【文档说明】上海市实验学校2020-2021学年高二下学期第4周周测数学试题 含答案.docx，共(10)页，649.615 KB，由小赞的店铺上传

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上海市实验学校高二数学周测试卷一、判断题（每小题2分，共20分）1．在本大题中，abc、、是三条互不重合的直线，、、是三个互不重合的平面．（1）若//ab，//ac，则//bc；（2）若ab⊥，ac⊥

，则//bc；（3）若//a，//b，则//ab；（4）若a⊥，a⊥，则//；（5）若//a，//a，则//；（6）若a⊥，//ab，则b⊥；（7）若⊥，⊥，则//；（8）

若a⊥，ab⊥，则//b；（9）若//，a=，b=，则//ab；（10）若a=，b=，//ab，则//．二、填空题（每小题3分，共24分）2．空间四边形ABCD中，E、F、G、H依次为AB、BC、CD、DA边的中点，且AC＝2，BD＝4，则22

EGFH+＝.3．对于已知直线a，如果直线b同时满足下列三个条件：①与a是异面直线；②与a所成的角为定值；③与a的距离为定值.那么，这样的直线有条.4．在长方体1111ABCDABCD−中，若12,1,3ABBCAA===，则1BC与平面11BBDD所成的角可用反三角函数值表示为=_

___________．5．如图，在四棱锥ABCDP−中，底面ABCD是边长为2的菱形，060=ABC，⊥PA平面ABCD，PC与平面ABCD所成角的大小为2arctan，M为PA的中点．则异面直线BM与PC所成角的大小为．6．在菱形ABCD中，6AB=，30B=．P为菱形ABC

D所在平面外的一点，PA⊥，4PA=．P到直线BC的距离为．7．如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，E是BC1的中点．则直线DE与平面ABCD所成角的大小为．8．ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，则面PAB与面PCD所成的锐二面

角的大小为.9．ABCD—A1B1C1D1是一个边长为1的正方体，过顶点A作正方体的截面（该截面与正方体的表面不重合），若截面的形状为四边形，则截面面积的取值范围是．MDCBAP三、选择题（每小题3分，共12分）10.“直线垂直于的边，”是“直线垂直于的边

”的（）(A)充要条件(B)充分非必要条件(C)必要非充分条件(D)即非充分也非必要条件11.设a,b,c表示三条直线，，表示两个平面，下列命题中不正确的是（）A.⊥//a⊥aB.cbacba⊥⊥内的射

影在是内在bC.////ccbcb内不在内在D.⊥⊥baba//12．如图，P为正方体1111ABCDABCD−的中心，△PAC在该正方体各个面上的射影可能是（）A.(1)、(2)、(3)、(4)B.(1)、(3)C.(1)、(4)D.

(2)、(4)13．已知棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，点E，F分别是棱1BB，1DD上的动点，且1BEDF==1(0)2≤．设EF与AB所成的角为，与BC所成的角为，则+的最小值()（A）不存在（B）等于60（C）等于90（D）等于120四

、解答题14．（本题满分6分）如图，直线a不在平面M上，直线b在M上，且//ab．试用反证法证明：//aM．证明：用反证法，若aMP=，则PM．因为//ab，所以直线,ab确定一个平面．由于直线b在M上，所

以M=________．因为Pa，且______________，所以P．又因为PM，故Pb，即Pa且Pb，这样与已知中_______________矛盾，所以//aM．lABCABAClABCBCA

BCDA1B1C1D1P(1)(2)(3)(4)MDCBAP15．（本题满分8分）如图，直四棱柱1111ABCDABCD−中，//ABDC，二面角1ADDC−−的平面角是直角，且2ADDC==，3AB=，求异面直线11DC与DB所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．16．（本题10分）如图，

点P是正方形ABCD所在平面外一点，M为PD的中点．（1）试在PC上找一点N，使得//MNAB，并说明理由；（2）若点P在平面ABCD上的射影是点D，PDABa==（a是正常数），求异面直线MC与AB所成角的大小；（3）若PAABa==（a是正常数），试判断P点在底面ABC

D中的射影是否可能恰好落在点C上？说明你的理由．17．（本题10分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，垂直于底面，分别为的中点。（1）求证：；（2）求与平面所成的角；ABCDP−//,90ADBCBAD=PAABCDNMBCABADPA,,22====PBPC

,DMPB⊥BDADMNABCD1A1B1C1D18．（本题10分）如图，四棱锥S＝ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD,SD＝AD＝a,点E是SD上的点，且DE＝a(0<≦1).(Ⅰ)求证：对任意的（0、1），都有AC⊥BE:(

Ⅱ)若二面角C-AE-D的大小为600C，求的值。五、附加题19．已知直三棱柱111ABCABC−中，4AB=，3ACBC==，D为AB的中点。（Ⅰ）求异面直线1CC和AB的距离；（Ⅱ）若11ABAC⊥，求二面角11ACDB−−的平面角的余弦值。20．从O点引

三条射线OA，OB，OC，其两两之间的夹角分别为6090,120，，则这三个角的角平分线两两之间的夹角的最小值是多少？DC1B1ABCA1上海市实验学校高二数学周测试卷解答一、判断题（每小题2分，共20分）1．在本大题中，

abc、、是三条互不重合的直线，、、是三个互不重合的平面．（1）若//ab，//ac，则//bc；（2）若ab⊥，ac⊥，则//bc；（3）若//a，//b，则//ab；（4）若a⊥，a⊥，则//；（5）若//a，//a，则//；

（6）若a⊥，//ab，则b⊥；（7）若⊥，⊥，则//；（8）若a⊥，ab⊥，则//b；（9）若//，a=，b=，则//ab；（10）若a=，b=，//ab，则//．题号12345678910

答案√××√×√××√×二、填空题（每小题3分，共24分）2．空间四边形ABCD中，E、F、G、H依次为AB、BC、CD、DA边的中点，且AC＝2，BD＝4，则22EGFH+＝.103．对于已知直线a，如果直线b同时满足下列三个条件：①与a是异面直线；②与a所成的角为定值；③

与a的距离为定值.那么，这样的直线有条.无数条4．在长方体1111ABCDABCD−中，若12,1,3ABBCAA===，则1BC与平面11BBDD所成的角可用反三角函数值表示为=____________．答案：2arcsin55．如图，在四棱锥ABCDP−中，底面ABCD是边长为2的

菱形，060=ABC，⊥PA平面ABCD，PC与平面ABCD所成角的大小为2arctan，M为PA的中点．则异面直线BM与PC所成角的大小为．解：连结BD，交AC于点O，连结MO，因为M、O分别为PA、AC的中点，所以MO∥PC，所以BMO

（或其补角）为异面直线BM与PC所成的角．在△BMO中，3=BO，22=BM，5=MO（以下由余弦定理，或说明△BMO是直角三角形求得）46arcsin=BMO或410arccos或515arctan．所以，异面直线BM与PC所成角的大小为46arcsin

6．在菱形ABCD中，6AB=，30B=．P为菱形ABCD所在平面外的一点，PA⊥，4PA=．P到直线BC的距离为．5MDCBAPO7．如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，E是BC1的中点．则

直线DE与平面ABCD所成角的大小为．解：过E作EF⊥BC，交BC于F，连接DF.∵EF⊥平面ABCD，∴∠EDF是直线DE与平面ABCD所成的角.由题意，得EF=111.2CC=∵11,5.2CFCBDF===∵EF⊥DF，∴5tan.5EFEDFDF==故

直线DE与平面ABCD所成角的大小是5arctan58．ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，则面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小为.3arctan29．ABCD—A1B1C1D1是一个边长为1的正方体，过顶点A作正方体的截面（该截面与正方体的表面

不重合），若截面的形状为四边形，则截面面积的取值范围是．答案：322，三、选择题（每小题3分，共12分）10.“直线垂直于的边，”是“直线垂直于的边”的（B）.(A)充要条件(B)充分非必要条件(C)必要非充分条件(D)即非充分也非必要条件1

1.设a,b,c表示三条直线，，表示两个平面，下列命题中不正确的是（D）A.⊥//a⊥aB.cbacba⊥⊥内的射影在是内在bC.////ccbcb内不在内在D.⊥⊥baba//12．如图，P为正

方体1111ABCDABCD−的中心，△PAC在该正方体各个面上的射影可能是（C）A.(1)、(2)、(3)、(4)B.(1)、(3)C.(1)、(4)D.(2)、(4)lABCABAClABCBCABCDA

1B1C1D1P(1)(2)(3)(4)ED1C1A1B1ABCDF13．已知棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，点E，F分别是棱1BB，1DD上的动点，且1BEDF==1(0)2≤．设EF与AB所成的角为，与BC所成的角为，则+的最小值(C)（A）不

存在（B）等于60（C）等于90（D）等于120三、解答题14．（本题满分6分）如图，直线a不在平面M上，直线b在M上，且//ab．试用反证法证明：//aM．证明：用反证法，若aMP=，则PM．因为//

ab，所以直线,ab确定一个平面．由于直线b在M上，所以M=___b___．因为Pa，且_____a_____，所以P．又因为PM，故Pb，即Pa且Pb，这样与已知中_____//ab_____矛盾，所以//aM

．15．（本题满分8分）如图，直四棱柱1111ABCDABCD−中，//ABDC，二面角1ADDC−−的平面角是直角，且2ADDC==，3AB=，求异面直线11DC与DB所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．解：直四棱柱1111AB

CDABCD−中，11////DCDCAB，∴ABD的大小即为异面直线11DC与DB所成的角的大小，又直四棱柱1111ABCDABCD−中，侧棱1DD⊥面ABCD，∴1DDAD⊥，1DDDC⊥，∴ADC即为二面角1ADDC−−的平面角，

∴90ADC=．在RtABD中，2AD=，3AB=∴2tan3ADABDAB==∴2arctan3BDC=，即异面直线11DC与DB所成的角的大小为2arctan3．ABCD1A1B1C1DMDCBAP16．（本题10分）如图，点P

是正方形ABCD所在平面外一点，M为PD的中点．（1）试在PC上找一点N，使得//MNAB，并说明理由；（2）若点P在平面ABCD上的射影是点D，PDABa==（a是正常数），求异面直线MC与AB所成角的大小；（3）若PAABa==（a是正常数），试判断P点在底面ABCD中的射影是否可能恰

好落在点C上？说明你的理由．解：（1）N为PC的中点．在平面PDC中，过M作MNDC∥，又因为ABDC∥，所以//MNAB．（2）因为ABDC∥，所以MCD为异面直线MC与AB所成角．因为点P在平面上的射影是点D，所以在直角MDC中，1arctan2MCD=．即异面直线MC与AB所成角的大小

为1arctan2．（3）不可能．若P点在底面ABCD中的射影是否可能恰好落在点C上，即PC⊥平面ABCD．又因为正方形ABCD的边长为a，则对角线2ACa=，在直角PAC中，PAAC，矛盾！17．（本题10分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，垂直于底面，分

别为的中点。(1)求证：；（2）求与平面所成的角；解:（1）证明：因为是的中点，，所以。由底面，得，又，即，平面，所以，平面，。（2）连结，因为平面，即平面，所以是与平面所成的角，在中，，ABCDP−//,90ADBCBAD=PAABCDNMBCABADPA,,22====PB

PC,DMPB⊥BDADMNNPBABPA=PBAN⊥PA⊥ABCDPAAD⊥90BAD=BAAD⊥⊥ADPABPBAD⊥⊥PBADMNDMPB⊥DN⊥BPADMN⊥BNADMNBDNBDADMNRtABD2222BDBAAD=+=在中，，故，在中,，又，故与平面

所成的角是。18．（本题10分）如图，四棱锥S＝ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD,SD＝AD＝a,点E是SD上的点，且DE＝a(0<≦1).(Ⅰ)求证：对任意的（0、1），都有AC⊥BE:(Ⅱ)若二面角C-AE-D的大小为600C，求的值。解：（Ⅰ）证：连接BD，由底面是

正方形可得ACBD。SD平面ＡＢＣＤ，BD是BE在平面ABCD上的射影，由三垂线定理得ACBE.(II)解：SD平面ABCD，ＣＤ平面ＡＢＣＤ，SDCD.又底面ＡＢＣＤ是正方形，ＣDＡD，又ＳＤAD=D，CD平面SA

D。过点D在平面SAD内做DFAE于F，连接CF，则CFAE，故CFD是二面角C-AE-D的平面角，即CFD=60°在Rt△ADE中，AD=,DE=，AE=。于是，DF=在Rt△CDF中，由cot60°=得，即=3，解得=四、附加题19．已知直三棱柱111ABCABC−中，4AB=，3ACB

C==，D为AB的中点。（Ⅰ）求异面直线1CC和AB的距离；（Ⅱ）若11ABAC⊥，求二面角11ACDB−−的平面角的余弦值。解：（Ⅰ）如图，因AC=BC，D为AB的中点，故CD⊥AB。又直三棱柱中，1CC⊥面ABC，故1CD

CC⊥，所以异面直线1CC和AB的距离为：RtPAB2222PBPAAB=+=122BNPB==RtBDN21sin==BDBNBDNBDN0BDADMN6⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥aaa12+

12+=•aAEDEAD12+=CDDF3312=+332+(0,1]2222CD=5BCBD−=（Ⅱ）：由1CD,CD,ABBB⊥⊥故CD⊥面11AABB，从而1CDDA⊥，1CDDB⊥故11ADB为所求的二面角11ACDB

−−的平面角。因1AD是1AC在面11AABB上的射影，又已知11C,ABA⊥由三垂线定理的逆定理得11D,ABA⊥从而11AAB，1ADA都与1BAB互余，因此111AABADA=，所以1RtAAD≌11RtBAA，

因此1111AAABADAA=得21118AAADAB==从而221111=23,23ADAAADBDAD+===所以在A1DB1中，由余弦定理得222111111111cos23ADDBABADBADDB+−==20．从O点引三条射线OA

，OB，OC，其两两之间的夹角分别为6090,120，，则这三个角的角平分线两两之间的夹角的最小值是多少？解：如图，不妨设OA与OB的夹角为60，OB与OC的夹角为120，OC与OA的夹角为9

0，在OA，OB，OC上分别取点',','ABC,使得'''1OAOBOC===作∠AOB，∠BOC，∠COA的角平分线分别交A'B',B'C',C'A'于D，E，F，则ODA'B',OEB'C',OFC'A'⊥⊥⊥，且D，E，F分别是A'B',B'C',C'A'的中点.正△OA'B'

中，A'B'1＝，等腰Rt△OA'C'中，A'C'2＝，△OB'C'中，B'C'3＝，又3112OD1sin60,1sin30,OF''2222OEAC======且121113'','',''222222DEACEFABDFBC======所以326cos,cos,cos326D

OEEOFFOD===所以min,,EOFDOEEOFFOD=所以这三个角的角平分线两两之间的夹角的最小值是4EOF=FEDA'C'B'O