【文档说明】重庆市乌江新高考协作体2024届高三上学期期中数学试题 含解析.docx，共(19)页，1.191 MB，由管理员店铺上传

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2023-2024学年（上）期中学业质量联合调研抽测高三数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合|11Axx=−，1,1,2,3B=−．则()UBA=

ð（）A.1,2,3−B.1,2,3C.1,1,2−D.1,1,2,3−【答案】A【解析】【分析】先求得UAð，然后求得()UABð.【详解】(()(),11,,1,2,3UUAAB=−−+=−

痧.故选：A2.设全集1,2,3,4,5U=，13,5A=,，1,3B=，则（）A.UAB=B.()UUAB=ðC.()UUAB=ðD.()()UUABU=痧【答案】C【解析】【分析】由条件根据集合的运算的定义，判断各选项即可.【详解】因为13,5A=,，1

,3B=，1,2,3,4,5U=，所以={1,3,5}AB，ABU，A错，{2,4}UA=ð，(){1,2,3,4}UAB=ð，()UABUð，B错，{2,4,5}UB=ð，(){1,2,3,4,5}UAB=ð，C对，()(){2,4,5}UUUAB=痧，D

错，故选：C.3.已知等差数列na中，2818aa+=，则5a=（）A.7B.11C.9D.18【答案】C【解析】【分析】由等差数列性质直接计算求解即可.【详解】设等差数列的性质可知：285218aaa+==，所以59a=.故选：C.

4.如图是一个棱长为2的正方体被过棱11AB、11AD的中点M、N，顶点A和过点N顶点D、1C的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的体积为（）A.5B.6C.7D.8【答案】C【解析】【分析】将正方体还原，利用割补法计算可得.详解】解：如图将正方体还

原可得如下图形：则1111112323AAMNV−==，11112122323DNDCV−==，1111328ABCDABCDV−==，所以该几何体的体积128733V=−−=.故选：C5.已知平面直角坐标系中的3点(2,2),(6

,0),(0,0)ABC，则ABC中最大角的余弦值等于（）A.22−B.22C.1010−D.1010的【【答案】C【解析】【分析】根据夹角公式算出ABC每个内角的余弦值，然后分析可得结果.【详解】(4,2),(2,2)ABAC=−=−−，根据夹角公式，410

coscos,10410ABACAABACABAC−====−；(4,2),(6,0)BABC=−=−，根据夹角公式，2425coscos,5625BABCBBABCBABC====；(6,0),(2,2)CBCA==，根据

夹角公式，122coscos,2622CBCACCBCACBCA====.由,,(0,π)ABC，cos0A，cos0,cos0BC，于是A是钝角，,BC是锐角，最大角是A，余弦值为1010−.故选：C6.已知，为锐角，且tan2

=，()2sin2+=，则cos=（）A.31010−B.31010C.1010−D.1010【答案】D【解析】【分析】由条件，结合同角关系求sin,cos，再由特殊角三角函数值求+，再利用两角差的余弦公式求cos.【详解】因为tan2=，所以sin2cos

=，又22sincos1+=，为锐角，所以25sin5=，5cos5=，且π4．因为，为锐角，π4，所以ππ4+，又2sin()2+=，所以34+=，故3π3π3π10coscoscoscossinsin44410=−=+=

．故选：D.7.已知函数()fx在定义域上的值不全为零，若函数()1fx+的图象关于()1,0对称，函数()3fx+的图象关于直线1x=对称，则下列式子中错误的是（）A.()()fxfx−=B.(2)(6)fxfx−=+

C.(2)(2)0fxfx−++−−=D.(3)(3)0fxfx++−=【答案】D【解析】【分析】由题设条件可得函数()fx的图象关于(2,0)对称，且关于直线4x=对称，从而得到()fx为偶函数且为周期

函数，从而可判断各项的正误.【详解】∵函数(1)fx+的图象关于()1,0对称，∴函数()fx的图象关于(2,0)对称，令()(1)Fxfx=+，∴()()2FxFx=−−，即()(3)1fxfx−=−+，∴()()4fx

fx−=−…⑴令()(3)Gxfx=+，∵其图象关于直线对称，∴()()2GxGx+=−，即()()53fxfx+=−，∴()()44fxfx+=−…⑵由⑴⑵得，()()4fxfx+=−，∴()()8fxfx+=…⑶∴()()()844fxfxfx−=−=+−，由⑵得()()()(

)()4444fxfxfx+−=−−=,∴()()fxfx−=；∴A对；由⑶，得()()282fxfx−+=−，即()()26fxfx−=+，∴B对；由⑴得，()()220fxfx−++=，又()()fxfx−

=，∴()()(2)(2)220fxfxfxfx−++−−=−++=，∴C对；若()()330fxfx++−=，则()()6fxfx+=−，∴()()12fxfx+=，由⑶得()()124fxfx+=+，又()()4fxfx+=−，∴()()fxfx=−，即()

0fx=，与题意矛盾，∴D错.故选：D.【点睛】本题考查函数图象的对称性、奇偶性、周期性，注意图象的对称性与函数解析式满足的等式关系之间的对应性，本题属于中档题.8.如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，M是

11AB的中点，点P是侧面11CDDC上的动点，且MP∥截面1ABC，则线段MP长度的取值范围是（）.A.[2,6]B.[6,22]C.[6,23]D.[6,3]【答案】B【解析】【分析】取CD的中点为N,1CC

的中点为R,11BC的中点为H,证明平面MNRH//平面1ABC,MP平面MNRH,线段MP扫过的图形为MNR,通过证明222MNNRMR=+,说明MRN为直角,得线段MP长度的取值范围为,MRMN即可得解.【详解】取CD的中点为N,1CC的中点为R,11BC的

中点为H,作图如下:由图可知,11//,MBNCMBNC=,所以四边形1MNCB为平行四边形,所以1//MNBC,因为1111//,//MHACACAC,所以//MHAC,因为1,MNMHMACBCC==,故平面M

NRH//平面1ABC,因MP∥截面1ABC,所以MP平面MNRH,线段MP扫过的图形为MNR,由2AB=知,22,2MNNR==,在1RtMCR中,22211MRCRCM=+,即()222156MR=+

=,所以6MR=，所以222MNNRMR=+,即MRN为直角,故线段MP长度的取值范围为,MRMN,即6,22,故选:B【点睛】本题考查面面平行的判定定理与性质定理及空间两点间的距离;重点考查转化与化归的思想;属于难度大、抽象型试题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共2

0分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分.9.已知复数(2i)(i1)z=−−在复平面内对应的点为P，则（）A.P在第二象限B.P在第四象限C.13iz=−−D.z的

虚部为3i【答案】AC【解析】【分析】根据复数的运算，求得13iz=−+，结合复数的几何意义和共轭复数的概念，以及复数的基本概念，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，复数(2i)(i1)13iz=−−=−+，所以其对应的点(1,3)−位于第二象限，所以A正

确，B错误；由复数13iz=−+的虚部为3，所以D错误；又由共轭复数的概念，可得13iz=−−，所以C正确.故选：AC为10.已知圆M：22430xyx+−+=，则下列说法正确的是（）A.点()4,0在圆内B.圆M的半径为1C.圆M关于320xy+−=对称D.直线30xy−=与圆

M相切【答案】BCD【解析】【分析】对于A项，求点()4,0到圆心的距离与半径比；对于B项，圆化为标准方程即可求出圆心和半径.对于C项，验证圆心是否在直线上；对于D项，验证圆心到直线的距离与半径比.【详解】已知圆M：22430xyx+−+=，则其标准方程为()2221xy−

+=，∴1r=，B选项正确；圆心()2,0M，将点()4,0到圆心()2,0M的距离()()22142002dr=−+−=，所以，点()4,0在圆外，A选项错误；将圆心()2,0M代入直线320xy+−=，得23020+−=成立，所以直线过圆心，则圆M关于直线320xy+−=对

称，C选项正确；因为圆心()2,0M到直线30xy−=的距离32113dr===+，所以直线30xy−=与圆M相切，D选项正确.故选：BCD11.记等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝6，则S4＝（）A.－

10B.－8C.8D.10【答案】AC【解析】【分析】设等比数列的公比为q，解方程22226qq++=求出q的值即得解.【详解】设等比数列的公比为q，由于132,6aS==，232226Sqq=++=，则220

qq+−=，2q=−或1q=，所以3343162(2)10SSaq=+=+−=−或4148Sa==，故选：AC.12.如图，已知三个两两互相垂直的半平面，，交于点O，矩形ABCD的边BC在半平面内，顶点A，D分别在半平面，内，2AD=，3AB=，AD与

平面所成角为4，二面角ABCO−−的余弦值为13，则同时与半平面，，和平面ABCD都相切的球的半径为（）A.22B.423C.22D.8423+【答案】AC【解析】【分析】如图，补形为一个长方体，然后以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O–xyz，由线面角和二面角的定义可求得,

AB，D的坐标，求得平面ABCD的法向量，设平面ABCD与,,xyz轴的交点分别为：123(,0,0),(0,,0),(0,0,)PxPyPz，将原问题进一步等价于求三棱锥O-P1P2P3的内切球半径，运用等体积法可求得答案．【详解】解：

如图所示，将矩形ABCD所在的平面，补形为一个长方体，然后以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O–xyz，由2AD=，AD与平面所成角为4，得112AAAD==，作AP⊥底面于点P，则AD⊥平面APB，从而BCBP⊥，所以PBA即为二面角AB

CO−−的平面角，即PBA的余弦值为13，则113PBAB==，故2222APBABP=−=，2222BPBB==，32(2,0,22),(2,,0)22AB，(0,2,22)D，所以22,2222AB

=−，，(2,2,0)AD=−，设平面ABCD的法向量(,,)mxyz=，则2222(,,22)(,,)2202222(2,2,0)(,,)220ABmxyzyzADmxyzxy=−=+−==−=−+=，令2x=，得2,1==yz，从而(2,

2,1)m=，设平面ABCD与,,xyz轴的交点分别为：123(,0,0),(0,,0),(0,0,)PxPyPz，则1(2,0,22)(2,2,1)0PAmx=−=，所以22x=，2(2,,22)(2,2,1)0PAmy=−=

，所以22y=，3(2,0,22)(2,2,1)0PAmz=−=，所以42,z=原问题进一步等价于求三棱锥O-P1P2P3的内切球半径，由于2222121323(22)(22)4,(22)(42)210PPPPPP=+===+=，故123PPP是等腰三角形，其面积为2214(

210)2122−=，三棱锥的表面积为1(222222422242)12322S=+++=，其体积为123116263VOPOPOP==，设外接球半径为R，利用等体积法有13VSR=，即1162232,332RR==，同理

，当球在三棱锥外面与四个面都相切时，球的半径为22，故选：AC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数()3222fxxx=−+的图象在=1x处的切线方程是________．【答案】2yx=−+

（或20xy+−=）【解析】【分析】由导数的几何意义求解，【详解】由题意可得()234fxxx=−，则()11f=，()11f=−，故所求切线方程为()11yx−=−−，即2yx=−+（或20xy+−=）．故答案为：2yx=−+14.若等差数列{}

na的前10项和为30，前20项和为100，则前30项和为_________【答案】210【解析】【分析】利用等差数列的前n项和性质即可求解.【详解】设等差数列{}na的前n项和为nS，则10S，1200SS−，3020SS−成等差数列，即3030,70,100S−成等差数列，所以302703

0100S=+−，30210S=，故答案为：210【点睛】本题主要考查了等差数列的前n项和性质，需熟记性质，属于基础题.15.若方程1cos2ax−=在,3x−上有两个不同的实数根，则实数a的取值范围为______．【答案】(1,0

−【解析】【分析】根据题意作图，由函数与方程的关系，可得11122a−，进而得到答案.【详解】作出cosyx=，,3x−与12ay−=的大致图象，如图所示．由图象，可知11122a

−，即10a−，故实数a的取值范围为(1,0−．故答案为：(1,0−.16.已知数列na满足11a=，2112nnnaaa+=−.给出下列四个结论：①数列na每一项na都满足()*01Nn

an；②数列na的前n项和2nS；③数列na每一项都满足21nan+成立；④数列na每一项na都满足()1*1N2nnan−.其中，所有正确结论的序号是_______________

__.【答案】①③④【解析】【分析】通过递推公式，判断出数列单调性，由此得到数列的取值范围，根据取值范围对①③④进行判断，算出4S即可判断②.【详解】由11a=，2112nnnaaa+=−，得211122a=−=，3113288a=−=，4319398264128a=−=，41339279

1228128128S=+++=，②错误；2112nnnnaaaa+=−，又因为11a=，所以21012nnnaaa+=−，所以()*01Nnan，①正确；由2112nnnaaa+=−可得111,1122nnnaaa+=−，即(11,2nnaa+，又2112nnna

aa+=−，两边同时除以1nnaa+，可得：11112nnnnaaaa++=−，11112nnnnaaaa−−=−，…，2121112aaaa=−，累加可得11112121nnnnnaaaaaaa−++−=+++，又因(11,2nna

a+，所以11212nnna+−，即有11212nann+++，当1n=时，12111a==+，所以121nann+，③正确；由2112nnnaaa+=−，得111122nnnaaa+=−，则当2n时，112nnaa−，则111122112nn

nnnnaaaaaaaa−−−−=，当1n=时，01112a==，所以()1*1N2nnan−，故④正确.故答案为：①③④.【点睛】思路点睛：数列中出现大小比较时，若通过原数列或者

构造新数列不能找到大小关系，常见思路为对数列进行放缩，通过将数列放缩为一个简单的通项公式再进行大小比较.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知,,A

abc=，则求：（1）集合A的子集的个数，并判断与集合A的关系（2）请写出集合A的所有非空真子集【答案】（1）8，A（2）{}a，{}b，{}c，{,}ab，{,}ac，{,}bc【解析】【分析】（1）根据子集的概念，利用列举法可得集合A的所

有子集，从而可得子集个数以及与集合A的关系；（2）根据非空真子集的概念，利用列举法可得答案.【详解】（1）,,Aabc=的子集有，{}a，{}b，{}c，{,}ab，{,}ac，{,}bc，{,,}abc共8个，其中A.（2）集合A的所有非空真子集有{}a，{}b，{}c

，{,}ab，{,}ac，{,}bc.【点睛】本题考查了子集和真子集的概念，属于基础题.18.已知命题p:x2+2x-15≤0，命题q:︱x-1︱≤m(m>0)，若¬p是¬q的必要不充分条件，求实数m的取值范围【答案】)6+

，【解析】【分析】利用不等式的解法求解出命题p，q中的不等式范围问题，结合二者的关系得出关于字母m的不等式，从而求解出m的取值范围．【详解】解：x2+2x﹣15≤0的解集为[﹣5，3]，故命题p成立有x∈[﹣5，3]，由︱x-1︱≤m(m

>0)，，得x∈[1﹣m，m+1]，若¬p是¬q的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件，因此有[﹣5，3]为[1﹣m，m+1]真子集，即1513mm−−+，（两个等号不能同时取到）解得：m619.如图，在平面四边形ABCD中，点

B与点D分别在AC的两侧，对角线AC与BD交于点E，2BCCD==.（1）若ABC中三个内角A、B、C分别对应的边长为a、b、c，ABC的面积()222312Sabc=+−，3BDBE=，求BCA和BCD；（2）若2ADAB=，且π4BAD=，设CBD=，求对角线

AC的最大值和此时的值.【答案】（1）π6BCA=，2π3BCD=（2）当π8=时，对角线AC长的最大值为222+【解析】【分析】（1）利用三角形的面积公式以及余弦定理可求出tanACB的值，结合ACB的取值范围可求得ACB的值，设BCD=，则ππ6，

利用正弦定理可求得的值；（2）利用余弦定理求得BD，结合余弦定理分析可知，ABD△为等腰直角三角形，再利用余弦定理结合三角函数看可求出AC长的最大值及其对应的的值.【小问1详解】解：因为ABC的面积()222312Sabc=+−，即13si

ncos26abACBabACB=，整理可得3sincos03ACBACB=，所以，3tan3ACB=，又因为0πACB，则π6ACB=，设BCD=，则ππ6，在BCE中，由正弦定理得πsinsin6CEBECBE=，在CDE中，由正弦

定理得πsinsin6CEDECDE=−，因为BCCD=，则CBECDE=，所以，ππsinsin66BEDE=−，因为3BDBE=，则2DEBE=，所以，πsin162DEBE−==，因

为ππ6，则π5π066−，所以，ππ62−=，解得2π3=，即2π3BCD=.【小问2详解】解：因为2BCCD==，则BDCCBD==，其中π02，则π2BCD=−，由余弦定理可得()2222cosπ288cos2BDB

CCDBCCD=+−−=+()22882cos116cos=+−=，则4cosBD=，在ABD△中，2ADAB=，π4BAD=，的由余弦定理可得222222π22cos32242BDABADABADABABAB=+−=−=，所以，BDAB=，故π

4ADBBAD==，故ABD△为等腰直角三角形，则π2ABD=，所以，2222π2cos16cos424cos2sin2ACABBCABBC=+−+=++()π81cos248sin282sin2124=+++=+

+，易知π02，则ππ5π2444+，故当ππ242+=时，即当π8=时，AC取最大值，且最大值为8212222+=+.20.如图，在三棱台111ABCABC-中，90BAC=，1AA⊥平面ABC，2ABAC==，111AC=，13A

A=，且D为BC中点.求证：BC⊥平面1AAD；【答案】证明见解析【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，根据空间位置关系的向量证明方法，即可证明结论.【详解】由题意，以点A坐标原点，AB，AC,1AA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则()()()()()1,,,,,,,00000032001,,,1,,020,,AABCD，为则()()()10,22003110,,,,,,,BCAAAD=−==，故112020300,BCAABCAA=−+⊥+=，2121000,BCADBCAD=−++=⊥，即1,BC

AABCAD⊥⊥，又11,,AAADAAAAD=平面1AAD，故BC⊥平面1AAD.21.过点(3,1)的直线分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，求AOB（O为坐标原点）面积取得最小值时的直线方程．【答案】123yx=−+.【解析】【

分析】由题意设直线AB的方程为1(3)ykx−=−，然后求出直线与坐标轴的交点，从而可表示出AOB的面积，利用基本不等式可求出其最小值，从而可求出直线方程.【详解】由题意知直线AB的斜率存在且不为零，

设直线AB的方程为1(3)ykx−=−，即13ykxk=+−，在直线AB的方程中，令0x=，可得13=−yk；令0y=，可得31kxk−=.所以点31,0,(0,13)kABkk−−，由已知条件可得310130kkk−−，得0k，所以AOB的面积为1

3111(13)6922kSkkkk−=−=−−1162(9)62kk+−−=，当且仅当19(0)kkk−=−，即13k=−时，等号成立，所以直线AB的方程为123yx=−+.22.已知

函数()exfx=，()cosgxx=−．（1）讨论函数()()()gxFxfx=的单调性；（2）设函数()()()Gxfxgxax=+−（Ra），若()Gx在π,2−+上为增函数，求实数a的取值范围．【答案】（1）增区间

π3π2π,2π,Z44kkk−+，减区间3π7π2π,2π,Z44kkk++（2）π2,e−−【解析】【分析】（1）利用导数求得()Fx的单调区间.（2）由()'0Gx在π,2−+恒成立，分离常数a，通过

构造函数法，结合导数求得a的取值范围.【小问1详解】()()()cosexgxxFxfx−==，()Fx的定义域为R.()'sincos2πsinee4xxxxFxx+==+，设Zk，ππ3π2π2ππ,2π2π444kxkkxk++−+，π3π7π2ππ2π2

π,2π2π444kxkkxk+++++，所以()Fx在区间()()'π3π2π,2π,0,44kkFxFx−+递增；在区间()()'3π7π2π,2π,0,44kkFxFx++递减.【小问2详解】()()()ecosxGxfxgxaxxax=+−

=−−，π2x−，()'esin0xGxxa=+−在π,2−+上恒成立，esinxax+在π,2−+上恒成立，令()πesin2xhxxx=+−，当ππ22x−时，()'cos0,ecos0xxhxx=+；当π2x时，e1

cos1xx−，()'ecos0xhxx=+，所以()hx在π,2−+上递增，()ππ22ππecose22hxh−−−=+−=，所以π2ea−，即a的取值范围是π2,e−−.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信

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