【文档说明】北京市丰台区2023届高三上学期数学期末试题 含解析.docx，共(22)页，2.523 MB，由小赞的店铺上传

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丰台区2022~2023学年度第一学期期末练习高三数学2023.01考生须知1．答题前，考生务必先将答题卡上的学校、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘

贴区”贴好条形码.2．本次练习所有答题均在答题卡上完成.选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项.非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚.3．请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无

效，在练习卷、草稿纸上答题无效.4．本练习卷满分共150分，作答时长120分钟.第一部分（选择题40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知全集U=R，集合10Axx=−，则UA

=ð（）A.(,1)(0,)−−+B.(,1](0,)−−+C.(,1)[0,)−−+D.(,1][0,)−−+【答案】B【解析】【分析】根据补集概念求解即可.【详解】因为U=R，

10Axx=−，所以U|1Axx=−ð或0x.故选：B2.已知复数i(1i)z=+，则在复平面内，复数z对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】【分析】先化简复数，求出共轭复数，即可得结论.【详解】因为i(1i)

1iz=+=−+，所以1iz=−−，所以z对应点为()1,1−−在第三象限，故选：C.3.在42xx−的展开式中，常数项为（）A.24−B.24C.48−D.48【答案】B【解析】【分析】利用二项展开式

的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0求出r，将r的值代入通项求出展开式的常数项．【详解】二项式42xx−展开式的通项为()42142CrrrrTx−+=−，令420r−=，解得2r=，所以展开式的常数项为2344C24

T==故选：B4.已知向量(2,),(,1)ab==，则“2=”是“//ab”的（）A充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由//ab可求出2=，再由充分性和必要性的定义

即可得出答案.详解】若//ab，则2210−=，解得：2=.所以2=//ab，而//ab推不出2=.故“2=”是“//ab”的充分而不必要条件故选：A.5.下列函数是偶函数，且在区间()0,1上单调递增的是（）的.【A.21yx=−B.tanyx

=C.cosyxx=D.eexxy−=+【答案】D【解析】【分析】利用函数奇偶性和在区间上单调递增逐项分析.【详解】选项A由令21yx=−的定义域为R，且()22()11fxxx−=−−=−，由函数为

二次函数开口向下，对称轴为y轴，所以在()0,+单调递减，故函数在区间()0,1上单调递减，故A错误，由tanyx=的定义域为π|π,Z2xxkk+，关于原点对称且()()tantan

()fxxxfx−=−=−=−，所以tanyx=为奇函数，故选项B错误，由cosyxx=的定义域为R，且()()()coscos()fxxxxxfx−=−−=−=−，所以cosyxx=为奇函数，故C错误，由eexxy−=+的定义域为R，且()ee

()xxfxfx−=−=+，所以eexxy−=+为偶函数，()12,0,1xx，且12xx，所以()112212()()eeeexxxxfxfx−−−=+−+121211eeeexxxx=−+−()12121ee1eexxxx=−−，因为()12,0,1xx

，且12xx，因为exy=在R上单调递增，所以12ee0xx−，121<ee,1eexx，所以12110eexx−，故12())0(fxfx−，所以eexxy−=+在区间()0,1上单调递增，故选：D.6.已知抛物线2:2(0)Cypxp=过点(1,2)A，焦点为F．若点(,0)

Bm满足||||AFBF=，则m的值为（）A.2B.21+C.2或1−D.21+或12−【答案】C【解析】【分析】由抛物线2:2(0)Cypxp=过点(1,2)A，可求出p，即可表示出1,02F，再由||||AFBF

=，即可求出m的值.【详解】因为抛物线2:2(0)Cypxp=过点(1,2)A，所以221pp==，所以抛物线2:2Cyx=，则1,02F，又因为||||AFBF=，所以22111222m−+=−，解得：2m=或1m=−.故选：C

.7.已知函数2()3log2(1)fxxx=−−，则不等式()0fx的解集是（）A.(1,4)B.(,1)(4,)−+C.(0,1)(4,)+D.(0,4)【答案】A【解析】【分析】将不等式问题转

化为函数图象问题，结合图象求得正确答案.【详解】依题意()2()3log210fxxx=−−，()22log13xx−，由()2log213yxyx==−解得1110xy==或2242xy==画出()22

log,13yxyx==−的图象如下图所示，由图可知，不等式()0fx的解集是(1,4).故选：A8.设双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的右焦点为F，过点F的直线l平行于双曲线C的一条渐近线，与另一条渐近线交于点P，与双曲线C交于点Q，若Q为线段FP的中

点，则双曲线C的离心率为（）A.12B.22C.2D.455【答案】C【解析】【分析】首先根据题意得到直线():blyxca=−，与另一条渐近线联立得到,22cbcPa−，根据Q为线段FP

的中点得到3,44cbcQa−，再代入双曲线方程求解即可.【详解】由题知：(),0Fc，平行的一条渐近线为byxa=，则直线():blyxca=−，()22bcyxcxabcbyyxaa=−==−=−，即,22cbcPa−.因

为Q为线段FP的中点，所以3,44cbcQa−.把3,44cbcQa−代入22221xyab−=得：222222916161bccaab−=，化简得2222911616ccaa−=，即222c

a=，则2e=.故选：C9.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是边长为3的正方形，PD⊥平面ABCD，点M为底面上的动点，M到PD的距离记为d，若2MCd=，则点M在底面正方形内的轨迹的长度为（）A.2B.2π3C.5D.3π4【答案】B【解析】【分析】在平面中求得M点的轨迹方程，

从而求得轨迹的长度.【详解】由于PD⊥平面,ABCDDM平面ABCD，所以PDDM⊥，所以,2DMdMCd==.在正方形ABCD中，建立平面直角坐标系如下图所示，()3,0C，设(),Mxy，则222211,,424DMDMMCD

MMCMC===，()2222344xyxy−+=+，22230xyx++−=，()2214xy++=，所以M点的轨迹是以()1,0E−为圆心，半径为2的圆.由()2214xy++=令0x=，解得3y=，则()0,3F−，由于1DE=，所以π3DEF=

，所以M点的轨迹在底面正方形内的长度是π2π233=.故选：B10.市场占有率指在一定时期内，企业所生产的产品在其市场的销售量（或销售额）占同类产品销售量（或销售额）的比重．一般来说，市场占有率会随着市场的顾客流动而发生变化，如果市场的顾客流动趋向长期稳定，那么经过一段时

期以后的市场占有率将会出现稳定的平衡状态（即顾客的流动，不会影响市场占有率），此时的市场占有率称为“稳定市场占有率”．有A，B，C三个企业都生产某产品，2022年第一季度它们的市场占有率分别为：40%，30%，30%．经调

查，2022年第二季度A，B，C三个企业之间的市场占有率转移情况如下图所示：若该产品以后每个季度的市场占有率转移情况均与2022年第二季度相同，则当市场出现稳定的平衡状态，最终达到“稳定市场占有率”时，A企业该产品的“稳定市场占有率”为（）

A.45%B.48%C.50%D.52%【答案】C【解析】【分析】根据市场占有率转移情况求得正确答案.【详解】最终达到“稳定市场占有率”时，设A企业该产品的“稳定市场占有率”为x，则()()0.30.30.

61xxxx−−−+−=,解得0.5x=.故选：C第二部分（非选择题110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数1()121xfxx=++−的定义域是___________．【答案】1xx−且0x【解析】【分析】根据题意

得到21010xx−+求解即可.【详解】由题知：210110xxx−−+且0x.故答案为：1xx−且0x.12.在等差数列na中，公差d不为0，19a=，且145,,aaa

成等比数列，则d=___________；当n=___________时，数列na的前n项和nS有最大值．【答案】①.2−②.5【解析】【分析】根据等比数列得到2415aaa=，解得2d=−，再计算510a=，610a=−，

得到答案.【详解】145,,aaa成等比数列，故2415aaa=，即()()293994dd+=+，解得2d=−或0d=（舍）.()921112nann=−−=−，190a=,510a=，610a=−，故5n=时，nS有最大值.故答案为：2−；513.已知集合()

,0,,RAxyxymxy=−−=，()22,220,,RBxyxyxyxy=+−+=，若AB为2个元素组成的集合，则实数m的取值范围是___________．【答案】()0,4【解析】【分析】集合A表示直线上的点，集合B表示圆上的点，根据直线和圆相交计算得到范围.

【详解】集合A表示直线0xym−−=上的点，集合B表示圆()()22112xy−++=上点，圆心为()1,1M−，半径2R=，AB为2个元素组成的集合，故直线和圆相交，即222md−=，解得04m.故答案为：()0,414.已知函数π()sin(0)6fxx=

+，若ππ62ff=，且()fx在区间ππ,62上有最小值无最大值，则=___________．【答案】4【解析】【分析】根据三角函数的对称性、最值求得正

确答案.【详解】由于若ππ62ff=，且()fx在区间ππ,62上有最小值无最大值，πππ6223+=，则πππsin1336f=+=−，所以πππ2π,62

,Z362kkk+=−=−，ππππ,62366T=−=，由于0，所以的值为4.故答案为：415.已知函数2()ln(1)fxaxx=−−()aR存在两个极值点12,xx()12xx

，给出下列四个结论：①函数()fx有零点；②a的取值范围是1,2−+；③21x；的④()20fx．其中所有正确结论的序号是___________．【答案】①④【解析】【分析】求出函

数定义域以及导函数222()xxafxx−−=−.由(1)0f=可说明①正确；由已知，()0fx=有两个不同的正数解，根据二次函数根的分布即可求出a的范围，判断②；根据求根公式，解出2x，结合②中解出的a的范围，可得到21x

，即③错误；根据导函数得出函数的单调性，结合③的解析，可得()()210fxf=，即④正确.【详解】由已知可得，()fx定义域为()0,+，222()2(1)axxafxxxx−−=−−=−.对于①，因为2(1)ln1(110)fa=−=−，所以1是函数()

fx的一个零点，故①正确；对于②，因为函数存在两个极值点12,xx，所以()0fx=有两个不同的正数解12,xx，即方程2220xxa−−=有两个不同的正数解12,xx，则应满足()()121221002Δ242840xxaxxaa+=−==−−−=+，解得102a−

，故②错误；对于③，解方程2220xxa−−=可得，28412142aax++==，因为12xx，所以21212ax++=，由②知102a−，所以0211a+，所以2112x，故③错误；对于④，由()0fx¢>可得，即2220xxa−−

，所以12xxx，所以()fx在()12,xx上单调递增；解()0fx可得，10xx或2xx，所以()fx在()10,x上单调递减，在()2,x+上单调递减.由③知2112x，所以()()210fxf=，故④正确.故答案为：①④.三、解答题共6小题，共85

分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，已知正方体1111ABCDABCD−中，点E是棱BC的中点．（1）求证：1BD平面1DCE；（2）若点F是线段1BD的中点，求直线DF与平面1DCE所成角的正弦值．【答

案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）连接1CD交1CD于H，连接EH，证明1BDHE∥即可.（2）建立空间直角坐标系，计算各点坐标，平面1DCE的法向量为()2,1,1n=−，根据向量的夹角公式计算得到答案.【

小问1详解】如图所示：连接1CD交1CD于H，连接EH，H是1CD中点，E是BC的中点，故1BDHE∥，HE平面1DCE且1BD平面1DCE，故1BD平面1DCE；【小问2详解】以1,,DADCDD分别为,,xyz轴建立空间直角

坐标系，如图所示：设正方形边长为2，则()0,0,0D，()1,2,0E，()10,2,2C，()1,1,1F，设平面1DCE的法向量为(),,nxyz=，则120220nDExynDCyz=+=

=+=，取1y=−得到()2,1,1n=−，()1,1,1DF=.直线DF与平面1DCE所成角的正弦值为22cos,336nDFnDFnDF===.17.在ABC中，2sin2aBb=．（1）求A；（2）若22b=，从下列三个条件中选出一个条件作

为已知，使得ABC存在且唯一确定，求ABC的面积．条件①：10cos10C=−；条件②：2a=；条件③：5sin5B=．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）π4A=或3π4A=；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）由正弦定理边

化角可得2sin2A=，即可求出结果；（2）若选①：根据已知可得C为钝角，则A为锐角，310sinsin10CA=，三角形唯一，根据两角和的正弦公式可求出5sin5B=，根据正弦定理求出a的值，根据1si

n2ABCSabC=即可求出面积；若选②：根据正弦定理可求出sin1B=，B为直角，三角形唯一确定，可求出CA=，即可求出122ABCSac==V；若选③：由sinsinAB，可知π4A=或3π4A=，有两解.【小问1详解】由2sin2aBb=可得，2sinsin2s

inABB=.因为sin0B，所以2sin2A=，又0πA，所以π4A=或3π4A=.【小问2详解】若选①：10cos10C=−.因为0πC，所以C为钝角，A为锐角，又()2310sin1cossinsinπ10CCAA=−==−，又π<ππ2A−，所以πCA

−，即πAC+，所以ABC存在且唯一确定.则π4A=，由πABC++=可得()πBAC=−+.()sinsinsincoscossinBACACAC=+=+210231052102105=−+=.根据正弦定理sinsinsinabcABC==可得，22

2sin225sin55bAaB===，所以1sin2ABCSabC=131025226210==；若选②：2a=.因为22ba=，所以π4A=，由正弦定理sinsinabAB=可得，222sin2sin12bABa===，因为0πB，所以π2B=，所以ABC存

在且唯一确定.则ππ4CABA=−−==，所以2ca==，122ABCSac==V；若选③：5sin5B=.因为2sinsin2AB=，所以AB，此时π4A=或3π4A=，所以，此时ABC存在但不唯一.18.非物质文化遗产（简称“非遗”）是优秀传统文

化的重要组成部分，是一个国家和民族历史文化成就的重要标志．随着短视频这一新兴媒介形态的兴起，非遗传播获得广阔的平台，非遗文化迎来了发展的春天．为研究非遗短视频受众的年龄结构，现从各短视频平台随机调查了1

000名非遗短视频粉丝，记录他们的年龄，将数据分成6组：[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70]，并整理得到如下频率分布直方图：（1）求a的值；（2）从所有非遗短视频粉丝中随机抽取2人，记取出的2人中年龄不超

过40岁的人数为X，用频率估计概率，求X的分布列及数学期望()EX；（3）在频率分布直方图中，用每一个小矩形底边中点的横坐标作为该组粉丝年龄的平均数，估计非遗短视频粉丝年龄的平均数为m，若中位数的估计值为n，写出m与n的大小关系．（结论不要求证明）【答案】（1）0.01

8a=（2）分布列详见解析，()0.6EX=（3）nm【解析】【分析】（1）根据频率之和为1求得a.（2）根据二项分布的知识求得分布列以及数学期望.（3）根据平均数、中位数的求法求得,mn，并比较出两者的大小关系.【小问1详解】()0.0040.0120.014

0.0240.028101a+++++=，解得0.018a=.【小问2详解】不超过40岁的人的频率为()0.0040.0120.014100.3++=，所以()2,0.3XB，X的可能取值为0,1,2，()0

0220C0.30.70.49PX===，()11121C0.30.70.42PX===，()22022C0.30.70.09PX===，所以X的分布列为：X012P0.490.420.09所以()20.30.6EX==.【小问3详解】150.04250.123

50.14450.24550.28650.1846.4m=+++++=岁.0.040.120.140.3,0.040.120.140.240.54++=+++=，所以0.2251454010400.2433nm=+=+=.19

.已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=过点(2,0)A−，离心率为22．（1）求椭圆E的方程；（2）设点(2,)(0)Pmm，直线PA与椭圆E的另一个交点为C，O为坐标原点，B为椭圆E的右顶点．记直线OP的斜率为1k，直线B

C的斜率为2k，求证：12kk为定值．【答案】（1）22142xy+=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据过点和离心率计算得到椭圆方程.（2）计算直线方程，联立方程得到C点坐标，再计算12mk

=，22km=−，相乘得到答案.【小问1详解】椭圆2222:1(0)xyEabab+=过点(2,0)A−，离心率为22，故2a=，222ccea===，2c=，222bac=−=，椭圆方程为22142xy+=.【小问

2详解】4APmk=，直线AP：()24myx=+，联立方程()2224142myxxy=++=，得到()2222844320mxmxm+++−=，方程的一个解为2−，故另外一个解为22162

8mm−+.当221628mxm−=+时，22216282488mmmymm−=+=++，即2221628,88mmCmm−++，()2,0B，12mk=，222282816228m

mkmmm+==−−−+，12212mkkm=−=−，得证20.已知函数()lnsinfxxx=+．（1）求曲线()yfx=在点(1,(1))f处的切线方程；（2）求函数()fx在区间[1,e]上的最小值；（3）证明函数()fx只有一个零点．【答案】（1）()1cos11sin1

cos10xy+−−+−=（2）()1sin1f=（3）见解析【解析】【分析】（1）对()fx求导，求出()()1sin1,11cos1ff=+=，由点斜式方程即可求出答案；（2）令()1()cosgxfxxx==

+，()21singxxx−=−，得出()gx在[1,e]的单调性，结合零点存在性定理可得()fx在()1,x上单调递增，在(),ex上单调递减，再比较()()1,eff的大小，即可得出答案.（3）

利用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理，讨论01x，1x和x时，()fx的正负，即可得出证明.【小问1详解】()lnsinfxxx=+的定义域为()0,+，故1()cosfxxx=+，()()1s

in1,11cos1ff=+=，所以曲线()yfx=在点(1,(1))f处的切线方程为：()()sin11cos11yx−=+−，化简得：()1cos11sin1cos10xy+−−+−=【小问2详解】令()1()cosgxfxxx==+，()21singxxx−

=−，当1,ex时，()21sin0gxxx=−−，所以()gx在1,e上单调递减，且()11cos10g=+，()11211ecose<cos0ee3e2g=++=−，所以由零点存在定理可知，

在区间[1,e]存在唯一的，使()()0gf==又当()1,x时，()()0gxfx=；当(),ex时，()()0gxfx=；所以()fx在()1,x上单调递增，在(),ex上单调递减，又因为()()()1ln

1sin1sin1,elnesine1sine1,fff=+==+=+所以函数()fx在区间[1,e]上的最小值为()1sin1f=.【小问3详解】()lnsinfxxx=+，()0,x+，若01x，1()cos0fxxx+=，所以()fx在区间(0,1上单调递增，又()

1sin10f=，111sin0eef=−+，结合零点存在定理可知，()fx在区间(0,1有且仅有一个零点，若1x，则ln0,sin0xx，则()0fx，若x，因为lnln1sinxx−，所以()0fx，

综上，函数()fx在()0,+有且仅有一个零点.【点睛】利用导数研究函数的零点，一方面利用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题，转化为函数图象的交点问题，利用数形结合判断.21.设为正实数，若各项均为正数的数列na满足：nN，都有1nna

a++．则称数列na为()P数列．（1）判断以下两个数列是否为(2)P数列：数列A：3，5，8，13，21；数列B：2log5，π，5，10．（2）若数列nb满足10b且131nnbbnn

+=++−+，是否存在正实数，使得数列nb是()P数列？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．（3）若各项均为整数的数列na是(1)P数列，且na的前(2)mm项和123maaaa++++为15

0，求mam+的最小值及取得最小值时ma的所有可能取值．【答案】（1）数列A是，数列B不是；（2）不存在，理由见解析；（3）答案见解析.【解析】【分析】（1）根据定义验证12nnaa+−是否恒成立，即可判断；（2）假设存在，则由已知131nnbbnn+=++−+可推得11nnnbb+−.当2

1n时，11nnbbn+−，这与假设矛盾，所以不存在；（3）根据已知推出11nnaa++，进而推出mam，11mmaa−−，L，()11maam−−，相加可推得150122mmam+−.根据基本式，

结合题意可得mam+的最小值不小于30.进而得出m的范围，得到所有可能的整数解.分情况讨论，得出数列，即可得到ma的所以可能的取值.【小问1详解】根据定义，(2)P数列应满足nN，都有12nnaa++，即12nnaa+−恒成立.对于数列A：有5322−=，853

2−=，13852−=，211382−=均满足，所以数列A是(2)P数列；对于数列B，因为5π2−不满足，所以数列B不是(2)P数列.【小问2详解】不存在正实数，使得数列nb是()P数列.说明理由如下：假设存在正实数，使得数列nb是()P数列，则nN，都有1nnbb

++，即1nnbb+−恒成立.因为131nnbbnn+=++−+，所以131nnbbnn++−−+=2131nnn=+++，当21n时，11nnbbn+−，这与假设矛盾.所以，不存在正实数，使得数列nb()P数列.【小问3详解】因为数列na是(1)P数列，所以11n

naa++.所以121121mmmaaaamm−−+++−，所以11mmaa−−，2112mmmaaa−−−−，3213mmmaaa−−−−，L，()2312maaam−−−，()1211ma

aam−−−，所以123maaaa++++()1231mmam−++++−()12mmmma−=−，是即()11502mmmma−−，所以150122mmam+−.所以1503122mmamm++−150311592302222

mm−=−=，因为数列na是整数列，所以mam+的最小值不小于30.假设30mam+=，必有150313022mm+−，解得25123m，因为*mN，所以m可取9，10，11，12.当9m=

时，21ma=，存在满足条件的数列.110a=，214a=，315a=，416a=，517a=，618=a，719a=，820a=，921a=；当10m=时，20ma=，存在满足条件的数列.16a=，21

2a=，313a=，414a=，515a=，616a=，717a=，818a=，919a=，1020a=；当11m=时，19ma=，存在满足条件的数列.15a=，210a=，311a=，412a=，513

a=，614a=，715a=，816a=，917a=，1018a=，1119a=；当12m=时，18ma=，存在满足条件的数列.17a=，28a=，39a=，410a=，511a=，612a=，713a=，814a=，915a=，

1016a=，1117a=，1218a=.以上都是30mam+=的充分条件.所以mam+的最小值为30，此时ma的所有可能的取值为18，19，20，21.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com