【文档说明】福建省漳州市2021届高三毕业班适应性测试（一）数学试题 含答案.doc，共(16)页，1.960 MB，由小赞的店铺上传

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学校:准考证号:姓名:（在此卷上答题无效）工作秘密★启用前漳州市2021届高三毕业班适应性测试（一）数学答案（考试时间：120分钟；满分：150分）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题。第Ⅰ卷（选择题60分）一．单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出

的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合3,2,1,2−=M，2,2−=N，下列结论成立的是A．NMB．=NMC．MNM=D．1=NCM2．若复数321zi=+（i为虚数单位），则复数z在复平面上对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．

平面直角坐标系xOy中，角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，其终边上一点P绕原点顺时针旋转π6到达点()3,4Q的位置，则πsin6−=A．35−B．35C．45−D．454．已知F为抛物线xy82=的焦点，M为抛物线上任意一点，点()

4,4A，则MFMA+的最小值为A．6B．24C．52D．45．原始的蚊香出现在宋代．根据宋代冒苏轼之名编写的《格物粗谈》记载：“端午时，贮浮萍，阴干，加雄黄，作纸缠香，烧之，能祛蚊虫．”如图，为某校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”，画法如下:在水平直线l上取长度为1的线段

AB，做一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧，交线段CB的延长线于点D，再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧，交线段AC的延长线于点E，以此类推，当得到的“螺旋蚊香”与直线l恰有5个交点

时，“螺旋蚊香”的总长度的最大值为A．14B．356C．24D．306．已知ABC中，5==ACAB，8=BC，点O是ABC的重心，则=ACBOA．10B．223C．13D．2297．正实数a，b，c满足22=+−aa，33=+bb，4log4=+

cc，则实数a，b，c之间的大小关系为A．cabB．cbaC．bcaD．acb8．正四面体ABCD的体积为4，O为其中心，正四面体EFGH与正四面体ABCD关于点O对称，则这两个正四面体公共部分的体积为A．3B．

83C．2D．43二．多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．）9．小王于2016年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小王选择了10年期

每月还款数额相同的还贷方式，且截止2020年底，他没有再购买第二套房子.下图是2017年和2020年小王的家庭收入用于各项支出的比例分配图：2017年各项支出2020年各项支出根据以上信息，判断下列结论中不正确的是A．小王一家2020年用于饮食的支出费用跟2017年相同B．小王一家2020年用

于其他方面的支出费用是2017年的3倍C．小王一家2020年的家庭收入比2017年增加了1倍D．小王一家2020年用于房贷的支出费用比2017年减少了10．已知等差数列na的公差0d，前n项和为nS，若6

10SS=，则下列说法正确的是A．80a=B．160S=C．若0d，则8100aa+D．若0d，则128aa11．在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，其外接圆半径为R，内切圆半径为3=r，满足3coscoscosRCcBbAa=++，ABC

的面积6=ABCS，则A．4=++cbaB．6=RC．61sinsinsin=++CBAD．312sin2sin2sin=++CBA12．已知函数||()sinxfxex=，则下列结论正确的是（）A．()fx

是周期为2的奇函数B．()fx在3,44−上为增函数C．()fx在(10,10)−内有21个极值点D．axxf)(在40，上恒成立的充要条件是1a第Ⅱ卷（非选择题90分）三．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．5

22xx+的展开式中，5x的系数为_______．14．定义在R上的偶函数)(xfy=，当0x时，121)(+=xxf，则不等式1)(lgxf的解集为_______．15．三棱柱111CBAAB

C−中，CABBBCC平面平面⊥11，31=CBC，ACB是等腰直角三角形，2=ACB，21==CCCB，则异面直线11BA与1AC所成角的余弦值为_______．16．已知双曲线C：12222=−byax（0a，0b）

的左、右焦点分别为F，F，以坐标原点O为圆心，OF为半径的圆交C的一条渐近线于,AB两点，且线段BF被C的另一条渐近线平分，则C的离心率为_______；若C的焦距为4，P为C上一点，且tan22OFP=，直线PF交C于另一点Q，则QF=______

_．（本题第一空2分，第二空3分）四．解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分10分）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，并且222bcabc+−=.（1）若2b=，sin2sinCB=，求AB

C的面积；（2）求coscosBC+的最大值.18．（本小题满分12分）已知等比数列na的前n项和为nS，满足143=S，且12a，2a，321a依次构成等差数列.（1）求数列na的通项公式；（2）请

从①nabnn+=②nnnab=③122loglog1+=nnnaab这三个条件选择一个，求数列nb的前n项和nT.注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分.19．（本小题满分12分）如图，圆柱1OO的轴截面11ABBA是正方形，1O、O分别是上、下底面的圆心，C是弧AB

的中点，D、E分别是1AA与BC中点.（1）求证：DE//平面11ACB；（2）求锐二面角11BACB−−的余弦值.20．（本小题满分12分）《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲

领.制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基.发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线.某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布2(,)N

，并把质量差在(,)−+内的产品为优等品，质量差在(,2)++内的产品为一等品，其余范围内的产品作为废品处理．优等品与一等品统称为正品．现分别从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：（1）根据频率分布直方图，求样本平均数x；（同一组中的数

据用该组区间的中点值代表）（2）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数x作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率；参考数据：若随机变量服从正

态分布()2,N，则：()0.6827P−+≤，()220.9545P−+≤，()330.9973P−+≤（3）假如企业包装时要求把3件优等品球和5件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出三件产品进行检验，记摸出三件产品中优等品球的件

数为X，求随机变量X的分布列及期望值．21．（本小题满分12分）已知函数()ln(1)1fxx=−−，ln()xagxexb−=−−（0a，bR）（1）当1a=，讨论)(xg在R上的零点个数；（2）若关于x的不等式xxfbaxg−+−)(ln)(恒成立，求实

数a的取值范围.22．（本小题满分12分）阿基米德（公元前287年公元前212年，古希腊）不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：22221xyab+=（0ab）的面积为23

，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形．过点()10M，且斜率不为0的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设椭圆E的左、右顶点分别为P，Q，直线PA与直线4x=交于点F，试证明B，Q，F三点共线；（3）求AOB面积的最大值.学校:准

考证号:姓名:（在此卷上答题无效）工作秘密★启用前漳州市2021届高三毕业班适应性测试（一）数学参考答案（考试时间：120分钟；满分：150分）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题。第Ⅰ卷（选择题60分）一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每

小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．C2．D3．D4．A5．B6．C7．A8．C【解析】1．集合3,2,1,2−=M，2,2−=N，不满足NM，则A错；2,2−=NM，则B错；MNM=，则

C正确；31，=NCM，则D错.故选C.2．()()()3212211111iziiiii+====++−−+则1zi=−，复数z在复平面上对应的点为()1,1−，故复数z在复平面上对应的点位于第四象限，故选D.3．依题意可知()3,4Q在角6−的终边上，所以64sin5=

−，故选D．4．点()4,4A是抛物线内的一点，设点M在抛物线准线上的射影为N，根据抛物线的定义可知MNMF=，要求MFMA+的最小值，即求MNMA+的最小值.当A，M，N三点共线时，MNMA+取到最小值(

)624=−−.故选A.5．由题意得，恰好有6段圆弧或有7段圆弧与直线l相交时，才恰有5个交点，每段圆弧的圆心角都为2π3，且从第1段圆弧到第n段圆弧的半径长构成等差数列：1，2，，n当得到的“螺旋蚊香”与直线l恰有5个交点时，“螺旋蚊香”的总长度的最大值为()356277132=+

．故选B.6．由题意，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立坐标系，由于5==ACAB，8=BC，则()0,4−B，()0,4C，故()3,0A又点O是ABC的重心，则()1,0O(4,1)BO=，()43

AC=−，，13316=−=ACBO，故选C7．4log4=+cccc−=4log4，即c为函数xy4log=与xy−=4的图象交点的横坐标33=+bbbb−=+431，即b为函数xy31+=与xy−=4的图象交点的

横坐标22=+−aaaa−=+4212，即a为函数xy212+=与xy−=4的图象交点的横坐标在同一坐标系中画出图象，可得cab.故选A.8．如图，点E，F，G，H，I，J分别是边AB，AC，AD，BC，CD，D

B的中点，这两个正四面体公共部分为多面体GEFHIJ．三棱锥AEFG−是正四面体，其棱长为正四面体ABCD棱长的一半，则11==82AEFGABCDVV−−这两个正四面体公共部分的体积为144422ABCDAEFGVV−−−=−=.故选C.二

、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。）9．ACD10．BCD11．ABD12．BD【解析】9．由于小王选择的是每月还款数额相

同的还贷方式，故可知2020年用于房贷方面的支出费用跟2017年相同，D错；设一年房贷支出费用为n，则可知2017年小王的家庭收入为560%3nn=，2020年小王的家庭收入为540%2nn=，55150%32n

n=，小王一家2020年的家庭收入比2017年增加了50%，C错；2017、2020年用于饮食的支出费用分别为555525%,25%31228nnnn==，A错；2017、2020年用于其他方面的支出费用分别是5536%,12%310210nnnn==，B对．故选ACD．

10．由已知610SS=，得890aa+=.若80a=，则90a=，不满足0d，故A错；由()()116168916802aaSaa+==+=，故B正确；当0d时，且890aa+=，则80a，90a，所以810920aaa+=，故C正确；当0d时，且890aa+=，则0

8a，09a，所以0910+=daa，所以8121020aaa+=，则812aa，故D正确.故选BCD.11．4,6)(23)(21=++=++=++=cbacbarcbaSABC，A正确；已知3coscoscosRCcBbAa=++所以,3cossin2cossin2cossin2

RCCRBBRAAR=++即312sin2sin2sin=++CBA，D正确；若ABC为锐角三角形，,631212sin212sin212sin212222==++=RCRBRARSABC所以6=R，若ABC为直角三角形或钝角三角形时可类似证明，B正确；212sinsinsinabcRA

BC++==++，所以31sinsinsin=++CBA，C错．故选ABD.12．因为()xf的定义域为R，()sin()()xfxexfx−−=−=−，所以()xf是奇函数，但是22(2)sin(2)sin

()xxfxexexfx+++=+=，所以()xf不是周期为2的函数，故A错误；当(,0)4x−时，()sinxfxex−=，(cos()sin)0xxfxex−−=，()fx单调递增，当3(0,)4x时，()sinx

fxex=，(sin))0c(osxxfxex+=，()fx单调递增，且()fx在3(,)44−连续，故()fx在3(,)44−单调递增，故B正确；当[0,10)x时，()sinxfxex=，()()+=+=4sin2cossinxexxe

xfxx，令()0fx=得，(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)4xkk=−+=，当(10,0)x−时，()sinxfxex−=，()()+=−=−−4cos2sincosxexxexfxx令()0fx=得，(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)4x

kk=+=−−−−−−−−−−,因此，()fx在(10,10)−内有20个极值点，故C错误；当40，x时，sin()xexfxaxax≥≤，设sin()xexgxx=，所以()()2sincossinxxxxxxexgx−+=，令()sincossinhxx

xxxx=+−，(0,]4x，()()0sincossin−+=xxxxxh，()xh单调递增，()()00=hxh，所以()0xg，()gx在(0,]4单调递增.当x趋近于0时，()xxexgxsin=趋近于1，所以1a，故D正确.故

选BD.三．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．4014．),10()101,0(+15．4316．2，9【解析】13．522xx+展开式的通项为()51052215522rrrrrrrTCxCxx−−+==令51052r−=，则2r=，所以5

22xx+的展开式中，5x的系数为225240C=故答案为40.14．由已知，当0x时，1)21()(+=xxf，不等式()1lgxf等价于()()1lg−fxf又)(xf定义在R上的偶函数，所以1lg−x，所以1lgx或1lg−x，解得10

x或1010x则不等式()1lgxf的解集为),10()101,0(+故答案为),10()101,0(+.15．因为31=CBC，21==CCCB，所以21=DA，又因为ACB是等腰直角三角形，2=

ACB，2=CB，所以2211=BA，因为CABBBCC平面平面⊥11，又BCAC⊥，11CCBBCABBC=平面平面所以BBCCAC11平面⊥，所以1ACAC⊥．又12ACCC==，所以221=AC根据题意可知异面直线11BA与1AC所成角为

DBA11，根据余弦定理得，()()4322222222222cos222111212121111=−+=−+=DBBADADBBADBA故答案为43.16．如图所示建立平面直角坐标系，设BF的中点为M，则由双曲线的对称性知，BOMFOMAOF==，所以π3

BOMFOMAOF===，所以+===222360tanbacab，可得224ac=，422=ac，2==ace；C的焦距为4，所以2c=，1a=.设QFx=，则'22QFxax=+=+，又由tan22OFP

=，得1cos3OFP=，所以1cos3OFQ=−，在'FFP△中，由余弦定理得，222''2'cos'QFQFFFQFFFFFQ=+−，即()221216243xxx+=+−−，解

得9x=，即9QF=．故答案为2，9.四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．解：（1）因为sin2sinCB=，2=b，所以24cb==，因为222bcabc+=+，所以2221cos22bcaA

bc+−==，···································2分又因为(0,π)A，所以π3A=．·······························································

3分所以ABC的面积113sin2423222SbcA===．·····························5分（2）由（1）可得3A=，所以()+−=+−+=+3co

scoscoscoscoscosBBABBCB+=+=6sinsin23cos21BBB··································8分MBOF'FQPAxy因为20π3B，

所以ππ536π6B+，···················································9分所以当π3B=时，+=+6sincoscosBCB有最大值1．···························

10分18．解：（1）设等比数列的公比为q，根据已知条件，12a，2a，321a依次构成等差数列，所以3122122aaa+=，则21112122qaaqa+=，···················

························2分因为01a，所以22122qq+=，解得2=q················································4分由143=S，即14321=++aaa，所以1442111=++aa

a，解得21=a············5分所以nna2=················································································

··········6分（2）选①nnabnnn+=+=2··································································7分）（nbbbb

Tnnn+++++++++=++++=3212222321321··············9分()212121++−−=nnn2122nnn++−=············································

···········12分选②nnnab=·······················································································7分nnnnbbbbT22322213

21321++++=++++=（*）143222322212+++++=nnnT······················································9分可得()()22122121222

23222111321−−=−−−=−++++=−+++nnnnnnnnnT11分所以()2211+−=+nnnT·······················································

·················12分选③()11111loglog1122+−=+==+nnnnaabnnn····································9分1111111312121121+=+−=+−++−+−=+++=nnnnnbbbTnn

···········12分19．解：（1）取1CB的中点为M，连接ME，1AM则EM//1BB//1AA，且1112EMAAAD==···············································2分所以四边形1

ADEM为平行四边形，所以DE//MA1，又1AM面11ACB，DE面11ACB所以DE//面11ACB.···············································································4分（2）⊥

1OO面ABC，则OBOO⊥1，OCOO⊥1，AB是圆柱底面的直径，C是弧AB的中点，所以CBCA=，O为AB中点，则OBOC⊥以O为原点，OB，OC，1OO分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz−，如图．···························

······································································5分设1OB=，则()1,0,0B=，()0,1,0C=，()11,0,2A=−，()11,0,2B=········6分()12,

0,2AB=−，()11,1,2AC=−设平面1ABC的一个法向量为()111,,nxyz=，则1100nABnAC==，1111122020xzxyz−=+−=，取11x=，则11y=，11z=，则()1,1,1n=·

·······················································································8分()112,0,0AB=，()11,1,2AC=−设平面11ABC的一个法向量为()222

,,mxyz=，则11100mABmAC==，11112020xxyz=+−=，解得10x=，取12y=，则11z=，则()0,2,1m=·····································

·················································10分所以2115cos,535mnmnmn+===.··········································

······11分所以锐二面角11BACB−−的余弦值为155.···············································12分20．解：（1）4656566666760.010100.020100.04510222x+++=

++768686960.020100.0051022++++················································2分70=·····················

··············································································3分（2）由题意样本方差2100s=，故210

s=，所以2(70,10)XN，······4分由题意，该厂生产的产品为正品的概率(6090)(6070)(7090)PPXPXPX==+1(0.68270.9545)0.81862=+=.所以DE//面11ACB.········

···························6分（3）X所有可能取值为0，1，2，3.·····················································7分()0335385028CCPXC===()123538

15128CCPXC===()21353815256CCPXC===()3035381356CCPXC===······················9分随机变量X的分布列为X0123P52815281556156·····················

····················································································11分()89561356152281512850=+++=XE·······················

·····················12分21．解：（1）1a=，()xgxexb=−−，()1xgxe=−，令()0gx=，得0x=当0x，()0gx，)(xg在()0,−单调递减当0x，()0gx，)(xg在()+，0单调递增所以0=x是()x

g的极小值点同时也是最小值点，即bgxg−==1)0()(min······2分当01−b，即1b时，)(xg在R上没有零点；当01=−b，即1=b时，)(xg在R上只有1个零点；·················

·················3分时，即当1,01−bb因为()0bgbe−−=，所以)0,()(−在xg只有一个零点，又因为bebbebgbb2)(−=−−=，取2)(,2)(−=−=xxexxex，()2

0xxe=−=令，得ln2x=当2lnx，02)(−=xex，)(x在()+,2ln单调递增当2lnx，02)(−=xex，)(x在()2ln,−单调递减02ln222ln2)2(ln2ln−=−=e，所以对xR，()0x，所以0)(b，即0

2−beb所以02)(−=bebgb，所以),0()(+在xg内只有一个零点，所以()xg在R上有两个零点.···································································

5分综上所述，当1b时，()xf在R上有两个零点；当1b时，函数()xf在R上没有零点；当1=b时，函数()xf在R上有一个零点.···················································6分（2）方法一：xx

fbaxg−+−)(ln)(恒成立，()+,1x即xxbabxeax−−−+−−−−1)1ln(lnln1)1ln(lnln−−−−xaeax······················································

·················7分所以)1(,1)1ln(lnln−+−−+−xxxaxeax构造xexhx+=)(，所以01)(+=xexh，()xh在R上单调递增只需)1ln(ln−−xax，即)1

ln(ln−−xxa恒成立···································8分令)1ln()(−−=xxxu，12111)(−−=−−=xxxxu········································9分当21x时，0)(

xu，所以)(xu在()1,2单调递减；当2x时，0)(xu，所以)(xu在()2,+单调递增，所以2)2(min==uu，即2lna·····························································11分又0a，所以

20ea.·····································································12分方法二：1x，有()lnlnln11xaeax−+−−，则当2x=时，2lnln1aea−−·······

····7分令()2lnln1aaea−=−+，所以()a在()0,+单调递减，··························8分注意到2()0e=，所以20ea.（必要性）···············

····························9分下面证明1xex+（xR）令()1xxex=−−，()1xxe=−当0x，()0x，所以()x在()0,+上单调递增当0x，()0x

，所以()x在(),0−上单调递减所以()()0100min=−==ex，即对xR，()10xxex=−−，即1xex+（xR）得证.因为1+xex，所以lnln1xex+，即ln1xx+，即()0,1ln−xxx.当20ae时，ln21lnl

n(1)1ln(1)11xaxeexaxxx−−−+−−−+−····························11分lnlnln(1)1xaeax−+−−.（充分性）······································

·················12分方法三：xxfbaxg−+−)(ln)(，即lnlnln(1)1xaexbabxx−−−−+−−−恒成立lnlnln(1)1xaeax−−−−······················

·················································7分即1x，ln()lnln(1)10xaaaex−=−+−−恒成立，······························8分注意到()a

在0a单调递增,·································································9分当20ae时，22()()1ln(1)1(1)(2)0xaeexxx−=−+−−−+−=，所以()0a········

···············································································10分当2ae时，22()()1ln(1)()xaeexhx−=−+−=注意

到(2)0h=，存在2x=，使得()0a，矛盾·····································11分综上，20ae.···················································

······························12分22．解：（1）由题意可得：22223=2c+abaabc==，解得2a=，3b=，1c=·······2分则椭圆方程为22143xy+=·····

···································································3分（2）设直线l的方程为1xty=+，设()11,Axy，()22,

Bxy由221143xtyxy=++=，整理得()2234690tyty++−=122122634934tyytyyt−+=+−=+································

··············································4分椭圆E的左、右顶点分别为()2,0P−，()2,0Q，直线PA方程为：()1122yyxx=++，又直线PA与直线4x

=交于点F，则1164,2yFx+，·································5分因为BQk,QFk都存在，所以要证B，Q，F三点共线，只需证QFBQkk=·······

··6分只需证22621122+=−xyxy只需证3311112+=−tyytyy只需证121221333yytyyyty−=+只需证()0322121=+−yyyty而()04363439232222121=+−−+−=+−ttttyyyty故B，Q

，F三点共线.··········································································8分（3）由（2）可得122122634934tyytyyt−+=+−=+()2212121221161=422

34AOBtSOMyyyyyyt+−=+−=+·································10分令21mt=+（1m），则2661313OABmSmmm==++令()13fmmm=+，函数()fm在区间[1,)+单调递增，即当1m=，即

0t=时，S取到最大值32.·················································12分