【文档说明】中原金科大联考2020届高三4月质量检测数学（文）试题【精准解析】.doc，共(22)页，1.882 MB，由小赞的店铺上传

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2020年“中原·金科”大联考高三4月质量检测数学(文科)一､选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}3{12A＝，，，2

|4Bxx=，则AB=（）A.2,1,0,1,2,3−−B.2,1,0,1,2,−−C.1,2,3D.1,2,【答案】D【解析】【分析】先求出集合B中不等式的解集，找出A和B的交集即可.

【详解】解：}23{1A＝，，，2|422Bxxxx==−，{}12AB＝，，故选：D.【点睛】本题考查交集及其运算以及解一元二次不等式，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.2.复数z满足23(izii=+为虚数单位)，则在复平

面内z的共轭复数z所对应的点为（）A.()3,2−B.()3,2C.()2,3−D.()2,3【答案】B【解析】【分析】根据题意求出复数z，利用共轭复数的定义和复数的几何意义即可求解.【详解】因为23izi=+，所以()()()23

2332iiiziiii+−+===−−，由共轭复数的定义知，32zi=+，由复数的几何意义知，复数z的共轭复数z对应复平面内的点为()3,2.故选：B【点睛】本题考查复数的几何意义和共轭复数的概念，属于基础题.3.甲、乙两人下

棋，甲获胜的概率为50%，甲不输的概率为80%，则甲、乙下成平局的概率为（）A.60%B.50%C.30%D.10%【答案】C【解析】【分析】利用互斥事件概率加法公式直接求解．【详解】解：甲、乙两人下棋，甲获胜的概率

为50%，甲不输的概率为80%，则甲、乙下成平局的概率为：80%﹣50%＝30%．故选：C．【点睛】本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力．4.sin75cos75值为（）A.12B.14C.32D.34【答案】B【解析】【分析】利用二倍角的正弦化简求

值.【详解】由题意，1sin75cos752sin75cos752=1sin1502=1122=14=故选：B【点睛】本题考查三角函数二倍角公式，属于基础题.5.“lnalnb=”是“22ab=”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】

A【解析】【分析】022ablnalnbab===，而22ababR==，推不出lnalnb=，得出结论．【详解】解：022ablnalnbab===，而22ababR==，推不出lnalnb=，故“ln

alnb=”是“22ab=”的充分而不必要条件，故选：A．【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，涉及指对数函数的定义域.6.若()()()3,1,1,,//,abtaba==+则t=（）A.23B.23−C.13−D.13【答案】D【解

析】【分析】利用平面向量的坐标运算和两向量共线的坐标表示即可求解.【详解】由题意知,()4,1abt+=+,因为()//aba+,由两向量共线的坐标表示可得,()41310t−+=,解得13t=.故选:D【点睛】本题考查平面向量的坐标运算和两向量共线

的坐标表示;考查运算求解能力;属于基础题.7.要得到函数sin(2)4yx=+的图象，只需将函数cos(2)2yx=−的图象（）A.向左平移4个单位B.向右平移4个单位C.向左平移8个单位D.向右平栘8个单位【答案】C【解析】【分析】由题意利用函数()sinyAωxφ=+

的图象变换规律，得出结论．【详解】解：要得到函数sin(2)4yx=+的图象，只需将函数cos(2)sin22yxx=−=的图象向左平移8个单位即可，故选：C．【点睛】本题主要考查函数()sinyAωxφ=+的图象变换规律以及诱导公式

．8.某单位为了了解用电量y（度）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温x（℃）﹣1101318用电量（度）64383424由表中数据得线性回归方程ˆ3yxa=−+，预测当气温为﹣4℃时用电量度数为（）A.65B.67C.7

8D.82【答案】D【解析】【分析】先求出样本中心点(),xy为()10,40，然后将其代入ˆ3yxa=−+，得到70a=，从而得到线性回归方程为370ˆyx=−+，再把4x=−代入，求出ˆy即可得解．【详解】解：1101318104x−+++==，6438342

4404y+++==，把样本中心点1040（，）代入ˆ3yxa=−+，得：40310a=−+，所以70a=，即370ˆyx=−+，当4x=−时，()347082ˆy=−−+=.故选：D．【点睛】本题考查线性回归方程的特征，样本中心点一定在回归直线

上．9.某船从A处向东偏北30°方向航行3千米后到达B处，然后朝西偏南60°的方向航行2千米到达C处，则A处与C处之间的距离为（）A.1千米B.2千米C.3千米D.6千米【答案】A【解析】【分析】画出方向向量，利用余弦定理，列方程求解即可.【详解】解：如图所示，ABC中，3

,2,603030BCABC==−=AB=，由余弦定理可得：22232cos3423212ACABBCABBCABC=+−=+−=，解得1AC=，所以A处与C处之间的距离为1千米．故选：A．【点睛】本题考查解三角

形的应用问题，涉及余弦定理解三角形，也考查了求解运算能力．10.已知m为一条直线，,为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若//,//m，则//mB.若,,m⊥⊥则//mC.若,//,m⊥则m⊥D.若//,,m⊥则m⊥

【答案】C【解析】【分析】利用线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行逐项判断即可.【详解】对于选项A:若//,//m，则//m或m,故选项A错误;对于选项B:若,,m⊥⊥则//m或m，故选项B错误;对于选项C:若,//,m

⊥由面面平行的性质和线面垂直的判定知m⊥成立,故选项C正确;对于选项D:若//,,m⊥则//m或m或m与相交,故选项D错误;故选:C【点睛】本题考查利用线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定

理，判断空间中直线与平面的位置关系;考查学生的逻辑思维能力和空间想象能力;属于中档题、常考题型.11.已知定义在R上的奇函数()fx满足(3)()fxfx+=，当(0x，1]时，()2xfxlnx=+，则(2021)f=（）.A.﹣2B.2C.

12−D.12【答案】A【解析】【分析】利用函数的周期性可知(2021)(1)ff=−，利用奇函数的性质可知()()11ff−=−，进而由已知范围的解析式得解．【详解】解：依题意，函数()fx的周期为3，故()(2021)(36732)2fff=+=，又()2f()(1)1ff=−=−(2

1)2ln=−+=−，(2021)2f=−．故选：A．【点睛】本题考查利用函数周期性及奇偶性求函数值，考查运算能力．12.双曲线22221(0,0)yxabab−=的上焦点为()10,22F，点A的坐标为(1,0)，点P为双曲线下支上的动点，且1APF周长的最小值为8，则双曲线的离

心率为（）A.2B.3C.2D.22【答案】D【解析】【分析】由题意可得1||3AF=，可得1||||PAPF+的最小值为5，设2F为双曲线的下焦点，由双曲线的定义可得2||||2PAPFa++的最小值为4，当A，P，2F三点共线时，取得最小值，可得1a=，由离心

率公式可得所求值．【详解】解：双曲线22221(0,0)yxabab−=的上焦点为1(0F，22)，点A的坐标为(1,0)，1||813AF=+=，三角形1APF的周长的最小值为8，可得1||||PAPF+的最小值为5，又2F为双曲线的左焦点，可得12||||2P

FPFa=+，当A，P，2F三点共线时，1||||PAPF+取得最小值，且为2||3AF=，即有325a+=，即1a=，22c=，可得22cea==．故选：D．【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，考查三点共线取得

最小值的性质，考查方程思想和运算能力．二､填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13.高一、高二、高三三个年级共有学生1800人，其中高一共有学生800人，现用分层抽样的方法抽取90人作为样本，则应抽取高一学生为_____人．【答案】40【解析】【分析】利用分层抽样性质直接求解．【详

解】解：高一、高二、高三三个年级共有学生1800人，其中高一共有学生800人，现用分层抽样的方法抽取90人作为样本，则应抽取高一学生为80090401800=．故答案为：40．【点睛】本题考查分层抽样的应用，考查运算求解能力．14.在ABC中，角A、B、C所对的

边分别为a，b，c．若1b=，3c=，3C=，则ABC的面积为_____．【答案】32【解析】【分析】由已知结合余弦定理可求a，然后结合三角形的面积公式即可求解．【详解】由余弦定理可得，2222113cos322abcaaba+−+−==，整理可得，

220aa−−=，解可得2a=，则1133sin212222ABCSabC===．故答案为：32．【点睛】本题主要考查了余弦定理及三角形面积公式的简单应用．15.若x，y满足约束条件3003xyxyx+−−，则2xy+的最小值为_____．【

答案】92【解析】【分析】先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数2xy+的最小值．【详解】解：由约束条件得如图所示的三角形区域，令2xyz+=，2yxz=−+，显然

当平行直线过点3(2A，3)2时，z取得最小值为：39322+=；故答案为：92．【点睛】本题考查线性规划求最小值问题，我们常用几何法求最值.16.在矩形ABCD中，已知3AB=，6BC=，E为AC上一点．（1）若13AEAC=

，则ED=_____；（2）若·0BEAC=，则ED=_____．【答案】(1).17(2).3655【解析】【分析】（1）可以点B为原点，BC为x轴，建立平面直角坐标系，并设(,)Exy，从而得出(,3)

,(6,3)AExyAC=−=−，然后根据13AEAC=即可得出点E的坐标，从而得出ED的长度；（2）根据0BEAC=即可得出BEAC⊥，并根据条件求出235,cos5ACBCA==，从而得出125EC=，然后在CDE中，根

据余弦定理即可求出21175DE=，从而可求出DE的值．【详解】解：以点B为原点，BC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则：(0,0)B，(0,3)A，(6,0)C，(6,3)D，设(,)Exy，（1）(,3),(6,3)AEx

yAC=−=−，1(,3)(6,3)(2,1)3xy−=−=−，231xy=−=−，解得22xy==，(2,2),(4,1)EED=，17ED=；（2）0BEAC=，BEAC⊥，且3

5AC=，62cos355BCA==，212655EC==，且3CD=，31cos355DCE==，在CDE中，根据余弦定理得：2221441211172cos9235555DEECCDEC

CDDCE=+−=+−=，3655DE=．故答案为：365175，．【点睛】本题考查了通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量的问题的方法，以及余弦定理和直角三角形的边角关系，考查了计算能力．三､解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程

或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22､23为选考题，考生根据要求作答.17.已知等比数列na的首项12a=，且234,2,aaa+成等差数列．（1）求na的通项公式；（2）若2lognnba=，求数列11nnbb+的前n项和

nT．【答案】（1）2nna＝；（2）1nnTn=+．【解析】【分析】（1）设等比数列的公比为q，运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，解方程可得公比q，进而得到所求通项公式；（2）由对数的运算性质可得nbn=，求得11111nnbbnn+=−−，

再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．【详解】解：（1）等比数列na的首项12a=，公比设为q，234,2,aaa+成等差数列，可得2432(2)aaa+=+，即有32222(22)qqq+=+，解得2q=，则112n

nnaaq−==，（2）22loglog2nnnban===，则()1111111nnbbnnnn+==−++，前n项和1nT=111112231nn−+−++−=+1111nnn−=++．【点睛】本题考查等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，考查数列

的裂项相消求和，考查方程思想和化简运算能力．18.为了践行习总书记提出的“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念，我市在经济速发展同时，更注重城市环境卫生的治理，经过几年的治理，市容市貌焕然一新，为了调查市

民对城区环境卫生的满意程度，研究人员随机抽取了1000名市民进行调查，并将满意程度统计成如图所示的频率分布直方图，其中2ab＝．（1）求,ab的值；（2）若按照分层抽样的方式从))50,60,60,70中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人

，求至少有1人的分数在50，)60的概率．【答案】（1）a＝0.030，b＝0.015．（2）710【解析】【分析】（1）由频率分布直方图列出方程组，由此能求出,ab．（2）))50,60,60,70两段频率比为0.1:0.152:3=，按照分层抽样的方式从)

)50,60,60,70中随机抽取5人，分数在)50,60中抽取2人，记为12,aa，分数在)60,70中抽取3人，记为1b，2b，3b，从这5人中随机抽取2人，利用列举法能求出至少有1人的分数在)50,60的概率．【详解】解：（1）由频率分布直方图得：(0.0

10.0350.01)101ab++++=，0.045ab+=，又2ab=，解得0.030a=，0.015b=．（2）[50，60)，[60，70)两段频率比为0.1:0.152:3=，按照分层抽样的方式从[50，60)，[60，70)中随机抽取5人，分数在[50，60

)中抽取2人，记为1a，2a，分数在[60，70)中抽取3人，记为1b，2b，3b，从这5人中随机抽取2人的所有情况为：1(a，2)a，1(a，1)b，1(a，2)b，1(a，3)b，2(a，1)b，2(a，2)b，2(a，3)b，1

(b，2)b，1(b，3)b，2(b，3)b，共10个，其中，至少有1人的分数在[50，60)包含的基本事件有7个，至少有1人的分数在[50，60)的概率710P=．【点睛】本题考查古典概型概率的求法，考查频率

分布直方图、列举法、分层抽样等基础知识，考查运算求解能力．19.如图，在三棱锥PABC−中，PAAB⊥，PABC⊥，ABBC⊥，PAABBCt===，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．（1）求证：PABD⊥；（2）当//PA平面BDE时，若三棱锥E

BCD−的体积为13，求t值．【答案】（1）见解析；（2）2t＝．【解析】【分析】（1）由PAAB⊥，PABC⊥，ABBC⊥，得PA⊥平面ABC，由此能证明PABD⊥；（2）由//PA平面BDE，得//PADE，由D是A

C中点，得122tDEPA==，22BDDCt==，由PA⊥平面ABC，得DE⊥平面BCD，由此利用三棱锥EBCD−的体积为13，能求出t．【详解】解：（1）在三棱锥PABC−中，PAAB⊥，PABC⊥，ABBCB=，PA⊥平面ABC，BDQ平面ABC，PABD⊥，（2）//P

A平面BDE，平面PAC平面BDEDE=，PA平面PAC，//PADE，DQ是AC中点，122tDEPA==，因为ABBC⊥，所以222ACABBCt=+=，故22BDDCt==，由（1）知PA⊥平面ABC，DE⊥平面BCD，三棱锥

EBCD−的体积为13，三棱锥EBCD−的体积111363BCDVSDEBDDCDE===，解得2t=．【点睛】本题考查线线垂直的判定和三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力．20.已知函数2()()(1)xfxxaea

x=+−+．（1）当0a=时，求函数()fx在()()11f，处的切线方程；（2）若2a−…，证明：当0x…时，()0fx…．【答案】（1）320exye−−=；（2）见解析【解析】【分析】（1）把0a=代入函数解析式，求得导函数，得到()1

f，求得()1f，再由直线方程的点斜式得答案；（2）求出函数()fx的导函数，进行二次求导，可得原函数的单调性，再由函数的单调性证明当0x…时，()0fx…．【详解】解：当0a=时，2()xfxxe=，2()(2)xfxxx

e=+，()13fe=，()1fe=，函数()fx的图象在()()1,1f处的切线方程3(1)yeex−=−，即320exye−−=；（2）证明：2()(2)xfxxxaea=++−，令2()(2)

xgxxxaea=++−，则2()(42)xgxxxae=+++，2a−…，当0x…时，22(42)(4)0xxxxaexxe++++厖，即()0gx…且不恒为零．()gx在[0，)+上是增函数，故()(0)0gxg=…，即()0fx…，()f

x在[0，)+上是增函数，()(0)0fxf=…，即()0fx…．故若2a−…，则当0x…时，()0fx…．【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，以及利用导数研究函数单调性和求最

值．21.已知椭圆22221(0)xyabab+=的左、右焦点分别为1F，2F，四个顶点恰好构成了一个边长为3且面积为22的菱形．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线1l，2l过右焦点F2，且它们的斜率乘积为12−，设1l，2l分别与椭圆交于点A，B和C，D，AB的中点为M，CD的中点

为N，求OMN面积的最大值．【答案】（1）2212xy+=；（2）28【解析】【分析】（1）根据题意列出方程组221222223abab=+=，解出a和b的值即可得解；（2）设直线1l的

方程为()1ykx=−，()()1122,,,AxyBxy，则直线2l方程为1(1)2yxk=−−，然后分别联立直线1l和椭圆的方程，以及直线2l和椭圆的方程，再结合韦达定理得到2222221(,),(,)12121212kkkMNkkkk−++++，从而得到点T的坐标

，因此2112||||||2412OMNMNkSOTyyk=−=+，最后结合均值不等式即可求得面积最大值．【详解】解：（1）由题可知，221222223abab=+=，解得21ab==，故椭

圆的标准方程为2212xy+=．（2）设直线1l的方程为()1ykx=−，()()1122,,,AxyBxy，联立()22112ykxxy=−+=，消去y得2222)202142(−=+−+xkxkk，所以2122412kxxk+=+，因为AB的中点为M，所以212222

12Mxxkxk+==+，212Mkyk−=+，因为直线1l的斜率为k，且1l与2l的斜率乘积为12−，所以直线2l方程为1(1)2yxk=−−，同理可得，2211212NNkxykk==++，，所以2222

22112121212kkkMNkkkk−++++，，，，所以MN的中点为102T，．因此22112111212412212282OMNMNkkSOTyykkkk=−==

=+++．当且仅当12kk=，即22k=时取等号，故△OMN面积的最大值为28．【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭圆的标准方程、曲直联立、中点坐标公式、面积公式、均值不等式等，考查学生的分析能力和运算能力．22.在

直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2cossinxy=+=(为参数)，以O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos42()−=.（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设直线l与x轴的交点为,A与y

轴的交点为,BP是曲线C上一点，求PAB△面积的最大值.【答案】（1）C的普通方程：()2221xy−+=，l的直角坐标方程：1xy+=（2）212+【解析】【分析】()1利用极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的互化公式进行化简求解即可;()2由()1

求出,AB两点坐标和线段AB的长度,要使PAB△的面积最大只需点P到直线l的距离最大即可,由题意可知,点P到直线l的距离最大值即为圆心C到直线l的距离加半径,利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】()1由2cos

sinxaya=+=得()2221xy−+=，所以曲线C的普通方程为()2221xy−+=；由(cos)2,42−=得222cossin222+=，因为cos,sinxy==,22222

2xy+=，即1xy+=，所以直线l的直角坐标方程为1xy+=.()2由（1）知直线l与坐标轴的交点为()()1,0,0,1,AB因为圆C方程为()2221xy−+=，所以圆心为()2,0C，半径为1r=，由点

到直线的距离公式可得,圆心C到直线l的距离为201222d+−==，因为点P在圆C上，所以点P到直线AB的距离的最大值为212dr+=+，又2AB=,12ABPSABh=()()max11221212222ABPSABdr+=+

=+=.【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的互化和由圆上动点到定直线距离的最值求面积最值;考查运算求解能力和逻辑推理能力;属于中档题、常考题型.23.已知()|3|fxax=−，不等式

()6fx„的解集是{|13}xx−剟．（1）求a的值；（2）若()()3fxfxk+−存在实数解，求实数k的取值范围．【答案】（1）3a=；（2）()2,+【解析】【分析】（1）依题意可得39ax−剟，再分

0a=，0a及0a讨论即可得出结论；（2）利用不等式的性质可知，()()23fxfx+−…，由此即可求得k的取值范围．【详解】解：（1）由|3|6ax−„，得636ax−−剟，即39ax−剟，当0a=时，xR，不合题意，当0a时，39xaa−剟，则3193aa−=−=，

解得3a=，符合题意，当0a时，93xaa−剟，则9133aa=−=，无解，综上，3a=；（2）因为()()|33||33||1||1||1(1)|233fxfxxxxxxx+−−++==−++−−+=…，要使()()3fxfxk+−存在实数解，只需2k，实数k的取值范

围为(2,)+．【点睛】本题考查绝对值不等式的解法及其性质，考查不等式的恒成立问题．