【文档说明】2025届高考数学一轮复习专练40 数列求和.docx，共(9)页，37.438 KB，由小赞的店铺上传

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温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。四十数列求和(时间:45分钟分值:100分)【基础落实练】1.(5分)若数列{an}的通项公式为an=2n+2n-1,则该数列的前10项和为()A.2146B.1122C.21

48D.1124【解析】选A.因为an=2n+2n-1,所以前n项和Sn=2(1-2𝑛)1-2+𝑛(2𝑛-1+1)2=2n+1+n2-2,所以前10项和S10=211+102-2=2146.2.(5分)在等差数列{an}中,若a3+a5+a7=6,a11=8,则数列{1𝑎𝑛+3𝑎𝑛

+4}的前n项和Sn=()A.𝑛+1𝑛+2B.𝑛𝑛+1C.𝑛𝑛+2D.2𝑛𝑛+1【解析】选B.设等差数列{an}的公差为d,由a3+a5+a7=6,a11=8,得a5=2,d=1,所以a

n=n-3,则an+3=n,𝑎𝑛+4=n+1,所以1𝑎𝑛+3𝑎𝑛+4=1𝑛(𝑛+1)=1𝑛-1𝑛+1,所以Sn=1-1𝑛+1=𝑛𝑛+1.3.(5分)数列{(-1)n(2n-1)}的前2024项和S2024等于()A.-2022B.2022C.-2024D.2024【

解析】选D.S2024=-1+3-5+7-…-(2×2023-1)+(2×2024-1)=2×1012=2024.4.(5分)已知数列{an}满足a1=1,且对任意的n∈N*都有an+1=a1+an+n,则{1𝑎𝑛}的前100项和为()A.100101B.

99100C.101100D.200101【解析】选D.因为an+1=a1+an+n,a1=1,所以an+1-an=1+n,所以an-an-1=n(n≥2),所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=n+(n

-1)+…+2+1=𝑛(𝑛+1)2,所以1𝑎𝑛=2𝑛(𝑛+1)=2(1𝑛-1𝑛+1),所以{1𝑎𝑛}的前100项和为2(1-12+12-13+…+1100-1101)=2(1-1101)=200101.5.(5分)已知函数y=f

(x)满足f(x)+f(1-x)=1,若数列{𝑎𝑛}满足an=f(0)+f(1𝑛)+f(2𝑛)+…+f(𝑛-1𝑛)+f(1),则数列{𝑎𝑛}的前20项的和为()A.230B.115C.110D.100【解析

】选B.an=f(0)+f(1𝑛)+f(2𝑛)+…+f(𝑛-1𝑛)+f(1)①,an=f(1)+f(𝑛-1𝑛)+f(𝑛-2𝑛)+…+f(1𝑛)+f(0)②,两式相加,又因为f(x)+f(1-x)=

1,故2an=n+1,所以an=𝑛+12,所以{an}的前20项的和为a1+a2+…+a20=22+32+…+212=20×1+20×192×12=115.6.(5分)(多选题)已知数列{an}:12,13+23,14+24+34,…,110+

210+…+910,…,若bn=1𝑎𝑛𝑎𝑛+1,设数列{bn}的前n项和为Sn,则()A.an=𝑛2B.an=nC.Sn=4𝑛𝑛+1D.Sn=5𝑛𝑛+1【解析】选AC.由题意得an=1

𝑛+1+2𝑛+1+…+𝑛𝑛+1=1+2+3+…+𝑛𝑛+1=𝑛2,所以bn=1𝑛2·𝑛+12=4𝑛(𝑛+1)=4(1𝑛-1𝑛+1),所以数列{bn}的前n项和Sn=b1+b2+b3+…+bn=4(1-12+12-13+13-14+…+1𝑛-1𝑛+1

)=4(1-1𝑛+1)=4𝑛𝑛+1.7.(5分)已知f(x)=21+𝑥2(x∈R),若等比数列{an}满足a1a2024=1,则f(a1)+f(a2)+…+f(a2024)=________.【解析】因为f(x)=21+𝑥2(x∈R),所以f(x)+f(1𝑥)

=21+𝑥2+21+(1𝑥)2=21+𝑥2+2𝑥21+𝑥2=2.因为等比数列{an}满足a1a2024=1,所以a1a2024=a2a2023=…=a2024a1=1,所以f(a1)+f(a2024)=f(a2)+f(a2023)=…=f(a2024)+f(a1)=2,所以f

(a1)+f(a2)+…+f(a2024)=2024.答案:20248.(5分)已知数列{an}满足an+1=𝑛𝑛+1an,a1=1,则数列{anan+1}的前10项和为________.【解析】因为an+1=𝑛𝑛+1an,a1=1,所以(n+1)·an+1=

nan,所以数列{nan}是每项均为1的常数列,所以nan=1,所以an=1𝑛,anan+1=1𝑛(𝑛+1)=1𝑛-1𝑛+1,所以数列{anan+1}的前10项和为(11-12)+(12-1

3)+…+(110-111)=1-111=1011.答案:10119.(10分)(2023·西安模拟)已知数列{𝑎𝑛}满足a1=1,an+1-an=n+1.(1)求数列{an}的通项公式;【解析】(1)由题意数列{𝑎𝑛}满足a

1=1,an+1-an=n+1,则an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=n+(n-1)+…+2+1=𝑛(𝑛+1)2.9.(10分)(2023·西安模拟)已知数列{𝑎𝑛}满足a1=

1,an+1-an=n+1.(2)若数列{1𝑎𝑛}的前n项和为Sn,求数列{log2𝑆𝑛}的前n项和Tn.【解析】(2)由(1)可得1𝑎𝑛=2(1𝑛-1𝑛+1),故Sn=2(1-12+1

2-13+…+1𝑛-1𝑛+1)=2𝑛𝑛+1,所以log2Sn=log22𝑛𝑛+1=1+log2𝑛𝑛+1,故Tn=n+log2(12×23×34×…×𝑛𝑛+1)=n+log21𝑛+1=n-log2

(n+1).【能力提升练】10.(5分)122-1+132-1+142-1+…+1(𝑛+1)2-1的值为()A.𝑛+12(𝑛+2)B.34-𝑛+12(𝑛+2)C.34-12(1𝑛+1+1𝑛+2)D.32-1𝑛+1+1𝑛+2【解题指导】先化简通项公式,再裂项求和.【解析】选C.

因为1(𝑛+1)2-1=1𝑛2+2𝑛=1𝑛(𝑛+2)=12(1𝑛-1𝑛+2),所以122-1+132-1+142-1+…+1(𝑛+1)2-1=12(1-13+12-14+13-15+…+1𝑛-1𝑛+2)=12(32-1𝑛+1-1𝑛+2)=34-12(

1𝑛+1+1𝑛+2).11.(5分)化简Sn=n+(n-1)×2+(n-2)×22+…+2×2𝑛−2+2n-1的结果是()A.2n+1+n-2B.2n+1-n+2C.2n-n-2D.2n+1-n-2【解析】选D.因为Sn=n+(n-1)×2+(

n-2)×22+…+2×2𝑛-2+2n-1①,2Sn=n×2+(n-1)×22+(n-2)×23+…+2×2n-1+2n②,所以①-②得,-Sn=n-(2+22+23+…+2n)=n+2-2n+1,所以Sn=2n+1-n-2.【加练备选】已知数列{an}

的通项公式是an=2𝑛-12𝑛,其前n项和Sn=32164,则项数n=()A.13B.10C.9D.6【解析】选D.由an=2𝑛-12𝑛=1-12𝑛,得Sn=(1-12)+(1-14)+(1-18)+…+(1-12

𝑛)=n-(12+14+18+…+12𝑛)=n-12[1-(12)𝑛]1-12=n-1+12𝑛.令n-1+12𝑛=32164,即n+12𝑛=38564,解得n=6.12.(5分)已知数列{𝑎𝑛}满足a1=1,an+1-an

=2anan+1,则数列{𝑎𝑛𝑎𝑛+1}的前n项和为________.【解题提示】由递推公式可知1𝑎𝑛+1-1𝑎𝑛=-2,因此{1𝑎𝑛}是以1为首项,-2为公差的等差数列,求出{𝑎𝑛}的通项公式

,结合通项公式及裂项相消法求和.【解析】因为a1=1,an+1-an=2anan+1,所以𝑎𝑛+1-𝑎𝑛𝑎𝑛𝑎𝑛+1=2,即1𝑎𝑛-1𝑎𝑛+1=2,即1𝑎𝑛+1-1𝑎𝑛=-2,所以{1𝑎𝑛}是以1为首项,-2为公差的等差

数列,所以1𝑎𝑛=3-2n,所以an=13-2𝑛,则anan+1=1(2𝑛-3)(2𝑛-1)=12(12𝑛-3-12𝑛-1).设数列{𝑎𝑛𝑎𝑛+1}的前n项和为Tn,则Tn=12(1-1-11+11-13+1

3-15+…+12𝑛-3-12𝑛-1)=12(-1-12𝑛-1)=-𝑛2𝑛-1=𝑛1-2𝑛.答案:𝑛1-2𝑛13.(5分)已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3·…·an=2𝑏𝑛(n∈N*).若数列{an}为等比数列,且a1=2,a4=16,则数列{bn}

的通项公式bn=________,数列{1𝑏𝑛}的前n项和Sn=________.【解析】因为数列{an}为等比数列,且a1=2,a4=16,所以公比q=√𝑎4𝑎13=√1623=2,所以an=2n,所以a1a

2a3·…·an=21×22×23×…×2n=21+2+3+…+n=2𝑛(𝑛+1)2.因为a1a2a3·…·an=2𝑏𝑛,所以bn=𝑛(𝑛+1)2,所以1𝑏𝑛=2𝑛(𝑛+1)=2(

1𝑛-1𝑛+1),所以数列{1𝑏𝑛}的前n项和Sn=1𝑏1+1𝑏2+1𝑏3+…+1𝑏𝑛=2(11-12+12-13+13-14+…+1𝑛-1𝑛+1)=2(1-1𝑛+1)=2𝑛𝑛+1.答案:𝑛(𝑛+1)22𝑛𝑛+11

4.(10分)(2023·惠州模拟)记Sn是公差不为零的等差数列{𝑎𝑛}的前n项和,若S3=6,a3是a1和a9的等比中项.(1)求数列{𝑎𝑛}的通项公式;【解析】(1)由题意知𝑎32=a1·a9,设等差数列{𝑎𝑛}的公差为d,则a

1(a1+8d)=(𝑎1+2𝑑)2,因为d≠0,解得a1=d,又S3=3a1+3d=6,可得a1=d=1,所以数列{𝑎𝑛}是首项为1和公差为1的等差数列,所以an=a1+(n-1)d=n,n∈N*.14.

(10分)(2023·惠州模拟)记Sn是公差不为零的等差数列{𝑎𝑛}的前n项和,若S3=6,a3是a1和a9的等比中项.(2)记bn=1𝑎𝑛·𝑎𝑛+1·𝑎𝑛+2,求数列{𝑏𝑛}的前20项和.

【解析】(2)由(1)可知bn=1𝑛(𝑛+1)(𝑛+2)=12[1𝑛(𝑛+1)-1(𝑛+1)(𝑛+2)].设数列{𝑏𝑛}的前n项和为Tn,则Tn=12[11×2-12×3+12×3-13×4+…+1�

�(𝑛+1)-1(𝑛+1)(𝑛+2)]=12[12-1(𝑛+1)(𝑛+2)],所以T20=12×(12-121×22)=115462.所以数列{𝑏𝑛}的前20项和为115462.【加练备选】(2023·广州模拟)已知等差数列{𝑎𝑛}的前n项和Sn满足S3=-

3,S7=-21.(1)求{𝑎𝑛}的通项公式;【解析】(1)设公差为d,则S3=3a1+3d=-3,S7=7a1+21d=-21,所以{3𝑎1+3𝑑=-37𝑎1+21𝑑=-21,解得{𝑎1=0𝑑=-1,所以an=a1+(n-1)d=-n+1;(2023·广州模拟)已知等差数

列{𝑎𝑛}的前n项和Sn满足S3=-3,S7=-21.(2)bn=-an+1,求数列{1𝑏𝑛𝑏𝑛+2}的前n项和Tn.【解析】(2)bn=n,所以1𝑏𝑛𝑏𝑛+2=1𝑛(𝑛+2)=12(1𝑛-1𝑛+2),所以Tn=12(1-13)+12(12-

14)+12(13-15)+…+12(1𝑛-1-1𝑛+1)+12(1𝑛-1𝑛+2)=12(1+12-1𝑛+1-1𝑛+2)=34-2𝑛+32(𝑛+1)(𝑛+2).15.(10分)已知数列{𝑎𝑛}的前n项和为Sn,a

1=1,an+1=(λ+1)Sn+1(n∈N*,λ≠-2)且3a1,4a2,a3+13成等差数列.(1)求数列{𝑎𝑛}的通项公式;【解析】(1)因为an+1=(λ+1)Sn+1,a1=1,当n=1时,a2=(λ+1)S1+1=λ+2,当n

≥2时,an=(λ+1)Sn-1+1,所以an+1-an=(λ+1)an,即an+1=(λ+2)an,又因为λ≠-2,且a1=1,a2=λ+2,则𝑎2𝑎1=λ+2,所以{𝑎𝑛}是以1为首项,λ+2为公比的等比数列,所以a2=λ+2,a3=(λ+2)2,又3a1,4a2

,a3+13成等差数列,所以3+(λ+2)2+13=8(λ+2),即λ2-4λ+4=0,所以λ=2,an=4n-1;15.(10分)已知数列{𝑎𝑛}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=(λ+1)Sn+1(n∈N*,λ≠-2)且3a1,4a2,a3+

13成等差数列.(2)若anbn=log4an+1,求数列{𝑏𝑛}的前n项和Tn.【解析】(2)因为anbn=log4an+1,所以4n-1·bn=log44n=n,即bn=𝑛4𝑛-1,所以Tn=

1+24+342+…+𝑛4𝑛-1,14Tn=14+242+343+…+𝑛4𝑛,所以34Tn=1+14+142+…+14𝑛-1-𝑛4𝑛=1-14𝑛1-14-𝑛4𝑛=43-4+3𝑛3·4𝑛,所以Tn=169-4+3𝑛9×4𝑛-1.【素养创新练】16.(5

分)已知在数列{𝑎𝑛}中,a1=3,且{𝑎𝑛-1}是公比为3的等比数列,则使𝑎1-1𝑎1𝑎2+𝑎2-1𝑎2𝑎3+…+𝑎𝑛-1𝑎𝑛𝑎𝑛+1=80489的正整数n的值为________.【解析】由题意,

知{𝑎𝑛-1}是首项为a1-1=2,公比为3的等比数列,所以an-1=2×3n-1,所以an=2×3n-1+1,所以𝑎𝑛-1𝑎𝑛𝑎𝑛+1=2×3𝑛-1(2×3𝑛-1+1)(2×3𝑛+1)=12(12×3𝑛-1+1-12×3𝑛+1

),所以𝑎1-1𝑎1𝑎2+𝑎2-1𝑎2𝑎3+…+𝑎𝑛-1𝑎𝑛𝑎𝑛+1=12(13-17+17-119+…+12×3𝑛-1+1-12×3𝑛+1)=12(13-12×3𝑛+1)=16-14×3𝑛+2=80489,解得n=4.答案:41

7.(5分)(多选题)对于数列{an},定义H0=𝑎1+2𝑎2+…+2𝑛-1𝑎𝑛𝑛为{an}的“优值”.现已知数列{an}的“优值”H0=2n+1,记数列{an-20}的前n项和为Sn,则下列说法正确的是()A.an=2n+2

B.Sn=n2-19nC.S8=S9D.Sn的最小值为-72【解析】选ACD.由题意可知,H0=𝑎1+2𝑎2+…+2𝑛-1𝑎𝑛𝑛=2n+1,则a1+2a2+…+2n-1an=n·2n+1①,当n=1时,a1=2

1+1×1=4,当n≥2时,a1+2a2+…+2n-2an-1=(n-1)·2n②,①-②得,2n-1an=n·2n+1-(n-1)·2n,an=2(n+1),当n=1时也成立,所以an=2n+2,A正确;Sn=a1-20+a2-20+…+an-20=a1+a2+…+an

-20n=2×1+2+2×2+2+…+2×n+2-20n=2(1+2+…+n)+2n-20n=n(n+1)-18n=n2-17n,B错误;因为an-20=2n-18,当an-20≤0时,n≤9,a9-20=0,故当n=8或9时,{an-20}的前n项和Sn取得最小值

,最小值为S8=S9=92-17×9=-72,C,D正确.