【文档说明】高中数学人教A版《选择性必修第一册》全书课件3.1.1.ppt，共(43)页，1.509 MB，由小赞的店铺上传

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3.1.1椭圆及其标准方程[教材要点]要点一椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的____________________________的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的________，____________________叫做椭圆的焦距．距离的和等于常数(大于|F1F2|)焦点

两焦点间的距离状元随笔1.对定义中限制条件“常数(大于|F1F2|)”的理解(1)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M的迹为椭圆；(2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的迹为以F

1，F2为两端点的线段；(3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数<|F1F2|时，动点M的迹不存在．2．定义的双向运用一方面，符合定义中条件的动点的迹为椭圆；另一方面，椭圆上所有的点一定满足定义的条件(即

到两焦点的距离之和为常数)．要点二椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形焦点坐标__________________________________a，b

，c的关系__________________________________F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)c2＝a2－b2c2＝a2－b2状元随笔(1)椭圆的标准方程的推导，要充分利用椭圆的对称性，当且仅当椭圆的焦点在坐标轴上，且关于原点对称

时，椭圆的方程才具有标准形式．(2)在椭圆的标准方程的推导过程中，令b2＝a2－c2可以使方程变得简单整齐.今后讨论椭圆的几何性质时，b还有明确的几何意义，因此设b>0.(3)椭圆的标准方程的形式是：左边是“平方”＋“平方”，右

边是1.(4)椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中含x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中含y2项的分母较大．因此由椭圆的标准方程判断椭圆的焦点位置时，要根据方程中分母的大小来判断，简记为“焦点位置看大小，焦点随着大的跑”．[基础自测]1．

判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2＝b2＋c2.()(2)平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的集合是椭圆．()(3)方程x2a2＋y2b2＝1(a>0，b>0)表示的曲线是椭圆．()(4)设F1(－4,0)，F

2(4,0)为定点，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是椭圆．()√×××2．设P是椭圆x225＋y216＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于()A．4B．5C．8D．10解析：由椭圆方程知a2＝25，则a＝5，|P

F1|＋|PF2|＝2a＝10.故选D.答案：D3．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为()A.x2100＋y236＝1B.y2

400＋x2336＝1C.y2100＋x236＝1D.y220＋x212＝1解析：由题意知c＝8,2a＝20，∴a＝10，∴b2＝a2－c2＝36，故椭圆的方程为y2100＋x236＝1.故选C.答案：C4．椭

圆8k2x2－ky2＝8的一个焦点坐标为(0，7)，则k的值为________.解析：原方程可化为x21k2＋y2－8k＝1.依题意，得－8k>0，－8k>1k2，－8k－1k2＝7，即k<0，k<－18，k＝－1或k＝－17.所以k的值为－1或－17.答案：－1

或－17题型一求椭圆的标准方程——师生共研例1求满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)两焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，且椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和等于10；解析：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．又c＝4

,2a＝10，则a＝5，b2＝a2－c2＝9.于是所求椭圆的标准方程为x225＋y29＝1.题型一求椭圆的标准方程——师生共研例1求满足下列条件的椭圆的标准方程．(2)两焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，且椭圆经过点(－32，52).(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设椭圆的标准方程为

y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)．由椭圆的定义知：2a＝－322＋52＋22＋－322＋52－22＝210，即a＝10，又c＝2，∵b2＝a2－c2＝6，∴所求椭圆的标准方程为y210＋x26＝1.题型一求

椭圆的标准方程——师生共研例1求满足下列条件的椭圆的标准方程．(3)经过P1(6，1)，P2(－3，－2)两点；(3)解法一①当焦点在x轴上时，设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．由已知，得6a2＋1b2＝1，3a2＋2b2＝1⇒a2＝9，b2

＝3，即所求椭圆的标准方程是x29＋y23＝1.②当焦点在y轴上时，设椭圆方程为x2b2＋y2a2＝1(a>b>0)，由已知，得6b2＋1a2＝1，3b2＋2a2＝1⇒b2＝9，a2＝3，与a>b>0矛盾，此种情况不存在．综上，所求椭圆

的标准方程是x29＋y23＝1.解法二设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，故6A＋B＝1，3A＋2B＝1⇒A＝19，B＝13，即所求椭圆的标准方程是x29＋y23＝1.题型一求椭圆的标准方程——师生共研例1求满足下列条件的椭圆的标准方程．(4)以

椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，6)．(4)由题意，知焦点F1(0,2)，F2(0，－2)，设所求椭圆方程为y2λ＋4＋x2λ＝1(λ>0)，将x＝2，y＝6代入，得6λ＋4＋4λ＝1，解得λ＝8或λ＝－2(舍去)．∴所求椭圆的标准方程为y

212＋x28＝1.方法归纳1．利用待定系数法求椭圆的标准方程(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b的值，代入所设方程．2．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m>0，n>0)．因为它包括

焦点在x轴上(m<n)或焦点在y轴上(m>n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算．跟踪训练1已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，点(0，－3)在椭圆上，则椭圆的方程为()A.x245＋y23

6＝1B.x236＋y227＝1C.x227＋y218＝1D.x218＋y29＝1解析：由题意可得a2－b2＝90＋9b2＝1解得a2＝18b2＝9，故椭圆的方程为x218＋y29＝

1.故选D.答案：D题型二与椭圆有关的轨迹问题——师生共研例2已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，求C的方程．解析：由已知得圆M的圆

心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.设动圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.动圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以，|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝

4＞|MN|＝2，由椭圆定义可知，曲线C是以M、N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x24＋y23＝1(x≠－2)．方法归纳1．与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例所

用方法为定义法．2．对定义法求轨迹方程的认识如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法．3．代入法(相关点法)若所求轨迹上的动点P(x，y)与另

一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(对称相关点法)．跟踪训练2已知P是椭圆x24＋y28＝1上一动

点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为________．解析：设P(x0，y0)，Q(x，y)，由中点坐标公式得x＝x02，y＝y02，∴x0＝2x，y0＝2y，又∵点P在椭圆x24＋y28＝1上，∴(2x)24＋(2y)28＝1，即x2＋y22＝1

.答案：x2＋y22＝1题型三椭圆的焦点三角形问题——微点探究微点1求焦点三角形的内角或边长例3(1)椭圆x225＋y29＝1的两焦点为F1、F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，求△ABF2的周长；(2)椭圆x216＋y29＝

1的两焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝6，求∠F1PF2的大小．解析：(1)A，B都在椭圆上，由椭圆的定义知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a.又因为|AB|＝|AF1|＋|BF1|，所以△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|B

F1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a.故△ABF2的周长为4×5＝20.(2)由x216＋y29＝1，知a＝4，b＝3，c＝7，∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2，|F1F2|＝2c＝27，∴cos∠F1PF

2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1||PF2|＝12，∴∠F1PF2＝60°.方法归纳关于椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出|PF1|＋|PF2|＝2a，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．在

求解过程中要灵活运用勾股定理、正弦定理、余弦定理等．微点2求焦点三角形的面积例4已知点P是椭圆y25＋x24＝1上的一点，F1，F2分别是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积．解析：由椭圆的标准方程，知a＝5，b＝2，∴c＝a2－b2

＝1，∴|F1F2|＝2.又由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝25.在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2，即4＝(|

PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cos30°，即4＝20－(2＋3)|PF1|·|PF2|，∴|PF1|·|PF2|＝16(2－3)．∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝12×

16(2－3)×12＝8－43.状元随笔若本题以小题形式出现，则也可用焦点三角形的面积公式速解；记∠F1PF2＝θ，则S△F1PF2＝b2tanθ2.微点3几何最值问题例5已知椭圆C：x225＋y216＝1内有一点M(2,3)，F1，F2分别为椭圆的

左、右焦点，P为椭圆C上的一点，求：(1)|PM|－|PF1|的最大值与最小值；(2)|PM|＋|PF1|的最大值与最小值．(1)利用平面几何的知识即可找出最值点，求之即可；(2)利用椭圆的定义，将和

的最值转化为差的最值解决．解析：由椭圆方程知a＝5，F1(－3,0)，F2(3,0)．由于三角形两边之差小于第三边，如图，连接MF1并延长交椭圆于点P1，则P1是使|PM|－|PF1|取得最大值的点，于是(|PM|－|PF1|)

max＝|MF1|＝(2＋3)2＋(3－0)2＝34.|PM|－|PF1|＝－(|PF1|－|PM|)，则求|PM|－|PF1|的最小值，即求|PF1|－|PM|的最大值，延长F1M交椭圆于点P2，则P2是使|PF1|－|PM|

取得最大值的点，即|PM|－|PF1|取得最小值的点，于是(|PM|－|PF1|)min＝－|MF1|＝－34.(2)由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，则|PF1|＝10－|PF2|，所以|PM|＋|PF1|＝|PM|＋10－|PF2|＝10＋(|PM|－|

PF2|)，如图，连接MF2并延长交椭圆于点P3，则P3是使|PM|＋|PF1|取得最大值的点，于是(|PM|＋|PF1|)max＝10＋|MF2|＝10＋(2－3)2＋(3－0)2＝10＋10.|PM|＋|PF1|＝10－(|PF2

|－|PM|)，延长F2M交椭圆于点P4，则P4是使|PF2|－|PM|取得最大值的点，即|PM|＋|PF1|取得最小值的点，于是(|PM|＋|PF1|)min＝10－|MF2|＝10－10.状元随笔根据本例，我们可以得到如下结论：设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(

a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，Q(x0，y0)为椭圆内一定点，M为椭圆上任意一点，则(1)－|QF1|≤|MQ|－|MF1|≤|QF1|；(2)2a－|QF1|≤|MF2|＋|MQ|≤2a＋|QF1|.方法归纳解决椭圆最值问题的常见思

路1．与焦半径(椭圆上一点与焦点的距离称为焦半径)乘积有关的最值问题，一般利用椭圆的定义(两个焦半径的和为定值2a)，根据基本不等式求解，注意等号成立的条件．2．与|PF1|，|PF2|(P为椭圆上一点，F1，F2为椭圆的焦

点)的和、差有关的最值问题，一般利用平面几何知识，转化为三点共线问题求解．跟踪训练3(1)设F1，F2为椭圆y29＋x24＝1的两个焦点，P为椭圆上任一点，∠PF2F1为直角，则|PF1||PF2|＝________.解析：(1)由题意知

|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝25.且|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2∴|PF1|2＝(6－|PF1|)2＋20解得|PF1|＝143∴|PF2|＝43∴|PF1||PF2|＝72.答案：(1)72(2)已知椭圆x2

4＋y23＝1中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，则△PF1F2的面积为________．解析：(2)由x24＋y23＝1，可知a＝2，b＝3，所以c＝a2－b2＝1，从而|F1F2|＝2c＝2.在△PF1F2中，由余弦

定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos∠PF1F2，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|①由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4②联立①②可得|PF1|＝65.所以S△PF1F

2＝12|PF1||F1F2|sin∠PF1F2＝12×65×2×32＝335.答案：(2)335(3)已知F1，F2是椭圆x2100＋y264＝1的两个焦点，P为椭圆上一点，则|PF1|·|PF2|的最大值是__

______．解析：(3)依题意知a＝10，由椭圆定义有|PF1|＋|PF2|＝20，所以|PF1|·|PF2|≤|PF1|＋|PF2|22＝100，当且仅当|PF1|＝|PF2|时等号成立，故|PF1|·|PF2

|的最大值是100.答案：(3)100易错辨析忽略椭圆焦点位置的讨论致错例6已知椭圆的标准方程为x225＋y2m2＝1(m>0)，并且焦距为6，则实数m的值为________．解析：∵2c＝6，∴c＝3.当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝25，b2

＝m2.由a2＝b2＋c2，得25＝m2＋9，∴m2＝16，又m>0，故m＝4.当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝m2，b2＝25.由a2＝b2＋c2，得m2＝25＋9＝34，又m>0，故m＝34.综上可知，实数m的值为4或34.答案：4或34【易错警示】易错原因纠错心

得易错之处是认为焦点在x轴上，从而漏掉一解.涉及椭圆的标准方程的问题，如果没有明确地指出椭圆焦点的位置，一般都要分两种可能的情况进行讨论，不能想当然认为焦点在x轴上或y轴上去求解.