【文档说明】【高考数学精准解析】多维层次练：第二章第8节函数与方程【高考】.docx，共(12)页，208.804 KB，由小赞的店铺上传

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多维层次练14[A级基础巩固]1．已知函数f(x)＝2x－1，x≤1，1＋log2x，x＞1，则函数f(x)的零点为()A.12，0B．－2，0C.12D．0解析：当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x＞1时，令f(x

)＝1＋log2x＝0，解得x＝12，又因为x＞1，所以此时方程无解．综上，函数f(x)的零点只有0.答案：D2．(2020·长郡中学等十三校联考)已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)＝[x]为取整函数，x0是函数f(x)＝lnx－2x的零点，则g

(x0)等于()A．1B．2C．3D．4解析：因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(2)＝ln2－1<0，f(3)＝ln3－23>0，所以x0∈(2，3)，所以g(x0)＝[x0]＝2.答案：B3

．已知函数f(x)＝x2－2x，x≤0，1＋1x，x>0，则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是()A．0B．1C．2D．3解析：函数y＝f(x)＋3x的零点个数就是y＝f(x)与y＝－3x两个函数图象的交点个数，如图所示，由函数的图象可知，零点个数为2.答案：C4．已知f(x)是奇函数且

是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是()A.14B.18C．－78D．－38解析：令y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，则f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f

(x－λ)，因为f(x)是R上的单调函数，所以2x2＋1＝x－λ，即2x2－x＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.答案：C5．函数f(x)＝log2x，x>0，

－2x＋a，x≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是()A．a<0B．0<a<12C.12<a<1D．a≤0或a>1解析：因为当x>0时，x＝1是函数f(x)的一个零点，所以当x≤0时，要使f(x)＝－2x＋a没有零点，则－2x＋a<0或－2x＋a>0恒成立，即a<2x或a>2

x恒成立，故a≤0或a>1.所以函数f(x)有且只有一个零点的充分不必要条件可以是a<0.答案：A6．(多选题)若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：x11.51.251.3751.43751.40

625f(x)的近似值－20.625－0.984－0.2600.162－0.054那么方程x3＋x2－2x－2＝0近似解(精确度为0.05)可以是()A．1.25B．1.4375C．1.40625D．1.4219解析：由零点存在定理，在(1.40

625，1.4375)内有零点，又1.4375－1.40625＝0.03125<0.05，所以在区间[1.40625，1.4375]内任取一值可为零点近似解．则B、C、D均满足要求．答案：BCD7．(2020·湖南雅礼中学检测)已知函数f(x)＝2|x|，x≤1，x2－3

x＋3，x>1，若关于x的方程f(x)＝2a(a∈R)恰好有两个不同的实根，则实数a的取值范围为()A.12<a<1B．a＝12C.38<a≤12或a>1D．a∈R解析：作出函数f(x)的图象如图：因为关于x

的方程f(x)＝2a恰好有两个不同实根，所以y＝2a与函数y＝f(x)的图象恰有两个交点，所以2a>2或34<2a≤1.解之得a>1或38<a≤12.答案：C8．已知函数f(x)＝a＋log2(x2＋a)(a>0)的最小值为8，则实数a的取值范

围是()A．(5，6)B．(7，8)C．(8，9)D．(9，10)解析：由于f(x)在[0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数，所以f(x)min＝f(0)＝a＋log2a＝8.令g(a)＝a＋log2a－8，a>0.则g(5)＝log25－3<

0，g(6)＝log26－2>0，又g(a)在(0，＋∞)上是增函数，所以实数a所在的区间为(5，6)．答案：A9．(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝cos3x＋π6在[0，π]的零点个数为________．解析：由题意知，cos3x＋π6＝0，所以3x＋π6＝π2

＋kπ，k∈Z，所以x＝π9＋kπ3，k∈Z，当k＝0时，x＝π9；当k＝1时，x＝4π9；当k＝2时，x＝7π9，均满足题意，所以函数f(x)在[0，π]的零点个数为3.答案：310．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求

出，则a，b的关系是________，函数的零点是________(用a表示)．解析：依题意，f(x)＝x2＋ax＋b有不变号零点，所以Δ＝a2－4b＝0，知a2＝4b，从而函数的零点x0＝－a2.答案：

a2＝4b－a211．(2020·济南质检)若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xlnx＝1的解，则x1x2等于________．解析：考虑到x1，x2是函数y＝ex、函数y＝lnx与函数y＝1x的图象的交点A，

B的横坐标．又Ax1，1x1，Bx2，1x2两点关于y＝x对称，因此x1x2＝1.答案：112．已知函数f(x)＝x2－ax，x≤1，log3x，x>1.(1)若f(1)＝3，则实数a＝________．(2)若函数y＝f(x)－2有且仅有两个零

点，则实数a的取值范围是________．解析：(1)f(1)＝1－a＝3，所以a＝－2，(2)作出y＝2与y＝f(x)的图象(略)，y＝f(x)－2有两个零点，则12－a<2，所以a>－1.答案：(1)－2(2)(－1，＋∞)[B级能力提升]13．函数f(x

)＝|x－2|－lnx在定义域内的零点的个数为()A．0B．1C．2D．3解析：由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y1＝|x－2|(x＞0)，y2＝lnx(x＞0)的图象，如图所示．由图可知函数f(x

)在定义域内的零点个数为2.答案：C14．(2020·佛山调研)设函数f(x)＝|lnx|，x>0，ex（x＋1），x≤0.若函数g(x)＝f(x)－b有三个零点，则实数b的取值范围是()A．(1，＋∞)B.

－1e2，0C．(1，＋∞)∪{0}D．(0，1]解析：令g(x)＝f(x)－b＝0，函数g(x)＝f(x)－b有三个零点等价于f(x)＝b有三个根，当x≤0时，f(x)＝ex(x＋1)，则f′(x)＝ex(x＋1)＋ex＝ex(x＋2)，由f′(x)<0得ex

(x＋2)<0，即x<－2，此时f(x)为减函数，由f′(x)>0得ex(x＋2)>0，即－2<x<0，此时f(x)为增函数，即当x＝－2时，f(x)取得极小值f(－2)＝－1e2，作出f(x)的图象如图，要使f(x)＝b有三个根，则0<b≤

1，故选D.答案：D15．已知函数f(x)＝ex－e－x＋4，若方程f(x)＝kx＋4(k>0)有三个不同的实根x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝________．解析：易知y＝ex－e－x为奇函数，且其图象向上平移

4个单位，得y＝f(x)的图象．所以y＝f(x)的图象关于点(0，4)对称，又y＝kx＋4过点(0，4)且关于(0，4)对称．所以方程f(x)＝kx＋4的三个根中有一个为0，且另两根之和为0.因此x1＋

x2＋x3＝0.答案：0[C级素养升华]16．(2018·浙江卷)已知λ∈R，函数f(x)＝x－4，x≥λ，x2－4x＋3，x<λ.当λ＝2时，不等式f(x)<0的解集是________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________．解析：(1)

当λ＝2时，f(x)＝x－4，x≥2，x2－4x＋3，x<2，其图象如图(1)所示．由图知f(x)<0的解集为(1，4)．(2)f(x)＝x－4，x≥λ，x2－4x＋3，x＜λ恰有2个零点有两种情况：①二次函数有两个零点，一次函数无零点；②二次函数与一次函数各有一个零

点．在同一平面直角坐标系中画出y＝x－4与y＝x2－4x＋3的图象，如图(2)，平移直线x＝λ，可得λ∈(1，3]∪(4，＋∞)．答案：(1，4)(1，3]∪(4，＋∞)素养培育直观想象——嵌套函数的零点

问题(自主阅读)函数的零点是高考命题的热点，主要涉及判断函数零点的个数或范围，常考查三次函数与复合函数的相关问题．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单函数，借助函数的图象、性质求解．1．嵌

套函数的零点个数判断[典例1]已知f(x)＝|lgx|，x>0，2|x|，x≤0，则函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点个数是________．解析：由2[f(x)]2－3f(x)＋1＝0得f(x)＝12或f(x)＝1，作出函数y＝f(x)的

图象．由图象知y＝12与y＝f(x)的图象有2个交点，y＝1与y＝f(x)的图象有3个交点．因此函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点有5个．答案：5[解题思路]1.上述题目涉及嵌套函数零点个数的判断，求解的主要步骤：(1)换元解套，转化为t＝g(x)

与y＝f(t)的零点；(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)，求出x的值域判断图象交点个数．2．抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质．2．嵌套函数零点中的参数[典例2](2020·湖北重点中学联考)已知函数f(x)＝

xex，若关于x的方程[f(x)]2＋mf(x)＋m－1＝0恰有3个不同的实数解，则实数m的取值范围是()A．(－∞，2)∪(2，＋∞)B.1－1e，＋∞C.1－1e，1D．(1，e)解析：因为f′(x)＝ex－xex（ex）2＝1－xex，所以f(x)在(－

∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上递减．因此f(x)max＝f(1)＝1e.又当x→－∞时，f(x)→－∞；x→＋∞时，f(x)→0且f(x)>0.从而作出t＝f(x)的简图，如图所示．令t＝f(x)，g(t

)＝t2＋mt＋m－1.由g(t)＝0，得t＝－1或t＝1－m.当t＝－1时，f(x)＝xex＝－1，方程有一解，要使原方程有3个不同的实数解，必须使t＝1－m与t＝f(x)的图象有两个交点．故0<1－m<

1e，所以1－1e<m<1.答案：C[解题思路]1.题目以函数的图象、性质为载体，考查函数零点(方程的根)中参数的求解，综合考查直观想象、数学运算、逻辑推理等数学核心素养．2．涉及复合函数零点的步骤：①换元，令t＝f(x)，y＝g(t)，f(x)为“内函数”，g(t)为“外函数”；②

作图，作“外函数”y＝g(t)的图象与“内函数”t＝f(x)的图象；③观察图象进行分析．[典例3]函数f(x)＝ln（－x－1），x<－1，2x＋1，x≥－1，若函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．解析：设t＝f(x)，

令f(f(x))－a＝0，则a＝f(t)．在同一坐标系内作y＝a，y＝f(t)的图象(如图所示)．当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点．设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2>t1)且t1<－1，t2≥－1.当

t1<－1时，t1＝f(x)有一解．当t2≥－1时，t2＝f(x)有两解．综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点．答案：[－1，＋∞)[解题思路]1.求解本题抓住分段函数的图象性质，由y＝a与

y＝f(t)的图象，确定t1，t2的取值范围．进而由t＝f(x)图象确定x取值．2．含参数的嵌套函数方程，应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结合．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xian

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