【文档说明】四川省南充高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（文）试题 【精准解析】.pdf，共(23)页，403.389 KB，由管理员店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-a513afafceeb9a7e0dccaddaa899a3c8.html

以下为本文档部分文字说明：

-1-南充高中2019－2020学年度下期高2018级期中考试数学试卷（文）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（每小题5分，共60分）1.i为虚数单位，复数4334ii的虚部是（）A.1B.1C.iD.i【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算求出复数4334ii的代数形式后可

得答案．【详解】由题意得，43(43)(34)2534(34)(34)25iiiiiiii，所以复数的虚部是1．故选B．【点睛】本题考查复数的运算和虚部的概念，解题时容易认为复数zabi的虚部为bi，要强化对复数概念的理解，属于基础题．2.如图所示的三角形

数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是()A.5B.4C.6D.9【答案】C【解析】【分析】由杨辉三角形中，各数值等于其“肩数”之和，求得答案.【详解】杨辉三角形中，各数值等于其“肩数”之和，所以a=

3+3=6.故选：C【点睛】本题考查杨辉三角中数据的特征，属于基础题.-2-3.点P的极坐标是(4,)6，则在以极点为原点，极轴为x轴正半轴的平面直角坐标系中，点P的直角坐标是()A.(23,2)B

.(3,2)C.(2,23)D.(2,3)【答案】A【解析】【分析】由极坐标与直角坐标的关系互化即可.【详解】由极坐标与直角坐标的关系可知，其极坐标(4,)6对应的直角坐标为4cos2364sin26xy，故点P的直角坐标为(23,2)，故选：A

【点睛】本题考查极坐标与直角坐标之间的互化，属于基础题.4.已知数列{}na满足114nnaa，若452aa，则34aa()A.12B.1C.4D.8【答案】D【解析】【分析】由递推关系证得该数列是等比数

列并可求公比，再由等比数列性质与已知即可求得答案.【详解】由题可知，114nnaa，则114nnaa，所以数列{}na是以14为公比的等比数列，则4534341==24aaqaaaa

，所以348aa.故选：D【点睛】本题考查由递推关系求等比数列的公比，还考查了由等比数列性质求值，属于基础题.5.已知命题p为xR，25220xx，则命题p的否定为（）-3-A.xR，252

20xxB.xR，25220xxC.xR，25220xxD.xR，25220xx【答案】C【解析】【分析】根据含全称量词命题的否定的定义可直接得到结果.【详解】由含全称量词的

否定的定义可得命题p的否定为：xR，25220xx.故选：C.【点睛】本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.6.在三棱锥PABC中，2PAPBPC，且,,PAPBPC两两互相垂直,则三棱锥PABC的外接球的体积为()A.43

B.83C.163D.23【答案】A【解析】【分析】将已知三棱锥补全为一个边长为2的正方体，将求三棱锥PABC的外接球体积转化为该正方体的外接球，由正方体体对角线长度等于其外接球直径即可求得外接球的半径，进而由球体的体积公式计

算即可.【详解】在三棱锥PABC中有,,PAPBPC两两互相垂直，且2PAPBPC，则可将其补全为一个边长为2的正方体，显然该正方体的外接球即为三棱锥PABC的外接球，设该外接球的半径为r，正方体的体

对角线为22222223，则2233rr故外接球的体积为34433Vr.故选：A【点睛】本题考查求棱锥外接球的体积，属于简单题.7.阅读如图的框图，运行相应的程序，若输入n的值为6，则输出S的值为()-4-A.37B.49C.67D.89【答案】A【解析】【分析】由图知，每次

进入循环体后，S的值被施加的运算是211SSi，故由此运算规律进行计算，当8i时不满足条件6i，退出循环，输出S的值即可．【详解】解：由题意，模拟执行程序，可得：6n，2i，0S满足条件6i，11033S，4

i满足条件6i，11315S，6i满足条件6i，11131535S，8i不满足条件6i，退出循环，输出S的值为1113315357．故选A．【点睛】本题考查循环结构，已知运算规则与运算次数，

求最后运算结果，是算法中一种常见的题型，属于基础题．-5-8.已知P是△ABC所在平面内﹣点，20PBPCPA，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（）A.23B.12C.13D.14【答案】B【解析】【分析】推

导出点P到BC的距离等于A到BC的距离的12．从而S△PBC=12S△ABC．由此能求出将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率．【详解】以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则PBPC

=PD，∵20PBPCPA，∴2PBPCPA，∴2PDPA，∴P是△ABC边BC上的中线AO的中点，∴点P到

BC的距离等于A到BC的距离的12．∴S△PBC=12S△ABC．∴将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为：P=PBCABCSS=12．故选B．【点睛】本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考运算求解能力，考查化归与转化思想

、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．9.过抛物线24yx的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若,AB两点的横坐标之和为3，则||AB()A.133B.143C.5D.163【答案】C【解析】-6-【分析】由抛物线焦点弦性质求弦长即可.【

详解】设直线交该抛物线的交点A，B坐标为1122,,,xyxy，则123xx，且抛物线24yx的2p，由抛物线的焦点弦弦长性质可知12325||xAxBp，故选：C【点睛】本题考查由抛物线焦点弦性质求弦长，属于基础题.10.已知偶函数()fx的定义域为(

,)22，其导函数为'()fx，当02x时，有()cos()sin0fxxfxx成立，则关于x的不等式()2()cos3fxfx的解集为()A.(0,)3B.(,)32C.(,0

)(0)33，D.(,)(,)2332【答案】D【解析】【分析】构造函数()cosfxgxx，求导之后由题可知其在02x时单调递减，再由偶函数定义证得gx是的定义域在(,)22上的偶函数，进而转化已知不等式，由函数的性质解不等式即可.【详解】构造函数

()cosfxgxx，则2()cos()sincosfxxfxxgxx，即其在02x时，0gx，函数gx单调递减，又因为函数()fx是的定义域在(,)22上的偶函数，则()()coscosfxfxg

xgxxx，故函数gx是的定义域在(,)22上的偶函数，故不等式()()()33()2()cos13cos3cos23fffxfxfxxx，所以(,)(,)2332x故选

：D-7-【点睛】本题考查常见的构造函数利用导数解不等式，还考查了函数单调性与奇偶性的综合应用，属于较难题.11.已知离心率为2的双曲线2222:10,0xyCabab的左、右焦点分别为12(,0),(,0)FcFc，直线33yxc与双曲线C在第一象限的交点为

P，12PFF的角平分线与2PF交于点Q，若2PFPQ，则的值是()A.4343B.4313C.233D.4313【答案】D【解析】【分析】由直线方程解析式可知其过双曲线左焦点和倾斜角，由角平分线定理可表示1PF，由离心率与双曲线定义可

表示2PF，再由12PFF的余弦定理构建方程求得参数值.【详解】因为直线方程为33yxc，则其过双曲线左焦点，且倾斜角1230PFF，又因为12PFF的角平分线与2PF交于点Q，且2PFPQ，则1112211211PFPQPF

cFFQF，因为离心率2132221ccecaPFPFaa，由余弦定理可知，2221122121123cos22PFFFPFPFFPFFF，则2222232132441131121222811ccccc

22244133213181818，所以4313.-8-故选：D【点睛】本题考查双曲线的焦点三角形中求参数的值，还考查了角平分线定理与余弦定理解三角形，属于

较难题.12.已知函数2312xexfxx，若xR时，恒有2'3fxxaxb，则abb的最大值为()A.eB.2eC.2eD.e【答案】C【解析】【分析】对函数fx求导并带入已知不等式中，将不等式恒成立问题由构

造新函数xgxexax并借助导数利用分类讨论求最小值即可求出ab的不等式关系，进而表示22111ln1baaaa，再令1ta并构造22lnhtttt，利用导数求得最大值即可.【详解】因为函数2312xexfxx，则

23xexfxx，由题可知，对xR，恒有22330xxexxxaxbexaxb成立，令xgxexax，则1xgxea，当1a时，函数gx在R上单调递增，且x时，

gx，不符合题意；当1a时，0abb，当1a时，令10ln1xgxeaxa，所以函数gx在ln1,a上单调递增，且在,ln1a上单调递减；-9-所以

ln1minln1ln1ln111ln1agxgaeaaaaaa，故2211ln10111ln1aaabbaaaa

，令10ta，则22lnhtttt，且22ln12lnhttttttt，当0,te时，0ht，函数ht单调递增；当,te时，0ht，函数ht单调递减，所以22maxln2ehthee

ee，故12eba，综上所述，abb的最大值为2e.故选：C【点睛】本题考查利用导数解决不等式恒成立问题，还考查了利用分类讨论求参数的最值，属于难题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每小题5分，共

20分）13.相关变量的样本数据如表：经回归分析可得y与x线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为10yxa，则a=______.x1234y20303040【答案】5【解析】【分析】求出,xy

，把(,)xy代入回归方程可得．【详解】由已知12342.54x，20303040304y，∴30102.5a，5a．故答案为：5．-10-【点睛】本题考查线性回归直线方程，

掌握性质：线性回归直线一定过中心点(,)xy是解题关键．14.函数lnfxaxx的图象在1x=处的切线方程为yxb，则a______；b________.【答案】(1).2(2).2【解析】【分析】由导数的几何意义表示切线的斜率构建方程求得a，再由切点即可求得b.【

详解】设切点坐标为1,1b，函数lnfxaxx，则1afxx，故11121afa，即2lnfxxx又因为12ln11112fbb.故答案为：(1).2(2).2

【点睛】本题考查由导数的几何意义求参数，属于基础题.15.已知P是直线4100(0)kxyk上的动点，,PAPB是圆22:2440Cxyxy的两条切线，,AB是切点，C是圆心，若四边形PACB的面积的最小值为22，则k的值为___________

_.【答案】3【解析】【分析】由面积关系与勾股定理将已知面积转化为由PC表示，再由点到直线的距离公式求得PC最小值，最后由面积的最小值构建方程求得参数.【详解】由题可知，S四边形22212212PACEPACSPAACPCrrPC，又因为min22228101844ClkkPCd

kk，-11-所以四边形PACB的面积的最小值为2221812234kkk故答案为：3【点睛】本题考查利用直线与圆相切的位置关系转化所求面积，还考查点与直线的最小距离，属于中档

题.16.已知函数||xxfxe，若关于x的方程2()()10fxmfxm有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是_________.【答案】1(1,1)e【解析】【分析】方程2()()10fxmfxm有四个不相等的实数根，即方程()1()1

0fxmfx有四个不相等的实数根，则()=1fxm或()=1fx有四个不相等的实数根，结合图象利用分类讨论()=1fx与()=1fxm的根的情况，其中当0x时分别构造函数xgxex与1xhxme

x分析，最后由转化思想将函数hx有两个零点转化为minhx小于0构造不等式求得答案.【详解】方程2()()10fxmfxm有四个不相等的实数根，即方程-12-()1()10fxmfx

有四个不相等的实数根，则()=1fxm或()=1fx有四个不相等的实数根，因为函数||0101xxfxmme，对方程()=1fx的根分析，令||1||xxxxee，由图象分析可知，

当0x时，必有一根，当0x时，令xgxex，则10xgxe，所以函数gx单调递增，故00010gxge，所以当0x时，方程()=1fx无根，故方程()=1fx只有1个根，那么方程()=1fxm应

有3个根，对方程()=1fxm的根分析，令||1||1xxxmxmee，-13-由图象分析可知，当0x时，必有一根，当0x时，方程||1xxme应有2两个不等的实根，其等价于方程1||0xmex有2个不等的实根，令1xhxme

x，则11xhxme，且其在0x内有两个零点，显然当211020xmhxmehm，函数hx单调递增，不满足条件，则2m；令110110ln011xxhxmeexmm，则函数hx在区

间10,ln1m上单调递减，在区间1ln,1m单调递增；所以函数hx在1ln1xm取得极小值，同时也为最小值，1ln1min11ln1lnln111mhxhmeem

mm，函数hx若要有两个零点，则min10ln10111hxememme，综上所述，实数m的取值范围是1(1,1)e.故答案为：1(

1,1)e【点睛】本题考查了函数与方程的数学思想，还考查了由函数零点个数求参数取值范围与利-14-用导数分析方程的根的个数，属于难题.三、解答题（共70分）17.已知命题:p不等式2(1)10xax的解集是R.命题:q函数()(1)xfxa在定义域内是增函数.若“pq”为真命题，

“pq”为假命题，求实数a的取值范围.【答案】(3,0][1,)【解析】【分析】若命题p为真命题，在一元二次不等式中由判别式求出此时参数范围；若命题q为真命题，由指数函数底数大于1则函数单调递增求出此时

参数范围，又因为pq为真命题，pq为假命题，所以,pq两命题一真一假，最后分类讨论p真q假与p假q真，求出答案.【详解】若命题p为真命题，则2140a，解得31a；若命题q为真命

题，则11a，0a.因为pq为真命题，pq为假命题，所以,pq两命题一真一假（1）p真q假，则310aa，30a（2）p假q真，则310aaa或，1a综上所述，a的取值范围是(3,0][1,

).【点睛】本题考查由逻辑联结词连接命题的真假求参数取值范围，还考查了一元二次不等式恒成立与指数函数的单调性，属于基础题.18.目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区500名患者新冠病毒

潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如图所示的频率分布直方图（用频率作为概率）.潜伏期不高于平均数的患者，称为“短潜伏者”，潜伏期高于平均数的患者，称为“长潜伏者”.-15-（1）求这500名患者潜

伏期的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），并计算出这500名患者中“长潜伏者”的人数；（2）为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样，从上述500名患者中抽取300人，得到如下表格.（i）请将表格补充完整；短潜伏者长潜伏者

合计60岁及以上9060岁以下140合计300（ii）研究发现，某药物对新冠病毒有一定的抑制作用，现需在样本中60岁以下的140名患者中按分层抽样方法抽取7人做I期临床试验，再从选取的7人中随机抽取两人做Ⅱ期临床试验，求两人中

恰有1人为“长潜伏者”的概率.【答案】（1）6，250人；（2）（i）见解析；（ii）47.【解析】【分析】（1）由频率分布直方图各段中间值乘以各段的概率再相加即为平均值；由频率分布直方图可知“长潜伏者”

即潜伏期时间不低于6天的频率，将其乘以样本总量即可；-16-（2）（i）由表格数据合计开始逐层推进，由分层抽样计算数据并求值填表；（ii）列出所有基本事件可能，再由古典概型概率计算公式求解.【详解】（1）平均数0.0210.0830.155

0.1870.0390.03110.011326x.由频率分布直方图可知“长潜伏者”即潜伏期时间不低于6天的频率为0.1820.0320.0320.0120.5所以500人中“长潜伏者”的人数为5000.5250人（2）（i）由题意补充后的表格

如图：短潜伏者长潜伏者合计60岁及以上907016060岁以下6080140合计150150300由合计值300减去60岁以下的合计140可得60岁以上的合计160；长潜伏者的人数为300250150500人

，则短潜伏者也为150人；即短潜伏者中60岁以下的人数为150-90=60人，长潜伏者中60岁以上的人数为160-90=70人，60岁以下的人数为150-70=80人.（ii）由分层抽样知7人中，“短潜伏者”有3人，记为,,abc，“长潜

伏者”有4人，记为D，E，F，G，从中抽取2人，共有,ab，,ac，,aD，,aE，,aF，,aG，,bc，,bD，,bE，,bF，,bG，,cD，,cE，,cF

，,cG，,DE，,DF，,GD，,EF，,EG，,FG，共有21种不同的结果，两人中恰好有1人为“长潜伏者”包含了12种结果.所以所求概率124217P.【点睛】本题考查在频率分布直方图中求平均数，由分层抽样完善22列联表，还

考查了古典概型求概率问题，属于简单题.-17-19.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，M为PD的中点，PA底面ABCD，4,2PAADAB.（1）求证：AM平面MCD；（2）求点

M到平面PAC的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）255.【解析】【分析】（1）利用PA平面ABCD，证得PACD，再结合矩形证得CD平面PAD，从而有CDAM，再由等腰三角形得一垂直后可证得线面垂直；（2

）在（1）的证明中知CPAMV易求，从而利用体积法MPACCPAMVV可求得M到平面PAC的距离．【详解】（1）证明：∵PA平面ABCD，∴PACD.∵四边形ABCD是矩形，所以ADCD，由CDPACDADCDPAADA平面PAD，∴CDAM

.PAAD，M为PD的中点，∴AMMD由AMCDAMMDAMMDCDD平面MCD.（2）设点M到平面PAC的距离为d.由（1）知CD平面PAD-18-MPACCPAMVVPACPAMSdSCD（*）2241625AC

ABBC，∴114254522PACSPAAC11114442224PAMPADSSPAAD所以（*）为4542d，解得255d.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查求点到平面的距离，掌握线面垂直的判定定理和性质定理是证明线面垂直的关键

，求点到平面距离的方法是等体积法．20.在直角坐标系xOy中，已知直线l过点P（2，2）.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ﹣ρcos2θ﹣4cosθ＝0.（1）求C

的直角坐标方程；（2）若l与C交于A，B两点，求PAPBPAPB的最大值.【答案】（1）24yx；（2）2【解析】【分析】（1）把曲线C的极坐标方程两边同时乘以，结合cosx，siny，222xy，即可求出曲线C的极坐标方程；（2）由已知直接写出直线l的参数

方程，把直线l的参数方程代入曲线C的极坐标方程，化为关于t的一元二次方程，利用根与系数的关系及参数t的几何意义求解.【详解】（1）曲线C的极坐标方程为2cos4cos0，两边同时乘以，得222cos4cos0，把互化公式代入可得：22240

xyxx，即24yx，所以C的直角坐标方程为y2＝4x.（2）设直线l的倾斜角为0，可得参数方程为：22xtcosytsin（t为参数），代入抛物线方程可得：22sin4sin4

cos40tt，-19-则12244cossinttsin，1224ttsin＜0，∴1212cossinPAPBttPAPBtt2sin24，当且仅当34时

，等号成立，PAPBPAPB的最大值为2.【点睛】1.极坐标方程转化为普通方程，要巧用极坐标方程两边同乘以或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有cos，sin，2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程

；2.经过点00,Pxy，倾斜角为的直线l的参数方程为00cossinxxtyyt（t为参数）.若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为1t，2t，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为0t，则以下结论在解题中经常用

到：（1）1202ttt；（2）1202ttPMt；（3）21ABtt；（4）12PAPBtt.21.已知椭圆2222:1xyCab（0ab）经过(1,1)与63(,)22两点.-20-（1）求椭圆C的方程；（2）过原点的直线l与椭圆C

交于,AB两点，椭圆C上一点M满足MAMB，求证：222112OAOBOM为定值.【答案】（1）222133xy；（2）见解析.【解析】试题分析：(1)由题意将点的坐标代入椭圆方程即可求得椭圆的方程为222133xy；(2)利用（1）中求得的椭圆方

程结合题意分类讨论可证得222112OAOBOM为定值2.试题解析：（1）将11（，）与（，）两点代入椭圆C的方程，得解得．∴椭圆PM2的方程为．（2）由|MA|=|MB|，知M在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A、B关于原点对称．①若点A、B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭

圆的一个长轴顶点，此时=．同理，若点A、B是椭圆的长轴顶点，则点M在椭圆的一个短轴顶点，此时=．②若点A、B、M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为y=kx（k≠0），则直线OM的方程为，设A（x1，y1），B（x2，y2），由解得，，-21-∴=，同理，所以=2×+=2，故=2为定值．

22.已知函数2ln2hxaxxax，21ln14gxaxaxx.（1）讨论hx的单调性；（2）设函数fxhxgx，若对任意0x，恒有0fx，求a的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）

[1,).【解析】【分析】（1）求出导函数()hx，注意0x，按照2a非正，以及与1的大小关系分类讨论可得单调性；（2）求出2()()()ln(2)fxhxgxxaxax，求出导函数'1()(21)(),0fxxaxx，利用导数研

究()fx的单调性和最大值，由最大值0可得a的范围．【详解】（1）'(1)(2)2(2),0axxahxxaxxx，①当0a时，'()01hxx，'()001hxx；∴()hx在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增；②当2a时，2'2(1

)()0xhxx，∴()hx在(0,)上单调递增；③当02a时，012a，'()002ahxx或1x，'()012ahxx，∴()hx在(0,)2a和(1,)上单调递增，在

(,1)2a上单调递减；④当2a时，12a，'()001hxx或2ax，'()012ahxx，∴(0,1)在()hx和(,)2a上单调递增，在(1,)2a上单调递减；（2）2()()()ln(2)fxhxgxxaxax，

-22-'11()2(2)(21)(),0fxaxaxaxxx若0a，则'()0fx恒成立，()fx在(0,)上递增，1220fa，与已知0fx不符合，舍去，所以0a0a时，'1()0

0fxxa，'1()0fxxa∴()fx在1(0,)a上单调递增，在1(,)a上单调递减，∴max1()()fxfa1121lnln1aaaaaa∵0x时，恒有0fx∴所以只需1()0fa，即1ln10aa设

1()ln1,0aaaa，则'211()0aaa，所以()a在0（，）上单调递减又(1)0，所以使得()0a的a的取值范围为[1,).【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，研究不等式恒成立问题．解决不等式恒成立的方法是求出函数的最

值，由最值满足的不等关系得出结论，考查的转化与化归思想．-23-