【文档说明】辽宁省辽南协作校2020届高三5月模拟考试数学（理）试题【精准解析】.doc，共(29)页，2.176 MB，由小赞的店铺上传

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2020年辽宁省辽南协作校高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2|log1Axx=,2|20Bxxx=−−,则BA=ð()A.（﹣∞,2）B.（﹣1,0]C.（﹣1,2）D.

（﹣1,0）【答案】B【解析】【分析】分别根据对数与二次不等式的运算求解集合,AB,进而求得BAð即可.【详解】∵集合2|log1|02Axxxx==,2|20|12Bxxxxx=−−=−,∴|10BAxx=−ð,故选：B

【点睛】本题主要考查了对数与二次不等式的求解以及集合的补集运算.属于基础题.2.已知5(0)2azai=+，若5zz=，则a=()A.1B.5C.3D.5【答案】A【解析】【分析】先把复数z进行化简，得到2z

aai=−，再根据共轭复数的概念求出z，然后直接计算即可求解.【详解】()()()52222aizaaiii−==−+−，∴225(2)()zzaa==+−，a＞0，解得1a=.故选：A【点睛】本题考查复数的共轭，以及复数的四则运算，属于简单题3.已知0

.3513()62abclog===，，，则()A.a＞b＞cB.c＞b＞aC.a＞c＞bD.b＞a＞c【答案】C【解析】【分析】根据指数的性质可得1a，102b，根据对数的性质可得112c，综合即可得

结果.【详解】∵0.30331=，∴1a，∵11110()()222=，∴102b，∵551log6log52=＞，且55log6log51=，∴112c，∴acb，故选：C.【点睛】本题主要考查了指数、对数值的大小比较，熟练掌握指数函

数和对数函数的单调性是解题的关键，属于基础题.4.某公司对旗下的甲、乙两个门店在1至9月份的营业额（单位：万元）进行统计并得到如图折线图.下面关于两个门店营业额的分析中，错误的是()A.甲门店的营业额折线图具有较好的对称性，故而营业额的平均值约为32万元B.根据甲门店的营业额折线图可知

，该门店营业额的平均值在[20，25]内C.根据乙门店的营业额折线图可知，其营业额总体是上升趋势D.乙门店在这9个月份中的营业额的极差为25万元【答案】A【解析】【分析】根据折线图依次判断每个选项：甲门店的营业额平均值远低于32万元，A错误，其他正确，得到答案.【详解】对于A，甲门店

的营业额折线图具有较好的对称性，营业额平均值远低于32万元，A错误.对于B，甲门店的营业额的平均值为12182128322524181619499++++++++=21.6，即该门店营业额的平均值在区间[20，25]

内，B正确.对于C，根据乙门店的营业额折线图可知，其营业额总体是上升趋势，C正确.对于D，乙门店在这9个月中的营业额最大值为30万元，最小值为5万元，则极差为25万元，D正确.故选：A.【点睛】本题考查了折线图，意在考查学生的识图能力和应用能力.5.著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时

少直观，形缺数时难入微数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，我们经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如某体育品牌的LOGO为，可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线，下列

函数中，其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是（）A.()522xxsinxfx−=−B.()cos22xxxfx−=−C.()cos522xxxfx−=−D.()522xxsinxfx−=−【答案】C【解析】【分析】判断函数的奇偶性，函数值

的正负确定正确选项．【详解】优美曲线关于y轴对称，为偶函数，B中函数cos()cos()2222()xxxxxxfxfx−−−−==−−=−为奇函数，排除，同理D中函数也是奇函数，排除，A，C都是偶函数，(0,)10x时，sin5()022xxxfx−=−，()c

os5022xxxfx−=−只有C满足优美曲线在0x=附近的正负，排除A．故选：C．【点睛】本题考查由函数图象选择函数解析式，解题时可通过研究函数的性质如奇偶性、单调性、对称性等排除一些选项，再根据函数值的正负，特殊

的函数值，函数值的变化趋势等排除一些选项，从而可得正确选项．6.已知函数()sin()(0)fxx=+的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于4，若()6，xRfxf，则正数的最小值为()A.6B.

56C.3D.4【答案】B【解析】【分析】由题意可知，函数()fx的半周期为4，故可求得4=，又由条件()6，xRfxf，推得6x=是()fx的一条对称轴，故而求得的表达式，由0，求得最后结果.【详解】∵函数()

sin()(0)fxx=+的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于4，∴1224=，∴4=，∴()sin(4)fxx=+，又∵()6，xRfxf，∴6x=是()fx的一条对称轴，∴462k

+=+，kZ，∴6，kkZ=−.∵0故令1k=，得56=为最小值.故选：B.【点睛】本题为考查“()sin()fxAxb=++的图像和性质”的基本题型，考查学生对三角函数相关性质的理解记忆，以及运用，为中等偏下难度题型.7.执

行如图所示的程序框图，若输入的10227,7305mn==，则输出的结果是（）A.1461B.2922C.4383D.7305【答案】A【解析】【分析】根据程序框图依次计算运行的,mn值，直到满足条件dn=

终止运行，输出d值.【详解】第一步：输入10227,7305mn==，得2922,,,7305,2922ddndnmn===；第二步：7305,2922mn==，得4383,,,4383ddndnm==；第

三步：4383,2922mn==，得1461,,,2922,1461ddndnmn===；第四步：2922,1461mn==，得1461,ddn==，输出1461d=.故选：A.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图.属于较易题.8.

抛物线C：24yx=的焦点为F，过F且斜率为3的直线l与抛物线C交于M，N两点，点P为抛物线C上的动点，且点P在l的左侧，则PMN面积的最大值为()A.3B.23C.233D.1639【答案】D【解析】【分析】易得直线l的方程为3(1)yx

=−，联立直线和抛物线的方程并结合抛物线的性质得出||MN；设与直线l平行的直线为：3yxm=+，当直线3yxm=+与抛物线相切时，P到直线l的距离有最大值，进而求得m的值，再求出直线l与直线333yx=+的距离，最后计算面积即可.【详解】由题

意可知直线l的方程为：3(1)yx=−，设11(,)Mxy，22(,)Nxy，代入抛物线的方程可得231030xx−+=，12103xx+=，由抛物线的性质可得121016||233MNxxp=++=+=，设与直线l平行的直线方程为：3yxm=+，代入抛物线的方程可

得223(234)0xmxm+−+=，当直线3yxm=+与抛物线相切时，P到直线l的距离有最大值，所以22(234)430mm=−−=，解得33m=，直线l与直线333yx=+的距离233d=，所以PMN面积的最大值为116231632339=，故选：D.【点睛】本题考查直线与抛

物线位置关系的应用，考查抛物线的性质，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.9.甲、乙两人进行飞镖比赛，规定命中6环以下（含6环）得2分，命中7环得4分，命中8环得5分，命中9环得6分，命中10环得10分（两人均

会命中），比赛三场，每场两人各投镖一次，累计得分最高者获胜.已知甲命中6环以下（含6环）的概率为13，命中7环的概率为14，命中8环的概率为16，命中9环的概率为16，命中10环的概率为112，乙命中各环对应的概率与甲相同，且甲、乙比赛互不干扰.若第

一场比赛甲得2分，乙得4分，第二场比赛甲、乙均得5分，则三场比赛结束时，乙获胜的概率为（）A.83144B.1116C.12D.718【答案】B【解析】【分析】若乙获胜，则第三场比赛乙至多比甲低一分.所以逐一分析乙得分时对应甲的各种情况，计算概率求和

即可.【详解】解：比赛结束，若乙获胜，则第三场比赛乙至多比甲低一分.当乙得2分时，甲得2分，1111339P==当乙得4分时，甲可得2分，4分，5分，211113434616P=++=当乙得5分

时，甲可得2分，4分，5分，6分，311111116346672P=+++=当乙得6分时，甲可得2分，4分，5分，6分，311111116346672P=+++=当乙得10分时，甲可得2分，4分，5分，6分，10分，41111212P==乙获胜的概率为：

12341116PPPPP=+++=.故选：B.【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率，考查学生分类讨论的思想，同时也考查学生的计算能力，属于中档题.10.在矩形ABCD中，4AB=，3BC=，沿矩形对角线BD将BCD折起形成

四面体ABCD，在这个过程中，现在下面四个结论：①在四面体ABCD中，当DABC⊥时，BCAC⊥；②四面体ABCD的体积的最大值为245；③在四面体ABCD中，BC与平面ABD所成角可能为3；④四面体ABCD的外接球的体

积为定值.其中所有正确结论的编号为()A.①④B.①②C.①②④D.②③④【答案】C【解析】【分析】对四个结论逐一分析判断，对于①，利用翻折前后BCDC⊥这个条件不变，易得BC⊥平面DAC，从而BCAC⊥；对于②，当平面BCD⊥平面ABD时，四面体ABCD的体

积最大，易得出体积；对于③，当平面BCD⊥平面ABD时，BC与平面ABD所成的角最大，即CBD，计算其正弦值可得出结果；对于④，在翻折的过程中，BD的中点到四面体四个顶点的距离均相等，所以外接球的直径恒为BD，体积恒为定值.【

详解】如图，当DABC⊥时，∵BCDC⊥，∴BC⊥平面DAC，∵AC平面DAC，∴BCAC⊥，即①正确；当平面BCD⊥平面ABD时，四面体ABCD的体积最大，最大值为111224343255=，即②正确；当平面BCD

⊥平面ABD时，BC与平面ABD所成的角最大，为CBD，而43sinsin523CDCBDBD===，∴BC与平面ABD所成角一定小于3，即③错误；在翻折的过程中，ABD和BCD始终是直角三角形，斜边都是BD，其外接球的球心永远是BD的中

点，外接球的直径为BD，∴四面体ABCD的外接球的体积不变，即④正确.故正确的有①②④.故选：C.【点睛】本题考查图形翻折的应用，解题关键是应抓住翻折前后的“不变量”和“变量”，进而分析计算，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养，属于常考题.11.已知1F、2F分别为双曲线22221(0

,0)yxabab−=的两个焦点，双曲线上的点P到原点的距离为b，且2112sin3sinPFFPFF??，则该双曲线的渐近线方程为（）A.22yx=B.32yx=C.2yx=D.3yx=【

答案】A【解析】【分析】本题首先可以结合题意绘出双曲线的图像，然后根据2112sin3sinPFFPFF??得出213PFPF=，根据双曲线的定义得出2PFa=，再然后根据22222PFPOOF+=得出290OPF?以及abHPc=，根据222HOHPOP+=得出2bHOc=，最后将P点

坐标代入双曲线22221yxab−=中，通过化简即可得出结果.【详解】设1F为双曲线的下焦点，2F为双曲线的上焦点，绘出双曲线的图像，如图，过点P作12PHFF⊥于点H,因为2112sin3sinPFFPFF??，所以2

13PHPHPFPF=?，213PFPF=，因为122PFPFa−=，所以2PFa=，因为双曲线上的点P到原点的距离为b，即POb=，且2OFc=，所以22222222PFPOabcOF+=+==，290OPF?，故221122OPPFOFHP创=创，abHPc=，因为22

2HOHPOP+=，所以2bHOc=，2,abbPcc骣琪-琪桫，将2,abbPcc骣琪-琪桫代入双曲线22221yxab−=中，即222221babccab−−=，化简得44

22baac-=，()44222baaab-=+，422420baba--=，424220bbaa--=，2222210bbaa骣骣琪琪-+=琪琪桫桫，解得222ba=或1−（舍去），2ba=，22ab=，则该双曲线的渐近线方程为22ayxxb=

=，故选：A.【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，考查双曲线定义以及等面积法的灵活应用，考查计算能力，考查化归与转化思想，考查数形结合思想，体现了综合性，是难题.12.已知函数()23cos2

cos1sincos2tan03cos21sincos2xxxxxfxxxxx+++=++−，则f（x）的最小值为（）A.33B.233C.533D.23【答案】C【解析】【分析】由三角函数恒等变换的应用可得函数()21tan0sin32fxxxx

=+，然后对函数求导，利用函数的单调性可得函数的最值.【详解】()23cos2cos1sincos2tan3cos21sincosxxxxxfxxxx+++=++−222cossin2

cos2sincos22222=tan23cos2sin2sincos222xxxxxxxxxx++++22sin2cos2sincossin2222=3coscos2sin2sincos

2222xxxxxxxxxx++++2cossincossinsincos11222222tantan+33coscossin2sinsincos222222xxxxxxxxxxxxxx+=++=++11tan3sincos22x

xx=+21tan0sin32xxx=+32222221sin2cos16coscos1()sin3cossin3cos3sincosxxxxfxxxxxxx−−+=+=−+=令32co

s(0,1),()61txgttt==−−+为减函数，且102g=所以当03x时，11,()02tgt，从而()0fx，当32x时，10,()02tgt，从而()0fx，故min53()33fxf==.故选：C.【点睛】本题考查三角函

数恒等变换的应用，考查利用导数研究函数的最值问题，考查学生分析问题的能力及计算能力，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知向量(,1)am=，(4,)bm=，向量a在b方向上的投影为5，则m=_____.【答案】2【解析】【

分析】由向量投影的定义列出关于m的方程求解即可.【详解】由题意可知：向量a在b方向上的投影为2224155416abmmmbmm+===++，两边平方，可得2225516mm=+，解得2m=−或2m=，当2m=−时，25516mm=−+，不符合题意，∴2m=.故答案为：2.【点睛

】本题主要考查平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于基础题.14.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知27a=，4b=，120A=，则c=______.【答案】2【解析】【分析】根据余弦定理

2222cosabcbcA=+−，列方程求解即可.【详解】由余弦定理2222cosabcbcA=+−，可得2c=，6c=−(舍).故答案为：2【点睛】此题考查根据余弦定理求三角形的边，关键在于熟练掌握公式，

准确求解方程.15.若2sin13sin2=，则22cos3sin2sin2+−=_____.【答案】-3【解析】【分析】利用二倍角公式化简2sinsin2，可求出tan2的值，将所求利用二倍角公式化简，再利

用齐次式求出结果即可.【详解】因为222sincos2cossin222sinsinsin222==，所以tan62=，则222224sin6sincos4tan6tan2cos3sin2222223

sinsintan222−+−++−===−.故答案为：3−.【点睛】本题考查三角函数的二倍角公式，考查齐次式的应用，属于基础题.16.在四棱锥P﹣ABCD中，P﹣BCD是底面边长为2的正三棱

锥，E为PC的中点，异面直线DE与BC所成角的余弦值为612，则正三棱锥P﹣BCD的侧棱长为_____；若AD⊥PD，AD⊥AB，AC＝_____.【答案】(1).4(2).7【解析】【分析】如图，记F为PB的中

点，点G为BC的中点，利用已知条件先找到异面直线所成角，再作平行四边形PDCQ，设PDa=，由“平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和”和cosFED得出a的值，再利用线面垂直和面面垂直关系得出四边形AB

GD为矩形，最后利用勾股定理即可得出结论.【详解】如图，记F为PB的中点，点G为BC的中点，则EF为PBC的中位线，所以1//,12EFBCEFBC==，则FED为异面直线DE与BC所成的角；作平行四边形PDCQ，设PDa=，由“平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和”，得2222

22DQPCPDCD+=+，即()22222222DEaa+=+，得282aDE+=；因为DEDF=，所以21612cos128EFFEDDEa===+，解得4a=；易证面PDG⊥面ABCD，ADPD

⊥，所以可推出AD⊥面PDG，可得ADDG⊥；因为,DGBCADAB⊥⊥，所以四边形ABGD为矩形，因为BCD的边长为2，所以3ABDG==，故()22237AC=+=.故答案为：4；7.【点睛】本题主要考查利用异面直线成角，平行四边形的两条对角线的平方和等于四

条边的平方和以及利用线面垂直和面面垂直关系解决问题.属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.设{an}是一

个首项为2，公比为q（q1）的等比数列，且3a1，2a2，a3成等差数列.（1）求{an}的通项公式；（2）已知数列{bn}的前n项和为Sn，b1=1，且1nnSS−−=1（n≥2），求数列{anbn}的前n项和Tn.【答案】（1）1*3,2nnNan=﹣；（2）()2132n

nTn=−+.【解析】【分析】（1）由题意结合等差数列、等比数列的性质可得4×2q=3×2+2q2，解方程后利用等比数列的通项公式即可得解；（2）由题意结合等差数列的判定与通项公式可得nSn=，利用nb与nS的关系可得*21,nnNbn=−，

进而可得()1*2213,nnnaNbnn−=−，再利用错位相减法即可得解.【详解】（1）因为3a1，2a2，a3成等差数列，所以4a2=3a1+a3，又{an}是一个首项为2，公比为q（q1）的等比数列，所以4×2q=3×2+2q2，解得q=3或q=

1（舍去），则*123,nnnNa−=；（2）由111Sb==，且()112nnSSn−−=，可得nS是首项和公差均为1的等差数列，所以11nSnn=+−=，所以2nSn=，可得n=1时，b1=S1

=1；2n时，()221121nnnbSSnnn−=−=−−=−，对于n=1时，该式也成立，则*21,nnNbn=−，所以()1*2213,nnnaNbnn−=−所以()212113353213nnTn−=++++−，()2332133353213

nnTn=++++−，两式相减可得()()212212333213nnnTn−−=++++−−()()()1313242213413413nnnnn−−=+−−=−−−−，所以()2

132nnTn=−+.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的综合应用，考查了数列na与nS的关系与错位相减法求数列前n项和的应用，牢记错位相减法对应的形式并且细心计算是解题关键，属于中档题.18.如图，在正四棱柱1111ABCDABCD−中，1AB=，13AA=，12B

EEB=，12AMMA=，N是棱11CD的中点，平面1AEC与直线1DD相交于点F.（1）证明：直线//MN平面1AECF.（2）求二面角EACF−−的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）63.【解析】【分析】（1）推导出1//CEAF，12DFFD=，设点G为1DF的中点，

连结GM，GN，推导出//GN平面1AECF，//GM平面1AECF，从而平面//MNG平面1AECF，由此能证明//MN平面1AECF．（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，1DD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角EACF−−的

正弦值．【详解】解：（1）证明：平面11//BBCC平面11AADD，平面1AECF平面111BBCCEC=，平面1AECF平面11AADDAF=，1//CEAF，由题意得12DFFD=，设点G为1DF的中点，连结GM，GN，NQ是棱11CD的中

点，1//GNFC，GN平面1AECF，1FC平面1AECF，//GN平面1AECF，12DFFD=，12AMMA=，//GMAF，GM平面1AECF，AF平面1AECF，//GM平面1AECF，GNGMG=，平面//MNG平面1AECF，MN平面MNG，

//MN平面1AECF．（2）解：1AB=，13DD=，如图，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，1DD为z轴，建立空间直角坐标系，(1A，0，0)，(0C，1，0)，(0F，0，1)，(1,E1，2)，(1AC=−，1，0)，(0AE=，1，2)，(1AF=−，0，1)，设平面

ACE的法向量(mx=，y，)z，则·0·20mACxymAEyz=−+==+=，取1z=，得(2m=−，2−，1)，设平面ACF的法向量(na=，b，)c，则·0·0nACabnAFac=−+==−+=，取1a=，得(1n=，1，1)，设二

面角EACF−−的平面角为，由|||221|3|cos|||||333mnmn−−+===，236sin1()33=−=，二面角EACF−−的正弦值为63．【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二

面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题．19.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的左、右焦点分别为1F、2F，直线35by=与椭圆C交于A、B两点，290AFB=，M为椭圆C上任

意一点，且12MFMF的最大值为16.（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的上顶点N作两条不同的直线，分别交椭圆C于另一点P和Q（异于N），若直线NP、NQ的斜率之和为6，证明直线PQ恒过定点，并求出定点的坐标.【答案】（1）221169xy+=，（2）直线PQ恒过定点()1,3−−

.【解析】【分析】（1）本题首先可以联立椭圆方程与直线方程求出A、B两点坐标，然后写出2FA与2FB，再然后根据290AFB=得出220FAFB=，化简得出34ab=，最后根据12MFMF的最大值为16即可求

出a、b的值并写出椭圆C的方程；（2）本题可以分为直线PQ的斜率存在以及直线PQ的斜率不存在两种情况进行分类讨论，当直线PQ的斜率存在时，首先可以设出直线PQ的方程并与椭圆方程联立，然后利用韦达定理求出12xx+、12xx，再然后根据直线NP、NQ的斜率之和为6即可求出3mk=-，最后

根据直线的点斜式方程得出直线PQ恒过定点()1,3−−；当直线PQ的斜率不存在时，首先设出直线PQ的方程以及P和Q两点坐标，然后根据椭圆的对称性得出120yy+=，再然后根据直线NP、NQ的斜率之和为6即可求出01x=−以及直线PQ恒过定点()1,3−−，最后综合两种情况，即可得出结果.【详解】（

1）联立方程2222135xyabby+==，解得4535xayb=−=或4535xayb==，不妨设43,55Aab骣琪-琪桫，43,55Bab骣琪琪桫，因为()2,0Fc，所

以243,55FAcab骣琪=--琪桫，243,55FBcab骣琪=-+琪桫，因为290AFB=，所以2222216902525FAFBcab?-+=，化简得22916ab=，即34ab=，因为212212162MFMFMFMFa骣+琪祝==琪桫，所以4a=，3b=，故椭圆C的

方程为221169xy+=，（2）当直线PQ的斜率存在时：显然斜率不为0，否则直线NP、NQ的斜率之和为0，不符合题意，设直线PQ的方程为()0,3ykxmkm=+构，()11,Pxy，()22,Qxy，联立221169ykxmx

y=++=，得()22291632161440kxkmxm+++-=，则12232916kmxxk+=−+，212216144916mxxk-=+，因为直线NP、NQ的斜率之和为6，()0,3N，所以()121212123323

6kxmkxmxxkmxxxx+-+-++=+-=，代入12232916kmxxk+=−+，212216144916mxxk-=+，即()23223616144kmkmm--?-，化简得3mk=-，故

直线PQ的方程为3ykxk=+−，即()31ykx+=+，恒过定点()1,3−−，当直线PQ的斜率不存在时：设直线PQ的方程为0xx=，()01,Pxy，()02,Qxy，其中120yy+=，因为直线NP、NQ的斜率之和为6，()0,3N，所以1212000033666

yyyyxxxx--+--+===，解得01x=−，恒过定点()1,3−−，综上所述：直线PQ恒过定点()1,3−−.【点睛】本题考查椭圆方程的求法以及椭圆中直线过定点问题，考查向量垂直的相关性质，考查基本不等式以及韦达定理的灵活应用，考查椭圆与直线相交的相关问题的求解，考查

直线斜率的相关性质，考查化归与转化思想，考查计算能力，是难题.20.2020年4月8日零时正式解除离汉通道管控，这标志着封城76天的武汉打开城门了.在疫情防控常态下，武汉市有序复工复产复市，但是仍然不能麻痹大意仍然要保持警惕，严密防范、慎终如始.为科学合理地做好小区管理

工作，结合复工复产复市的实际需要，某小区物业提供了A，B两种小区管理方案，为了决定选取哪种方案为小区的最终管理方案，随机选取了4名物业人员进行投票，物业人员投票的规则如下：①单独投给A方案，则A方案得1分，B方案得﹣1分；②单独投给B方案，则B方案得1

分，A方案得﹣1分；③弃权或同时投票给A，B方案，则两种方案均得0分.前1名物业人员的投票结束，再安排下1名物业人员投票，当其中一种方案比另一种方案多4分或4名物业人员均已投票时，就停止投票，最后选取得分多的方案为

小区的最终管理方案.假设A，B两种方案获得每1名物业人员投票的概率分别为23和12.（1）在第1名物业人员投票结束后，A方案的得分记为ξ，求ξ的分布列；（2）求最终选取A方案为小区管理方案的概率.【答案】（1）分布列见解析；（2）181324.【解析】【分析】(1)由题

意知，ξ的所有可能取值为﹣1，0，1，然后，列出ξ的分布列即可(2)记M1表示事件“前2名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，记M2表示事件“前3名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，记M3表示

事件“共有4名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，记选取A方案为小区管理方案的概率为P，然后分别求出()1PM，()2PM，()3PM的值，则选取A方案为小区管理方案的概率为：()()()123PPMPMPM

=++，然后计算求解即可.【详解】（1）由题意知，ξ的所有可能取值为﹣1，0，1，P（ξ=﹣1）=（123−）1126=，P（ξ=0）2111132322=+=，P（ξ=1）2111323=−=，∴ξ的

分布列为（2）记M1表示事件“前2名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，由（1）知，()()22111[1]()39PMp====，记M2表示事件“前3名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，()()()12222111[1]02()

329PMCPP=====，记M3表示事件“共有4名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，①若A方案比B方案多4分，有两类：第一类，A方案前三次得了一次1分两次0分，最后一次得1分，其概率为()()122311]0]12CPP===；第二类，

A方案前两次得了一次1分一次﹣1分，后两次均得1分，其概率为()()13211[1]81CPP=−==，②若A方案比B方案多2分，有三类：第一类，A方案四次中得了一次1分，其他三次全0分，其概率

为()()1341[0]16CPP===；第二类，A方案前三次得了一次1分，一次0分，一次﹣1分，最后一次得了1分，其概率为()()()3231[1]0118APPP===−=；第三类，A方案前两次得了一次1分一次﹣1分，第三次得1分，

第四次得0分，其概率为()()()1221[1]0154CPPP===−=.故()311111109128161854324PM=++++=，∴最终选取A方案为小区管理方案的概率为()()()1231110918199324324PP

MPMPM=++=++=.【点睛】本题考查离散随机变量的分布列问题，属于中档题.21.已知函数()()26xfxxxae=−+.（1）若曲线()yfx=在()()0,0f处的切线与直线50xy+=平行，求()fx的单调区间；（2）当11a=

时，若()()()()12'''12fxfxfmm+=，且12xx，证明：122xxm+.【答案】（1）()fx的单调递增区间为()(),1,5,−−+；单调递减区间为()1,5−；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意先求出a的值，再利用导函数分析函数的单调性，即可得出结论；（

2）先代入数值求导，构造函数()()245xgxxxe=−+，求导得出()gx的单调性，整理已知条件，再次构造函数()()()()()221hxfmxfxfmmx=−+−，求导分析函数的单调性，利用单调性整理即可得出结论.【详解】（1）()()26x

fxxxae=−+，()()246xfxxxae=−+−，则()065,1faa=−=−=，()()()()24515xxfxxxexxe=−−=+−，令()0fx，得1x−或5x；令()0fx，得15x−；所以()fx的单调递增区间为()(),

1,5,−−+；单调递减区间为()1,5−；（2）证明：()()2611xfxxxe=−+，()()245xfxxxe=−+，令()()245xgxxxe=−+，则()()210xgxxe=−，所以()gx在R上为增函数；()()()()12'''1

2fxfxfmm+=，()()()()12''''fxfmfmfx−=−，()()1''fxfm−与()()2''fmfx−同号，不妨设12xmx，设()()()()()221hxfmxfxfmmx=−+−，则

()()()222211mxxhxemxex−=−−−+−，2mxxee−，()()()()2221122220mxxmmx−−−−=−−，()0hx，()hx在(),m+上为增函数，()()0hxhm=，()()()()222220hxfmx

fxfm=−+−，()()()()22122fmxfmfxfx−−=，又()fx在R上为增函数，212mxx−，即122xxm+.【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调区间以及构造函数

证明不等式问题.考查了学生分析问题和解决问题的能力，做题时要注意对条件的利用.属于较难题.选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方

程22.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线1C的参数方程为114cos(114sinxy=−+=+为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为4cos=．曲线3C的极坐标方程为2318sin=+，

曲线1C与曲线2C的交线为直线l．（1）求直线l和曲线3C的直角坐标方程；（2）直线l与x轴交于点M，与曲线3C相交于A，B两点，求11MAMB−的值．【答案】（1）l：360xy−−=，3C：2219xy+=；（2）655．【解析】【分析】（1）直接利用转化公式求解即可；（2）利用一

元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．【详解】解：（1）已知曲线1C的参数方程为114cos(114sinxy=−+=+为参数），转换为直角坐标方程为22(1)(1)14xy++−=①，曲线2C的极坐标方程为4cos=，整理得24cos=，根据222c

ossinxyxy=+==转换为直角坐标方程为22(2)4xy−+=②，∴①②两个方程相减得公共弦所在直线l的方程为360xy−−=，曲线3C的极坐标方程为2318sin=+，根据222cossinxyxy=+==

转换为直角坐标方程为2219xy+=；（2）直线l与x轴交于(2,0)M，∴直线l的参数方程为10210(31010xttyt=+=为参数），代入到2219xy+=，得241210250tt−−=，∴1221041tt+=，122541tt=−，故12

1111||||MAMBtt−=−1212tttt−=2121212()4||tttttt+−=222104100()41412541+=24500412541=30525=655=．【点评】本题主要考查极坐

标方程与直角坐标方程的互化，考查参数方程和普通方程的互化，考查直线的参数方程的应用，考查转化与化归思想，考查计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲23.设函数()21|1|fxxx=−−−.（1）求不等式()3fx的解集；（2）若方程2()fxxa

x=+有两个不等实数根，求a的取值范围.【答案】（1）(,3)−；（2）()()0223−++，，.【解析】【分析】（1）函数()fx写成分段函数的形式，分类讨论不等式的解集取并集即可；（2）方程2()fxxax=+有两

个不等实数根等价于2211xxxax−+−−−=有两个不等实数根，利用基本不等式求出当x＜0时23xx−−+的范围，然后数形结合求出a的取值范围.【详解】（1）321()21|1|1xxfxxxxx−=−−−=，，，∵()3fx，∴3231xx−或31xx

，∴1x或13x，即3x，∴不等式的解集为(,3)−；（2）方程2()fxxax=+，即221|1|xxxax−−−=+，显然0x=不是方程的根，故2211xxxax−+−−−=，令)()()211211()23001xxxxxgxxxxx−+−+−−−==−−+−

，，，，，，当x＜0时，2233223xxxx−−+=−+++−，当且仅当2x=−时取等号，作出()gx的图象，如图所示：∵方程2()fxxax=+有两个不等实数根，∴由图象可知()()0223a−++，，.【点

睛】本题考查绝对值不等式的解法、根据方程的根的个数求参数的取值范围、分段函数的图象与性质，属于中档题.