记12=nnSnnSba=，求数列nb的前n项和.4．已知数列na的前n项和为nS

，且满足12a=，24a=，当2n时，11nnnSSa+−−是4的常数列.(1)求na的通项公式；(2)当2n时，设数列()121nnnna+++的前n项和为nT，证明：12nT.5．在数列na中，11a=−，nS是na的前n项和

，且数列nSn是公差为12的等差数列．(1)求na的通项公式；(2)设23nanbn+=，求数列nb的前n项和nT．6．已知数列na的前n项和是nS，且652nnaS=+.(1)证明：na是等比数列.(2)求数列2nna

的前n项和nT.7．已知首项为4的数列na的前n项和为nS，且165nnnnSaS++=+．(1)求证：数列5nna−为等比数列；(2)求数列na的前n项和nS．8．设数列na的前n项和

为nS，且()26nnSna=+，616a=．(1)求数列na的通项公式；(2)设数列1nna的前n项和为nT，求证：1368nT．9．设各项均为正数的数列na的前n项和为nS，且满足212nnaS+=．(1)求出数列na的通项公式；(2

)设2nnba=，数列nb的前n项和为nT，求780nT时，n的最小值．10．已知nS为数列na的前n项和，11a=，21221++=++nnSSnn．(1)求na的通项公式；(2)若11b=，1(1)++−=nnnnbba，求数列nb的前n项和nT．11．已知各项均为

正数的数列na的前n项和为nS，且23a=，1nnnaSS−=+（*nN且2n）．(1)求na的通项公式；(2)若2nnnab=，求数列nb的前n项和nT．易错点五：裂项求和留项出错（数列求和）常见的裂项技巧积累裂项模型1：等差型（

1）111(1)1=−++nnnn（2）1111()()=−++nnkknnk（3）21111()4122121=−−−+nnn（4）1111(1)(2)2(1)(1)(2)=−+++++nnnnnnn（5）211111()(1)(1)(1

)2(1)(1)==−−−+−+nnnnnnnnn（6）22111414(21)(21)=+−+−nnnn（7）314(1)(3)11114()()(1)(2)(3)(1)(2)(3)2312++−+==−−−++++++++++nnnnnnnnnnnnn（8）

1(1)(1)(2)(1)(1).3+=++−−+nnnnnnnn（9）1(1)(2)(1)(2)(3)(1)(1)(2)4++=+++−−++nnnnnnnnnnn（10）1111(1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)=−+++

+++++nnnnnnnnnn（11）2222211111)(()+=−++nnnnn（12）222211112)42)((+=−++nnnnn积累裂项模型2：根式型（1）111=+−++nnnn（2）11()=+−++nknknkn（3）11(2121)2

2121=+−−−++nnnn（4）2211(1)11111(1)(1)1++++==+−+++nnnnnnnn（5）333222121121+++−+−+nnnnn3333322233111(21121)2+−=+−−+++−+−+=nnnnnnnnn（6）221(1)1(1)111(1)(1

)11(1)(1)+−++−+===−++++++−+nnnnnnnnnnnnnnnnnnnn积累裂项模型3：指数型（1）11112(21)(21)11(21)(21)(21)(21)2121++++−−−==−−−−−−−nnnnnnnnn（2）1131

11()(31)(31)23131++=−−−−−nnnnn（3）122(1)21111(1)2(1)2122(1)2−++−==−=−++++nnnnnnnnnnnnnnnn（4）1111(41)31911333(2)2(2)22−+−−−=−=−

+++nnnnnnnnnnn（5）11(21)(1)(1)(1)(1)++−−−=−++nnnnnnnn（6）13−=nnan，设1()3[(1)]3−=+−−+nnnaanbanb，易得11,24==−ab，于是111(

21)3(23)344−=−−−nnnann（7）222111(1)2(1)(1)(42)2(1)(42)2(1)2(1)2(1)2+++−++++−++−++==+++nnnnnnnnnnnn

nnnnnnnnnn1111(1)1111(1)(1)(1)()22(1)2222(1)2++++−−−=+−+=−+−++nnnnnnnnnnnnnn积累裂项模型4：对数型11logloglog++=−nanaaannaaa积累

裂项模型5：三角型（1）11(tantan)coscossin()=−−（2）11tan(1)tancoscos(1)sin1=+−+nnnn（3）1tantan(tantan)1tan()=−−−

（4）tantan(1)tantan(1);tan1tan(1)1tantan(1)−−=−=−−=+−nnnannnnn，则tantan(1)tantan(1)tantan(1)1,1tan1tan1−−−−−=−=−nnnnnnna积累裂项模型6：阶乘（1）1!

(1)!1(1)!+=−+nnnn（2）2(2)(2)!(1)!(221111=-!(1)!!(2)!!(2)!2)++++++===++++++nnnnnnnnnnnnn常见放缩公式：（1）()()21111211=−−−nnnnnn；（2）()

2111111=−++nnnnn；（3）2221441124412121==−−−+nnnnn；（4）()()()11!111112!!!11+===−−−−rrnrrnTCrnrnrnrrrrr；（5）()1111111312231++++++

−nnnn；（6）()()1222121==−−++−+nnnnnnnn；（7）()122211==−+++++nnnnnnn；（8）()122222212111212122===−−++

+−++−++nnnnnnnnn；（9）()()()()()()()1211222211212121212122212121−−−===−−−−−−−−−−nnnnnnnnnnnnn()2n；（10）()()()()32111111111111+−−==

+−−−+−+nnnnnnnnnnnnn()()111111121111211++−=−=−+−−−+−+nnnnnnnnnnn()112211−−+nnn；（11）()

()()32212221111==−+−−+−+nnnnnnnnnnnnn()()()2122211−−−==−−−nnnnnnn；（12）()()01211122221111111===−−++−

+++−nnnnnCCCnnnn；（13）()()()111121122121212121−−−=−−−−−−nnnnnnn．（14）21211112()2()+−+++−−==−nnnnnnnnn．易错提醒：用裂

项相消法求和时，裂项后可以产生连续相互抵消的项，但是要注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，一般来说前面剩余几项后面也剩余几项，若前面剩余的正数项，则后面剩余的是负数项。例．已知数列na的前n项和为nS，11a=，21(1)nnSSn

++=+.(1)求na的通项公式；(2)设11nnnnabSS++=，证明：121nbbb++.变式1．记nS为数列na的前n项和，满足13a=，23nnnSa+=.(1)求na的通项公式；(2)证明：1211123naaa+++.变式2．已知首项为1的数列na，其前

n项利为nS，且数列nSn是公差为1的等差数列()*nN．(1)求na的通项公式；(2)若()*14nnnnScnaa+=N，求数列nc的前n项和nT．变式3．已知数列na为非零数列，且满足()()()(1)212

1112nnnaaa++++=.(1)求1a及数列na的通项公式；(2)若数列nb的前n项和为nT，且满足12nnnnbaa+=，证明：1nT.1．已知nS是数列na的前n项和，112a=，且111,,313nnnaSS+++−成等比数列．(1)求数列na的通

项公式．(2)设1nnnbSS+=，数列nb的前n项和为nT，证明：13nTa．2．已知数列na的前n项和为nS，且满足12a=，24a=，当2n时，11nnnSSa+−−是4的常数列.(1)求na的通项公式；(2)当2n

时，设数列()121nnnna+++的前n项和为nT，证明：12nT.3．在数列na中，nS为数列na的前n项和，且满足22nnSa+=.(1)求数列na的通项公式；(

2)若()()1211nnnnCaa+=−−.求数列nC的前n项和nT.4．设数列na前n项和为nS，13a=，()*11NnnaSn+−=.(1)求2a，及na的通项公式；(2)若2lo

gnnba=，证明：122311111nnbbbbbb++++.5．已知等差数列na的前n项和为nS，且44a=，数列nb的前n项之积为nT，113b=，且()3lognnST=．(1)求nT；(2)令nnnacb=，求正整数n，使得“11nnnc

cc−+=+”与“nc是1nc−，1nc+的等差中项”同时成立；(3)设27nnda=+，()()112nnnnndedd+−+=，求数列ne的前2n项和2nY．6．设na是等比数列的公比大于0，其前n项和为nS，nb

是等差数列，已知11a=，322aa=+，435abb=+，5462abb=+.(1)求na，nb的通项公式(2)设nnndab=，求1niid=；(3)设()()111nnnnacaa+=++，数列nc的前n项和为nT，求nT.7．已知数列na满足12313521nnnaa

aa−++++=.(1)求数列na的通项公式(2)若11nnnbaa+=，数列nb的前n项和为nS，证明：12nS.8．设nS为数列na的前n项和，133.2nnS+−=(1)求na的通项公式；(2)若数列215nnSa+

的最小项为第m项，求m；(3)设()22,2nnnaba=−数nb的前n项和为nT，证明：132nT9．已知正项数列na的前n项和为1,1nSa=，且()12nnnaSSn−+=.(1)求na；(2)设1nnbS=

，数列nb的前n项和为nT，证明：74nT.10．已知数列满足()*2144Nnnnaaan++=−，且124,12aa==.(1)证明：12nnaa+−是等比数列，并求na的通项公式；(2)已知数列nb满足2lognnabn=，求nb的前n项和nT

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