【文档说明】福建省莆田市第八中学2021届高三下学期5月月考数学（A卷） 含答案.doc，共(21)页，1.082 MB，由管理员店铺上传

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（新高考）2020-2021学年下学期高三5月月考卷数学（A）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草

稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题

5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设()1i1ixy−=−，其中x，yR，则ixy−=（）A．2B．1C．12D．222．已知集合220Axxx=−−，集合

2cos3Bxx=，则AB=（）A．π1,6−B．1π,6−C．1,2−D．ππ,66−3．设0x，0y，则“1xy+=”是“14xy”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．已知下

表所示数据的回归直线方程ˆ44yx=−，则实数m的值为（）x23456y37m1821A．11B．12C．13D．145．ABC△中，D是BC的中点，点E在边AC上，且满足3AEAC=，BE交AD于点F，则BF=（）A．3144ABAC−+B．3144A

BAC−C．1233ABAC−+D．2133ABAC−+6．已知从1开始的连续奇数首尾相接蛇形排列形成如图三角形数表，第i行第j列的数记为ija,，如3,17a=，4,315a=，则,2021ija=时，

1102(3)log(19)ji−−+=（）5379111917151321231252729…………………………………………A．54B．18C．9D．67．已知两点(,0)Aa，(,0)Ba−，(0)a，若圆22(3)(1)4xy−+−=上

存在点P，使得90APB=，则正实数a的取值范围为（）A．(0,4)B．(0,4]C．[2,3]D．[1,2]8．已知函数2log,1()11,14xxfxxx=+，()()gxfxk

x=−，若函数()gx有两个零点，则k的取值范围是（）A．10,4B．10,ln2eC．10,eD．11,4ln2e二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5

分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．将函数()c23πosfxx=−的图象向左平移π12个单位长度，得到函数()gx的图象，则（）A．()gx的最小正周期为π2B．()gx的图象关于直线π12x=对称C．()gx的图象的一个对称中心为0π,12

−D．()gx在0π,3−上单调递增10．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，E，F，G分别为所在棱的中点，P为平面11BCCB内（包括边界）一动点，且1DP∥平面EF

G，则（）此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号A．BDEG∥B．1BD∥平面EFGC．三棱锥1DEFG−的体积为13D．P点的轨迹长度为211．已知直线1:10laxy−+=，2:10lxay++=，aR，以下结论正确的是（）A．不论a为何值时，1l与2l都互相垂直B．当a变化时，1l

与2l分别经过定点()0,1A和()1,0B−C．不论a为何值时，1l与2l都关于直线0xy+=对称D．如果1l与2l交于点M，则MO的最大值是212．已知函数()lnfxxx=，若120xx，则下列结论正确的是（）A．()()2112xfxxfxB．()()

1122++xfxxfxC．()()12120fxfxxx−−D．当ln1x−时，()()()1122212xfxxfxxfx+第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．集合A中有4个等差数列，集合B中有5个等比数列，A

B的元素个数是1，在AB中任取两个数列，这两个数列中既有等差数列又有等比数列的概率是_________．14．在锐角ABC△中，D为BC的中点，3AB=，7AC=，且sincosBCBC+3sincos2ABBAAC=，则AD=__________．15．已知62

60126(1)(1)(1)(1)xaaxaxax+=+−+−++−，则4a=_________．16．如图，已知曲线2:4Cyx=，焦点()1,0F，点M在x轴上运动，P为C上的动点，若PM的中点N落在

y轴上，则FNM=________；斜率为43的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为Q，若4AQQB=，则AB=________．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）某地区的平面规划图中（如图），三

点,,ABC分别表示三个街区，π3ABC=，现准备在线段AB上的点D处建一个停车场，它到街区B的距离为1，到街区,AC的距离相等．（1）若线段AD的长为3，求sinBCD的值；（2）若BCD△的面积为3，求点A到直线BC的

距离．18．（12分）已知数列na满足12a=−，124nnaa+=+．（1）求2a、3a、4a；（2）猜想na的通项公式并加以证明；（3）求数列na的前n项和nS．19．（12分）如图，四边形ABCD是边长为23的菱形，DD1⊥平面ABCD，BB1⊥平面ABCD

，且BB1＝DD1＝2，E，F分别是AD1，AB1的中点．（1）证明：平面BDEF∥平面CB1D1；（2）若∠ADC＝120°，求直线DB1与平面BDEF所成角的正弦值．20．（12分）双败淘汰制是一种竞赛形式，与普通的单败淘汰制输掉一场即被淘汰不同，参赛者只有在输

掉两场比赛后才丧失争夺冠军的可能．在双败淘汰制的比赛中，参赛者的数量一般是2的次方数，以保证每一轮都有偶数名参赛者．第一轮通过抽签，两人一组进行对阵，胜者进入胜者组，败者进入负者组．之后的每一轮直到最后一轮之前，胜者组的选手两人一组相互对阵，胜者进入下一轮，败者则降到负者

组参加本轮负者组的第二阶段对阵；负者组的第一阶段，由之前负者组的选手（不包括本轮胜者组落败的选手）两人一组相互对阵，败者被淘汰（已经败两场），胜者进入第二阶段，分别对阵在本轮由胜者组中降组下来的选手，胜者进入下一轮，败者被淘汰．最后一轮，

由胜者组最终获胜的选手（此前从未败过，记为A）对阵负者组最终获胜的选手（败过一场，记为B），若A胜则A获得冠军，若B胜则双方再次对阵，胜者获得冠军．某围棋赛事采用双败淘汰制，共有甲、乙、丙等8名选手参赛．第一轮对阵双方由随机抽签产生

，之后每一场对阵根据赛事规程自动产生对阵双方，每场对阵没有平局．（1）设“在第一轮对阵中，甲、乙、丙都不互为对手”为事件M，求M的概率；（2）已知甲对阵其余7名选手获胜的概率均为23，解决以下问题：①求甲恰在对阵三场后被淘汰的概率；②若甲在第一轮获胜

，设甲在该项赛事的总对阵场次为随机变量，求的分布列．21．（12分）已知e为椭圆22221(0)xyabab+=的离心率，且点(1,)Me，23,22N均在椭圆上．（1）求椭圆方程

；（2）如图，12,FF分别为椭圆的左右焦点，点A在椭圆上，直线12,AFAF分别与椭圆交于B，C两点，直线21,BFCF交于点D，求证：1212AFFDFFSS△△为定值．22．（12分）已知函数()22lnkxfxxx+−=．（1）讨论()fx的单调性；（2）若()fx有2个极值点1

x，2x，证明：()()123fxfx+．（新高考）2020-2021学年下学期高三5月月考卷数学（A）答案第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A【解析】因为()1i1ixy

−=−，所以1iixyy−=−，所以1yxy==，解得11yx==，所以i1i2xy−=−=，故选A．2．【答案】D【解析】22012Axxxxx=−−=−，2cos32π

2π,6π6πBxxxkxkk==−+Z，因此，ππ,66AB=−，故选D．3．【答案】A【解析】当1xy+=时，()2144xyxy+=，当且仅当12xy==时取等号，故“1x

y+=”是“14xy”的充分条件，当14xy时，14x=，14y=满足14xy，但不满足1xy+=，故“1xy+=”不是“14xy”的必要条件，“1xy+=”是“14xy”的充分而不必要条件，故选A．4．【答案】A【解

析】因为2345645x++++==，所以44412y=−=，所以371821125m++++=，解得11m=，故选A．5．【答案】A【解析】由题设可得如下几何示意图，设BFBE=，AFAD=，∵3ACBEAEABAB=−=−，∴3ACBFBEAB==−，∵2ABACAD+=，∴()

2ABACAFAD+==，由ABBFAF+=，知()(1)32ACABACAB+−+=，∴1232−==，得3412==，∴33444ACBFBEAB==−，故

选A．6．【答案】A【解析】奇数构成的数阵，令212021n−=，解得1011n=，故2021是数阵中的第1011个数，第1行到第i行一共有(1)1232iii+++++=个奇数，则第1行到第44行末一共有44(441)

9902+=个奇数，第1行到第45行末一共有1035个数，所以2021位于第45行，又第45行是从左到右依次递增，且共有45个奇数，所以2021位于第45行，从左到右第21列，所以45i=，21j=，则122112101022(

3)(3)log(4519)(3)log649654log(19)ji−−−=−+=−==+，故选A．7．【答案】B【解析】因为90APB=，所以点P在以AB为直径的圆上，方程为222xya+=，半径为a，圆22(3)(1)4xy−+−

=的圆心坐标为(3,1)，该圆心到原点的距离为22(3)12+=，半径为2，要想圆22(3)(1)4xy−+−=上存在点P，使得90APB=，说明圆222xya+=和圆22(3)(1)4xy−+−=有公共点，因此有22204aaa−+，因为0a，所以04a，故

选B．8．【答案】D【解析】作出2log,1()11,14xxfxxx=+的图象，如图所示，当ykx=与2logyx=相切时，设切点为()00,xy，则有000200log1ln2ykxyxkx===，解得0xe=，所以相切时的斜率1ln2k

e=；将函数ykx=的图象顺时针旋转，当114ln2ke时，()fx与ykx=有2个交点，满足题意；当104k时，()fx与ykx=有3个交点，不满足题意；当0k时，()fx与ykx=有1个交点，不满足题意；当1ln2ke时，()fx与ykx=有0个或1个交点，不满足题意，故选D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．【答案】BD【解析】将函数()cos23πfxx=−的图象向左平移π12个单位长度，得到π()()cos2cos212126

πππ3gxfxxx=+=+−=−的图象，对A：()gx的周期为2ππ2T==，故A错误；对B：当π12x=时，cos2cos01121π26ππg=−==，取得最值，故B正确；对C：当π12x=−时，

ππcos2cos0121263ππg−=−−=−，故C错误；对D：令2ππ22π()6πkxkk−−Z，得5πππ()1212πkxkk−+Z，故()

gx的单调递增区间是5π[π,π]()1212πkkk−+Z，令0k=，得()gx的一个单调递增区间是5ππ[,]1212−，所以()gx在0π,3−上单调递增，故D正确，故选BD．10．【答案】BC

D【解析】对于A，取1BB的中点为M，连接,GMBD，由正方体的性质可知，//BDGM，而GM与EG相交，所以,BDEG不平行，故A错误；对于B，连接1DC，容易知道平面//FGE平面1DBC，由面面平行的性质可知1BD∥平

面EFG，故B正确；对于C，11111112113323DEFGEFGDFGDVVSAE−−====△，故C正确；对于D，由B可知平面//FGE平面1DBC，即点P的轨迹为线段BC，长

度为2，故D正确，故选BCD．11．【答案】ABD【解析】对于A，()110aa+−=恒成立，12ll⊥恒成立，A正确；对于B，对于直线1l，当0x=时，1y=恒成立，则1l过定点()0,1；对于直线2l，当0y=时，1x=−恒成立，则2l恒

过定点()1,0−，B正确；对于C，在1l上任取点(),1xax+，关于直线0xy+=对称的点的坐标为()1,axx−−−，代入2l方程知()1,axx−−−不在2l上，C错误；对于D，联立1010axyxay−+=++=，解得221111axaaya−−=+

−+=+，即2211,11aaMaa−−−+++，222221122111aaMOaaa−−−+=+=+++，即MO的最大值是2，D正确，故选ABD．12．【答案】AD【解析】对于A选项，因为令()()lnfxgxxx==，在()0,

+?上是增函数，所以当120xx时，()()12gxgx，所以1212()()fxfxxx，即()()2112xfxxfx，故A选项正确；对于B选项，因为令()()lngxfxxxxx=+=+，所以

()ln2gxx=+，所以()2,xe−+时，()0gx，()gx单调递增；()20,xe−时，()0gx，()gx单调递减，所以()11xfx+与()22xfx+无法比较大小，故B选项错误；对于C选项，令()ln1fxx=+，所以1

0,xe时，()0fx，()fx在10,e单调递减；1,xe+时，()0fx，()fx在1,e+单调递增，所以当1210xxe时，()()12fxfx，故1212()()0fxfxxx−−成立，当121exx时

，()()12fxfx，1212()()0fxfxxx−−，故C选项错误；对于D选项，由C选项知，当ln1x−时，()fx单调递增，又因为A正确，()()2112xfxxfx成立，所以()()()()()

()()112221112221122xfxxfxxfxxfxxfxxfxxfx−−+−+()()()()112212xfxfxfxfxx=−+−()()()12120xxf

xfx=−−，故D选项正确，故选AD．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】1928【解析】由AB的元素个数是1可知，所以AB中共有8个数列，其中有一个数列既是等差数列又是等比数列，有3个数列为等差数列而不是等比数列，有4个数列为等比数列而不是等

差数列．则从中任取2个数列有28C28=种不同的取法．从中取出的两个数列中，全为等差数列有23C3=种不同的取法，全为等比数列有24C6=种不同的取法．所以这两个数列中既有等差数列又有等比数列有286319−−=种不同的取法，所以这两个数列中既有等差

数列又有等比数列的概率为1928，故答案为1928．14．【答案】7【解析】由3sincossincos2BCBCABBAAC+=，由正弦定理可得的3sinsincossinsincossin2ABCCBAB+=，因为(0,π)B，可得sin0B，所以3sincossincos

2ACCA+=，即3sin()sin2ACB+==，所以π3B=，在ABC△中，由余弦定理可得2222cosACABBCABBCB=+−，即2320BCBC−+=，解得2BC=或1BC=，当1BC=时，此时2221cos02217BCACABCBCAC

+−−==，此时ABC△为钝角三角形，不符合题意，舍去；当2BC=时，因为D为BC的中点，可得1BD=，在ABD△中，由余弦定理可得22222π12cos31231732ADABBDABBD=+

−=+−=，所以7AD=，故答案为7．15．【答案】60【解析】∵66(1)[(1)2]xx+=−+，∴展开式通项616C(1)2rrrrTx−+=−，即由题设4a对应64r−=，则2r=，∴24224366C(1)24C(1)Txx=−=−，即24

64C60a==，故答案为60．16．【答案】π2，254【解析】设00(,)Pxy，(,0)Mx，(0,)Ny，(1,0)F，因为N是PM中点，P在抛物线上，所以002xx+=，02yy=，2004yx=，00

(,)(,)2yNMxyx=−=−−，0(1,)2yNF=−，2000004yNMNFxxx=−+=−+=，所以NMNF⊥，所以π2MNF=，设11(,)Axy，22(,)Bxy，直线l方程为43yxm=+，则3(,0)4Qm−，由2434

yxmyx=+=，得2330yym−+=，123yy+=，123yym=，因为4AQQB=，所以1204(0)yy−=−，即124yy=−，由124yy=−，及123yy+=，123yym=，解得14y=，21y=−，43m=−，2222121212121222

11()()()()1ABxxyyyyyyyykk=−+−=−+−=+−9251(41)162=++=，故答案为π2，252．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）36

；（2）3932+．【解析】（1）DQ到,AC的距离相等，3CDAD==，在BCD△中，由正弦定理得sinsinBCDBCDACDB=，3sin32sin36BDABCBCDCD===．（2）13sin324BCDSBDBCDBCBC===△

，4BC=，在BCD△中，由余弦定理得2222cos17413CDBDBCBDBCDBC=+−=−=，13ADCD==，131AB=+，1sin3932ABCSABBCABC==+△，设点A到直线BC的距离为h，则123932ABCSBChh=

==+△，解得3932h+=，即点A到直线BC的距离为3932+．18．【答案】（1）20a=，34a=，412a=；（2）24nna=−，证明见解析；（3）1242nnSn+=−+．【解析】（1）因为12a=−，所以()21242240aa=

+=−+=，32244aa=+=，432412aa=+=．（2）猜想24nna=−，证明：因为124nnaa+=+，所以()142824nnnaaa++=+=+，即1424nnaa++=+，因为142a+=，所以4na+是以2为

首项、2为公比的等比数列，故42nna+=，24nna=−．（3）当1n=时，120a=−，112Sa==；当2n时，0na，则()()21222424nnnSaaa=−+++=+−++−()()()21212222414124212nnn

nnn+−=+++−−=−−=−+−，因为当1n=时，满足1242nnSn+=−+，所以当*nN时，1242nnSn+=−+．19．【答案】（1）证明见解析；（2）31326．【解析】（1）证明：连接AC，交BD于点O，连接OE，则O为AC的中点，∵E是1AD

的中点，1OECD∥，OE平面BDEF，1CD平面BDEF，所以1CD∥平面BDEF，又F是1AB的中点，11EFBD∥，EF平面BDEF，11BD平面BDEF，所以11BD∥平面BDEF，又111,CDBD平面11CBD，111

1BDCDD=，所以平面BDEF∥平面11CBD．（2）取AB的中点M，连接DM，在菱形ABCD中，120ADC=，ABD△为正三角形，则DMDC⊥，由1DD⊥平面ABCD，故以1,,DMDCDD所在直线分别为,,xyz轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0

,0,0)D，(3,3,0)B，33(,,1)22E−，1(3,3,2)B，∴1(3,3,2)DB=，(3,3,0)DB=，33(,.1)22DE=−，设平面BDEF的法向量为(,,)xyz=n，00DBDE

==nn，即33033022xyxyz+=−+=，令1x=，则3y=−，3z=−，(1,3,3)=−−n，设直线1DB与平面BDEF所成角为，则111,313sincos,26DBDBDB=

==nnn，故直线1DB与平面BDEF所成角的正弦值为31326．20．【答案】（1）47；（2）①427；②答案见解析．【解析】（1）8人平均分成四组，共有2222864244CCCCA种方法，其中甲，乙，丙都不分在同一组的方法数为35A，所以()352222864244A4CCCC7

APA==．（2）①甲恰在对阵三场后淘汰，这三场的结果依次是“胜，败，败”或“败，胜，败”，故所求的概率为211121333332734+=．②若甲在第一轮获胜，3,4,5,6,7．当3=时，表示甲在接下来的两场

对阵都败，即()1113339P===；当4=时，有两种情况：（i）甲在接下来的3场比赛都胜，其概率为222833327=；（ii）甲4场对阵后被淘汰，表示甲在接下来的3场对阵1胜1败，且第4场败，概率

为122114C33327=，所以()844427279P==+=；当5=时，有两种情况：（i）甲在接下来的2场对阵都胜，第4场败，概率为221433327=；（ii）甲在接下来的2场对阵1胜1

败，第4场胜，第5场败，概率为1221218C333381=，所以()48205278181P==+=；当6=时，有两种情况：（i）甲第2场胜，在接下来的3场对阵为“败，胜，胜”，其概率为2212833381=

；（ii）甲第2场败，在接下来的4场对阵为“胜，胜，胜，败”，其概率为31218333243=，所以()8832681243243P==+=；当7=时，甲在接下来的5场对阵为“败，胜，胜，胜，胜”，即()41216733243P

===，所以的分布列为：34567P19492081322431624321．【答案】（1）2212xy+=；（2）证明见解析．【解析】（1）因为点(1,)Me，23,22N在椭圆上，所以222222111312

4eabab+=+=，又cea=，222cab=−，解得21b=，22a=，所以椭圆方程为2212xy+=．（2）由（1）可知()11,0F−，()21,0F，设()00,Axy，则220022xy+=，1AF的方程为0011xxyy+=

−，代入椭圆方程2222xy+=化简得22200002002122210xxyxyyyy++++−−=，所以200023Byyyx=−+，得0023Byyx=−+；同理2AF的方程为0011xxyy−=+，代入椭圆方程2222xy+=化简得200200322210xxyyyy−−−−=，所以2

00032Cyyyx=−−，得0032Cyyx=−−，将By、Cy分别代入1AF、2AF方程可得003423Bxxx+=−+、004332Cxxx−=−，即000034,2323xyBxx+−−

++、000043,3232xyCxx−−−−，所以2BF方程：0057111BBxxxyyyy+−=+=+①；所以1CF方程：0015711CCxxxyyyy+−=−=−②；联立①②消去x得0000575711xxyyyy+−+=−，解得07y

y=−，即07Dyy=−，所以1212120012127127AAFFADFFDDFFySyyySyFFy====−△△，所以1212AFFDFFSS△△为定值．22．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）()fx的定义域是()0,+，求导得()()21221220kxxfxk

xxxx+−=+−=．记()2221gxkxx=+−，①当0k=时，令()102gxx==，当10,2x时，()()()00gxfxfx单调递减，当1,2x+时，()()()00gxfxfx

单调递增；②当0k时，480Δk=+，()248121042kkgxxkk−+++−===（负根舍去），当1210,2kxk+−时，()()()00gxfxfx单调递减，当121

,2kxk+−+时，()()()00gxfxfx单调递增；③当0k时，令480Δk=+，得1,2k−−，则()22210gxkxx=+−在()0,+恒成立，于是()0fx

在()0,+恒成立，()fx在定义域()0,+上单调递减．若1,02k−，则480Δk=+，令()112102kgxxk+−==，21212kxk−+−=，()0fx=有2个不相等正根，()fx在1210,2kk+−上单调递减，在

121121,22kkkk+−−+−单调递增，在121,2kk−+−+单调递减．综上，当0k=时，函数增区间为1,2+，减区间为10,2；当0k时

，函数增区间为121,2kk+−+，减区间为1210,2kk+−；当12k−时，函数减区间为()0,+，无增区间；当102k−时，函数增区间为121121,22kk

kk+−−+−，减区间为1210,2kk+−，121,2kk−+−+．（2）由（1）知若()fx有2个极值点时，()0fx=有2个不相等正根，则()22210g

xkxx=+−=，此时1,02k−，11212kxk+−=，21212kxk−+−=，且满是121xxk+=−，1212xxk=−，()2111122kxx=−，()2221122kxx=−．所以()()()()()()22121212121212l

nln12122fxfxkxkxxxxxxx+=+++−+=−+−+()()()()1212121212lnln1ln1ln2xxxxxxxxkk+−+=++−=−+−，设()()11ln2hkkk=−+−，1,02k−，

求导得()2111110hkkkkk=+=+，()hk在1,02−上单调递增，所以()132hkh−=．综上所述()fx有2个极值点时，()()123fxfx+成立．