【文档说明】上海市浦东新区2020届高三二模考试数学试题 【精准解析】.doc，共(24)页，1.975 MB，由小赞的店铺上传

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浦东新区2019学年度第二学期期中教学质量监测高三数学试卷一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1.设全集0,1,2U=，集合0,1A=，则

UCA=________．【答案】2【解析】【分析】由补集的运算法则可得解.【详解】0,1,2,0,1UA==2UCA=故答案为：2【点睛】本题考查了补集的运算，属于基础题.2.某次考试，5名同学的

成绩分别为：96,100,95,108,115，则这组数据的中位数为___．【答案】100【解析】【分析】数据个数为奇数时，中位数为从小到大排列后中间的那一个数字.【详解】5名同学的成绩由小到大排序为：95,96,100,108,115，这组数据的中位数为100.故答案为：100【点睛】

本题考查了一组数据中中位数的求法，属于基础题.3.若函数()12fxx=，则()11f−=__________．【答案】1【解析】【分析】由()12fxx=可得：()12,0fxxx−=，问题得解.【详解】由()12fxx=可得：()

12,0fxxx−=()12111f−==故答案为：1【点睛】本题考查了反函数的求法，属于基础题.4.若1i−是关于x的方程20xpxq++=的一个根（其中i为虚数单位，,pqR），则pq+=__________．【答案】0【解析】【分析】直接利用实

系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数关系求解.【详解】1i−是关于x的实系数方程20xpxq++=的一个根，1i+是关于x的实系数方程20xpxq++=的另一个根，则(1)(1)2pii−=−++=，即2p=−，2(1)(1)12qiii=−+=−=，0pq+=.故答案为：0【点睛】本题考

查了一元二次方程的虚根特征和虚数的运算,考查了计算能力，属于中档题.5.若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比为．【答案】1:8【解析】试题分析：由求得表面积公式24SR=得半径比为1:2，由体积公式343VR=可知体积

比为1:8考点：球体的表面积体积6.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为1xtyt=−=（t为参数），圆O的参数方程为cossinxy==（为参数），则直线l与圆O的位置关系是_____

___．【答案】相交【解析】【分析】由已知可得：直线l的标准方程为10xy−+=，圆O的标准方程为221xy+=，再计算出圆心到直线的距离22dr=<，问题得解.【详解】由直线l的参数方程1xtyt=−=，可得：直线l的标准方程为：10xy−+=，由圆O的参数方程cossinxy

==，可得：圆O的标准方程为：221xy+=，圆心为(0,0)，半径1r=圆心为(0,0)到直线l的距离2212121(1)d==<+-则直线l与圆O的位置关系是相交.故答案为：相交【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的转化，考

查了直线与圆的位置关系，属于中档题.7.若二项式()412x+展开式的第4项的值为42，则()23limnnxxxx→++++=__．【答案】15【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式，得：3344(2)4

2xTC==，解得16x=，再由等比数列求和公式，得：2311156nnxxxx=−++++，从而极限可求.【详解】由已知可得：3344(2)42xTC==，即33(2)22xx==，解得16x=，2311166(1)

111115616nnnnxxxxxxx−+++−===−−−+，()231111565limlimnnnnxxxx→→+++−=+=.故答案为：15【点睛】本题考查了二项式定理，等比数列求和公式以及

求极限，考查了计算能力，属于中档题.8.已知双曲线的渐近线方程为yx=，且右焦点与抛物线24yx=的焦点重合，则这个双曲线的方程是____________.【答案】22221xy−=【解析】【分析】由已知可得双曲线的右焦点为(1,0)，即1c=，由双曲线

的渐近线方程为yx=，可设其方程为：22,0xy−=，再由222+=abc可得：1+=，求出，问题得解.【详解】抛物线24yx=的焦点为：(1,0)双曲线的右焦点为：(1,0)，即1c=双曲线的渐近线方程为yx=，双曲线的方程可设为：22,0xy−=，

即221xy−=，22ab==由222+=abc可得：1+=，12=，双曲线的方程是22221xy−=.故答案为：22221xy−=【点睛】本题考查了双曲线的标准方程和其渐近线方程，关键是掌握共渐近线的曲双线

方程的设法，属于中档题.9.从m（Nm且4m≥）个男生、6个女生中任选2个人当发言人，假设事件A表示选出的2个人性别相同，事件B表示选出的2个人性别不同．如果A的概率和B的概率相等，则m=_____________．【答案】10【解析】

【分析】从m个男生、6个女生中任选2个人当发言人,共有26mC+种情况，事件A表示选出的2个人性别相同，共有226mCC+情况，事件B表示选出的2个人性别不同，共有116mCC情况，由已知可得：2211662266mmmmCCCCCC+++=，即221166mmCCCC+

=，解之即可.【详解】从m个男生、6个女生中任选2个人当发言人,共有26mC+种情况，事件A表示选出的2个人性别相同，共有226mCC+情况，事件B表示选出的2个人性别不同，116mCC情况()()PAPB=，2211662266mmmmCCCCCC+++=2211

66mmCCCC+=，即(1)65622mmm−+=整理，得：213300mm−+=，即(3)(10)0mm−−=Nm且4m≥，10m=故答案为：10【点睛】本题考查了概率计算和组合数及其计算，考查了计算能力和分析能力，属于中档题.10.已知函数()()222log22f

xxaxa=+++−的零点有且只有一个，则实数a的取值集合为________．【答案】1【解析】【分析】由已知可得：()fx为R上的偶函数，又函数()fx的有且只有一个零点，所以()00f=，由此可得：2log220aa+−=，解得1a=【详解】显然，由()()222

log22fxxaxa=+++−，可得：()()fxfx=−，()fx\为R上的偶函数.函数()fx的有且只有一个零点，()0=0f由此可得：2log220aa+−=，解得1a=故答案为：1【点睛】本题考查了偶函数的对称性，属

于中档题.11.如图，在ABC中，3BAC=，D为AB中点，P为CD上一点，且满足13tACABAP=+，若ABC的面积为332，则AP的最小值为__________.【答案】2【解析】【分析】设,ABACmn==，由133

sin22BAABACC=，可得：6mn=再由1233tACABtACAAPD=++=，可得：13t=，则2221123393mnAPACAB+=+=+，最后由222mnmn+可得解.【详解】设,ABA

Cmn==ABC的面积为332，1sin2ABACSBAC=1333222mn==6mn=D为AB中点，2ABAD=1233tACABtACADAP+==+又C、P、Q三点共线，213t+=，即13t

=1133APACAB=+则()2222911112=3399APACABACABACAB=+++22112=cos999ACABACABBAC++222211212=992993mnmnmn+++=+2222229393mnmnAP+=++=当且仅当6

mn==时取得最小值.【点睛】本题考查了向量的模的运算和数量积运算及三角形的面积公式，考查了计算能力，属于中档题.12.已知数列,nnab满足111ab==，对任何正整数n均有221nnnnnaab

ab+=+++，221nnnnnbabab+=+−+，设113nnnncab=+，则数列nc的前2020项之和为_____________.【答案】202133−【解析】【分析】由已知得：()112+nnnnabab+++=，2,nnnabnN+=；11n

nab++=2nnab，12,nnnabnN−=，由此可得：12333nnnnc+==−，再由等比数列求和公式可得解.【详解】221nnnnnaabab+=+++①，221nnnnnbabab+=+−+②两式相

加可得：()2211222+nnnnnnnnnnnnabababaababb+++++++−+=+=，nnab+是公比为2的等比数列，首项112ab+=2,nnnabnN+=两式相乘可得：()()222211nnnnnnnnnnababababab++=++++

−+()22222nnnnnnababab=++=−nnab是公比为2的等比数列，首项111ab=12,nnnabnN−=113323nnnnnnnnnnabcabab+=+==，由等比数列求和公式，得：()2020202120

206133313S−==−−故答案为：202133−【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，考查了转化能力和计算能力，属于中档题.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在

答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13.若x、y满足010xyxyy−+，则目标函数2zxy=+的最大值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】作出可行域和目标函数，找到目标函数取最大值的最优解即可.【详解】由已知

，可作出满足条件的可行域和目标函数如下：由图可知目标函数2yxz=−+中z取最大值的最优解为：(1,0)max22zxy=+=.故选：B【点睛】本题考查了线性规划求线性目标函数的最值问题，考查了数形结合思想，属于中档题.14.如图，正方体1111A

BCDABCD−中，E、F分别为棱1AA、BC上的点，在平面11ADDA内且与平面DEF平行的直线（）A.有一条B.有二条C.有无数条D.不存在【答案】C【解析】【分析】易知当//lDE时即可满足要求，所以存在无数条.【详解】若l平面11ADD

A，使得//lDE，又DE平面DEF，l平面DEF，//l平面DEF，显然满足要求的直线l有无数条.故选：C【点睛】本题考查了线面平行的判定，属于基础题.15.已知函数()coscosfxxx=.

给出下列结论：①()fx是周期函数；②函数()fx图像的对称中心+,0)()2（kkZ；③若()()12fxfx=，则()12xxkkZ+=；④不等式sin2sin2cos2cos2xxxx的解集为15,88xkxkkZ++.则正确结论的序号是（）A.①②

B.②③④C.①③④D.①②④【答案】D【解析】【分析】由()()2fxfx+=，可知()fx是周期为2的函数，当22x−时，()11cos222fxx=+；当322x时，()11cos222fxx=−−，画出()fx在一个周期3,22−

内的函数图象，通过图象去研究问题.【详解】()()()()2cos2cos2coscosfxxxxxfx+=++==()fx是周期为2的函数，①正确；当22x−时，cos0

x，()211coscos222fxxx==+当322x时，cos0x，()211coscos222fxxx=−=−−可以画出()fx在一个周期3,22−内的函数图象，如下由图可知：函

数()fx的对称中心为+,0)()2（kkZ，②正确；函数()fx的对称轴为,xkkZ=若()()12fxfx=，则122xxk+=，即()122xxkkZ+=，③错误；sin2sin2cos2cos2cos2cos22222xxxxxx

=−−=−−不等式sin2sin2cos2cos2xxxx等价于：()222fxfx−由图可知：52+2,+2,

44xkkkZ解得15,,88xkkkZ++，④正确.故选：D.【点睛】本题考查了诱导公式，降幂公式及三角函数的性质，考查了数形结合思想，属于难题.16.设集合1,2,3,...,2020S=，设集合A是

集合S的非空子集，A中的最大元素和最小元素之差称为集合A的直径.那么集合S所有直径为71的子集的元素个数之和为（）A.711949B.7021949C.702371949D.702721949

【答案】C【解析】【分析】先考虑最小元素为1，最大元素为72的情况：1,72只有1种情况；1,,72,271aa且aZ，共有170C种情况；1,,,72,2,71bcbc且,bcZ，共有种270C情况；以此类推……1,2,3,,7

1,72，有1（7070C）种情况.所以，此类满足要求的子集元素个数之和012697070707070702347172MCCCCC=+++++，计算可得：70372M=.再思考可以分为1,,72,2,,

73,3,,74,4,,75,1949,,2020等1949类，问题可得解.【详解】当最小元素为1，最大元素为72时，集合有如下情况：集合只含2个元素：1,72只有1种情况；集合含有3个元素：1,,72,271aa且aZ，共有170C种情况；集合含有4个元素：

1,,,72,2,71bcbc且,bcZ，共有270C种情况；以此类推……集合含有72个元素：1,2,3,,71,72，有（7070C）种情况.所以，此类满足要求的子集元素个数之和M为：012697070707070702347172,MCC

CCC=+++++①70696810707070707072717032,MCCCCC=+++++②707070,070,rrCCrrZ−=①②两式对应项相加，得：()0126970707070707070274742M

CCCCC=+++++=70372M=同理可得：2,,73,3,,74,4,,75,1949,,2020,所有子集元素个数之和都是70372，所以集合S所有直径为71的子集的元素个数之和为702371

949.故选：C【点睛】本题考查了集合的子集个数和组合数及其计算，考查了分类讨论思想，属于难题.三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步

骤．17.如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴顺时针旋转120得到的．（1）求此几何体的体积；（2）设P是弧EC上的一点，且BPBE⊥，求异面直线FP与CA所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【答案】（1）83（2）6

2arccos4+【解析】【分析】（1）先算底面积212EBCSr=扇形，再由VSh=算出体积；（2）以点B为坐标原点建立空间直角坐标系，用空间向量法算出cosFPACFPAC=，即可得解.【详解】（1）由已知可得：2

2112422233EBCSr===扇形．48233VSh===．（2）如图所示，以点B为坐标原点建立空间直角坐标系Bxyz−，则()0,0,2A，()2,0,2F，()0,2,0P，()1,3,0C−，所以，()2,2,2FP=−−，()1,

3,2AC=−−.设异面直线FP与CA所成的角为，则cosFPACFPAC=()()()()()()()()()222222212322222132−−++−−=−++−−++−624+=

所以，异面直线FP与CA所成角为62arccos4+=.【点睛】本题考查了柱体体积计算和空间向量法计算异面直线的夹角，考查了计算能力，属于中档题.18.已知锐角、的顶点与坐标原点重合，始边与x轴正方向重合，终边与单位圆分别交于P、Q两点，若P、Q两点的横坐标分别为310

25105、．（1）求()cos+的大小；（2）在ABC中，abc、、为三个内角、、ABC对应的边长，若已知角C=+，3tan4A=，且22abcc=+，求的值．【答案】（1）22（2）

1=2−【解析】【分析】（1）由已知得：31025cos,cos105==，故而10sin10=，5sin5=，再由cos(+)coscossinsin=−可得解.（2）由（1）得：4C=+=，所以22cos,sin22CC==，由3tan4A=可得34sin,cos5

5AA==，再由sinsin()BAC=+可得72sin10B=，最后由正弦定理可得：2222sinsin=sinsinacACbcBC−−=，问题得解.【详解】（1）由三角函数定义，得：31025cos,cos105==、为

锐角，210sin1cos10=−=，2sin1c55os=−=cos(+)coscossinsin=−3102510521051052=−=（2）由2cos(+)2=，、为锐角，得：4C=+=，22cos,sin22CC==由3tan4A=，

得sin3cos4AA=，又22sincos1AA+=，解得34sin,cos55AA==sinsin()sin()BACAC=−+=+sincoscossinACAC=+324272525210=+=由正弦定理可得：222291sinsin1252=si

nsin5722102acACbcBC−−−===−【点睛】本题考查了三家函数定义及正余弦和的展开公式，考查了正弦定理边化角的技巧，考查了计算能力，属于中档题.19.疫情后，为了支持企业复工复产，

某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列两个条件：①补助款()fx（万元）随企业原纳税额x（万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额x（万元）的50%．经测算政府决定采用

函数模型()44xbfxx=−+（其中b为参数）作为补助款发放方案．（1）判断使用参数12b=是否满足条件，并说明理由；（2）求同时满足条件①、②的参数b的取值范围．【答案】（1）当12b=时不满足条件②，见解析（2）939

,44−【解析】【分析】（1）因为当12b=时，()33342f=，所以不满足条件②；（2）求导得：()2221444bxbfxxx+=+=，当0b时，满足条件①；当0b时，()fx在)2,b

−+上单调递增，所以23b−.由条件②可知，()2xfx，即44xbx+，等价于()2211481644bxxx−+=−−+在3,6上恒成立，问题得解.【详解】（1）因为当12b=时，()33

342f=，所以当12b=时不满足条件②.（2）由条件①可知，()44xbfxx=−+在3,6上单调递增，()2221444bxbfxxx+=+=所以当0b时，()0fx¢³满足条件；当0b时，由()0fx¢=可得2xb=−当)2,x

b−+时()0fx¢³，()fx单调递增，23b−，解得904b−，所以94b−由条件②可知，()2xfx，即不等式44xbx+在3,6上恒成立，等价于()2211481644bxxx

−+=−−+当3x=时，()218164yx=−−+取最小值394394b综上，参数b的取值范围是939,44−．【点睛】本题考查了导数求函数单调性以及恒成立问题，考查了转化思想，属于中档题.20.在平面直角坐标系xOy中，1F，2F分别是椭圆()22210xy

aa+=：的左、右焦点，直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且1222AFAF+=.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线l经过椭圆的右焦点2F，,PQ是椭圆上两点，四边形ABPQ是菱形，求直线l的方程；（3）已知直线l不经

过椭圆的右焦点2F，直线2AF，l，2BF的斜率依次成等差数列，求直线l在y轴上截距的取值范围.【答案】（1）2212xy+=（2）220xy−=（3）(,2)(2,)−−+【解析】【分析】（1）由已知得：222a=，问题得解；（

2）由已知可得：OAOB⊥，设直线l方程为：1xmy−=，()11,Axy,()22,Bxy，与椭圆方程2212xy+=联立可得：22(2)210mymy++−=，由韦达定理，得：12222myym+=−+，12212yym=−+，最后由0OAOB=，可得：1212xxyy+21212

(1)()10myymyy=++++=，代入解方程即可；（3）设直线l方程为：ykxb=+，由已知可得：1212211yykxx+=−−，即1212211kxbkxbkxx+++=−−，化简得：12()(2)0bk

xx++−=，有已知可得:122xx+=，联立直线与椭圆方程得：222(21)4(22)0kxkbxb+++−=，由228(21)0kb=−+，和1224221kbxxk+=−=+可求b的取值范围.【详解】（1）由12+2

2AFAF=可得：222a=，从而2a=，所以椭圆方程为2212xy+=.（2）由于四边形ABPQ是菱形，因此//ABPQ且||||ABPQ=.由对称性，1F在线段PQ上.因此，,APBQ分别关于原点对称

；并且由于菱形的对角线相互垂直，可得APBQ⊥，即OAOB⊥.设直线l方程为：1xmy−=，且()11,Axy,()22,Bxy与椭圆方程2212xy+=联立可得：22(2)210mymy++−=，12222myym+=−+，12212yym=−+，由0OAOB=，可得：12121

212(1)(1)xxyymymyyy+=+++21212(1)()1myymyy=++++2222121022mmmm+=−−+=++解得22m=，即直线方程为220xy−=.（3）设直线l方程为：ykxb=+，()()()11222,,,,1,0A

xyBxyF，由已知可得：1212211yykxx+=−−，即1212211kxbkxbkxx+++=−−.1212122()()22(1)(1)kxxbkxxbkxx+−+−=−−，化简得：12()(2)0bkxx++−

=.若0bk+=，则:lykxk=−经过2F，不符合条件，因此122xx+=.联立直线与椭圆方程得：222(21)4(22)0kxkbxb+++−=.因为228(21)0kb=−+，即22210kb−+①由1224221kbxxk+=−=+得：2212kbk

+=−②将②代入①得：222212102kkk+−+，解得：212k令()12fkkk=−−，则()222112122kfkkk−=−+=当212k时，()0fk，()12fkkk=−−在2,

2−−或2,2+上单调递减，()222fkf−=或()222fkf=−所以b的取值范围为：(,2)(2,)−−+.【点睛】本题考查了椭圆与直线的综合性

问题，关键是联立方程组，用韦达定理进行求解，考查了分析能力和计算能力，属于难题.21.若数列na对任意连续三项12,,iiiaaa++，均有()()2210iiiiaaaa+++−−，则称该数列为“跳跃数列”.（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列：①等差数列：1,2,3,4,5,；②

等比数列：11111,,,,24816−−；（2）若数列na满足对任何正整数n，均有11nanaa+=()10a.证明：数列na是跳跃数列的充分必要条件是101a.（3）跳跃数列na满足对任意正整数n均有21195nnaa+−=，求首项1a的取值范

围.【答案】（1）①等差数列：1,2,3,4,5,...不是跳跃数列；②等比数列：11111,,,,,...24816−−是跳跃数列.（2）证明见解析（3）()()12,23,21a−U【解析】【分析】（1）①数列通项公式为nan=，计算可得：()()221

20iiiiaaaa+++−−=−，所以它不是跳跃数列；②数列通项公式为：112nna−=−，计算可得：()()222191042iiiiiaaaa+++−−=−，所以它是跳跃数列；（2）必要性：若11a，则

na是单调递增数列，若11a=，na是常数列，均不是跳跃数列；充分性：用数学归纳法证明证明，1n=命题成立，若nk=时2121222221,kkkkkkaaaaaa−+++，可得：222423kkkaaa+++，所以当1nk=+时命题也成立；（3）有已知可得：21nn

aa++−()()221519195125nnnnaaaa=−−−−，2nnaa+−()()()2123195125nnnnaaaa=−−−−，若1nnaa+，则12nnnaaa++，解得5101,22na−；若1nnaa+，则12nnnaaa++，解得51013,2

na+，由5101,22na−，则151013,2na++，得()2,2na−；当51013,2na+，则()12,2na+−，得()3,21na，问题得解.【详解】（1）①等差数列：1,2,3

,4,5,通项公式为：nan=()()221(2)2(1)20iiiiaaaaiiii+++−−=−++−+=−所以此数列不是跳跃数列；②等比数列：11111,,,,,24816−−通项公式为：112nna−=−()()1112221111

1910222242iiiiiiiiiaaaa−+++++−−=−−−−−−=−所以此数列是跳跃数列（2）必要性：若11a，则na是单调递增数列，不是跳跃数列；若11a=，na是常数列，不

是跳跃数列.充分性：（下面用数学归纳法证明）若101a，则对任何正整数n，均有2121222221,nnnnnnaaaaaa−+++成立.①当1n=时，112111aaaaa==，213112aaaaaa==，1212131111,aaaaaaaa=

==Q，231aaa321231111342,,aaaaaaaaaaaaQ，所以1n=命题成立②若nk=时，2121222221,kkkkkkaaaaaa−+++，则22221212322,kkkaaakkkaaaaaa+++++

，212322222423,kkkaaakkkaaaaaa++++++，所以当1nk=+时命题也成立，根据数学归纳法，可知命题成立，数列满足()()2210iiiiaaaa+++−−，故na是跳跃数列.（3）21195nnaa+−=()222212

191919251919555125nnnnaaaa++−−−−−===()22221192519191255nnnnaaaa++−−−−=−()()221519195125nnnnaaaa=−−−−()222192519125nnnnaaaa+−−−=−()(

)()2123195125nnnnaaaa=−−−−①若1nnaa+，则12nnnaaa++，()()()()()222151919501251231950125nnnnnnnnaaaaaaaa−−−−−−−−解得5101,22na−；②若1n

naa+，则12nnnaaa++，()()()()()222151919501251231950125nnnnnnnnaaaaaaaa−−−−−−−−解得51013,2na+；若5101,22na−，则211951013,

52nnaa+−+=，所以()2,2na−，若51013,2na+，则()21192,25nnaa+−=−，所以()3,21na，所以()()12,23,21a−U，此时对任何正整数n，均有()()2,23,21na−U

【点睛】本题考查了与数列相关的不等式证明，考查了数学归纳法，考查了分类与整合思想，属于难题.