【文档说明】新教材数学人教A版必修第一册教案：3.3幂函数 含解析【高考】.docx，共(13)页，511.425 KB，由小赞的店铺上传

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1第三章函数的概念与性质3．3幂函数[目标]1.记住幂函数的定义，熟悉α＝1,2,3，12，－1时幂函数的图象及性质；2.记住幂函数的性质，并会用性质解决有关问题．[重点]幂函数的定义、图象和性质．[难点]利用幂函数的性质解决

有关问题．知识点一幂函数的概念[填一填]一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．[答一答]1．下列函数：①y＝2x3；②y＝x2＋1；③y＝(x＋1)3是幂函数吗？提示：它们都不满足幂函数的定义，所以都不是幂函数．知识点

二幂函数的图象[填一填]五种常见幂函数的图象幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝的图象如下图．2[答一答]2．幂函数y＝xα的图象在第一象限内有何特征？提示：(1)α>1，图象过点(0,0)，(1,1)，下凸递增，如y＝x2.(2)0<α<1，图象过点(0,0)，(1,1)

，上凸递增，如y＝.(3)α<0，图象过点(1,1)，以两坐标轴为渐近线，如1yx−=.3．为什么幂函数在第四象限内不存在图象？提示：当x>0时，y＝xα>0，不可能出现y<0的情形，所以幂函数在第四象限不存在图象．知识点三幂函数的性质[填

一填]五类幂函数的性质[答一答]4．对于幂函数y＝xα(α是常数，x是自变量)其在第一象限内的单调性是怎样的？提示：α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上是增函数；α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上是减函数．类型一幂函数的概念[例1]下列函数：①y＝x3；②y＝x2＋2x；③y＝

4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x.其中幂函数的个数为(B)A．1B．2C．3D．43[解析]②为二次函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B.幂函数解析式的结构特征：(1)解析式是单项式；(2)

幂指数为常数，底数为自变量，系数为1.[变式训练1](1)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点12，22，则k＋α＝(C)A.12B．1C.32D．2(2)已知函数y＝(m2＋2m－2)xm＋2＋2n－3是幂函数，则m＝－

3或1，n＝－3或1.解析：(1)由幂函数定义知k＝1，把12，22代入y＝xα得α＝12，∴k＋α＝32.选C.(2)因为函数y＝(m2＋2m－2)xm＋2＋2n－3是幂函数，由幂函数的定义得m2＋2m－2＝1，2n－3＝0，解得m

＝－3或1，n＝32.类型二幂函数的图象[例2]下图是幂函数y＝xm、y＝xn与y＝x－1在第一象限内的图象，则(B)A．－1<n<0<m<1B．n<－1,0<m<1C．－1<n<0，m>1D．n<－1，m>1[解析]由y＝xm的图象是横卧抛物线形，知0<m<1；由y

＝xn的图象是双曲线，知n<0.作直线x＝x0(0<x0<1)，与y＝xn、y＝x－1的图象分别交于点A、B，由“点低指数大”知n<－1.故选B.在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x轴；在区间(1，＋∞)

上，幂函数的指数越大，图象越远离x轴．[变式训练2]幂函数y＝x－1及直线y＝x，y＝1，x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个区域，分别标记为①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如图所示)，那么幂函数y＝的图象经过的区域对应的序号有(D

)4A．④⑦B．④⑧C．③⑧D．①⑤解析：∵x－x＝x(x－1)，当0<x<1时，x－x<0，即x<x<1，∴幂函数12yx=的图象经过区域①；当x>1时，x－x>0，即x>x>1，∴幂函数12yx=的图象经过区域

⑤.类型三幂函数的性质应用[例3]比较下列各组中三个数的大小．[分析]本题考查幂函数．5比较幂值大小的方法分类比较对象方法指数相同，底数不同1x与2x利用幂函数yx=的单调性底数相同，指数不同1xa与2xa利用不等式性质底数、指数都不同1xa与2xb寻找

“中间量”2xa或1xb或1或0等[变式训练3]比较下列各组中两个值的大小：1.下列所给出的函数中，是幂函数的是(B)A．y＝－x3B．y＝x－3C．y＝2x3D．y＝x3－12.如果幂函数f(x)的图象过点4，

12，那么f116的值为(D)A.12B．2C．1D．4解析：设f(x)＝xα.∵f(x)的图象过点4，12，∴12＝4α，解得α＝－12.∴f(x)＝＝4.63.函数13yx=的图象是(B

)解析：∵函数13yx=是幂函数，幂函数在第一象限内恒过点(1,1)，排除A，D.当x>1,0<α<1时，y＝xα在直线y＝x下方，排除C，选B.4.幂函数1yx−=在[－4，－2]上的最小值为__－12__..解析：∵1yx−=在(－∞，0)上单调递减，∴1yx−=在[－4，

－2]上递减，∴1yx−=在[－4，－2]上的最小值是－12.5．比较下列各题中两个幂的值的大小：7——本课须掌握的三大问题1.幂函数y＝xα的底数是自变量，指数是常数．2.幂函数在第一象限内指数变化规律在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大

变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．3.简单幂函数的性质(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1.(2)如果α>0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数．(3)如果α<0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)

上是减函数．8幂函数课时作业(15分钟30分)1.下列结论正确的是()A.幂函数图象一定过原点B.当α<0时，幂函数y=xα是减函数C.当α>1时，幂函数y=xα是增函数D.函数y=x2既是二次函数，也是幂函数【解析】选D.函数y=x-1的图象不过原点，故A不正确；y=x-1在(-∞，0)及(0

，+∞)上是减函数，故B不正确；函数y=x2在(-∞，0)上是减函数，在(0，+∞)上是增函数，故C不正确.2.已知幂函数f(x)=kxα的图象过点(12,√2)，则k+α等于()A.12B.1C.32D.2【解析】选A.因为幂函数f(x)=kxα(k∈R，α∈R)的图象过点(12,√2)，

所以k=1，f(12)=(12)𝛼=√2，即α=-12，所以k+α=12.3.在下列四个图形中，y=𝑥-12的图象大致是()【解析】选D.函数y=𝑥-12的定义域为(0，+∞)，是减函数.4.幂函数的图象过点

(3，√3)，则它的单调递增区间是()9A.[-1，+∞)B.[0，+∞)C.(-∞，+∞)D.(-∞，0)【解析】选B.设幂函数为f(x)=xα，因为幂函数的图象过点(3，√3)，所以f(3)=3α=√3=312，解得α=12，所以f(x)=𝑥12

，所以幂函数的单调递增区间为[0，+∞).5.(2020·北京高一检测)如果幂函数f(x)=xa的图象经过点(2，4)，则f(x)在定义域内()A.为增函数B.为减函数C.有最小值D.有最大值【解析】选C.因为幂函数f(x)=xa的图象经过点(2，4

)，所以f(2)=2a=4，解得a=2，所以f(x)=x2，所以f(x)在定义域先递减再递增，有最小值.【补偿训练】已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是_______.【解析】因为0<2.4<2.5，而2.4α

>2.5α，所以y=xα在(0，+∞)上为减函数，故α<0.答案：(-∞，0)6.已知幂函数f(x)=𝑥-𝑚2-2𝑚+3(-2<m<2，m∈Z)满足：①在区间(0，+∞)上单调递增；②对任意的x∈R，都有f(-x)-f(x)=0.求幂函数f(x)的解析式，并求当x∈[0,4]时，f(x)的

值域.10【解析】因为函数在(0,+∞)上单调递增，所以-m2-2m+3>0，解得：-3<m<1.因为-2<m<2，m∈Z，所以m=-1或m=0.又因为f(-x)=f(x)，所以f(x)是偶函数，所以-m2-2m+3为偶数.当m=-1时，-m2-2m+3=4满足题

意，当m=0时，-m2-2m+3=3不满足题意，所以f(x)=x4，所以f(x)在[0,4]上递增，所以f(x)min=f(0)=0，f(x)max=f(4)=256，所以值域是[0,256].(20分钟

40分)一、单选题(每小题5分，共15分)1.(2020·琼海高一检测)若函数f(x)=(m2-6m+9)𝑥𝑚2-3𝑚+1是幂函数且为奇函数，则m的值为()A.2B.3C.4D.2或4【解析】选D.因为函数f(x)=(m2-6m+9)𝑥𝑚2-3𝑚+1为幂函数，所以m2-6m

+9=1，所以m=2或m=4，当m=4时，f(x)=x5是奇函数，满足题意，当m=2时，f(x)=x-1是奇函数，满足题意；所以m=2或4.2.下列命题中，不正确的是()A.幂函数y=x-1是奇函数B.幂函数y=x2是偶函数11C.幂函数y=x既是奇函数又是偶函

数D.y=𝑥12既不是奇函数，又不是偶函数【解析】选C.因为x-1=1𝑥，1-𝑥=-1𝑥，所以A正确；(-x)2=x2，所以B正确；-x=x不恒成立，所以C不正确；y=𝑥12定义域为[0，+∞)，不关于

原点对称，所以D正确.3.给出幂函数：①f(x)=x；②f(x)=x2；③f(x)=x3；④f(x)=√𝑥；⑤f(x)=1𝑥.其中满足条件f(𝑥1+𝑥22)>𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)2(x1>x2>0)的函数的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个

【解题指南】解决该题的关键是正确理解f(𝑥1+𝑥22)>𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)2(x1>x2>0)的含义.【解析】选A.①函数f(x)=x的图象是一条直线，故当x1>x2>0时，f(𝑥1+𝑥22)=𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)2；②函数f(x)=x2的图象是凹形曲线，故当

x1>x2>0时，f(𝑥1+𝑥22)<𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)2；③在第一象限，函数f(x)=x3的图象是凹形曲线，故当x1>x2>0时，f(𝑥1+𝑥22)<𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)2；④函数f(x)=√𝑥的图象是凸形曲线，故当x1>x2>0时，f

(𝑥1+𝑥22)>𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)2；⑤在第一象限，函数f(x)=1𝑥的图象是一条凹形曲线，故当x1>x2>0时，f(𝑥1+𝑥22)<𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)2.12故仅有函数f(x)=√�

�满足当x1>x2>0时，f(𝑥1+𝑥22)>𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)2.二、多选题(共5分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)4.下列函数中，其定义域和值域相同的函数是()A.y=𝑥13B.y=𝑥-12C.y=𝑥53D.y=𝑥23【解析】

选A、B、C.A中y=𝑥13=√𝑥3，定义域、值域都为R；B中y=𝑥-12=1√𝑥定义域与值域都为(0，+∞)；C中y=𝑥53的定义域、值域也为R；D中y=𝑥23=√𝑥23定义域为R，而值域为[0，+∞).三、填空题(每小题5分，共10分)5.已知函数f(x)=(m2-m-

1)𝑥𝑚2-2𝑚-2是幂函数，且在(0，+∞)上单调递减，则实数m=_______.【解析】在幂函数f(x)=(m2-m-1)𝑥𝑚2-2𝑚-2中，令m2-m-1=1，得m2-m-2=0，解得m=2或m=-1；当m=2时，m2-2m-2=-2，函数

f(x)=x-2，在(0，+∞)上单调递减，满足题意；当m=-1时，m2-2m-2=1，函数f(x)=x，在(0，+∞)上单调递增，不满足题意；所以实数m=2.答案：26.已知幂函数f(x)=𝑥-𝑚2-2𝑚+3(m∈Z)

为偶函数，且在(0，+∞)上单调递增，则f(2)的值为_______.13【解析】因为幂函数f(x)=𝑥-𝑚2-2𝑚+3(m∈Z)为偶函数，且在(0，+∞)上单调递增，则指数是偶数且大于0，因为-m2-2m+3=-(m+1)2+4≤4，因此指数等于2或4，当指数等于2时，求得m非整数，所以

m=-1，即f(x)=x4.所以f(2)=24=16.答案：16四、解答题7.(10分)已知幂函数f(x)=𝑥(𝑚2+𝑚)-1(m∈N*)经过点(2，√2)，试确定m的值，并求满足条件f(2-a)>f(a-1)的实数a的取值范围.【解析】因为幂

函数f(x)经过点(2，√2)，所以√2=2(𝑚2+𝑚)-1，即212=2(𝑚2+𝑚)-1.所以m2+m=2.解得m=1或m=-2.又因为m∈N*，所以m=1.所以f(x)=𝑥12，则函数的定义域为[0，+∞)，并且在定义域上为增函数.由f(2-a)>f(a-1)，得{2-

𝑎≥0,𝑎-1≥0,2-𝑎>𝑎-1,解得1≤a<32.所以a的取值范围为[1,32).