【文档说明】陕西省2021届高三下学期3月教学质量检测（三）文科数学试题含答案.docx，共(17)页，1.163 MB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年陕西省高三教学质量检测测评卷（三）数学（文科）含答案详细解析版注意事项：1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试

题卷上无效.4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.1.已知集合2430Axxx=−+，Bxxa=，若AB=，则实数a的取值范围是（）A.)3,+B.()3,+C.(,1−D.(),1−2.为检测疫苗的有效程度，某权威部

门对某种疫苗进行的三期临床效果比较明显的受试者，按照年龄进行分组，绘制了如图所示的样本频率分布直方图，其中年龄在)20,30内的有1400人，在)60,70内有800人，则频率分布直方图中a的值为（）A.0.008B.0.08C.0

.006D.0.063.已知锐角α满足2cossin52cossinαααα+=−−，则cos2α的值为（）A.35B.45C.35−D.45−4.已知12izz+=（i为虚数单位），则1z−=（）A.23B.223C.2D.225.已

知函数()sin2fxxx=+，则函数()yfx=的图象大致为（）A.B.C.D.6.一袋中装有外观完全相同的六个小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中不放回地抽取2个球，则2个球的编号和不小于7的概率为（）A.25B.310C.35D.7107.如图，已知A，B分别是半

径为2的圆C上的两点，且45ACB=°，P为劣弧AB上一个异于A，B的一点，过点P分别作PMCA⊥，PNCB⊥，垂足分别为M，N，则MN的长为（）A.322B.2C.2D.328.如图所示的程序输出的结果为10221023，则判断框中

应填（）A.10?iB.10?iC.9?iD.11?i9.已知M，N是椭圆22149xy+=上关于原点对称的两点，P是该椭圆上不同于M，N的一点，若直线PM的斜率1k的取值范围为5,14−−，则直线PN的斜率2k的取值范围为（）A.5,19B.99,54

C.51,4D.45,9910.已知函数()e1xafx=−+在点()0,0O处的切线与函数()2ln1axaxgxxx=−−+的图象相切于点A，则点A的坐标为（）A.151,ln2482+B.111,ln2222+C.()1

,1D.()2,5ln2−11.在ABC△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若5,23c，1a=，且coscosabCcBbc+=，则cosA的取值范围是（）A.15,28B.13,24

C.50,8D.30,412.已知函数()()ln,0,1,0xxxfxxxx=+关于x的方程()()210fxtfx++=（tR）有8个不同的实数根，则t的取值范围是（）A.1e,e−−+

B.211,,ee2e−−−−−C.17,4−−D.()172,,4+−−二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()1,1a=，

()1,1b=−，则23ab+=______.14，设变量x，y满足约束条件4140,4310,560,xyxyxy+−−+++则24yzx+=+的最大值是______.15.已知1F，2F分别是双曲线C：22221xyab−=（0a，0b）的左、右焦点，过1F的

直线l与双曲线的右支交于第一象限内的一点P，若,33baG为12FPF△的重心，则该双曲线的离心率为______.16.如图，在三棱锥ABCD−中，22BCCDBD===，2ABACADa===，若该三棱

锥的侧面积是底面积的3倍，则该三被锥外接球的表面积为______.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分

）数列na是公差不为0的等差数列，满足11a=，1829aaa=，数列nb满足2nanb=.（Ⅰ）求数列na和nb的通项公式；（Ⅱ）令112233nnnTabababab=++++，求nT的值.18.（12

）如图，在底面为菱形的四棱柱1111ABCDABCD−中，111ABAAAB===，160BADAAD==°，1A在底面ABCD内的射影E为线段AC上一点.（Ⅰ）求AE的长；（Ⅱ）求三棱锥1CABD−的体积.19.（12分）某企业为改变工作作风，树立企业形象，开展了为期

半年的行风整治行动，现需要对整顿之后的情况进行问卷调查，随机从收回的有效问卷中抽查100份，根据这100份问卷的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），样本数据分组区间为)50,60，)60,70，)

70,80，)80,90，90,100.（Ⅰ）估计评分的平均数和中位数（结果保留四位有效数字）；（Ⅱ）用分层抽样从)60,70和)80,90抽取5人，然后从这5人中选取3人进行进一步调查，求这3人中只有1人来自)

60,70的概率。20.（12分）已知函数()elnxxfax=+（aR），()21e12xgxxax=−+−.（Ⅰ）讨论函数()fx的单调性；（Ⅱ）当0a时，若函数()()()hxfxgx=−有两个极值点1x，2x（12xx），求证：()()122hxhx+−.21.（1

2分）已知抛物线2:2Cypx=（0p）的焦点为F，点()2,1A是抛物线内一点，若该抛物线上存在点E，使得AEEF+有最小值3.（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）设直线4:20xyl−+=，点B是l与y轴的交点，过点A作与l平行的真线1l，过点A的动直线2l与抛物线

C相交于P，Q两点，直线PB，QB分别交直线1l于点M，N，证明：AMAN=.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标

系xOy中，曲线C的参数方程是()2224,1311kxkkyk=+−=+（k为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos13πρθ+=.（Ⅰ）曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点()1,0A，若l和C的交点为

M，N，求AMAN=.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()211xxxfa=++−.（Ⅰ）当3a=时，求函数()fx的最小值m；（Ⅱ）当()1,1x−时，不等式()22fxx+恒成立，求实数a的取值范围.202

0-2021学年陕西省高三教学质量检测测评卷（三）数学（文科）答案详解123456789101112AADBDCBABCBC1.A【解析】本题考查解一元二次不等式、集合的交集运算，由题意可得集合13Axx

=，∵AB=，∴3a，故选A.2.A【解析】本题考查频率分布直方图，假设总人数为x，则14000.01410x=，解得10000x=，∴8001010000a=，解得0.008a=，故选A.3.D【解析】本题

考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式.由2cossin52cossinαααα+=−−可知sin3cosαα=.又22sincos1αα+=，∴29sin10α=，21cos10α=，∴224cos

2cossin5ααα=−=−，故选D.【一题多解】由2cossin52cossinαααα+=−−可知sin3cosαα=，即tan3α=，则22222222cossin1tan194cos2cossincossin1tan195ααααααααα−−−=−====−++

+，故选D.4.B【解析】本题考查复数的基本运算、共轭复数及复数的模.令复数izab=+（,abR），则11izab+=++，2i2i2zab=+，∴12ab+=，2ba=，解得13a=，23b=，即复数12i33z=+，∴221i33z−=−+，∴44221993z−=+=，故

选B.5.D【解析】本题考查函数的图象与性质.由题意可知xR，()()()sin2fxxfxx=−+−=−−，∴函数()fx为奇函数，图象关于坐标原点对称，故排除选项A和B；又()1si1n20f=+，故排除选项C，故选D.

6.C【解析】本题考查古典概型.记两个小球的编号分别为x，y，则得到如表所示的表格：yx12345612334545675678967891011记“从中不放回地抽取2个球，2个球的编号和不小于7”为事件A，则(

)93155PA==，故选C.57.B【解析】本题考查外接圆、正弦定理.∵PMCA⊥，PNCB⊥，∴P，N，M，C四点在以PC为直径的圆上.由题意可知2PC=，∴MNC△外接圆的直径为2，则由正弦定理

可得2sin45MN=°，故选B.8.A【解析】本题考查程序框图、裂项相消法求数列的和.按照程序框图运行程序，输入1i=，0S=，则第1次循环220133S=+=，112i=+=，继续循环；第2次循环24111611

3373377S=+=−+−=，213i=+=，继续循环；第3次循环24811111141133771533771515S=++=−+−+−=，314i=+=，继续循环，…….由此推出第n次循环1111111111337212121nnnS++=−+−++−=−

−−−.令1110222110213n+=−−，解得9n=，此时9110i=+=，满足条件，退出循环，所以判断框中应填“10?i”，故选A.9.B【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系.设点()00,Mxy，()00,Nxy−−，()11,Pxy，则()222201101010122

222101010109944xxyyyyyykkxxxxxxxx−−+−====−−+−−，∴2194kk=−.又∵15,14k−−，∴299,54k，故选B.10.C【解析】本题考查导数的几何意义.由题意可知，点(

)0,0O在函数()fx的图象上，∴2a=，∴()exfx=，()01f=，∴函数()fx在点O处的切线方程为0xy−=.()222ln1xxgxxx=−−+，则()43lngxxx=−−.令点

(),Amn，则()43ln1gmmm=−−=，()222ln1nmmgmmm==−−+.∵点A在直线0xy−=上，∴243ln1,22ln1,mmmmmmnm−−=−−+==解得1mn==，∴点()1,1A，故选C.11.B

【解析】本题考查余弦定理.由coscosabCcBbc+=及1a=得coscosbCcBb+=，由余弦定理可得abc=，即1bc=，又由余弦定理可知22222221111cos1222cbcacAcbcc+−+−===+−.∵5,23c，令()1fxxx

=+，5,29x，易知函数()fx在5,19上单调递减，在()1,2上单调递增，∴()522fx，则221522cc+，∴2213112cc+−，∴13cos,2

4A，故选B.12.C【解析】本题考查分段函数、函数与方程.当0x时，()lnfxxx=.令()lnFxxx=，则()ln1Fxx=+.令()0Fx=，则1ex=，e1e1F=−，11eef

=，故当0x时，函数()fx在10,e上单调递增，在1,1e上单调递减，在()1,+单调递增；当0x时，易知函数()fx在(),1−−上单调递减，在11,2−−上单调递增，在1,02−单调递减.又1124f−=，

11eef=，故可画出函数()fx的大致图象如图所示，令()mfx=，则已知方程可化为210mtm++=.观察图象可知，当1em时，只有2个交点；当1em=时有3个交点；当114em时，有4个交点；当14m

=时有5个交点；当104m时，有6个交点.要想满足题意，则只需使得方程210mtm++=在11,4e存在两个不同的实数根或在1,e+和10,4上各有1个根.方程210mtm++=的两根之积为1，令()210mtgmm++==，由题意只需()10,44

0,gg解得174t−，故选C.13.26【解析】本题考查平面向量的坐标运算、向量的模.()()()232,23,31,5ab+=+−=−，∴2326ab+=.14.3【解析】本题考查线性规划.作出可行域如

图中阴影部分（含边界）所示，易知()2,3A，()2,4B−，()1,1C−−.因为()()2244yyzxx−−+==+−−，令()4,2P−−，则目标函数可以看作是点P与可行域内任意一点所连直线的斜率，()()325246PAk−−==−−，()()4263242PBk

−−==−−−=，()()121143PCk−−−==−−−，所以24yzx+=+的最大值为3.15.152+【解析】本题考查双曲线的离心率。令(),Pmn，()1,0Fc，()2,0Fc，则由重心坐标公式可得,3300,33bmccan+−=++=解得,,mbna==∴点P的

坐标为(),ba.∵点P在曲线C上，∴22221baab−=，∴4422baab−=.∵cea=（1e），∴cea=，∴22222abcea+==，∴()2221eab=−，∴()222111ee−−=−，∴42310ee−+=，解得2352e+=或235

2e−=（舍），∴152e+=.16.12π【解析】本题考查三棱锥的外接球.如图，取BC边的中点E，BCD△外接圆的圆心为F，三棱锥ABCD−外接球球心为O.如图所示，因为ABAC=且点E为BC的中点，所以242AEa=−，由此可知该三棱锥的

侧面积223242621Saa=−=−侧，底面BCD△的面积为23，所以2621323a−=，解得1a=（舍负）.设三棱锥ABCD−外接球半径为R，OFx=.因为2ABACAD===，所以点A在底面BCD上的射影为点F.因为ABBC，故三棱锥外接球球心O在直线

AF的延长线上，BF为BCD△外接圆的半径，所以263BF=.在RtABF△中，由勾股定理可得()222643Rx−+=，在RtOBF△中，由勾股定理可得222263xR+=

，解得3R=，33x=，所以外接球的表面积2412SπRπ==.17.【名师指导】本题考查等差数列的通项公式、错位相减法求数列前n项和，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养.（Ⅰ）设等差数列na的公差为d，由已知条件列出关于d的方程，解方程求出d，进而求出数列na的通项公式，即

可求出数列nb的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）得nT，再利用错位相减法即可求解.解：（Ⅰ）设数列na的公差为d.由题意得()()117118ddd+=++，（3分）解得1d=或0（舍），（4分）∴()111nann=+−=，（

5分）∴2nnb=.（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知231122331222322nnnnTababababn=++++=++++，（7分）∴()23412122232122nnnTnn+=++++−+，（9分）两式相减得()2311121

212122122nnnnTnn++−=++++−=−−，（11分）∴()1122nnTn+=−+.（12分）18.【名师指导】本题考查三棱锥的体积，考查空间想象能力，考查直观想象核心素养.（Ⅰ）由已知条件得出点1A在底面ABCD上的射影是ABD△的外心即可求解；（Ⅱ

）利用等体积法即可得出所求三棱锥1CABD−的体积.解：（Ⅰ）∵111ABADAAAB====，∴1BAA△为等边三角形，∴160BAA=°.又160BADAAD==°，∴11BAADAA=，∴点1A在底面ABCD上

的射影E是等边ABD△的外心，∴2331323AE==.（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知1AE⊥底面ABCD，且AC底面ABCD，∴1AEAC⊥.又33AE=，11AA=，∴163AE=，∴11116211sin12032312CABDDABCVV−−===°.（12分）1

9.【名师指导】本题考查频率分布直方图、平均数和中位数、古典概型的概率公式，考查运算求解能力、数据处理能力，考查数学运算、数据分析核心素养.（Ⅰ）先求出每个小矩形面积，即可求解平均数和中位数；（Ⅱ）根据分层抽样的方法先确定每一部分

抽取的人数，再把5人中抽取三人的情况列出，并确定符合条件的情况，即可求得概率.解：（Ⅰ）由题意得频率分布直方图中从左至右小矩形面积依次为0.05，0.20，0.35，0.30，0.10，因此平均数为550.05650.20750.35850.30950.107

7.00++++=（3分）中位数为0.25701077.140.35+（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知)60,70和)80,90的概率之比为0.20:0.302:3=，所以按照分层抽样的方法应从)60,70中抽取2人，)80,90中抽取3人.（

7分）不妨设从)60,70中抽取的2人分别为a，b，从)80,90中抽取的3人分别为1，2，3，则从这5人中任选3人有1ab，2ab，3ab，12a，13a，23a，12b，13b，23b，123，共10种情况，其中只有1人来自)60

,70，有12a，13a，23a，12b，13b，23b，共6种情况，（10分）记“这3人中只有1人来自)60,70”为事件A，则()63105PA==.（12分）20.【名师指导】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数学运算、

逻辑推理核心素养.（Ⅰ）先对函数()fx求导，并对参数a的取值范围分类讨论，再利用导数研究函数的单调性即可；（Ⅱ）先确定()hx存在极值点的条件，再利用韦达定理对()()12hxhx+进行化简，然后构造函数求其

最大值并比较即可得出结论.解：（Ⅰ）函数()elnxxfax=+（aR）的定义域为()0,+，()exafxx=+，当a时，()0fx，∴函数()fx在()0,+上单调递增；（2分）当0a时，令1

exy=，2ayx=−，显然这两个图象有一个交点.不妨令()0fx=，则当()00,xx时，21yy，即()0fx，∴函数()fx在()00,x上单调递减；当()0,xx+时，21yy即()0fx，∴函数()fx在()0,

x+上单调递增.（5分）（Ⅱ）证明：()21ln12hxaxxax=+−+，则()22axaxxaxxhx−+=+−=，（6分）此时1x，2x是方程20xaxa−+=的两根，且2Δ40aa=−，解得4a.由

韦达定理得12xxa+=，12xxa=，（7分）∴()()()()()22121212121ln22hxhxaxxxxaxx+=++−++()221ln222aaaaa=+−−+21ln22aaaa−−+=.（8分）令()21ln22aaaFaa=−−+（4a），（9分）则()ln11

lnaaaaFa=+−−=−.令()lnSaaa=−，则()11aSa=−.∵4a，∴()0Sa，∴函数()Sa在()4,+上单调递减，∴()()4ln44824ln4108ln2104F

aF=−−+=−=−.（11分）∵ln21，∴8ln28，∴()2Fa−，∴()()122hxhx+−.（12分）21.【名师指导】本题考查抛物线的定义与几何性质、直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力、推理论证能力，

考查数学运算、逻辑推理核心素养。（Ⅰ）利用抛物线定义得EFED=，其中点D为点E在准线上的射影，再根据抛物线定义得出AEED+的最小值的表达式，从而求出p的值，即可求解；（Ⅱ）由已知条件可求出直线1l的方程，再设出直线2l的方程并代入抛物线C中化简求出P，Q两点横坐标之间

的关系，从而设出直线PB，并与直线1l联立求出Mx，同理可得Nx，从而可得MNxx+的表达式，化简可得2MNAxxx+=，即可得证AMAN=.解：（Ⅰ）过点E作抛物线C准线的垂线，垂足为点D.根据抛物线定义得E

FED=，于是AEEFAEED+=+，（2分）显然当A，E，D三点共线时，AEED+有最小值22p+，所以232p+=，解得2p=，（4分）所以抛物线C的方程为24yx=.（5分）（Ⅱ）证明：直线:240lxy−+=，令0x=，得4y=，所以点

()0,4B.因为直线1l平行于直线:240lxy−+=，且过点()2,1A，所以直线1:230lxy−−=.设直线()2:21lxty−=−并代入抛物线C的方程消去x得24480ytyt−+−=，()2Δ1620tt=−+.设点()11,Pxy，(

)22,Qxy，由韦达定理得124yyt+=，1248yyt=−，（7分）易得直线114:4yPByxx−=+，直线224:4yQByxx−=+.（8分）联立1144,230,yyxxxy−=+−−=解得()()11111727242

182Mtytxxxytyt+−==−+−+−，同理可得()()22722182Ntytxtyt+−=−+−，（9分）所以()()()()1212727221822182MNtyttytxxtyttyt+−+−+=+−+−−+−(

)()()()()()()()()()()()1212221212221822122282721218282ttyyttttyytttyyttyyt+++++++=2244842tttt−+==−+.（11分）因为

2Ax=，所以2MNAxxx+=，即A是MN的中点，所以AMAN=.（12分）22.【名师指导】本题考查参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数的几何意义，考查运算求解能力，考查数学运算核心

素养.（Ⅰ）利用消参法将曲线的参数方程消去参数k即可求出曲线C的普通方程，再利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式即可求解直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）先将直线l的普通方程化为参数方程，再利用参数的几何意义即可求解.解：（Ⅰ）由已知得曲线C：2222,21113xkkykk=+−=+

（k为参数），平方后相加得22143xy+=.（2分）又()22333,31yk=−+−+，所以曲线C的普通方程为22143xy+=（3y−）.（3分）因为2cos13πρθ+=，即cos3sin1ρθρθ−=.将cosxρθ=，sinyρθ=代入即可得

到直线1:30xyl−−=.（Ⅱ）显然点()1,0A在直线:310lxy−−=上，直线的斜率为33，所以倾斜角为6πα=，所以直线l的参数方程为31,212xtyt=+=（t为参数），（7分）代入椭圆22:143xyC+=得213123360tt+−=.设M，N对应

的参数分别为1t，2t，由韦达定理得1212313tt+=−，123613tt=−，（9分）所以12123613ttAMtANt===.（10分）23.【名师指导】本题考查绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，考查数学

运算核心素养.（Ⅰ）把a的值代入，再去绝对值利用零点分段法即可求解；（Ⅱ）先去绝对值，将不等式转化为a与x的关系式，再根据x的取值范围即可求解.解：（Ⅰ）当3a=时，()4,1,52,1,xxxxfx−−=（1分）当1x时，()()13fxf=，当1x时，()()13fxf

=，（3分）∴()3fx，∴3m=.（5分）（Ⅱ）当()1,1x时，()()()21121xaxxafax=++−=−++.（6分）由()22fxx+得()2210xaxa+−+−，即()()110xxa−−−.（7分）

∵()1,1x，∴10x−，∴1xa−，即1xa−−.（8分）又∵12x−−，∴2a−−，即2a，∴实数a的取值范围是)2,+.（10分）