【文档说明】2021-2022学年高中数学人教A版选修2-3教案：1.2.2组合 1 含解析【高考】.doc，共(12)页，673.000 KB，由小赞的店铺上传

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-1-1．2．2组合教学目标：知识与技能：理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合。明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题。过程与方法：了解组合数的意义，理解排列数mn与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进

行计算。情感、态度与价值观：能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力。教学重点：组合的概念和组合数公式教学难点：组合的概念和组合数公式授课类型：新授课课时安排：2课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并

成一组，并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系.指导学生根据生活经验和问题的内

涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通.能列举出某种方法时，让学生通过交换元素位置的办法加以鉴别.学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题

就是先组合后全排列.在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题.

排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据笔者观察，有些同学之所以

学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于常理或常规的做法）.要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说

明问题.久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高.教学过程：一、复习引入：1分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有1m种不同的方法，在第二类办法中有2m种不同的方法，……，在第n类办

法中有nm种不同的方法那么完成这件事共有12nNmmm=+++种不同的方法2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有1m种不同的方法，做第二步有2m种不同的方法，……，做第n步有nm种不同的方法，那么完成这件事mnC-2-有12nNmmm=种不同的方法3．排列

的概念：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．．．．4．排列数的定义：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号

mnA表示5．排列数公式：(1)(2)(1)mnAnnnnm=−−−+（,,mnNmn）6阶乘：!n表示正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘规定0!1=．7．排列数的另一个计算公式：mnA=!()!nnm−8.提出问题：示

例1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？示例2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？引导观察：示例1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列

”，而示例2只要求选出2名同学，是与顺序无关的引出课题：组合．．．二、讲解新课：1组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m()mn个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合说明：⑴不同元素

；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同例1．判断下列问题是组合还是排列（1）在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？（2）高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？（3）从全

班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？选出三人参加某项劳动，有多少种不同的选法？（4）10个人互相通信一次，共写了多少封信？（5）10个人互通电话一次，共多少个电话？问题：（1）1、2、3和3、1、2是相同的组合吗？（2）什么样的两个

组合就叫相同的组合2．组合数的概念：从n个不同元素中取出m()mn个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．．．．用符号mnC表示．3．组合数公式的推导：（1）从4个不同元素,,,abcd中取出3个元素的组合数34C是多少

呢？启发：由于排列是先组合再排列．．．．．．．．．，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A可以求-3-得，故我们可以考察一下34C和34A的关系，如下：组合排列dcbcdbbdcdbccbdbcdbcddcacdaadcdaccadacdacddbab

daadbdabbadabdabdcbabcaacbcabbacabcabc,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,→→→→由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A，可以分如下两步：①考虑从4个不同元素中取出

3个元素的组合，共有34C个；②对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有33A种方法．由分步计数原理得：34A＝34C33A，所以，333434AAC=．（2）推广：一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数mnA

，可以分如下两步：①先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数mnC；②求每一个组合中m个元素全排列数mmA，根据分步计数原理得：mnA＝mnCmmA．（3）组合数的公式：(1)(2)(1)!mmnnmm

AnnnnmCAm−−−+==或)!(!!mnmnCmn−=),,(nmNmn且规定:01nC=.三、讲解范例：例2．用计算器计算710C．解：由计算器可得例3．计算：（1）47C；（2）710C；（1）解：4776544!C

=＝35；（2）解法1：710109876547!C=＝120．解法2：71010!10987!3!3!C==＝120．-4-例4．求证：11+−+=mnmnCmnmC．证明：∵)!(!!mnmnCmn−=111!(1)!(

1)!mnmmnCnmnmmnm+++=−−+−−＝1!(1)!()(1)!mnmnmnm++−−−＝!!()!nmnm−∴11+−+=mnmnCmnmC例5．设,+Nx求321132−+−−+xxxxCC的值解：由题意可得：−+−−321132xxxx，解得24x，∵

xN+，∴2x=或3x=或4x=，当2x=时原式值为7；当3x=时原式值为7；当4x=时原式值为11．∴所求值为4或7或11．例6．一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：(l)这位教练从这17名学员

中可以形成多少种学员上场方案？(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？分析：对于（1)，根据题意，17名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个从17个不同元素中选出11个元素的组合问题；对于（2)，守门员的位置是特殊的，其余上场学员的地位

没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题．解：(1）由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案有C｝手＝12376（种）.(2）教练员可以分两步完成这件事情：第1步，从17名学员中选出n人组成上场小组

，共有1117C种选法；[]第2步，从选出的n人中选出1名守门员，共有111C种选法．所以教练员做这件事情的方法数有1111711CC=136136（种）.例7．（1）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？-5-(2）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有

向线段共有多少条？解：(1）以平面内10个点中每2个点为端点的线段的条数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即线段共有2101094512C==（条）.(2）由于有向线段的两个端点中一个是

起点、另一个是终点，以平面内10个点中每2个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段共有21010990A==（条）.例8．在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件.(1）有多少种不同的抽法？(2）抽出的3

件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？(3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？解：(1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有31001009998123C==161700（种）.(2）从2件次品中抽出1件次品的抽法有12C种，从98件合格品中抽出2

件合格品的抽法有298C种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有12298CC=9506(种).(3）解法1从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况．在第（2）小题中已求得其中1件是次品的抽法有

12298CC种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有12298CC+21298CC=9604（种）.解法2抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法的种数，即3310098CC−=161

700-152096=9604（种）.说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。变式：按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？（1）甲、乙、丙三人必须当选；（2）甲、乙、丙三人不能当

选；（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；（5）甲、乙、丙三人至多2人当选；（6）甲、乙、丙三人至少1人当选；例9．（1）6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？解：90222426=CCC．（2）从5个男生和4个女生中选出4名学生参

加一次会议，要求至少有2名男生和1名女生参加，有多少种选法？解：问题可以分成2类：-6-第一类2名男生和2名女生参加，有225460CC=中选法；第二类3名男生和1名女生参加，有315440CC=中选法依据分类计数原理，共有100种选法错解：211546240CCC

=种选法引导学生用直接法检验，可知重复的很多例10．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有34C，1624CC，

2614CC，所以，一共有34C+1624CC+2614CC＝100种方法．解法二：（间接法）10036310=−CC组合数的性质1：mnnmnCC−=．一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下nm−个元素．因为从n个不同元

素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的nm个元素的每一个组合一一对应．．．．，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出nm个元素的组合数，即：mnnmnCC−=．在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想证明：∵)!(!!)]!([)

!(!mnmnmnnmnnCmnn−=−−−=−又)!(!!mnmnCmn−=，∴mnnmnCC−=说明：①规定：10=nC；②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标；③此性质作用：当2nm时，计算mnC可变为计

算mnnC−，能够使运算简化.例如20012002C＝200120022002−C＝12002C=2002；④ynxnCC=yx=或nyx=+．2．组合数的性质2：mnC1+＝mnC+1−mnC．一般地，从121

,,,+naaa这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是mnC1+，这些组合可以分为两类：一类含有元素1a，一类不含有1a．含有1a的组合是从132,,,+naaa这n-7-个元素中取出m1个元素与1a组成的，

共有1−mnC个；不含有1a的组合是从132,,,+naaa这n个元素中取出m个元素组成的，共有mnC个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．证明：)]!1([)!1(!)!(!!1−−−+−=+−m

nmnmnmnCCmnmn)!1(!!)1(!+−++−=mnmmnmnn)!1(!!)1(+−++−=mnmnmmn)!1(!)!1(+−+=mnmnmnC1+=∴mnC1+＝mnC+1−mnC．说明：①公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大

的相同的一个组合数；②此性质的作用：恒等变形，简化运算例11．一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球，[来源:]（1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，

有多少种取法？（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解：（1）5638=C,或=38C+27C37C，；（2）2127=C；（3）3537=C．例12．（1）计算：69584737CCCC+++；（

2）求证：nmC2+＝nmC+12−nmC+2−nmC．解：（1）原式4565664889991010210CCCCCCC=++=+===；证明：（2）右边1121112()()nnnnnnnmmmmmmmCCCCCCC−−−−

+++=+++=+==左边例13．解方程：（1）3213113−+=xxCC；（2）解方程：333222101+−+−+=+xxxxxACC．解：（1）由原方程得123xx+=−或12313xx++−=，∴4x=或5x=，又由11131

2313xxxN+−得28x且xN，∴原方程的解为4x=或5x=上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把4x=和5x=代入检验,这样运算量小得多.（2）原方程可化为2333110xxxCA−++=，即5333110xxCA++=，∴(3)

!(3)!5!(2)!10!xxxx++=−，∴11120(2)!10(1)(2)!xxxx=−−−，∴2120xx−−=，解得4x=或3x=−，-8-经检验：4x=是原方程的解例14．证明：pnpmpmpnnmCCCC−−=。[来源:学*科*网Z*X*X*K]证明：原式左端可看成一

个班有m个同学，从中选出n个同学组成兴趣小组，在选出的n个同学中，p个同学参加数学兴趣小组，余下的pn−个同学参加物理兴趣小组的选法数。原式右端可看成直接在m个同学中选出p个同学参加数学兴趣小组，在余下的pm−个同学中

选出pn−个同学参加物理兴趣小组的选法数。显然，两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立。例15．证明：++−110mmnmmnCCCC…mnmmmnCCC+=+0（其中mn）。证明：设某班有n个男同学、m个女同学

，从中选出m个同学组成兴趣小组，可分为1+m类：男同学0个，1个，…，m个，则女同学分别为m个，1−m个，…，0个，共有选法数为++−110mmnmmnCCCC…0mmnCC+。又由组合定义知选法数为mnmC+，故等式成立。例16．证明：+++3213

2nnnCCC…12−=+nnnnnC。证明：左边=+++32132nnnCCC…nnnC+=+++313212111nnnCCCCCC…nnnCC1+，其中iniCC1可表示先在n个元素里选i个，再从i个元素里选一个的组合数。设某班有n个同学，选出若干人（至少1人）组

成兴趣小组，并指定一人为组长。把这种选法按取到的人数i分类（，，21=i…n，），则选法总数即为原式左边。现换一种选法，先选组长，有n种选法，再决定剩下的1−n人是否参加，每人都有两种可能，所以组员的选法有12−n种，所以选法总数为

12−nn种。显然，两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立。例17．证明：+++3222132nnnCCC…222)1(−+=+nnnnnCn。证明：由于iniiinCCCCi112=可表示先在n个元素里选i个，再从i个元素里选两个（可重复）的组合数，所

以原式左端可看成在例3指定一人为组长基础上，再指定一人为副组长（可兼职）的组合数。对原式右端我们可分为组长和副组长是否是同一个人两种情况。若组长和副组长是同一个人，则有12−nn种选法；若组长和副组长不是同一个人，则有22)1(−−nnn种选法。∴共有12−nn+22)1(−−nnn

22)1(−+=nnn种选法。显然，两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立。例18．第17届世界杯足球赛于2002年夏季在韩国、日本举办、五大洲共有32支球队有幸参加，他们先分成8个小组循环赛，决出16强（每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强），这支球队按确定的程序

进行淘汰赛，最后决出冠亚军，此外还要决出第三、四名，问这次世界杯总共将进行多少场比赛？答案是：642248824=++++C，这题如果作为习题课应如何分析解：可分为如下几类比赛：-9-⑴小组循环赛：每组有6场，8个小组共有48场；⑵八分之一淘汰赛：8个小组的第一、二名组成16

强，根据抽签规则，每两个队比赛一场，可以决出8强，共有8场；⑶四分之一淘汰赛：根据抽签规则，8强中每两个队比赛一场，可以决出4强，共有4场；⑷半决赛：根据抽签规则，4强中每两个队比赛一场，可以决出2强，共有2场；⑸决赛：2强比赛1场确定冠亚军，4强中的另

两队比赛1场决出第三、四名共有2场.综上，共有642248824=++++C场四、课堂练习：1．判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题：（1）从4个风景点中选出2个安排游览，有多少种不同的方法？（2）从4个风景点中选出2个，并确定这2个风景点的

游览顺序，有多少种不同的方法？2．7名同学进行乒乓球擂台赛，决出新的擂主，则共需进行的比赛场数为（）A．42B．21C．7D．63．如果把两条异面直线看作“一对”，则在五棱锥的棱所在的直线中，异面直线有（）A．15对B．25对C．30对D．20对4．设全

集,,,Uabcd=，集合A、B是U的子集，若A有3个元素，B有2个元素，且ABa=，求集合A、B，则本题的解的个数为（）A．42B．21C．7D．35．从6位候选人中选出2人分别担任班长和团支部书记，有

种不同的选法6．从6位同学中选出2人去参加座谈会，有种不同的选法7．圆上有10个点：（1）过每2个点画一条弦，一共可画条弦；（2）过每3个点画一个圆内接三角形，一共可画个圆内接三角形8．（1）凸五边形有条对角线；（2）凸n五边形有条对角线9．计算：（1）315C；（2）3468CC．1

0．,,,,ABCDE5个足球队进行单循环比赛，（1）共需比赛多少场？（2）若各队的得分互不相同，则冠、亚军的可能情况共有多少种？11．空间有10个点，其中任何4点不共面，（1）过每3个点作一个平面，一共可作多少个平面？（2）以每4个点为顶点作一个四面体，一共可作多少个四面体？1

2．壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张，一共可以组成多少种币值？13．写出从,,,,abcde这5个元素中每次取出4个的所有不同的组合-10-答案：1.（1）组合,（2）排列2.B3.A4.D5.306.15[来源:

]7.（1）45（2）1208.（1）5（2）(3)/2nn−9.⑴455；⑵2710.⑴10；⑵2011.⑴310120C=；⑵410210C=12.1234444442115CCCC+++=−=13.,,,abcd；,,,abce；,,,abde；,,,acde；,,,bcde五、小结：

组合的意义与组合数公式；解决实际问题时首先要看是否与顺序有关，从而确定是排列问题还是组合问题，必要时要利用分类和分步计数原理学生探究过程：（完成如下表格）名称内容分类原理分步原理-11-名称排列组合定义种数符号计算公式关系性

质，六、课后作业：七、板书设计（略）八、教学反思：排列组合问题联系实际生动有趣，题型多样新颖且贴近生活，解法灵活独到但不易掌握，许多学生面对较难问题时一筹莫展、无计可施，尤其当从正面入手情况复杂、不易解决时，可考虑换位思考将其等价转化，使问题变得简

单、明朗。教科书在研究组合数的两个性质①mnnmnCC−=，②11−++=mnmnmnCCC时，给出了组合数定义的解释证明，即构造一个组合问题的模型，把等式两边看成同一个组合问题的两种计算方法，由组合个数相等证出要证明的组合等式

。这种构造法证明构思精巧，把枯燥的公式还原为有趣的实例，能极大地激发学习兴趣。本文试给几例以说明。教学反思：1注意区别“恰好”与“至少”从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有多

少种定义相同点不同点-12-2特殊元素（或位置）优先安排将5列车停在5条不同的轨道上，其中a列车不停在第一轨道上，b列车不停在第二轨道上，那么不同的停放方法有种3“相邻”用“捆绑”，“不邻”就“插空”七人排

成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、乙都不与丙相邻，则不同的排法有多少种4、混合问题，先“组”后“排”对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？5、分清排列、组合

、等分的算法区别(1)今有10件不同奖品,从中选6件分给甲一件,乙二件和丙三件,有多少种分法?(2)今有10件不同奖品,从中选6件分给三人,其中1人一件1人二件1人三件,有多少种分法?(3)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份,

每份2件,有多少种分法?6、分类组合,隔板处理从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?