【文档说明】四川省眉山市仁寿县 新科高级中学2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题 Word版含解析.docx，共(16)页，1.258 MB，由envi的店铺上传

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仁寿县2023级高二上学期半期联考数学试卷第I卷（选择题）一、选择题（本题共8道小题，每小题0分，共0分）1.已知直线:60lxay++=的倾斜角为60o，则实数a=（）A.3−B.33−C.33D.3【答案】B【解析】【分析】由题意可得直线:

60lxay++=的斜率为1tan603ka==−=，解方程即可得出答案.【详解】已知直线:60lxay++=的倾斜角为60o，则直线:60lxay++=的斜率为1tan603ka==−=，则33a=−.

故选：B.2.甲、乙、丙三位同学在学校举办的建党100周年党史知识竞赛活动中获得优胜奖，颁奖时甲、乙、丙三位同学随机站成一排，则甲乙两人恰好相邻而站的概率为（）A.16B.13C.12D.23【答案】D【解析】【分析】先

求出甲、乙、丙三位同学随机站成一排的排法总数，再计算甲乙两人恰好相邻而站的排法数，利用古典概率公式即可求解.【详解】甲、乙、丙三位同学随机站成一排有：（甲、乙、丙），（甲、丙、乙），（乙、甲、丙），（乙、丙、甲），（丙、甲、乙），（丙、

乙、甲），共6种甲乙两人恰好相邻而站有：（甲、乙、丙），（乙、甲、丙），（丙、甲、乙），（丙、乙、甲）共4种，所以甲乙两人恰好相邻而站的概率为4263=，故选：D.3.已知(1,0,1)a=，(,1,2)bx=−，且3ab=−，则向量a与b的夹角为（）A.56B.2

3C.3D.6【答案】A【解析】【分析】先由3ab=−求出x，再利用空间向量的夹角公式求解即可【详解】设向量a与b的夹角为，因为(1,0,1)a=，(,1,2)bx=−，且3ab=−，所以23x−=−，得1x=−，所以(1,1,2)b=−−

，所以1023cos211114abab−+−===−+++，因为[0,]，所以56=，故选：A4.设0r，则两圆222(1)(3)xyr−++=与2216xy+=的位置关系不可能是（）A.相切B.相交C.内切和内含D.外切和外离【答案】D【解析】【分

析】求出两圆圆心和半径，计算圆心距与半径比较即可求解.【详解】圆2216xy+=的圆心为(0,0)，半径为4；圆222(1)(3)xyr−++=的圆心为(1,3)−，半径为r．两圆心之间的距离为1910+=，又因为104，所以两圆不可能外切和外离．故选：D．的5.甲、乙两个雷达独立工作

，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8，飞行目标被雷达发现的概率为（）A.0.02B.0.28C.0.72D.0.98【答案】D【解析】【分析】设事件A表示“甲雷达发现飞行目标”，事件B表示“乙雷达发现飞行目标”，飞行目标被雷达发现的概率为()()1

PPAPB=−，从而即可求解.【详解】设事件A表示“甲雷达发现飞行目标”，事件B表示“乙雷达发现飞行目标”，因为甲乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标概率分别是0.9和0.8，所以()0.9,()0.8PAPB==，所以飞行目标被雷达发现的概率为()()

()()()()()()1111110.910.80.98PPAPBPAPB=−=−−−=−−−=.故选：D6.已知直线10axby++=与直线4350xy++=平行，且10axby++=在y轴上的截距为13，则ab+的值为（）A.7−B.1−C.1D.7【答案】A【解析】【详解】分

析：根据两条直线平行，得到,ab的等量关系，根据直线在y轴上的截距，可得b所满足的等量关系式，联立方程组求得结果.详解：因为直线10axby++=与直线4350xy++=平行，所以43ba=，又直线10axby++=在y

轴上的截距为13，所以1103b+=，解得3b=−，所以4a=−，所以7ab+=−，故选A.点睛：该题考查的是有关直线的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有两条直线平行时系数所满足的条件，以及直线在y轴上的截距的求法，根据题中的条件，列出相应的

等量关系式，求得结果.7.已知向量()1,2,3a=−，()2,1,4b=−−，则下列向量中，使,,abc能构成空间的一个基底的向量是（）的A.()2,1,4c=−B.()1,1,1c=−C.()8,7,18c=−D.()1,2,4c=−−【答案】D

【解析】【分析】根据向量共面基本定理只需cxayb→→→=+无解即可满足,,abc构成空间向量基底，据此检验各选项即可得解.【详解】因为()2,1,4cb=−=−，所以A中的向量c不能与a，b构成基底；因为()1,1,1cab=−=+，所以B中的向量c不能与a，b构成基底；对于()8,7,

18c=−，设cxayb=+，则28,27,3418xyxyxy−+=−−=−=，解得2x=，=3y−，所以23cab=−，故a，b，c为共面向量，所以C中的向量c不能与a，b构成基底；对于()1,2,4c=−−，设cxayb=+，则21,22,344xyxyxy−+=−−=−=

−，此方程组无解，所以a，b，c不共面，故D中的向量c与a，b可以构成基底.故选：D8.在正三棱柱111ABCABC−中，侧棱长为2，底面三角形边长为1，则1BC与侧面11ACCA所成角的正弦值为（）

A.52B.32C.22D.12【答案】D【解析】【分析】作AC的中点D，连接BD，1DC，1BC，根据题意可知1BC与侧面11ACCA所成角即为的1BCD，根据已知条件求解即可.【详解】作AC的中点D，连接BD，1DC，1BC，根据题意，易得BD⊥平面11ACCA，故1BC与侧面

11ACCA所成角即为1BCD，因侧棱长为2，底面三角形的边长为1，所以32BD=，13BC=，故111sin2BDBCDBC==，即1BC与侧面11ACCA所成角的正弦值为12.故选：D.二、多选

题（本题共3道小题，每小题0分，共0分）9.已知事件A，B，且()0.5PA=，()0.2PB=，则下列结论正确的是（）A.如果BA，那么()0.2PAB=，()0.5PAB=B.如果A与B互斥，那么()0.7PAB=，()0PAB=C.如

果A与B相互独立，那么()0.7PAB=，()0PAB=D.如果A与B相互独立，那么()0.4PAB=，()0.4PAB=【答案】BD【解析】【分析】A选项在BA前提下，计算出()0.5PAB=，()0.2PAB=，即可判断；B选项在A与B互斥前提下，计算出(

)0.7PAB=，()0PAB=，即可判断；C、D选项在A与B相互独立前提下，计算出()0.7PAB=，()0.1PAB=，()()()0.4PABPAPB==，()()()0.4PABPAPB==，即

可判断.【详解】解：A选项：如果BA，那么()0.5PAB=，()0.2PAB=，故A选项错误；B选项：如果A与B互斥，那么()0.7PAB=，()0PAB=，故B选项正确；C选项：如果A与B相互独立，那么()0.6PAB=，()0.1PAB=，故C选项错误；D选项：如果A与B相互

独立，那么()()()0.4PABPAPB==，()()()0.4PABPAPB==，故D选项正确.故选：BD.【点睛】本题考查在包含关系，互斥关系，相互独立的前提下的和事件与积事件的概率，是基础题.10.下面四个

结论正确的是（）A.空间向量(),0,0abab，若ab⊥，则0ab=B.若空间四个点,,,PABC，1344PCPAPB=+，则,,ABC三点共线C.已知向量()()1,1,,3,,9axbx==−，若

310x，则,ab为钝角D.任意向量,,abc满足()()abcabc=rrrrrr【答案】AB【解析】【分析】由空间向量的数量积及其运算性质可判断ACD，由空间向量的基本定理与共线定理可判断B【详解

】对于A：因为0,0ab，ab⊥，则0ab=，故A正确；对于B：因为1344PCPAPB=+，则11334444PCPAPBPC−=−，即3ACCB=，又AC与CB有公共点，所以,,ABC三点共线，故B正确；对于C：103abx=−，若,ab为钝角

：则0ab，且a与b不共线，由0ab得310x，当//ab时，1139xx==−，即3x=−，由a与b不共线得3x−，于是得当310x且3x−时，,ab为钝角，故C错误；对于D：()abcrrr是c的共

线向量，而()abcrrr是a的共线向量，故D错误，故选：AB11.圆22(2)(3)16Cxy++−=：，直线:34190lxy++=，点M在圆C上，点N在直线l上，则下列结论正确的是（）A.圆C关于直线320xy−=对称B.MN的最大值

是9C.从N点向圆C引切线，切线长的最小值是3D.直线()11ykx=−+被圆C截得的弦长取值范围为23,8【答案】CD【解析】【分析】根据()2,3C−不在直线l上判断A；根据)1,MN+判断B；根据C

Nl⊥时，切线长最小求解判断C；根据直线()11ykx=−+过定点()1,1，再结合弦长公式判断D.【详解】解：对于A选项，圆22(2)(3)16Cxy++−=：，∴圆心()2,3C−，半径4r=，∵()32230

−−，∴圆C不关于直线320xy−=对称，故A选项错误；对于B选项，由圆心C到直线:34190lxy++=的距离为：()223243195434d−++==+，MN的最小值是1dr−=，故)1,MN+，故B选项错误；对于C选项，从N点向圆C引切线，当CNl⊥时，切线

长最小，最小值是22543−=，故C正确；对于D选项，直线()11ykx=−+过定点()1,1，该定点在圆C内，所以直线()11ykx=−+被圆C截得的弦长最长时，所截弦长为过点()1,1和圆心的圆C的直径，即弦长的最大值为8，最短的弦长为垂直与该直径的

弦长，()1,1和圆心()2,3C−的距离为()22(12)(13)13−−+−=，最短弦长为2241323−=，故直线()11ykx=−+被圆C截得的弦长取值范围为23,8，D正确．故选：CD．第II卷（非选择题）三、填空题（本题共3道

小题，每小题0分，共0分）12.某人投篮命中的概率为0.3，投篮15次，最有可能命中______次．【答案】4【解析】【分析】易知投篮命中次数服从二项分布，设最有可能命中m次，于是()(1)()(1)PXmPXmP

XmPXm==−==+，解出不等式即可得到答案.【详解】投篮命中次数(15,0.3)XB，1515()C0.30.7kkkPXk−==设最有可能命中m次，则15111615151511141515()(1)C0.30.7C0.30

.7()(1)0.30.7C0.30.7mmmmmmmmmmmmPXmPXmPXmPXmC−−−−−++−==−==+3.84.8m，mZ，4m=．最有可能命中4次．故答案为：4.13.直线xcosθ＋3y＋2＝0的倾斜角的范围

是________．【答案】50,[,)66【解析】【详解】由题知k＝－33cosθ，故k∈33,33−，结合正切函数的图象，当k∈30,3时，直线倾斜角α

∈0,6，当k∈3,03−时，直线倾斜角α∈5,6，故直线的倾斜角的范围是0,6∪5,6.14.如图，在正四棱锥PABCD－中，PAAB=，点M为PA的中点，BDBN=．若MNA

D⊥，则实数=_____【答案】4【解析】【分析】连结AC，交BD于O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出实数λ．【详解】解：连结AC，交BD于O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，设PA＝A

B＝2，则A（√2，0，0），D（0，2−，0），P（0，0，√2），M（22，0，22），B（0，√2，0），BD=（0，﹣2√2，0），设N（0，b，0），则BN=（0，b2−，0），∵BD=λBN，∴﹣2()22b=−，∴b22

2−=，∴N（0，222−，0），MN=（22−，222−，22−），AD=（22−−，，0），∵MN⊥AD，∴MNAD=124−−=0，解得实数λ＝4．故答案为4．【点睛】本题考查实数值的求法，考查空间向量、正四棱锥的结构牲等基

础知识，考查运算求解能力，是中档题．四、解答题（本题共5道小题，第1题0分，第2题0分，第3题0分，第4题0分，第5题0分，共0分）15.已知直线1:0lxaya+−=和直线()2:2320laxaya−−+−=.（1）若12ll⊥，求实数a的

值；（2）若12ll∥，求实数a的值.【答案】（1）0或2（2）3−【解析】【分析】（1）根据两直线垂直的公式12120AABB+=，即可求解；（2）根据两直线平行，1221ABAB=，求解a，再代回直线验证.【小问1详解】若12

ll⊥，则()1230aaa+−−=，解得0a=或2；【小问2详解】若12ll∥，则223aa=−+，解得3a=−或1.3a=−时，12:330,:3950lxylxy−+=−+=，满足12ll∥，1a=时，12:10,:10lxylxy+−=+−=，此时1l与2l重合

，所以3a=−.16.从2名男生(记为1B和2B)和3名女生(记为1G，2G，和3G)组成的总体中，任意依次抽取2名学生.（1）分别写出有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样的样本空间；（2）在（1）中的两种抽样方式下，分别求出抽到的2人为1名男生和

1名女生的概率.【答案】（1）见详解；（2）有放回简单随机抽样下，抽到的2人为1名男生和1名女生的概率为1225；不放回简单随机抽样下，抽到的2人为1名男生和1名女生的概率为35.【解析】【分析】（1）用列举法，分别写出两种抽取方法对应基本事件，即可得出结果；的（2）先列举

出两种抽样方式下，“抽到的2人为1名男生和1名女生”所包含的基本事件，确定基本事件个数，再由古典概型的概率计算公式，即可求出结果.【详解】（1）由题意，有放回简单随机抽样的样本空间为()111,BB=，()12,BB，()11,BG，()12,BG，()13,B

G，()21,BB，()22,BB，()21,BG，()22,BG，()23,BG，()11,GB，()12,GB，()11,GG，()12,GG，()13,GG，()21,GB，()22,GB，()21,GG，

()22,GG，()23,GG，()31,GB，()32,GB，()31,GG，()32,GG，()33,GG；共包含25个基本事件；不放回简单随机抽样的样本空间为：()212,BB=，()11,BG，()12,BG

，()13,BG，()21,BB，()21,BG，()22,BG，()23,BG，()11,GB，()12,GB，()12,GG，()13,GG，()21,GB，()22,GB，()21,GG，()23,GG，()31,GB，()32,GB，()31,GG，()32,GG；共包含20个基本事

件；（2）由（1）可得，两种抽样方式下，抽到的2人为1名男生和1名女生，所包含的基本事件都是：()11,BG，()12,BG，()13,BG，()21,BG，()22,BG，()23,BG，()11,GB

，()12,GB，()21,GB，()22,GB，()31,GB，()32,GB；共12个，有放回简单随机抽样下，抽到的2人为1名男生和1名女生的概率为11225P=；不放回简单随机抽样下，抽到的2人为1名男生和1名女生

的概率为2123205P==.17.如图，已知长方体1AC中，1ABBC==，12BB=，连接1BC，过B点作1BC的垂线交1CC于E，交1BC于F（1）求证：1AC⊥平面EBD；（2）求点A到平面11ABC的距

离；（3）求直线DE与平面11ABC所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）25.5（3）15【解析】【分析】（1）分别以AB，AD，1AA为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明即可；（2）设平面11ABC的一个法向量为(),,mxyz=，求出法

向量，利用向量法求解解．（3）利用向量法求解即可．【小问1详解】如图，分别以AB，AD，1AA为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，()()()()()10,0,0,0,0,2,1,0,0,0,1,0,1,1,0AABDC，(

)11,0,2B，因为E在1CC上，故可设()1,1,Et，又1BEBC⊥，所以()()10,1,0,1,20120BEBCtt=−=+−=，解得12t=，所以11,1,2E，()1111,1,2,0,1,,1,0,22ACBEDE=−=

=()11·1011202ACBE=++−=，()11·1110202ACDE=++−=11,ACBEACDE⊥⊥，即11,ACBEACDE⊥⊥BEDEE=，,BEDE平面EBD．所以1AC⊥平面EBD．【小问2详解】设平面11ABC的一个法向量为(),,mx

yz=，()()1111,0,0,0,1,2ABBC==−，则111·0·0ABmBCm==，02xyz==，令1z=，得()0,2,1m=，()10,0,2AA=，所以所求的距离为1·22555AAmdm=

==；【小问3详解】由（2）知，()0,2,1m=，11,0,2ED=−−，ED设与m所成角为，则·1sin5·mEDmED==所以直线ED与平面11ABC所成角的正弦值为15．18.在平面直角坐标系中，△ABC

的三个顶点坐标分别为()0,0A，()2,0B−，()3,3C−−．（1）求BC边上的中线AD的所在直线方程；（2）求△ABC的外接圆O被直线l：10xy−+=截得的弦长．【答案】（1）350xy−=（2）23【解析】【分析】（1）先求BC边的中点D的坐

标，再得AD的斜率即可求解；（2）先求△ABC的外接圆O，再求圆心到直线.直线l的距离，再由勾股定理可求解.小问1详解】∵()2,0B−，()3,3C−−∴BC边的中点D的坐标为53,22−−，∴中线AD的斜率为30325502−−=−−，∴中线AD的直线方程为：()300

5yx−=−，即350xy−=【小问2详解】设△ABC的外接圆O的方程为220xyDxEyF++++=，∵A、B、C三点在圆上，∴042099330FDFDEF=−+=+−−+=解得：240DEF===∴外接圆O的方程为22

240xyxy+++=，即22(1)(2)5xy+++=，其中圆心O为()1,2−−，半径5r=,又圆心O到直线l的距离为()()22121211d−−−+==+−,∴被截得的弦长的一半为223rd−=,∴被截得的弦长为23.【19.如图，在底面ABCD为菱形的平行六面体

1111ABCDABCD−中，MN，分别在棱11AACC，上，且1111133AMAACNCC==，，且1160AADAABDAB===．（1）用向量1AAADAB，，表示向量MN；（2）求证：1DMBN，，

，共面；（3）当1AAAB为何值时，11ACAB⊥．【答案】（1）113MNABADAA=+−（2）证明见解析（3）1【解析】【分析】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得；（2）根据空间向量线性运算法则得到1DMNB=，即可证明1DMBN，，，共面；（3）设

1AAcADbABa===，，，因为底面ABCD为菱形，则当11AAAB=时，abc==，由110ACABabcac=++−=，即可得出答案.【小问1详解】111211333MNMAABBCCNAAABBCAA

ABADAA=+++=−+++=+−．【小问2详解】证明：123DMAMADAAAD=−=−，1111123NBCBCNAAAD=−=−，1DMNB=，1DMBN，，，共面．【小问3详解】当11AAA

B=，11ACAB⊥，证明：设1AAcADbABa===，，，底面ABCD为菱形，则当11AAAB=时，abc==，11ACABBCCCabc=++=++，11ABABAAac=−=−，1160AADAABDAB===，2

2110ACABabcacaabbcc=++−=+−−=（）（），11ACAB⊥．