【文档说明】高中数学人教版必修2教案：4.3.2空间两点间的距离公式 （系列三）含答案【高考】.doc，共(15)页，2.235 MB，由小赞的店铺上传

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14.3空间直角坐标系4．3.1空间直角坐标系4．3.2空间两点间的距离公式●三维目标1．知识与技能(1)通过具体情境，使学生感受建立空间直角坐标系的必要性．(2)了解空间直角坐标系，掌握空间点的坐标的确定方法和过程，感受类比思想在探究新知识过程

中的作用．(3)理解空间两点间距离公式的推导过程，掌握空间两点间的距离公式．2．过程与方法让学生经历用类比的数学思想方法探索空间直角坐标系的建立方法，进一步体会数学概念、方法产生和发展的过程，学会科学的思维方法．3．情感、态度与价值观(1)

通过用类比的数学思想方法探究新知识，使学生感受新旧知识的联系和研究事物从低维到高维的一般方法．(2)通过实际问题的引入和解决，让学生体会数学的实践性和应用性，感受数学刻画生活的作用，不断地拓展自己的思维空间．●重点难点重点：空间直角坐标系的有关概念，空间点的坐标的确定方法及空间两点间的距离公式

．难点：空间直角坐标系的产生过程及空间两点间距离公式的推导．重难点突破：以学生熟知的身边实例为切入点，让学生感知建立空间直角坐标系的必要性，在此基础上，类比平面直角坐标系的建系原则，引导学生建立空间直角坐标系，同时借助长方体，以形象直观的方式，引入

空间点的坐标及空间两点间的距离公式．为了更好的突出重点、突破难点，教师可适当引入案例，通过学生的训练及教师的点拨，帮助学生实现知识的内化．●教学建议本节知识是在二维平面直角坐标系基础上的推广，是空间立体几何的代数化，是以后学2习“空间向量”等内容的基础，具有承

前启后的作用．鉴于本节知识的特点，本节课易采用启发式教学方法，从回忆平面直角坐标系的建立方法，点的坐标的确定过程、表示方法，平面内的点与坐标之间的一一对应关系入手，逐一讲解空间直角坐标系的有关概念及空间点的坐标的确定方法．教学时，可围绕在空间直角坐标系中点的坐标的确

定这一教学重点，通过巩固与练习反复强化如何在坐标系中利用点的坐标的概念来确定点的坐标这一过程，以巩固学生对新知识的理解，实现从感性认识到理性认识的飞跃．对于空间两点间距离公式的推导可采用“空间问题平面化”的思想给予解决，适当训练掌握其形式便可，不必扩充过多

．●教学流程创设问题情境，引出问题：如何确定空间中某一点的位置？⇒引导学生类比平面直角坐标系的建系原则建立空间直角坐标系.⇒通过引导学生回答所提问题理解空间直角坐标系中点的确定方式及两点间的距离公式.⇒通

过例1及其变式训练，使学生掌握空间直角坐标系中点的确定方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握点的对称坐标的求法.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握两点间的距离求法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成

当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.了解空间直角坐标系的建系方式．(难点)2.能在空间直角坐标系中求出点的坐标和已知坐标作出点．(重点、易错点)3.理解空间两点间距离公式的推导过程和方法．(难点)4.掌握空间两点间的距离公式，能够用

空间两点间距离公式解决简单的问题．(重点)3空间直角坐标系【问题导思】(1)在数轴上(如图)，一个实数就能确定一个点的位置．(2)在平面直角坐标系中(如图)，需要一对有序实数才能确定一个点的位置．1．为了确定空间中任意一点的位置，需要几个实数？【提示】三个．2．空间直角坐标系需要几个坐标轴

，它们之间什么关系？【提示】空间直角坐标系需要三个坐标轴，它们之间两两相互垂直．1．空间直角坐标系及相关概念(1)空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.(2)相关概念：点O叫做坐标

原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、xOz平面．2．右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．3．空间一点的坐标空

间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)．其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标．空间两点间的距离

公式【问题导思】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则其对角线AC1的长等于多少？4【提示】a2＋b2＋c2.空间两点间的距离公式(1)在空间中，点P(x，y，z)到坐标原点O的距离|OP|＝x2＋y2＋z2.(2)在空间中，P

1(x1，y1，z1)与P2(x2，y2，z2)的距离|P1P2|＝x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.求空间点的坐标图4－3－1如图4－3－1，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝BC＝3，AB＝5，AA1＝4，建立适当的

直角坐标系，写出此长方体各顶点的坐标．【思路探究】以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，先找出点在平面xDy内的射影以确定其横纵坐标，再找出点在z轴上的射影以确定其竖坐标

．【自主解答】如图，以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系Dxyz.由题意知长方体的棱长AD＝BC＝3，DC＝AB＝5，DD1＝AA1＝4，显然D(0,0,0)，5A在x轴上，∴A(3,0,0)；C在y轴

上，∴C(0,5,0)；D1在z轴上，∴D1(0,0,4)；B在xOy平面内，∴B(3,5,0)；A1在xOz平面内，∴A1(3,0,4)；C1在yOz平面内，∴C1(0,5,4)．由B1在xOy平面内的射影为B(3,5,0)，∴B1的横坐标为3，纵坐标为5，∵B

1在z轴上的射影为D1(0,0,4)，∴B1的竖坐标为4，∴B1(3,5,4)．1．建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则：(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上．(2)充分利用几何图形的对称性．2．求某点M的坐标的方法：作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M

的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点坐标(x，y，z)．3．坐标平面上的点的坐标特征：xOy平面上的点的竖坐标为0，即(x，y,0)．yOz平面上的点的横坐标为

0，即(0，y，z)．xOz平面上的点的纵坐标为0，即(x,0，z)．4．坐标轴上的点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0，即(x,0,0)．y轴上的点的横坐标、竖坐标都为0，即(0，y,0)．z轴上的点的横坐标、纵坐标都为0，即(0,0，z)．画一个正方体ABCD－

A1B1C1D1，以A为坐标原点，以棱AB，AD，AA1所在的直线为坐标轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系．(1)求各顶点的坐标；6(2)求棱C1C中点的坐标；(3)求面AA1B1B对角线交点的坐标．【解】建立空间直角坐

标系如图所示，且正方体的棱长为1.(1)各顶点坐标分别是A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(1,1,1)，D1(0,1,1

)．(2)棱CC1的中点为M(1,1，12)．(3)面AA1B1B对角线交点为N(12，0，12).求对称点的坐标求点A(1,2，－1)关于坐标平面xOy及x轴对称的点的坐标．【思路探究】解决本题的关键是明确关于各坐标轴，各坐标平面对称的两点的坐标的关系，

可借助于图形．【自主解答】如图所示，过A作AM⊥xOy交平面于M，并延长到C，使AM＝CM，则A与C关于坐标平面xOy对称，且C(1,2,1)．过A作AN⊥x轴于N并延长到点B，使AN＝NB，则A与B关于x轴对称且B(1

，－2,1)．∴A(1,2，－1)关于坐标平面xOy对称的点C(1,2,1)；A(1,2，－1)关于x轴对称的点B(1，－2,1)．对称关系可简记为“关于谁对称谁不变，其余的均相反”．特别地，关于原点对称，三个坐标符号都要变．在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)关于点M(2，－1，－4

)对称的点P′的坐标是()A．(0,0,0)B．(2，－1，－4)7C．(6，－3，－12)D．(－2,3,12)【解析】根据题意知M为线段PP′的中点，设P′(x，y，z)，由中点坐标公式，可得x＝2×

2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P′(6，－3，－12)．【答案】C求空间两点间的距离已知△ABC的三个顶点A(1,5,2)，B(2,3,4)，C(3,1,5)．(1)求△ABC中最短边的边长；(2)求AC边上中线的长度．【思路

探究】本题是考查空间两点间的距离公式的运用，直接运用公式计算即可．【自主解答】(1)由空间两点间距离公式得|AB|＝1－22＋5－32＋2－42＝3，|BC|＝2－32＋3－12＋4－52＝6，|AC|＝1－32＋

5－12＋2－52＝29，∴△ABC中最短边是|BC|，其长度为6.(2)由中点坐标公式得，AC的中点坐标为(2,3，72)．∴AC边上中线的长度为2－22＋3－32＋4－722＝12.1．求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行

计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键．2．若所给题目中未建立坐标系，需结合已知条件建立适当的坐标系，再利用空间两点间的距离公式计算．(2013·济宁高一检测)已知点A(4,5,6)，B(－5,0,10)，在z轴上有一点P，使|PA|＝|PB|，则点P的坐标是_______

_．【解析】设点P(0,0，z)，则由|PA|＝|PB|，得0－42＋0－52＋z－62＝0＋52＋0－02＋z－102，8解得z＝6，即点P的坐标是(0,0,6)．【答案】(0,0,6)因对空间直角坐标系中三轴间的关系不清导致建系错误在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC

，所有的棱长都是1，建立适当的直角坐标系，并写出各点的坐标．【错解】如图(1)所示，分别以AB，AC，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)．∵各棱长均为1，且B，C，A1均在坐标轴上，∴B(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(0,0,1)，B

1(1,0,1)，C1(0,1,1)．【错因分析】∵三棱柱各棱长均为1，∴△ABC为正三角形，即∠BAC＝60°，故本题做错的根本原因在于建立直角坐标系时没有抓住空间直角坐标系三条坐标轴两两垂直的本质．【防范措施】建立空间直角

坐标系时，应选择从一点出发的三条两两垂直的线作为坐标轴，如果图中没有满足条件的直线，可以通过“辅助线”达到建系的目的．【正解】如图(2)所示，取AC的中点O和A1C1的中点O1，连接BO，OO1，可得BO⊥AC，BO⊥OO1，分别以OB，OC，OO1所在

直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．∵各棱长均为1，∴OA＝OC＝O1C1＝O1A1＝12，OB＝32.∵A，B，C均在坐标轴上，∴A(0，－12，0)，B(32，0,0)，C(0，12，0)．∵点A1，C1均在yOz平面内，∴A1(0，－12，1)，C1(0，12，1)．9∵点

B1在xOy面内的射影为点B，且BB1＝1，∴B1(32，0,1)．1．结合长方体的长宽高理解点的坐标(x，y，z)，培养立体思维，增强空间想象力．2．学会用类比联想的方法理解空间直角坐标系的建系原则，切实体会空间中点的坐标及两点间的距离公式同平面内点

的坐标及两点间的距离公式的区别和联系．3．在导出空间两点间的距离公式的过程中体会转化化归思想的应用，突出化空间为平面的解题思想.1．点(2,0,3)位于()A．y轴上B．xOy平面上C．xOz平面上D．第一象限内【解析】点(2,0,3)的纵坐标为0，所以该点在xOz平面上．【答案】

C2．在空间直角坐标系中，点A(1,0,1)与点B(2,1，－1)间的距离为________．【解析】|AB|＝2－12＋1－02＋－1－12＝6.【答案】63．点P(1,1,1)关于xOy平面的对称

点P1的坐标为________；点P1关于z轴的对称点P2的坐标为________．【解析】点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为(1,1，－1)，P1关于z轴的对10称点P2的坐标为(－1，－1，－1)．【答案】(1,1，－1)(

－1，－1，－1)4．如图4－3－2所示，在长方体DABC－D′A′B′C′中，|DA|＝6，|DC|＝8，|DD′|＝5，图4－3－2(1)求D′，C，A′，B′四点的坐标；(2)求|A′C|.【解】因为D′在z轴上，且|DD′|＝5，所以它的竖坐标是5，横坐标x与纵坐标y都是0，所以点

D′的坐标是(0,0,5)．因为点C在y轴上，且|DC|＝8，所以它的纵坐标是8，横坐标x与竖坐标z都是0，所以点C的坐标是(0,8,0)．同理，点A′的坐标为(6,0,5)．点B′在xOy平面内的射影是点B，因此它的横坐标x与纵坐标y同点B的横坐标x与纵坐标y，在xOy平面上，点B的

横坐标x＝6，纵坐标y＝8，点B′在z轴上的射影是点D′，它的竖坐标与点D′的竖坐标相同，点D′的竖坐标z＝5，所以点B′的坐标是(6,8,5)．(2)|A′C|＝6－02＋0－82＋5－02＝55.一、选

择题1．已知点A(－3,1,5)与B(4,3,1)，则AB的中点坐标是()A．(72，1，－2)B．(12，2,3)C．(－12,3,5)D．(13，43，2)【解析】由中点坐标公式知，AB的中点为(12，2,3)．【答案】B2．(2012·海口高一

检测)在空间直角坐标系中，点P(1，2，3)，过点P作平面xOy的垂线PQ，则垂足Q的坐标为()A．(0，2，0)B．(0，2，3)11C．(1,0，3)D．(1，2，0)【解析】Q在过P(1，2，3)且垂直于面xOy的线上，故Q的横纵坐标与P相等，Q在面xOy上

，故Q的竖坐标为0，应选D.【答案】D3．点A(2,3－μ，－1＋v)关于x轴的对称点A′(λ，7，－6)，则()A．λ＝－2，μ＝－1，v＝－5B．λ＝2，μ＝－4，v＝－5C．λ＝2，μ＝10，v＝8D．λ＝2，μ＝10，v＝7【解析】由已知对称性知λ＝2，3－μ＝－7，

－1＋v＝6，即λ＝2，μ＝10，v＝7.故选D.【答案】D4．△ABC在空间直角坐标系中的位置及顶点坐标如图4－3－3所示，则BC边上的中线的长是()图4－3－3A.2B．2C.3D．3【解析】BC的中点坐标为M(1,1,0)，又A(0,0

,1)，∴|AM|＝12＋12＋－12＝3.【答案】C5．(思维拓展题)在空间直角坐标系中，一定点P到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是()A.62B.3C.32D.63【解析】设P(x，y，z)

，由题意可知x2＋y2＝1，y2＋z2＝1，x2＋z2＝1，∴x2＋y2＋z2＝32.12∴x2＋y2＋z2＝62.【答案】A二、填空题6．点(1,2,3)关于原点的对称点是________．【解析】关于原

点对称的两点，横、纵、竖坐标分别互为相反数．【答案】(－1，－2，－3)7．(2013·长沙高一检测)点P(1,2，－1)在xOz平面内的射影为B(x，y，z)，则x＋y＋z＝________.【解析】点P(1,2，－1)在xOz平面内的射影为B(

1,0，－1)，∴x＝1，y＝0，z＝－1，∴x＋y＋z＝1＋0－1＝0.【答案】08．已知A(－3,1,1)，B(－2,2,3)，在z轴上有点P到A，B两点的距离相等，则点P的坐标是________．【解析】设P(0,0，z)，则有32＋12＋1－z2＝22

＋22＋3－z2，∴z＝32.【答案】(0,0，32)三、解答题9．已知点A(－4，－1，－9)，B(－10,1，－6)，C(－2，－4，－3)，判断△ABC的形状．【解】|AB|＝－4＋102＋－1－12＋－9＋62＝49，|BC|＝－10

＋22＋1＋42＋－6＋32＝98，|AC|＝－4＋22＋－1＋42＋－9＋32＝49.因为|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，所以△ABC为等腰直角三角形．10．已知点A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，求|AB|取最小

值时A，B两点的坐标，并求此时|AB|.【解】由空间两点间的距离公式得|AB|＝1－x2＋[x＋2－5－x]2＋[2－x－2x－1]213＝14x2－32x＋19＝14x－872＋57.当x＝87时，|AB|有最小值57＝357，此时A(87，277，97)，B(1，227，67)．11．如图4－

3－4所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．图4－3－4【解】以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如

图所示的空间直角坐标系．∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，由中点坐标公式可得，D(1,1,0)，E(0,1

,2)，F(1,0,0)，∴|DE|＝1－02＋1－12＋0－22＝5，|EF|＝0－12＋1－02＋2－02＝6.如图所示，在长方体OABC－O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，E是BC的14中点，作OD⊥AC于点

D，求线段B1E的长度及顶点O1到点D的距离．【思路探究】先根据空间直角坐标系，求出点B1，E，O1，D的坐标，然后利用两点间的距离公式求解．【自主解答】由已知的空间直角坐标系及长方体的棱长可得长方体的各个顶点的坐标分别为：O(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,3

,0)，C(0,3,0)，O1(0,0,2)，A1(2,0,2)，B1(2,3,2)，C1(0,3,2)．∵E是BC的中点，∴点E的坐标为(1,3,0)．由两点间的距离公式得|B1E|＝2－12＋3－32＋2－02＝5.设D(x，y,0)，在Rt△AOC中，∵|OA|＝2，|OC|＝3，|A

C|＝13，∴|OD|＝2×313＝61313.在Rt△ODA中，|OD|2＝x·|OA|，则x＝36132＝1813.在Rt△ODC中，|OD|2＝y·|OC|，则y＝36133＝1213.故点D(1813，1213，0)，由两点间的距离公式得|O1D|＝0－18132＋0－1213

2＋2－02＝1144132＝228613.利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤为：15如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，M为BD1的中点，N在A1C1上，且|A1N|＝3|NC

1|，试求MN的长．【解】以D为原点建立如图所示坐标系，则B(a，a,0)，A1(a,0，a)，C1(0，a，a)，D1(0,0，a)．由于M为BD1的中点，所以M(a2，a2，a2)，取A1C1中点O1，则O1(a2，a2，a)，因为|A1N|＝3|NC1|，所以N为O1C1的中点，故N(a

4，34a，a)．由两点间的距离公式可得：|MN|＝a2－a42＋a2－34a2＋a2－a2＝64a.