【文档说明】专题02 方程与不等式-【题型与技法】中考数学二轮复习金典专题讲练系列（通用版）（解析版）.docx，共(82)页，2.316 MB，由管理员店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-a309ef49f2123bd90d2446fe496be2ea.html

以下为本文档部分文字说明：

考点目录24.解分式方程.................................................................625.分式方程的根...........................

....................................826.分式方程的应用............................................................1127.等式的性质与方程的概念........

............................................1628.解一元一次方程............................................................1729.解二元一次方

程............................................................1730.一次方程的应用...........................................................

.2031.一元二次方程及其根的应用..................................................2632.解一元二次方程..........................................................

..2933.解一元二次方程-根的判别...................................................3334.一元二次方程的应用........................................................4135.

不等式及其性质............................................................4936.一元一次不等式的解法....................................................

..5337.一元一次不等式组的解法....................................................5638.一元一次不等式的应用....................

..................................58聚焦1一元一次方程和二元一次方程组考点一等式及方程的有关概念1．等式及其性质(1)用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式．(2)等式的性质：等式两边加(或减)同一

个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式两边乘(或除以)同一个数(除数不能是0)，所得结果仍是等式．2．方程的有关概念(1)含有未知数的等式叫做方程．(2)方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，一元方程的解，也叫它的根

．(3)解方程：求方程解的过程叫做解方程．考点二一元一次方程1．只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不等于零的整式方程叫做一元一次方程，其标准形式为ax＋b＝0(a≠0)，其解为x＝ba−.2．解一元一次

方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)未知数的系数化为1.考点三二元一次方程组的有关概念1．二元一次方程(1)概念：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做二元一次方程．(2)一般形式：ax＋by＝c(

a≠0，b≠0)．(3)使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．(4)解的特点：一般地，二元一次方程有无数个解．2．二元一次方程组(1)概念：具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，

就组成了一个二元一次方程组．(2)一般形式：a1x＋b1y＝c1，a2x＋b2y＝c2(a1，a2，b1，b2均不为零)．(3)二元一次方程组的解一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．考点四二元一次方程组的解法解二元一次方程组

的基本思想是消元，即化二元一次方程组为一元一次方程，主要方法有代入消元法和加减消元法．1．用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤为：(1)从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x(或y)的代数式表示出y(或x)，即变成y＝ax＋b(或x＝

ay＋b)的形式；(2)将y＝ax＋b(或x＝ay＋b)代入另一个方程，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求出x(或y)的值；(4)把x(或y)的值代入y＝ax＋b(或x＝ay＋b)中，求y(或x)的值．2．用加减

消元法解二元一次方程组的一般步骤为：(1)在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同(或互为相反数)，则可以直接相减(或相加)，消去一个未知数；(2)在二元一次方程组中，若不存在(1)中的情况，可选一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同(或互为相反数)，再把方程

两边分别相减(或相加)，消去一个未知数；(3)解这个一元一次方程；(4)将求出的一元一次方程的解代入原方程组中系数比较简单的方程内，求出另一个未知数．考点五列方程(组)解应用题步骤：(1)设未知数；(2)列出方程(组)；(3)解方程(组)；(4)检验求得的未知数的值是否符合实际意义；(5

)写出答案(包括单位名称)．聚焦2一元二次方程考点一一元二次方程的概念1．定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．2．一般形式：元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．考点二一元二次方程的解

法1．配方法如果x2＋px＋q＝0且p2－4q≥0，则x＋p22＝－q＋p22.x1＝－p2＋－q＋p22，x2＝－p2－－q＋p22.二次项系数不为1的，先在方程两边同除以二次

项系数，把二次项系数化为1.2．公式法：方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)且b2－4ac≥0，则x＝－b±b2－4ac2a.3．因式分解法一般步骤：(1)将方程的右边各项移到左边，使右边为0；(2)将方程左边分解为两个一次因式乘积的形式；(3)令每个因式为

0，得到两个一元一次方程；(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．考点三一元二次方程根的情况1．b2－4ac＞0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根．2．b2－4ac＝0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根．3

．b2－4ac＜0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根．考点四一元二次方程的实际应用列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1)弄清题意，确定适当的未知数；(2)寻找等量关系；(3)列出方程，注意方程两边的代数式的单位要相同；(4)解方程，检验并写出答案．聚焦3分式方程考

点一分式方程1．分母里含有未知数的有理方程叫分式方程．2．使分式方程分母为零的未知数的值即为增根；分式方程的增根有两个特征：(1)增根使最简公分母为零；(2)增根是分式方程化成的整式方程的根．考点二分式方程的基本解法解分式方程的一般步骤：(1)

去分母，把分式方程转化为整式方程；(2)解这个整式方程，求得方程的根；(3)检验，把解得整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母为零，则它不是原方程的根，而是方程的增根，必须舍去；如果使最简公分母不为零

，则它是原分式方程的根．考点三分式方程的实际应用分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：(1)检验所求的解是否是所列分式方程的解；(2)检验所求的解是否符合实际．聚焦4不等式与不等式组

考点一不等式的有关概念及其性质1．不等式的有关概念(1)不等式：用符号“＜”或“＞”表示大小关系的式子，叫做不等式．(2)不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集．(3)解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．2．不等式的基本性质(1)不等式两边都加上(或减去

)同一个数(或整式)，不等号的方向不变，即若a＜b，则a＋c＜b＋c(或a－c＜b－c)．(2)不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，即若a＜b，且c＞0，则ac＜bc或ac<bc.

(3)不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，即若a＜b，且c＜0，则ac＞bc或ac>bc.考点二一元一次不等式(组)的解法1．一元一次不等式：只含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式叫一元一次不等式．2．解一元一

次不等式的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.3．一元一次不等式组：关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．4．一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫这个一元一次不等式组的解集．5．一元一次

不等式组解集的确定方法若a＜b，则有：(1)x<a，x<b的解集是x＜a，即“同小取小”．(2)x>a，x>b的解集是x＞b，即“同大取大”．(3)x>a，x<b的解集是a＜x＜b，即“大小小大中间夹”．(4)x<a，x>b的解集是空集，即“大大小小

无解答”．考点三不等式(组)的应用1．列不等式或不等式组解决实际问题，要注意抓住问题中的一些关键词语，如“至少”“最多”“超过”“不低于”“不大于”“不高于”“大于”“多”等．这些都体现了不等关系，列不等式

时，要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的分析还要注意结合实际．2．列不等式(组)解应用题的一般步骤：(1)审题；(2)设未知数；(3)找出能够包含未知数的不等量关系；(4)列出不等式(组)；(5)求出不等式(组)的解；(6)在不等式(组)的解中找出符合题意的值；(7)写

出答案(包括单位名称)．24.解分式方程【例题1】（2020•金乡县一模）如图，在框中解分式方程的4个步骤中，根据等式基本性质的是()A．①②B．②④C．①③D．③④【分析】根据等式的性质1，等式的两边都加或减同一个整式，结

果不变，根据等式的性质2，等式的两边都乘或除以同一个不为零的整式，结果不变，可得答案．【解答】解：①根据等式的性质2，等式的两边都乘同一个不为零的整式2x−，结果不变，③根据等式的性质1，等式的两边都加同一个整式3x−，结果不变．故选：C．【点评

】本题考查了等式的性质，利用了等式的性质1，等式的性质2．【例题2】（2019•滨州）方程33122xxx−+=−−的解是1x=．【分析】公分母为(2)x−，去分母转化为整式方程求解，结果要检验．【解答】解：去分母，得323xx−+−=−，移

项、合并，得22x=，解得1x=，检验：当1x=时，20x−，所以，原方程的解为1x=，故答案为：1x=．【点评】本题考查了解分式方程．（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求

解，（2）解分式方程一定注意要验根．【例题3】（2021•大庆）解方程：542332xxx+=−−．【分析】将分式方程转化为整式方程，然后解方程，注意分式方程的结果要进行检验．【解答】解：给分式方程两边同时乘以23x−，得54(23)xx−=−，解得1x=，检验：把1x=

代入230x−，所以1x=是原分式方程的解．【点评】本题主要考查了解分式方程，把分式方程转化为整式方程是解决本题的关键．【例题4】（2019•陕西）解方程：2583193xxxx−−−=−+．【分析】分式方程去分母转化为整式

方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：258(9)(3)(3)xxxx−−−=−−，去括号得：2258969xxxx−−+=−+−，移项合并得：10x−=−，解得

：10x=，经检验，10x=是原方程的根．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．【例题5】（2021•福建模拟）解方程：21211xxx−=−+．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：在方程两边同乘(1)(1)xx+−得：22(1)2(1)1xxxx−−+=−，整理得：31x−=，解得：13x=−，检验：把13x=−代入得：(1)(1)0xx+−，13x=−是原方程的

解．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．25.分式方程的根【例题6】（2020•云南）若整数a使关于x的不等式组1112341xxxax−+−+„，有且只有45个整数解

，且使关于y的方程2260111yayy+++=++的解为非正数，则a的值为()A．61−或58−B．61−或59−C．60−或59−D．61−或60−或59−【分析】解不等式组，得1253ax+„，根据不等式组有且只有45个整数解，可得6158a−−„

，根据关于y的方程2260111yayy+++=++的解为非正数：解得61a−…，又1y+不等于0，进而可得a的值．【解答】解：解不等式组，得1253ax+„，不等式组有且只有45个整数解，120193a+−−„，解得6158a−−„，因为关于y的方

程2260111yayy+++=++的解为：61ya=−−，0y„，610a−−„，解得61a−…，10y+，1y−，60a−则a的值为：61−或59−．故选：B．【点评】本题考查了分式方程的解、解一元一次不等式组

、一元一次不等式组的整数解，解决本题的关键是确定一元一次不等式组的整数解．【例题7】（2022•任城区一模）关于x的分式方程32122xxaxx−−+=−−的解是正数，则a的取值范围是5a−且3a．【分

析】解分式方程，用a表示x，再根据关于x的分式方程的解是正数，列不等式组，解出即可．【解答】解：原分式方程可化为：3(2)122xxaxx−−−+=−−，322xxxa−+−=−+，解得54ax+=，关于x的分式方程的解是正数，504524

aa++，解得：5a−且3a．故答案为：5a−且3a．【点评】本题考查了分式方程的解、解一元一次不等式，熟练掌握解分式方程、一元一次不等式的步骤，根据关于x的分式方程的解是正数，列不等式

组是解题关键．【例题8】（2021•齐齐哈尔一模）关于x的分式方程11222axxx−+=−−的解为非负数，则a的取值范围为2a且1a．【分析】先去分母，将方程可化为2(2)11xax−+−=−，解方程，根据方程的解为非负数，且分母不为0，可以求得a的取值范围．【解答】解：11222

axxx−+=−−，方程两边同乘以2x−，得2(2)11xax−+−=−，去括号移项，得24110xax−+−+=，合并同类项，得(2)2ax−=，22xa=−，关于x的分式方程11222axxx−+=−−的

解为非负数，20220ax−−…，解得，2a且1a．故答案为：2a且1a．【点评】本题考查分式方程的解、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解分式方程的方法．【例题9】（2021•达州）若分式方程2

2411xaxaxx−−+−=−+的解为整数，则整数a=1．【分析】先将分式方程化简为整式方程，再用含a代数式表示x，由方程的解为整数及1x=为增根可求a．【解答】解：方程两边同时乘以(1)(1)xx+−得(2)(1)4(1)(1)(1)(2)

xaxxxxxa−+−+−=−−+，整理得24ax−=−，整理得2ax=，x，a为整数，1a=或2a=，1x=为增根，2a，1a=．故答案为：1．【点评】本题考查分式方程的解，解题关键是用含参代数式表示方程的解x并注意增根情况．【例题10】（2020•眉山）关于x的分式

方程11222kxx−+=−−的解为正实数，则k的取值范围是2k−且2k．【分析】利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可．【解答】解：方程11222kxx−+=−−两边同乘(2)x−，得12(2)1xk+−=−，解得，22kx+=，222k+，2k

，由题意得，202k+，解得，2k−，k的取值范围是2k−且2k．故答案为：2k−且2k．【点评】本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤方法是解题的关键．26.分式方程的应用【例题11】（2022•河南模拟）某优秀毕业生向我校赠送

1080本课外书，现用A、B两种不同型号的纸箱包装运送，单独使用B型纸箱比单独使用A型纸箱可少用6个；已知每个B型纸箱比每个A型纸箱可多装15本．若设每个A型纸箱可以装书x本，则根据题意列得方程为()A．10801080615xx=+−B．108

01080615xx=−−C．10801080615xx=−+D．10801080615xx=++【分析】由每个B型纸箱比每个A型纸箱可多装15本及每个A型纸箱可以装书x本，可得出每个B型纸箱可以装书(15)x+本，利用所需纸箱的数量=赠送课外书的总数每个纸箱装课外书的数量，结合单独使用B型

纸箱比单独使用A型纸箱可少用6个，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解答】解：每个B型纸箱比每个A型纸箱可多装15本，且每个A型纸箱可以装书x本，每个B型纸箱可以装书(15)x+本．依题意得：10801080615xx=−+．故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系

，正确列出分式方程是解题的关键．【例题12】（2021•郑州模拟）绿水青山就是金山银山．某工程队承接了100万平方米的荒山绿化工程，由于情况有变设原计划每天绿化的面积为x万平方米，列方程为10010020(110%)xx−=+，根据方程可知省略的部分是()A．实际工作时每天的工作效率比原计划

提高了10%，结果提前20天完成了这一任务B．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了10%，结果延误20天完成了这一任务C．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了10%，结果延误20天完成了这一任务D．实际工作时每天的工作效率比原计划降低

了10%，结果提前20天完成了这一任务【分析】设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则(110%)x+为提高工作效率后的工作效率，100x为原工作时间，100(110%)x+为提高工作效率后所需工作时间，结合所列方程，即可得出省

略部分的内容．【解答】解：设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则(110%)x+为提高工作效率后的工作效率，100x为原工作时间，100(110%)x+为提高工作效率后所需工作时间，所列方程为10010020(110%)xx−=+，提高工作效率后

比原计划提前20天完成这一任务．省略的部分是：实际工作时每天的工作效率比原计划提高了10%，结果提前20天完成了这一任务．故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据所列分式方程，找出缺失的条件是解题的关键．【例题13】（2021•海珠区一模）为了能让更多人接种，某药厂的新冠疫苗

生产线开足马力，24小时运转，该条生产线计划加工320万支疫苗，前五天按原计划的速度生产，五天后以原来速度的1.25倍生产，结果比原计划提前3天完成任务，设原计划每天生产x万支疫苗，则可列方程为()A．32032031.25xx=−B．32053

20531.25xxxx−−=−C．32032031.25xx=+D．3205320531.25xxxx−−=+【分析】由原计划每周生产的疫苗数结合五天后提高的速度，可得出五天后每天生产1.25x万支疫苗，根据工作时间=工作总量工作效率结合实际比原计划提前3天完成任务（前

五天按原工作效率），即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解答】解：原计划每天生产x万支疫苗，五天后以原来速度的1.25倍生产，五天后每天生产1.25x万支疫苗，依题意，得：3205320531.25xxxx−−=+．故选：D．【点评】本题

考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．【例题14】（2021•思明区校级模拟）某次列车平均提速v/kmh，用相同的时间，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶50km，则方

程50ssvxx++=所表达的等量关系是()A．提速前列车行驶skm与提速后行驶(50)skm+的时间相等B．提速后列车每小时比提速前列车每小时多开vkmC．提速后列车行驶(50)skm+的时间比提速前列车行驶skm多vhD．提速后列车用相同的时间可以比提速前多开5

0km【分析】利用提速后列车每小时比提速前列车每小时多的路程分析．【解答】解：方程50ssvxx++=表达的等量关系是提速后列车每小时比提速前列车每小时多开vkm，故选：B．【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，设出

未知数，以时间作为等量关系列方程．【例题15】（2020•中牟县二模）春暖花开，育红中学计划在周末组织教师到荒山上植树400棵，但在实际植树时，_______，求实际每小时植树的棵数，在这个题目中，若设实际每小时植树x棵，可得方程40040045xx−=

−，则题目中“_______”表示的条件应是()A．每小时比原计划多植树5棵，结果延期4小时完成B．每小时比原计划多植树5棵，结果提前4小时完成C．每小时比原计划少植树5棵，结果延期4小时完成D．每小时比原计划少植树5棵，结果提前4小时完成【分析】由x表示时间每

小时植树棵数，可得出(5)x−表示原计划每小时植树棵数；观察所列方程，可知使用的等量关系为植树时间，进而可得出实际比原计划少用4小时，再对照四个选项即可得出结论．【解答】解：实际每小时植树x棵，(5)x−表示原计划每小时植树棵数；植树时间=植树总数每小时植树棵数，所列方程4004

0045xx−=−，实际比原计划少用4小时，即提前4小时完成．题目中“_______”表示的条件应是：每小时比原计划多植树5棵，结果提前4小时完成．故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据所列方程使用的等量关系，找出缺失的条件是解题的关键．

【例题16】（2020•思明区模拟）一台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的150倍，用这台收割机收割10公顷小麦比100个农民人工收割这些小麦少用1小时，要使列出的方程10101150100xx=−正确，那么x表示的含义是()A．一台

收割机的工作效率B．一个农民的工作效率C．一台收割机收割10公顷小麦所需的时间D．一个农民收割10公顷小麦所需的时间【分析】根据题意得出x的意义即可．【解答】解：设一个农民的工作效率为x，根据题意可得：10101150100xx=−，故选：B．【点评

】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，解答时根据时间关系建立方程是关键，求出解时不要忘记检验．【例题17】（2020•石家庄模拟）为有效解决交通拥堵问题，营造路网微循环，某市决定对一条长860m的道路进行改造拓宽

，为了尽量减轻施工对城市交通造成的影响，实际施工时，每天改造道路的长度比原计划增加10%，结果提前6天完成任务，求实际每天改造道路的长度与实际施工天数．嘉琪同学根据题意列出方程：8608606(110%)xx−=+，则方程中未知数x所表

示的量是()A．实际每天改造道路的长度B．原计划每天改造道路的长度C．原计划施工的天数D．实际施工的天数【分析】嘉琪所列方程是依据相等关系：原计划所用时间−实际所用时间6=，可知方程中未知数x所表示的量．【解答】解：设原计划每天改造

道路x米，则实际每天改造道路(110%)x+米，根据题意，可列方程8608606(110%)xx−=+，所以嘉琪所列方程中未知数x所表示的量是原计划每天改造道路的长度，故选：B．【点评】本题主要考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是依据所给方程还原等量

关系．【例题18】（2020•永年区一模）为了疫情防控需要，某防护用品厂计划生产150000个口罩，但是在实际生产时，，求实际每天生产口罩的个数，在这个题目中，若设实际每天生产口罩x个，可得方程15000015000010500xx−=−，

则题目中用“”表示的条件应是()A．每天比原计划多生产500个，结果延期10天完成B．每天比原计划少生产500个，结果提前10天完成C．每天比原计划少生产500个，结果延期10天完成D．每天比原计划多生产500个，

结果提前10天完成【分析】根据所设未知数和方程可得：实际生产时，每天比原计划多生产500个，提前10天完成任务．【解答】解：根据方程可得：为了疫情防控需要，某防护用品厂计划生产150000个口罩，但是在实际生产时，每天比

原计划多生产500个，结果提前10天完成，求实际每天生产口罩的个数．故选：D．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．【例题19】（2020•西山区一模）某新能源环保汽车去年第四季度销售总额为2000万元，由

于受全球经济下行压力的影响，今年第一季度每辆车的销售价格比去年降低1万元，销售数量与去年第四季度相同，销售总额比去年第四季度减少20%，今年第一季度每辆车的销售价格是多少万元？设今年第一季度每辆车的销售价格为x万元，根据题意列方程为

()A．20002000(120%)1xx+=+B．20002000(120%)1xx−=+C．20002000(120%)1xx+=−D．20002000(120%)1xx−=−【分析】设今年第一季度每辆车的销售价格为x万元，则去年第四季度

每辆车的销售价格为(1)x+万元，根据数量=总价单价结合今年第一季度的销售数量与去年第四季度相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解答】解：设今年第一季度每辆车的销售价格为x万元，则去年第四季度每辆车

的销售价格为(1)x+万元，依题意，得：20002000(120%)1xx−=+．故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．【例题20】（2020•宁德一模）某市需要铺设一条长660米的管道，

为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时，每天铺设管道的长度比原计划增加10%，结果提前6天完成．求实际每天铺设管道的长度与实际施工天数．小宇同学根据题意列出方程：6606606(110%)xx−=+．

则方程中未知数x所表示的量是()A．实际每天铺设管道的长度B．实际施工的天数C．原计划每天铺设管道的长度D．原计划施工的天数【分析】小宇所列方程是依据相等关系：原计划所用时间−实际所用时间6=，可知方程中未

知数x所表示的量．【解答】解：设原计划每天铺设管道x米，则实际每天铺设管道(110%)x+，根据题意，可列方程：6606606(110%)xx−=+，小宇所列方程中未知数x所表示的量是原计划每天铺设管道的长度，故选：C．【点评】本题主要考查由

实际问题抽象出分式方程，解题的关键是依据所给方程还原等量关系．27.等式的性质与方程的概念【例题1】（2021•娄底模拟）规定：()|3|fxx=−，()|4|gyy=+，例如(4)|43|7f−=−−=，(4)|44|0g

−=−+=，下列结论中，正确的是()①若()()0fxgy+=，则2318xy−=；②若4x−，则()()12fxgxx+=−；③能使()()fxgx=成立的x的值不存在；④式子(1)(1)fxgx−++的最小值是9．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据题中的规定判断出各选项的正

确与否即可．【解答】解：①若()()0fxgy+=，即|3||4|0xy−++=，解得：3x=，4y=−，则2361218xy−=+=，结论正确；②若4x−，则()()|3||4|3412fxgxxxxxx+=−++=−−−=−

−，结论错误；③若()()fxgx=，则|3||4|xx−=+，即34xx−=+或34xx−=−−，解得：0.5x=−，即能使已知等式成立的x的值存在，故原结论错误；④当45x−剟时，式子(1)(1)|4||5|fxgxxx−++=−++有最小值是9，

结论正确．正确的所有结论是①④，共2个．故选：B．【点评】此题考查了等式的性质，以及绝对值，弄清题中的新规定是解本题的关键．【例题2】（2020•福清市模拟）如图框图内表示解方程352(2)xx−=−的流程，其中依据“等式性质”是()A．①②B．②③C．③④D．②

④【分析】利用等式的性质判断即可．【解答】解：如图框图内表示解方程352(2)xx−=−的流程，其中依据“等式性质”是②④，故选：D．【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．28.解一元一

次方程【例题3】（2018•晋江市二模）解方程：232136xx−+−=．【分析】根据解一元一次方程的一般步骤，可得答案．【解答】解：去分母，得2(23)(2)6xx−−+=去括号，得4626xx−−−=移项，得4662xx−=++合并同类项，得314x=系数化为1，得143x=．【点评

】本题考查了解一元一次方程，去括号是解题关键，不含分母的项也要乘分母的最小公倍数，分子要加括号．【例题4】（2018•攀枝花）解方程：321123xx−+−=．【分析】方程两边每一项都要乘各分母的最小公倍数6，切勿漏乘不含有分母的项，另外分数线有两层意义，

一方面它是除号，另一方面它又代表着括号，所以在去分母时，应该将分子用括号括上．【解答】解：321123xx−+−=，去分母得：3(3)2(21)6xx−−+=，去括号得：39426xx−−−=，移项及合并同类项，得：17x−=，系数化为1得：17x=−．

【点评】注意：在去分母时，应该将分子用括号括上．切勿漏乘不含有分母的项．29.解二元一次方程【例题5】（2022•宝鸡模拟）解方程组：20340xyxy+=+=．【分析】用加减法解二元一次方程组．【解答】解：20340xyxy+=+=①②，①2，得240xy+=③，②−③，得

0x=，把0x=代入①，得0y=，原方程组的解为00xy==．【点评】此题考查的是二元一次方程组，熟练掌握用加减法解二元一次方程组的步骤是解题关键．【例题6】（2021•福建模拟）解方程组：963

2(13)yxyx+−=−=−−．【分析】先去分母，化简成一般式，利用加减消元法求解即可．【解答】解：原式9632(13)yxyx+−=−=−−．化简得：32733xyxy−=+=①②，①+②，得：630

x=，解得5x=，将5x=代入②，得：153y+=，12y=−，方程组的解为512xy==−．【点评】本题主要考查解二元一次方程组的基本能力，先准确的化成一般式是关键，再用加减消元法计算即可．【例题7】（2019•新乐市二模）阅读下面的

学习材料：我们知道，一般情况下式子34mn++与“34mn+”是不相等的(m，n均为整数），但当m，n取某些特定整数时，可以使这两个式子相等，我们把使“3434mnmn+=++”成立的数对“m，n”叫做“好数对”，记作[m，]n，例如，当0mn==时，有3434mnmn+=++成立，则

数对“0，0”就是一对“好数对”，记作[0，0]解答下列问题：（1）通过计算，判断数对“3，4”是否是“好数对”；（2）求“好数对”[x，32]−中x的值；（3）请再写出一对上述未出现的“好数对”[9，]；（4）对于“好数对”[a，]b，如果9(akk=为整数），则b=（用含k

的代数式表示）．【分析】（1）令3m=，4n=，代入验证，判断出“3，4”是否是“好数对”即可．（2）首先根据数对“x，32−”是“好数对”，可得：32323434xx−−=++；然后根据解一元一次方程的方法，求出x的值是多少即可．（3）设[a，]b是一对

“好数对”，则a，b应是满足1690ab+=的整数，不能是[0，0]和[18，32]−．（4）设[a，]b是一对“好数对”，则a，b应是满足1690ab+=的整数，如果9(akk=为整数），则16bk=−．【解答】解：（1）令3m=，4n=，则341

3434mn++==++，234mn+=，12，34343434+++，故数对“3，4”不是“好数对”．（2）数对“x，32−”是“好数对”，32323434xx−−=++，3(32)7168xx−=−，解得18x=．（3）设[a，]b是一对“好数对”，则3

434abab+=++，1690ab+=，令9a=，则16b=−，写出一对上述未出现的“好数对”[9，16]−．（答案不唯一）（4）设[a，]b是一对“好数对”，则a，b应是满足1690ab+=的整数，如果9(ak

k=为整数），则16bk=−．故答案为：9、16−、16k−．【点评】此题主要考查了解二元一次方程、解一元一次方程的方法和应用，以及“好数对”的含义和判断，要熟练掌握．30.一次方程的应用【例题8】（2021•银川模拟）汶川地震后，中小学生应对突发

事件的安全教育问题得到了各级教育部门的高度重视，各学校纷纷开展应急安全防护和撤离的演练．某校有一栋教学大楼，进出这栋大楼共有5道门，有大小相同的两道正门，大小相同的三道侧门，经安全检测得：开启两道正门和一道侧门，每分钟可以通过600名

学生；开启一道正门和两道侧门，每分钟可以通过540名学生．（1）问平均每分钟一道正门、一道侧门分别可以通过多少学生？（2）若紧急情况下，通过正门、侧门的效率均降低为原来的80%，该校要求大楼内的全体学生必须通过这5道门紧急撤离．这幢楼共有30间教室，每间教室平均有52名学生．还

有96位教师也要同时撤离教学大楼，那么全校师生全部撤离教学大楼至少需要多少分钟？【分析】（1）设平均每分钟一道正门、一道侧门分别可以通过x名学生，y名学生，由开启两道正门和一道侧门，每分钟可以通过600名学生；开启一道正门和两道

侧门，每分钟可以通过540名学生，列出方程组可求解；（2）设全校师生全部撤离教学大楼需要z分钟，由题意列出不等式，即可求解．【解答】解：（1）设平均每分钟一道正门、一道侧门分别可以通过x名学生，y名学生，由题意可得：26002540xyxy+=+=，解得：220160

xy==，答：平均每分钟一道正门可以通过220名学生，平均每分钟一道侧门可以通过160名学生；（2）设全校师生全部撤离教学大楼需要z分钟，由题意可得：80%(22203160)305296z++…，解得：2.25z…，答

：全校师生全部撤离教学大楼至少需要2.25分钟．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．【例题9】（2021•福建模拟）第四届数字中国建设峰会于2021年4月

2526−日在福州举行，“福建特产”助力福州打动中国，某特产公司为峰会设计手工礼品，投入w元．若以2包茉莉花茶和1件脱胎漆器作为一份礼品，则刚好可制作600份礼品；若以1包茉莉花茶和3件脱胎漆器作为一份礼品，则刚好可制作400份礼品．（1）若240000w=，求

1包茉莉花茶与1件脱胎漆器的制作成本各是多少？（2）若把w元钱全部用于制作茉莉花茶，总共可以制作多少包茉莉花茶？【分析】设1包茉莉花茶的制作成本为x元，1件脱胎漆器的制作成本为y元．（1）根据“投入240000元，若以2包茉莉花茶和1件脱胎漆器作为一份礼品，则刚好可制作600份礼品；若以1包茉莉花

茶和3件脱胎漆器作为一份礼品，则刚好可制作400份礼品”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求出1包茉莉花茶与1件脱胎漆器的制作成本；（2）根据“投入w元．若以2包茉莉花茶和1件脱胎漆器作为一

份礼品，则刚好可制作600份礼品；若以1包茉莉花茶和3件脱胎漆器作为一份礼品，则刚好可制作400份礼品”，即可找出600(2)wxy=+且400(3)wxy=+，进而可用含x的代数式表示出y，w值，再将其代入wx中可求出总共可以制作2000包茉莉花茶

．【解答】解：设1包茉莉花茶的制作成本为x元，1件脱胎漆器的制作成本为y元．（1）依题意得：600(2)240000400(3)240000xyxy+=+=，解得：120160xy==．答：1包茉莉花茶的制作成本为1

20元，1件脱胎漆器的制作成本为160元．（2）依题意得：600(2)wxy=+且400(3)wxy=+，即600(2)400(3)xyxy+=+，整理得：43yx=，4600(2)20003wxxx=+=，2000wx=．答：总共

可以制作2000包茉莉花茶．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出w．【例题10】（2021•曲阜市模拟）阅读感悟：有些关于方

程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足35xy−=①，237xy+=②，求4xy−和75xy+的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解

得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①−②可得42xy−=−，由①+②2可得7519xy+=．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．解决问题：（1）已知二元一次方程组

2728xyxy+=+=，则xy−=1−，xy+=；（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？（3）对于实数x，y，定义新运

算*xyaxbyc=++，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*515=，4*728=，那么1*1=．【分析】（1）将两方程相加可求xy+的值，将两方程相减可求xy−的值；（2）设每只铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记z元，由题意列出方程组，即可求解；（3）由题意

列出方程组，即可求解．【解答】解：（1）2728xyxy+=+=①②，①+②可得：3315xy+=，5xy+=，①−②可得：1xy−=−，故答案为：1−，5；（2）设每只铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记z元，由题意可得：203232395358xyz

xyz++=++=①②，①2−②可得6xyz++=，55530xyz++=，答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元；（3）由题意可得：3*515354*72847abcabc==++==++①②，①3−②2可得：11abc

++=−，1*111abc=++=−，故答案为11−．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，掌握整体思想解决问题是解题的关键．【例题11】（2021•宁波模拟）目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈．某校欲购置规格分别为300ml和500ml的甲、乙两种免洗手消毒液若

干瓶，已知购买2瓶甲和1瓶乙免洗手消毒液需要55元，购买3瓶甲和4瓶乙免洗手消毒液需要145元．（1）求甲、乙两种免洗手消毒液的单价．（2）该校在校师生共1000人，平均每人每天都需使用10ml的免洗手消毒液，若校方采购甲、乙两种免洗手消毒液共花费5

000元，则这批消毒液可使用多少天？（3）为节约成本，该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将9.6L的免洗手消毒液全部装入最大容量分别为300ml和500ml的两种空瓶中（每瓶均装满），若分装时平均每

瓶需损耗20ml，请问如何分装能使总损耗最小，求出此时需要的两种空瓶的数量．【分析】（1）设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元，根据“购买2瓶甲和1瓶乙免洗手消毒液需要55元，购买3瓶甲和4瓶乙免洗手消毒液需

要145元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进甲种免洗手消毒液a瓶，乙种免洗手消毒液b瓶，根据总价=单价数量，即可得出关于a，b的二元一次方程，再结合可使用时间=免洗手消毒液总体积每天需消耗的体积，即可求出结论；（3）

设分装300ml的免洗手消毒液m瓶，500ml的免洗手消毒液n瓶，根据需将9.6L的免洗手消毒液进行分装且分装时平均每瓶需损耗20ml，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数即可得出各分装方

案，选择()mn+最小的方案即可得出结论．【解答】解：（1）设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元，依题意，得：25534145xyxy+=+=，解得：1525xy==．答：甲种免

洗手消毒液的单价为15元，乙种免洗手消毒液的单价为25元．（2）设购进甲种免洗手消毒液a瓶，乙种免洗手消毒液b瓶，依题意，得：15255000ab+=，30050020(1525)2050001010001010

0010100010abab++===．答：这批消毒液可使用10天．（3）设分装300ml的免洗手消毒液m瓶，500ml的免洗手消毒液n瓶，依题意，得：30050020()9600mnmn+++=，13308mn=−．m，n均为正整数，178mn==和416mn==．要

使分装时总损耗20()mn+最小，416mn==，即分装时需300ml的空瓶4瓶，500ml的空瓶16瓶，才能使总损耗最小．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）（3）

找准等量关系，正确列出二元一次方程．【例题12】（2021•三明模拟）某校为改善办学条件，计划购进A，B两种规格的书架，经市场调查发现有线下和线上两种购买方式，具体情况如下表：规格线下线上单价（元/个）运费（元/个）单价（元/个）运费（元/个）A3

00026020B360030030（1）如果在线下购买A，B两种书架共20个，花费6720元，求A，B两种书架各购买了多少个；（2）如果在线上购买A，B两种书架共20个，且购买B种书架的数量不少于A种书架的2倍，请设计出花费最少的购买方案，并计算按照这种方案购买线

上比线下节约多少钱．【分析】（1）设购买A种书架x个，则购买B种书架(20)x−个，根据在线下购买A，B两种书架共20个，花费6720元，即可得出关于x的一元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买A种书架m个，所需总费用为y元，根据总价=单价数量可得出y关于m的函系式，由购买B种书架的数量不

少于A种书架的2倍可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再利用一次函数的性质结合m为整数即可解决最值问题．【解答】解：（1）设购买A种书架x个，则购买B种书架(20)x−个，根据题意，得300360(20)6720xx+−=，解得：8x=，2020812x−=−=．答：

购买A种书架8个，B种书架12个．（2）设购买A种书架m个，所需总费用为y元，根据题意得280330(20)506600ymmm=+−=−+，又由202mm−…，得203m„，500−，y的值随着m值的增大而减小，又m为整数，6m=，2014m−=，花费最少的购买方案是A种规格书

架6个，B种规格书架14个．此时线上购买所需费用50666006300=−+=．线下购买所需费用3006360146840=+=（元)，68406300540−=（元)，按照这种方案购买线上比线下节约540元．【点评】本题考查了一元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用和一次

函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程组；（2）由总价=单价数量，找出y关于m的关系式．【例题13】（2016•惠安县模拟）某牛奶加工厂现有鲜奶8吨，若市场上直接销售鲜奶

，每吨可获取利润500元；制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元；制成奶片销售，每吨可获取利润2000元．该工厂的生产能力是：如制成酸奶每天可加工3吨；制成奶片每天可加工1吨．受人员制约，两种加工方式不可同时进行；受气温制约，这批牛奶必须在4天内全部销售或加

工完毕．为此，该工厂设计了两种可行方案：方案一：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶；方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成．你认为选择哪种方案获利最多？为什么？【分析】方案一：根据制成奶片每天

可加工1吨，求出4天加工的吨数，剩下的直接销售鲜牛奶，求出利润；方案二：设生产x天奶片，(4)x−天酸奶，根据题意列出方程，求出方程的解得到x的值，进而求出利润，比较即可得到结果．【解答】解：方案一：最多生产4吨奶片，其余的鲜奶直接销售，则其利润为：42000(84)50010000+−=

（元)；方案二：设生产x天奶片，则生产(4)x−天酸奶，根据题意得：3(4)8xx+−=，解得：2x=，2天生产酸奶加工的鲜奶是236=吨，则利润为：220002312004000720011200+=+=（元)，得到第二种方案可以多得1200元

的利润．【点评】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．31.一元二次方程及其根的应用【例题14】（2019•福建二模）关于x的一元二次方程mx2﹣（m+1）x+1＝0有两个不等的整数根，m为整数，那么m的值是（）A．﹣1B．1C．0D．±1【分析】利用因式分解法求出方程的

解，再根据方程有两个不相等的整数根结合m为整数，即可求出m的值，此题得解．【解答】解：∵mx2﹣（m+1）x+1＝0，即（mx﹣1）（x﹣1）＝0，解得：x1=1𝑚，x2＝1．∵关于x的一元二次方程mx2﹣（m+1）x+1＝0有两个不等的

整数根，∴m≠0，1𝑚为整数，且1𝑚≠1．又∵m为整数，∴m＝﹣1．故选：A．【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程以及一元二次方程的定义，利用因式分解法求出方程的根是解题的关键．【例题15】

（2020•龙岩模拟）将一元二次方程5x2﹣1＝4x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（）A．5，﹣1B．5，4C．5，﹣4D．5x2，﹣4x【分析】方程化为一般形式后，找出二次项系数与一次项系数即可．【解答】解：方程整理得：5x2﹣4x﹣1＝0，则二次项系数和一次项系数分别

为5，﹣4．故选：C．【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一

次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【例题16】（2022•福州模拟）若x＝1是一元二次方程x2+（m﹣1）x﹣2＝0的解，则m的值是2．【分析】根据一元二次方程的解的意义，把x＝1代入原方程得到m的一

次方程，然后解一次方程即可．【解答】解：把x＝1代入x2+（m﹣1）x﹣2＝0得12+（m﹣1）﹣2＝0，解得m＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，

所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．【例题17】（2021•思明区校级二模）若a是方程x2+x﹣2＝0的根，则代数式2021−12a2−12a的值是2020．【分析】利用一元二次方程根的定义得到a2+a＝2，再把2021−12a2−12a变形为2

021−12（a2+a），然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵a是方程x2+x﹣2＝0的根，∴a2+a﹣2＝0，∴a2+a＝2，∴2021−12a2−12a＝2021−12（a2+a）＝2021−12×2＝2020

．故答案是：2020．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．【例题18】（2021•上杭县模拟）我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数

“i”，使其满足i2＝1（即方程x2＝﹣1有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝﹣i，i4＝（i2）2＝

（﹣1）2＝1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i4n+1＝i4n•i＝i，同理可得i4n+2＝﹣1，i4n+3＝﹣i，i4n＝1．那么i+i2+i3+i4+…+i2020+i2021的值为i．【分析】根据i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝（﹣1）•

i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，2021÷4＝505…1，进而得出i2021＝i1，进而求出即可．【解答】解：依题意有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝（﹣1）•i＝﹣i，i4＝（i2）

2＝（﹣1）2＝1，∵2021÷4＝505…1，∴原式＝i﹣1﹣i+1+…+i﹣1﹣i+1+i＝i．故答案为：i．【点评】此题考查了一元二次方程的解，实数的运算，根据题意得出数字之间的变化规律是解本题的关键．【

例题19】（2021•仓山区校级三模）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m﹣9的值为﹣6．【分析】由已知可得2m2﹣3m﹣1＝0，再化简所求代数为6m2﹣9m﹣9＝3（2m2﹣3m）﹣9，即可

求解．【解答】解：∵m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，∴2m2﹣3m﹣1＝0，∴2m2﹣3m＝1，∴6m2﹣9m﹣9＝3（2m2﹣3m）﹣9＝3×1﹣9＝﹣6，故答案为：﹣6．【点评】本题考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解与二元一次方程的关系是解题的关键．【例题20】（2

020•邹城市模拟）若a是方程x2+x﹣1＝0的根，则代数式2020﹣a2﹣a的值是2019．【分析】把x＝a代入已知方程，并求得a2+a＝1，然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可【解答】解：把x＝a代入x2+x﹣1＝0，得a2

+a﹣1＝0，解得a2+a＝1，所以2020﹣a2﹣a＝2020﹣1＝2019．故答案是：2019．【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这

个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．32.解一元二次方程【例题1】（2022•南平模拟）用配方法解方程x2+4x+3＝0时，配方后得到的方程为（）A．（x+2）2＝1B．（x+2）2＝3C．（x﹣2）2＝3D．（x﹣2）2＝1【分析】把

3移到方程右侧，然后把方程两边加上4，再把方程左边写成完全平方形式即可．【解答】解：x2+4x＝﹣3，x2+4x+4＝1，（x+2）2＝1．故选：A．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方

程的方法叫配方法．【例题2】（2022•泉州模拟）把方程x2﹣6x+3＝0化成（x﹣m）2＝n的形式，则m、n的值是（）A．3，12B．﹣3，12C．3，6D．﹣3，6【分析】方程移项变形后，配方得到结果，即可确定出m与n的值．【解答】解：方程x2﹣6x+3＝0，变形得：x2﹣6

x＝﹣3，配方得：x2﹣6x+9＝6，即（x﹣3）2＝6，可得m＝3，n＝6，故选：C．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．【例题3】（2020•福州模拟）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1=−𝑏+√𝑏2

+42，x2=−𝑏−√𝑏2+42，下列判断一定正确的是（）A．a＝﹣1B．c＝1C．ac＝1D．𝑐𝑎=−1【分析】根据一元二次方程的求根公式与根与系数的关系可得答案．【解答】解：根据一元二次方程的求根公式可得：x1=−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐2𝑎

，x2=−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐2𝑎，∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1=−𝑏+√𝑏2+42，x2=−𝑏−√𝑏2+42，∴x1+x2＝﹣b=−𝑏𝑎，x1•x2=𝑐�

�=−1，∴当b≠0时，a＝1，c＝﹣1，则ac＝﹣1，故选：D．【点评】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，属于基础题目．【例题4】（2022•南平模拟）已知方程x2+2x﹣8＝0的解是x1＝2，x2＝﹣4，那么方

程（x+1）2+2（x+1）﹣8＝0的解是（）A．x1＝1，x2＝5B．x1＝1，x2＝﹣5C．x1＝﹣1，x2＝5D．x1＝﹣1，x2＝﹣5【分析】把方程（x+1）2+2（x+1）﹣8＝0看作关于（x+1）的一元二次方程，则利用方程x2+2x﹣8＝0的解是x1＝2，x2＝﹣4得到x+

1＝2或x+1＝﹣4，然后解一次方程即可．【解答】解：把方程（x+1）2+2（x+1）﹣8＝0看作关于（x+1）的一元二次方程，∵方程x2+2x﹣8＝0的解是x1＝2，x2＝﹣4，∴x+1＝2或x+1＝﹣4，解得x＝1或x＝﹣5，∴方程（x+

1）2+2（x+1）﹣8＝0的解为x1＝1，x2＝﹣5．故选：B．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．【例题5】（2021•菏泽二模）给出一种运

算：对于函数y＝xn，规定y'＝n×xn﹣1．若函数y＝x4，则有y'＝4×x3，已知函数y＝x3，则方程y'＝9x的解是（）A．x＝3B．x＝﹣3C．x1＝0，x2＝3D．x1＝0，x2＝﹣3【分析】根据已知得出方程3x2＝9x，求出方程的解即可．【解答】解：∵函数y＝x3，方程y'＝9x，∴3

x2＝9x，3x2﹣9x＝0，3x（x﹣3）＝0，3x＝0，x﹣3＝0，x1＝0，x2＝3，故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程，能根据题意得出方程3x2＝9x是解此题的关键．【例题6】（2021•福清市校级模拟）已知方程x2﹣2x﹣3＝0的解是x1＝3

，x2＝﹣1，那么（x+1）2﹣2（x+1）﹣3＝0的解是x1＝2，x2＝﹣2．【分析】把（x+1）2﹣2（x+1）﹣3＝0看作关于（x+1）的一元二次方程，则利用方程x2﹣2x﹣3＝0的解是x1＝3，x2＝﹣1得到x+1＝3或x+

1＝﹣1，然后解两个一次方程即可．【解答】解：把（x+1）2﹣2（x+1）﹣3＝0看作关于（x+1）的一元二次方程，因为方程x2﹣2x﹣3＝0的解是x1＝3，x2＝﹣1，所以x+1＝3或x+1＝﹣1，解得x＝2或x＝﹣2，所以（x

+1）2﹣2（x+1）﹣3＝0的解是x1＝2，x2＝﹣2．故答案为：x1＝2，x2＝﹣2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法

．【例题7】（2019•晋江市二模）方程（x+2）（x﹣3）＝x﹣3的解是3或﹣1．【分析】根据因式分解法，可得答案．【解答】解：（x+2）（x﹣3）＝x﹣3（x﹣3）（x+2﹣1）＝0（x﹣3）（x+1）＝0

解得：x1＝3，x2＝﹣1，故答案为：3或﹣1【点评】本题考查了解一元二次方程，因式分解是解题关键．【例题8】（2022•福州模拟）解方程：x2﹣4x﹣7＝0．【分析】移项后配方得出x2﹣4x+4＝7+4，推出（x﹣2）2＝11，开方后得出方程x﹣2＝±√11，求出方程的

解即可．【解答】解：移项得：x2﹣4x＝7，配方得：x2﹣4x+4＝7+4，即（x﹣2）2＝11，开方得：x﹣2＝±√11，∴原方程的解是：x1＝2+√11，x2＝2−√11．【点评】本题考查了解一元一次方程和用配方法解一元二次方程的应用，关键是配方

后得出（x﹣2）2＝11，题目比较典型，难度适中．【例题9】（2021•越秀区校级二模）解方程：x2﹣4x+1＝0．【分析】根据配方法可以解答此方程．【解答】解：x2﹣4x+1＝0x2﹣4x+4＝3（x﹣2）2＝3x

﹣2=±√3∴x1＝2+√3，x2＝2−√3；【点评】本题考查解一元二次方程﹣配方法，解答本题的关键是会用配方法解方程的方法．【例题10】（2021•河北区模拟）解方程：x2+2x﹣2＝0．【分析】本题要求用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半

的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．【解答】解：原方程化为：x2+2x＝2，x2+2x+1＝3（x+1）2＝3，x+1＝±√3x1＝﹣1+√3，x2＝﹣1−√3．【点评】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化

为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．【例题11】（2019•荔城区一模）解方程：x2﹣5x﹣7＝0．【分析】先求出b2﹣4ac的值

，再代入公式求出即可．【解答】解：x2﹣5x﹣7＝0，∵b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣7）＝53＞0，∴方程有两个不相等的实数根，x=−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐2𝑎=5±√532，x1=5+√532，x2=5−√532．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生

的解方程的能力．【例题12】（2021•思明区校级二模）解方程：3x（2x+1）＝4x+2．【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．【解答】解：方程整理得：3x（2x+1）﹣2（2x+1）＝0，分解因式得：（3x﹣2

）（2x+1）＝0，可得3x﹣2＝0或2x+1＝0，解得：x1=23，x2=−12．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．33.解一元二次方程-根的判别【例题13】（2021•思明区校级二模）对于一元二次方程ax

2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+b

x+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质解决此题．【解答】解：①当x＝1时，a×12+b×1+c＝a+b+c＝0，那么一元二次方程a

x2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，此时b2﹣4ac≥0成立，那么①一定正确．②方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则﹣4ac＞0，那么b2﹣4ac＞0，故方程ax

2+bx+c＝0（a≠0）必有两个不相等的实根，进而推断出②正确．③由c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，得ac2+bc+c＝0．当c≠0，则ac+b+1＝0；当c＝0，则ac+b+1不一定等于0，那么③不一定正确．④(2𝑎𝑥0+𝑏)2=4

𝑎2𝑥02+𝑏2+4𝑎𝑏𝑥0，由b2﹣4ac=4𝑎2𝑥02+𝑏2+4𝑎𝑏𝑥0，得𝑎𝑥02+𝑏𝑥0+𝑐=0．由x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则𝑎𝑥02+𝑏𝑥0+𝑐=0成立，那么④正确．综上：正确的有①②④

，共3个．故选：C．【点评】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，熟练掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质是解决本题的关键．【例题14】（2021•福建模拟）关

于x的一元二次方程x2+mx+n＝0，下列说法：①若m﹣2n＝1，则方程一定有两个不相等的实数根；②若m2﹣2n＜0，则方程没有实数根；③若n是方程x2+mx+n＝0的一个根，则m+n＝﹣1；④若x＝t（t≠0）是方程x2+mx+n＝0的一个根，则x=1𝑡是方程nx2+m

x+1＝0的一个根．其中正确的是（）A．①②③④B．①③C．①②④D．②④【分析】根据一元二次方程根的定义、根的判别式以及根与系数的关系判断，从而得出答案．【解答】解：∵x2+mx+n＝0，∴Δ＝m2﹣4n，①∵m﹣2n＝1，∴m＝1+2n

，∴m2﹣4n＝（1+2n）2﹣4n＝4n2+1＞0，则方程一定有两个不相等的实数根，故正确；②∵m2﹣2n＜0，∴0≤m2＜2n，∴m2﹣4n＜0，则方程没有实数根，故正确；③∵当n≠0时，n是方程x2+m

x+n＝0的一个根，∴另一个是1，∴1+m+n＝0，∴m+n＝﹣1，n＝0时，n是方程x2+mx+n＝0的一个根，则m+n＝m，m不一定为﹣1，故错误；④∵x＝t（t≠0）是方程x2+mx+n＝0的一个根，

∴t2+tm+n＝0，∴1+𝑚𝑡+𝑛𝑡2=0，∴x=1𝑡是方程nx2+mx+1＝0的一个根，故正确；故选：C．【点评】本题考查一元二次方程的根的定义、根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是理解题

意，灵活运用所学知识解决问题．【例题15】（2021•福建模拟）定义：当关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0满足4a﹣2b+c＝0时，称此方程为“合理”方程．若“合理”方程mx2+nx+p＝0有两个相等的实数根，则下列等式正确的

是（）A．m＝4n＝4pB．m＝n＝4pC．m＝4n＝pD．4m＝n＝p【分析】根据判别式的意义得到Δ＝n2﹣4mp＝0，根据新定义得4m﹣2n+p＝0，即4m﹣2n+p＝0，把4m﹣2n+p＝0代入n2﹣4mp＝0可得到n＝p，则4m＝2n﹣n＝n

＝p，然后分别进行判断．【解答】解：∵“合理”方程mx2+nx+p＝0有两个相等的实数根，∴4m﹣2n+p＝0，Δ＝n2﹣4mp＝0，∴4m＝2n﹣p，∴n2﹣（2n﹣p）•p＝0，即（n﹣p）2＝0，∴n＝p，∴4m＝2n﹣n＝n，∴4m＝n＝p．故选：D．【点评】本题考查了一元二

次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．【例题16】（2021•莆田模拟）定义：如果一元二次方程ax2

+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“蝴蝶”方程．已知关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“蝴蝶”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论中正确的是（）A．b＝cB．a＝bC．a＝cD．a＝b＝c【分析】根据已知得出方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有x＝﹣1，

再判断即可．【解答】把x＝﹣1代入方程ax2+bx+c＝0得出a﹣b+c＝0，∴b＝a+c，∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2＝0，∴a＝c，故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的解，根的

判别式，根与系数的关系的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．【例题17】（2018•福建）已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）＝0有两个相等的实数根，下列判断正确的是（）A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a＝0的根B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a＝0的根C．

1和﹣1都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根D．1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根【分析】根据方程有两个相等的实数根可得出b＝a+1或b＝﹣（a+1），当b＝a+1时，﹣1是方程x2+bx+a＝0的根

；当b＝﹣（a+1）时，1是方程x2+bx+a＝0的根．再结合a+1≠﹣（a+1），可得出1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）＝0有两

个相等的实数根，∴{𝑎+1≠0△=(2𝑏)2−4(𝑎+1)2=0，∴b＝a+1或b＝﹣（a+1）．当b＝a+1时，有a﹣b+1＝0，此时﹣1是方程x2+bx+a＝0的根；当b＝﹣（a+1）时，有a+b+1＝0，此时1是方程x2+bx+a＝0的根．∵a+1≠0，∴a+1≠﹣（a+1），∴1和﹣

1不都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．【例题18】（2020•丰泽区校级模拟）设一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）﹣p2＝0的两实根分

别为α、β（α＜β），则α、β满足（）A．2＜α＜3≤βB．α≤2且β≥3C．α≤2＜β＜3D．α＜2且β＞3【分析】当p＝0，易得α＝2，β＝3，当p≠0，对于（x﹣2）（x﹣3）﹣p2＝0有两不等根，看作二次函数y＝（x﹣2）（x﹣3）与直线y＝p2＝0有两个公共点，利用y＝（x

﹣2）（x﹣3）与x轴的交点坐标为（2，0），（3，0）得到p＜2，β＞3．【解答】解：当p＝0，（x﹣2）（x﹣3）＝0，解得α＝2，β＝3，当p≠0，（x﹣2）（x﹣3）﹣p2＝0，看作二次函数y＝（x﹣2）（x﹣3）与直线y＝p2＝0有两个公

共点，而y＝（x﹣2）（x﹣3）与x轴的交点坐标为（2，0），（3，0），直线y＝p2在x轴上方，所以p＜2，β＞3，综上所述，α≤2且β≥3．故选：B．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）

的两根时，x1+x2=−𝑏𝑎，x1x2=𝑐𝑎．也考查了二次函数与x轴的交点问题．【例题19】（2020•南平二模）已知关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣2，则另一个根为（）A．5B．2C．﹣1D．﹣5【分析】设方程的两个根为x1，x2，由根与系数的关系找

出x1+x2＝﹣3，代入x1＝﹣2即可得出x2的值．【解答】解：设方程的两个根为x1，x2，∴x1+x2＝﹣3，∵方程的一根x1＝﹣2，∴x2＝﹣1．故选：C．【点评】本题考查了根与系数的关系，根据方程的系数找出x1+x2＝﹣3是解题的关键．【例题20

】（2021•东兴区校级三模）若关于x的方程m（x+h）2+k＝0（m、h、k均为常数，m≠0）的解是x1＝﹣3，x2＝2，则方程m（x+h﹣3）2+k＝0的解是（）A．x1＝﹣6，x2＝﹣1B．x1＝0，x2＝5C．x1＝﹣3，x2＝5D．x1

＝﹣6，x2＝2【分析】用字母表示出原方程的解和要求解方程的解，根据代数式关系求解即可．【解答】解：解方程m（x+h）2+k＝0（m、h、k均为常数，m≠0）得，x＝﹣h±√𝑘𝑚，∵此方程解是x1＝﹣3，x2＝2，∴﹣h−√𝑘𝑚=−3，﹣h+√�

�𝑚=2，∵方程m（x+h﹣3）2+k＝0的解是x＝3﹣h±√𝑘𝑚，∴x1＝3﹣3＝0，x2＝3+2＝5，故选：B．【点评】本题主要考查一元二次方程的解，根据原方程的解得出代数式的值是解题的关键．【例题21】（2021•

房县模拟）已知关于x的一元二次方程（1﹣m2）x2+2（1﹣m）x﹣1＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为非负整数，求此时方程的根．【分析】（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式得到1﹣m2≠0且△

≥0，然后解不等式即可；（2）根据“m为非负整数”以及（1）中的范围判断出m的值，然后代入解方程即可．【解答】解：（1）由题意得：1﹣m2≠0且Δ＝[2（1﹣m）]2﹣4（1﹣m2）×（﹣1）≥0，解得m≤1且m≠±1，∴m的取值范围为：m＜1且m≠﹣1；（2）∵m为非负整数，∴m＝0，此时方程为

x2+2x﹣1＝0，∴Δ＝22﹣4×1×（﹣1）＝8，∴x=−2±2√22×1=−1±√2，∴x1＝﹣1+√2，x2＝﹣1−√2．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的

实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．【例题22】（2021•建湖县二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x+2m﹣8＝0．（1）求证：方程总有两个实数根．（2）若方程有一个根是负数，求m的取值范围．【分析】（1）证

明Δ≥0即可；（2）先求出方程的解，再根据题意得出答案即可．【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（m﹣2）]2﹣4×（2m﹣8）＝m2﹣4m+4﹣8m+32＝m2﹣12m+36＝（m﹣6）2．∵（m﹣6）2≥0，∴方程总有两个实数根．

（2）解：用因式分解法解此方程x2﹣（m﹣2）x+2m﹣8＝0，可得（x﹣2）（x﹣m+4）＝0，解得x1＝2，x2＝m﹣4，若方程有一个根为负数，则m﹣4＜0，故m＜4．【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式之间的关系是解题

的关键．【例题23】（2021•海淀区校级三模）已知一元二次方程﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a＝0．（1）求证：方程有两个不等的实数根；（2）若方程只有一个实数根小于1，求a的取值范围．【分析】（1）先

计算判别式的意义得到Δ＝（2a﹣2）2﹣4×（﹣1）（﹣a2+2a）＞0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）先利用求根公式解方程得x1＝a，x2＝a﹣2，再根据题意得到a﹣2＜1，从而得到m的范围．【解答】解：（1）∵a＝﹣1，b＝2a﹣2，c＝﹣a2+2a，∴Δ＝（2a﹣2）2﹣4×（﹣1

）（﹣a2+2a）＝4＞0，∴方程有两个不等的实数根；（2）∵Δ＝（2a﹣2）2﹣4×（﹣1）（﹣a2+2a）＝4＞0，∴x=−(2𝑎−2)±2−2，∴x1＝a，x2＝a﹣2，∵方程只有一个实数根小于1，a﹣2＜a，∴a﹣2＜

1，且a≥1，∴1≤a＜3．【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程总有两个不相等的实数根”，（2）正确找出不等量关系列不等式组．【例题24】（2021•西城区二模）已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2

）当k取最大整数时，求此时方程的根．【分析】（1）根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．（2）由（1）中k的取值范围得出符合条件的k的最大整数值，代入原方程，利用因式分解法即可

求出x的值．【解答】解：（1）∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，∴{𝑘−1≠0(−2)2−4(𝑘−1)×1≥0，解得：k≤2且k≠1．（2）当k＝2时，方程为：x2﹣2x+1＝0，即（x﹣1）2＝0，解得：x1＝x2＝1．【点评】本题

考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a

≠0）的根与系数的关系．34.一元二次方程的应用【例题25】（2020•晋安区一模）随着生产技术的进步，某厂生产一件产品的成本从两年前的100元，下降到现在的64元，求年平均下降率．设年平均下降率为x，通过解方程得到一个根为1.8，则正确的解释是（）A．年平均下降率为80%，符合题意B．年平均下降

率为18%，符合题意C．年平均下降率为1.8%，不符合题意D．年平均下降率为180%，不符合题意【分析】等量关系为：2年前的生产成本×（1﹣下降率）2＝现在的生产成本，把相关数值代入计算即可．【解答】解：设年平均下降率为x，则可得：100（1﹣x）2＝64，通过解方程得到一个根为1

.8，即x＝1.8＝180%，所以年平均下降率为180%，不符合题意，故选：D．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握增长率问题的计算公式：变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a

（1±x）2＝b．【例题26】（2019•思明区校级模拟）某药厂2013年生产1t甲种药品的成本是6000元．随着生产技术的进步，2015年生产1t甲种药品的成本是3600元．设生产1t甲种药品成本的年平均下降率为x，则x的值是（）A．5−√155B．5+√155C．√155D．25【分析】设生产

1t甲种药品成本的年平均下降率为x，根据2013年生产1吨某药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，2015年生产1吨药品的成本是3600元可列方程解答即可．【解答】解：设生产1t甲种药品成本的年平均下降率为x，由题意得6000（1﹣x）2＝360

0解得：x1=5−√155，x2=5+√155（不合题意，舍去），答：生产1t甲种药品成本的年平均下降率为5−√155．故选：A．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据增长率一般公式列出方程即可解决问题．【例题

27】（2021•临沂模拟）目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展，某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数累计达到3.38万户，设全市5G用户数年平均增长率为x，则该市5G用户数平均增长率为30%．【分析】设全市5

G用户数年平均增长率为x，根据该市2019年底及计划到2021年底全市5G用户数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设该市5G用户数年平均增长率为x，依题意得：2（1+x）

2＝3.38，即（1+x）2＝1.69，解得：x1＝0.3，x2＝﹣2.3（舍去），所以增长率为0.3＝30%，答：该市5G用户数年平均增长率为30%，故答案为：30%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出

一元二次方程是解题的关键．【例题28】（2021•山西模拟）某菜农在2020年11月底投资1600元种植大棚黄瓜，春节期间，共采摘黄瓜400千克，当天就可以按6元/千克的价格售出．若将所采摘的黄瓜先储藏起来，其质量每天损失10千克，且每天需支付各种费用共40元，但每天每千克的价格能上涨0.5元

（储藏时间不超过10天）．若该菜农想获得1175元的利润，则需要将采摘的黄瓜储藏5天．【分析】根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题．【解答】解：设需要将采摘的黄瓜储藏x天出售，（6+0.5

x）（400﹣10x）﹣40x﹣1600＝1175，解得，x1＝5，x2＝15（舍去），即若该菜农想获得1175元的利润，则需要将采摘的黄瓜储藏5天．故答案是：5．【点评】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，注意储藏时间不超过1

0天．【例题29】（2021•滨城区二模）秋冬季节为流感的高发期，有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数为10人．【分析】设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，根据“有一人患了流感，经过两轮传染后共有121

人患了流感”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，依题意得：（1+x）2＝121，解得：x1＝10，x2＝﹣12（不合题意，舍去）．故

答案为：10人．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【例题30】（2021•莱芜区二模）如图，某小区规划在一个长为24m、宽为10m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若草坪

部分的总面积为160m2，则小路的宽度为2m．【分析】此题是典型的“平移”方法，将三条道路平移到场地的边上，形成整体的草坪．再设修建的路宽应为x米，根据题意可知：新草坪的仍然是矩形，这样草坪面积可以建立，解方程即可．【解答】解：

如图，设修建的小路宽应为x米，则新的草坪面积等于矩形DEFG的面积，即得到方程：（24﹣2x）×（10﹣x）＝160，整理得：x2﹣22x+40＝0，解得x＝20或x＝2．但x＝20不合题意，舍去，所以修建的小路宽应为2米．故答案为

：2．【点评】此题考查了几何图形的平移，用“平移”的方法，将分散的图形拼成一个“整体”，再建立几何图形面积，得到方程，方程的解注意需要检验．【例题31】（2021•沙坪坝区校级模拟）每个季节都有专属于这个季节的美食，青团无疑是专属于春天的美食．某甜品店销售三种口味青团：芝麻馅，豆沙馅，肉松

馅．且芝麻馅和豆沙馅的成本相同，豆沙馅和肉松馅每盒的成本之比为4：5．店长发现当芝麻馅，豆沙馅，肉松馅的销量之比为3：2：1时，总利润率为40%；过节促销时每个产品每盒都降价一元销售，当三者销量之比仍然为3：2：1时，

总利润率为32%，已知销售一盒豆沙馅所得利润为50%，销售一盒肉松馅所得利润不低于50%且不高于70%．已知青团的价格均为整数，则三种口味青团各销售一盒可获得利润18元．【分析】设芝麻馅，豆沙馅，肉松馅每盒售价分别为x1，x2，x

3，销量分别为3a，2a，a，成本分别为4b，4b，5b，根据题意列出方程，销售一盒肉松馅所得利润不低于50%且不高于70%．已知青团的价格均为整数，分类讨论，进而求解．【解答】解：设芝麻馅，豆沙馅，肉松馅每盒售价分别为x1，x2，x3，销量分别为3a，2a，a，成本分别为4b，4b，5b，由题意

得，{3𝑎(𝑥1−4𝑏)+2𝑎(𝑥2−4𝑏)+𝑎(𝑥3−5𝑏)3𝑎×4𝑏+4𝑏×2𝑎+5𝑏×𝑎=40%①3𝑎(𝑥1−4𝑏−1)+2𝑎(𝑥2−4𝑏−1)+𝑎(𝑥3−5𝑏−1)3𝑎×4𝑏+4�

�×2𝑎+5𝑏×𝑎=32%②，①﹣②相减得，﹣6a＝8%×25ab，∴b＝3，∵已知销售一盒豆沙馅所得利润为50%，∴x2＝18，∵销售一盒肉松馅所得利润不低于50%且不高于70%，∴50%≤𝑥3−1515≤7

0%，∴22.5≤x3≤25.5，∵已知青团的价格均为整数，∴x3＝23或24或25，代入①得，当x3＝23时，x1=463（舍去），当x3＝24时，x1＝15，当x3＝25时，x1=443（舍去），故芝麻馅，豆沙馅，肉松馅每盒售价分别为15，18，24，成本分别为12，12，15，三

种口味青团各销售一盒的利润为：（15﹣12）+（18﹣12）+（24﹣15）＝18，故三种口味青团各销售一盒的利润为18元，故答案为：18．【点评】本题考查了三元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用等知识，难度一般，能够用加减消元降次是解决本题的关

键．【例题32】（2021•乐陵市二模）如图，用长为20m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1m的两扇小门．若花圃的面积刚好为40m2，则此时花圃AB段的长为4m．【分析

】设AB＝x米，则BC＝（20﹣3x+2）米，根据围成的花圃的面积刚好为40平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合BC的长度不超过11米，即可确定x的值，此题得解．【解答】解：设AB＝x米，则BC＝（20﹣3x+2）米，依题意，得

：x（20﹣3x+2）＝40，整理，得：3x2﹣22x+40＝0，解得：x1=103，x2＝4．当x=103时，20﹣3x+2＝12＞11，不合题意，舍去；当x＝4时，20﹣3x+2＝10，符合题意．故答案为

：4．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【例题33】（2021•罗湖区校级模拟）某水果店销售一种进口水果，其进价为每千克40元，若按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价

每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克．水果店想要能尽可能让利于顾客，赢得市场，又想要平均每天获利2090元，则该店应降价9元出售这种水果．【分析】设这种商品每千克应降价x元，利用销售量×每千克利润＝2090元列出方程求解即可．【解

答】解：设这种商品每千克应降价x元，根据题意得（60﹣x﹣40）（100+𝑥2×20）＝2090，解得：x1＝1（不合题意，舍去），x2＝9．故答案是：9．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是掌握销售问题

中的基本数量关系．【例题34】（2022•泉州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠ACB的平分线CE交AB于点E，交AD于点F．若BD＝a，DF＝b，DC＝c，则关于x的一元二次方程ax2+4bx+c＝0的根的情况

（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．无实数根【分析】由△ABD∽△CAD可得AD2＝BD•CD＝ac，作FG⊥AC于点G，可得AF+DF＞FG+DF，AD＞2b，从而可得ac＞4b2，进而求解．【解答】解：AD⊥BC于点D，∴

∠ADB＝∠ADC＝90°，∵∠B+∠BAD＝90°，∠BAD+∠ACD＝90°，∴∠B＝∠ACD，∴△ABD∽△CAD，∴𝐴𝐷𝐶𝐷=𝐵𝐷𝐴𝐷，∴AD2＝BD•CD＝ac，作FG⊥AC于点G，则FG＜AF，∵CE为∠ACB的平分线，∴FG＝FD＝b，∴AF+DF＞FG+DF，即A

D＞2b，∴AD2＞4b2，∴ac＞4b2，∴4b2﹣ac＜0，在方程ax2+4bx+c＝0中，Δ＝16b2﹣4ac＝4（4b2﹣ac）＜0，∴二次方程ax2+4bx+c＝0无实数根，故选：D．【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，解题

关键是掌握相似三角形的判定及性质，通过添加辅助线求解．【例题35】（2022•安徽一模）根据安徽省统计局发布的数据，某市2020年一季度规上工业增加值与2019年一季度同期相比下降了9.75%，2021年一季度规上工业增加值与2020年一季度同期相比增长了44%，则这两年平

均增长率是（）A．8%B．12%C．14%D．21%【分析】设这两年的平均增长率是x，由题意可列出一元二次方程，解方程可得出答案．【解答】解：设这两年的平均增长率是x，由题意可得，（1+x）2＝（1﹣9.75%）（1+44%），解得：x＝0.14＝14%或x＝

﹣2.14（舍去）．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．【例题36】（2021•济宁三模）欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程x2+ax＝b2的方法，类似地我们可以用折

纸的方法求方程x2+x﹣1＝0的一个正根．如图，一张边长为1的正方形的纸片ABCD，先折出AD、BC的中点G、H，再折出线段AN，然后通过沿线段AN折叠使AD落在线段AH上，得到点D的新位置P，并连接NP、NH，此时，在下列四个选项中，有一条线段的长度恰好是方程x2+x﹣1＝0的

一个正根，则这条线段是（）A．线段BHB．线段DNC．线段CND．线段NH【分析】首先根据方程x2+x﹣1＝0解出正根为√5−12，再判断这个数值和题目中的哪条线段接近．线段BH＝0.5排除，其余三条线段可以

通过设未知数找到等量关系．利用正方形的面积等于图中各个三角形的面积和，列等量关系．设DN＝m，则NC＝1﹣m，从而可以用m表示等式．【解答】解：设DN＝m，则NC＝1﹣m．由题意可知：△ADN≌△APN，H是BC的中点，∴DN＝NP＝m，CH＝0.5．∵S正

方形＝S△ABH+S△ADN+S△CHN+SANH，∴1×1=12×1×12+12×1×m+12×12×（1﹣m）+12×√52×m，∴m=√5−12．∵x2+x﹣1＝0的解为：x=−12±√52，∴取正值为x=√5−12

．∴这条线段是线段DN．故选：B．【点评】此题考查的是一元二次方程的解法，运用勾股定理和面积法找到线段的关系是解题的关键．【例题37】（2021•花溪区模拟）某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95

件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．若生产的产品一天的总利润为1120元，且同一天所生产的产品为同一档次，则该产品的质量档次是（）A．6B．8C．10D．12【分析】设该产品的质量档次是x档，

则每天的产量为[95﹣5（x﹣1）]件，每件的利润是[6+2（x﹣1）]元，根据总利润＝单件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于等于10的值即可得出结论．【解答】解：设该产品的质量档次是x档，则每天的产量为[95﹣5（

x﹣1）]件，每件的利润是[6+2（x﹣1）]元，根据题意得：[6+2（x﹣1）][95﹣5（x﹣1）]＝1120，整理得：x2﹣18x+72＝0，解得：x1＝6，x2＝12（舍去）．故选：A．【点评】

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．35.不等式及其性质【例题1】（2020•鼓楼区二模）铺设木地板时，每两块地板之间的缝隙不低于0.5mm且不超过0.8mm，缝隙的宽度可以是（）A．0.3mmB．0.4mmC．0.6mmD．0.9

mm【分析】设缝隙的宽度为xmm，列出不等式，判断即可．【解答】解：设缝隙的宽度为xmm，根据题意得：0.5≤x≤0.8，则缝隙的宽度可以是0.6mm．故选：C．【点评】此题考查了不等式的定义，正确列出不等式是解本题的关键．【例题2】（2022•

郑州模拟）若a＞b＞0，c＞d＞0，则下列式子不一定成立的是（）A．a﹣c＞b﹣dB．𝑐𝑏＞𝑑𝑎C．ac＞bcD．ac＞bd【分析】根据不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，②不等式的两边同时乘以（或除以）

同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变进行分析即可．【解答】解：A．当a＝2，b＝1，c＝4，d＝3时，a﹣c＝b﹣d，故本选项符合题意；B．若a＞b＞0，c＞d＞0，则𝑐𝑏＞𝑑𝑎，故本

选项不合题意；C．若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bc，故本选项不合题意；D．若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd，故本选项不合题意；故选：A．【点评】此题主要考查了不等式的性质，关键是注意不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【例题3】（2021•

西湖区校级三模）已知y＝2x﹣1且0≤x≤1，令S＝xy，则S的取值范围是（）A．0≤S≤1B．﹣1≤S≤0C．−18≤S≤0D．−18≤S≤1【分析】先求出S与x的关系式，然后再配方成完全平方式即可解答．【解答】解：∵y＝2x﹣1，∴S＝xy＝x（2x﹣1）＝2x2﹣x＝

2（x−14）2−18，∴当x=14时，S有最小值，等于−18，∵0≤x≤1，∴当x＝1时，S有最大值，等于1，∴−18≤S≤1，故选：D．【点评】本题考查了不等式的性质，二次函数的最值，配方成完全平方式是解题的关键．【例题4】（2021•下城区校级二模）设a，b，c是实数

，且满足a+b+c＝0（）A．若a＞b＞c，则a＞0，c＜0B．若a＞b＞c，则a＞0，b＜0C．若a＜b＜c，则a＜0，c＜0D．若a＜b＜c，则a＜0，b＞0【分析】根据实数的大小关系及实数的加法运

算分析求解【解答】解：A．若a＞b＞c，由a+b+c＝0可得a＞0，c＜0，故此选项符合题意；B．若a＞b＞c，由a+b+c＝0可得a＞0，c＜0，但b可能大于零，小于零或等于零，故此选项不符合题意；C．若a＜b＜c，当a＜0，c＜0，则b一定也小于0，∴a+b+c≠0，故此选项不符合题意

；D．若a＜b＜c，当a＜0，则b可能大于0，也得可能小于0，故此选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查实数的加减计算及大小比较，掌握实数的大小比较和加法法则，准确推理是解题关键．【例题5】（2021•石家庄模拟）已知0≤x﹣y≤1且1

≤x+y≤4，则x的取值范围是（）A．1≤x≤2B．2≤x≤3C．12≤x≤52D．32≤x≤52【分析】根据不等式的性质求解即可．【解答】解：∵0≤x﹣y≤1且1≤x+y≤4，∴0+1≤2x≤1+4，即1≤2x≤5，解得12≤𝑥≤52．故选：C．【点评】考查了不等式的基本性质．不等式的基本

性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【例题6】（2016•思明区校级一模）已知x﹣y＝3，m＝x+y，且x＞2，y≤0，则m的取值范围是1＜m≤3

．【分析】分别求得x、y的取值范围，然后再来求x+y的取值范围．【解答】解：∵x﹣y＝3，∴x＝y+3而x＞2∴y+3＞2，y＞﹣1又y≤0，∴﹣1＜y≤0①再由x﹣y＝3得y＝x﹣3又注意到y≤0∴x﹣3≤0，x≤3∵x＞2∴2＜x≤3②①+②得：﹣1+2＜x+y

≤3+0∴x+y的取值范围是1＜x+y≤3，故答案为：1＜m≤3．【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是仔细阅读材料，理解解题过程，难度一般．【例题7】（2021•内江）已知非负实数a，b，c满足𝑎−12=𝑏−23=3−𝑐4，设S＝a

+2b+3c的最大值为m，最小值为n，则𝑛𝑚的值为1116．【分析】设𝑎−12=𝑏−23=3−𝑐4=k，则a＝2k+1，b＝3k+2，c＝3﹣4k，可得S＝﹣4k+14；利用a，b，c为非负实数可得k的取值范围，从而求得m，n的值，结论可求．【解答】解：设𝑎−12=𝑏−23=3

−𝑐4=k，则a＝2k+1，b＝3k+2，c＝3﹣4k，∴S＝a+2b+3c＝2k+1+2（3k+2）+3（3﹣4k）＝﹣4k+14．∵a，b，c为非负实数，∴{2𝑘+1≥03𝑘+2≥03−4𝑘≥0，解得：−12

≤k≤34．∴当k=−12时，S取最大值，当k=34时，S取最小值．∴m＝﹣4×（−12）+14＝16，n＝﹣4×34+14＝11．∴𝑛𝑚=1116．故答案为：1116．【点评】本题主要考查了不等式的性质，非负数的应用，设𝑎−12=𝑏−23=3

−𝑐4=k是解题的关键．【例题8】（2021•萧山区一模）已知a＜b，b＜2a﹣1，则a的取值范围为a＞1．【分析】根据不等式的性质解答即可．【解答】解：∵a＜b，b＜2a﹣1，∴a＜2a﹣1，∴a＞1．故答案为：a＞1．【点评】本题

考查了不等式的性质，解题的关键是明确不等式的性质是不等式变形的主要依据．要认真弄清不等式的性质与等式的性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数是否等于0，而且必须先确定这个数是正

数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．【例题9】（2022•罗山县校级模拟）若方程组{2𝑥−𝑦=3−𝑥+2𝑦=𝑚−1的解x，y满足x+y＞5，则m的取值范围为m＞3．【分析】方程组两方程相加表示出x+y，代入已知不等式求出m的范围即可．【解答】解

：①+②得：x+y＝m+2，∵x+y＞5，∴m+2＞5，解得：m＞3，故答案为：m＞3．【点评】此题考查了解一元一次不等式，二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．36.一元一次不等式的解法【例题10】（

2021•无棣县二模）已知一次函数y＝﹣3x+6，当函数值y＜0时，自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】由已知条件知﹣3x+6＜0，通过解不等式可以求得x＞2．然后把不等式的解集表示在

数轴上即可．【解答】解：∵一次函数y＝﹣3x+6，∴函数值y＜0时，﹣3x+6＜0，解得，x＞2，表示在数轴上为：故选：B．【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集．把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面

表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．【例题11】（2021•重庆）不等式x≤2在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】先在数轴上找出表示数2的点，

再向数轴的负方向画出即可．【解答】解：不等式x≤2的解集在数轴上表示为：，故选：D．【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，注意：不等式x≤2的解集在数轴上表示用实心点“•”．【例题12】（202

1•重庆）不等式x＞5的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】明确x＞5在数轴上表示5的右边的部分即可．【解答】解：不等式x＞5的解集在数轴上表示为：5右边的部分，不包括5，故选：A．【点评】本题考查了不等式解集在数轴上的表示，明确“左小右大、空

无实有”是解题的关键．【例题13】（2019•通州区一模）若关于x的不等式x＜a恰有2个正整数解，则a的取值范围为（）A．2＜a≤3B．2≤a＜3C．0＜a＜3D．0＜a≤2【分析】首先确定不等式的正整数解，

则a的范围即可求得．【解答】解：关于x的不等式x＜a恰有2个正整数解，则正整数解是：1，2．则a的取值范围：2＜a≤3．故选：A．【点评】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，根据a的取值范围正确确定

a与2和3的关系是关键．【例题14】（2022•安徽一模）不等式𝑥3−1≥3−𝑥6的解集是x≥3．【分析】去分母，去括号，移项，合并同列项，系数化为1即可求解．【解答】解：去分母得：2x﹣6≥3﹣x，移项得：2x+x≥3+6，合并同类项得：3x≥9，系

数化为1得：x≥3．【点评】本题考查一元一次不等式的解法，解题关键是熟知不等式的性质以及解一元一次不等式的基本步骤．【例题15】（2021•眉山）若关于x的不等式x+m＜1只有3个正整数解，则m的取值范围是﹣3≤m＜﹣2．【分析】首先解关于x的不等式，求得不等式的解集，然后根据不等式只有3个正

整数解，即可得到一个关于m的不等式组求得m的范围．【解答】解：解不等式x+m＜1得：x＜1﹣m，根据题意得：3＜1﹣m≤4，即﹣3≤m＜﹣2，故答案是：﹣3≤m＜﹣2．【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解．正确解不等式，求出正整数是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．【例题16】

（2022•温州一模）不等式组{2𝑥+9≥34−𝑥3＞1的解为﹣3≤x＜1．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式2x+9≥3，得：x≥﹣

3，解不等式4−𝑥3＞1，得：x＜1，则不等式组的解集为﹣3≤x＜1，故答案为：﹣3≤x＜1．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大

大小小找不到”的原则是解答此题的关键．37.一元一次不等式组的解法【例题17】（2022•官渡区校级模拟）若不等式组{5𝑥+2≤3𝑥−55−𝑥＜𝑎无解，则a的取值范围是（）A．a≤172B．a≤12C．a＜172D．a＜12【分析】不等式组中两不等式整理求出解集，根据不

等式组无解，确定出a的范围即可．【解答】解：不等式组整理得：{𝑥≤−72𝑥＞5−𝑎，由不等式组无解，得到5﹣a≥−72，即10﹣2a≥﹣7，解得：a≤172，故选：A．【点评】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式取解集的方法是解本

题的关键．【例题18】（2022•红花岗区一模）关于x的不等式组{2𝑥≥−4𝑎−𝑥≥2有解，关于m的方程am2+3m+1＝0无解，则最小整数a为（）A．1B．2C．3D．4【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找

不到，并结合不等式组的解集及一元二次方程根的判别式得出a的取值范围，继而得出答案．【解答】解：由2x≥﹣4a，得：x≥﹣2a，由﹣x≥2，得：x≤﹣2，∵不等式组有解，∴﹣2a≤﹣2，解得a≥1，又关于m的方程am2+3m+1＝0无解，

∴9﹣4a＜0，解得a＞94，则符合条件的最小整数a的值为3，故选：C．【点评】本题考查解一元一次不等式组，学生的计算能力以及推理能力，解题的关键是根据不等式组求出a的范围，本题属于中等题型．【例题19】（2

022•郑州模拟）若不等式组{𝑥−2＜3𝑥−6𝑥＜𝑚无解，则m的取值范围是m≤2．【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到可得答案．【解答】解：解不等式x﹣2＜3x﹣6，得：x＞2，∵不等式组无解，∴m≤2，故答案为：m≤2．【点评】本题考查的是解

一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【例题20】（2022•新乡模拟）不等式组{𝑥−2＜0𝑥+1≥0的整数解为﹣1、0、1．【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等

式组的解集，最后求出答案即可．【解答】解：{𝑥−2＜0①𝑥+1≥0②，解不等式①，得x＜2，解不等式②，得x≥﹣1，所以不等式组的解集是﹣1≤x＜2，所以不等式组{𝑥−2＜0𝑥+1≥0的整数解为﹣1、0、1，故答案为：﹣

1、0、1．【点评】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能求出不等式组的解集是解此题的关键．38.一元一次不等式的应用【例题21】（2020•贺州模拟）某商店甲商品的单价为8元，乙商品的单价为2元．已知购买乙商品的件数比购买甲商品的件数的2倍少4

件，如果购买甲、乙两种商品的总件数不少于32，且购买甲、乙两种商品的总费用不超过148元．设购买甲商品x件，依题意可列不等式组得（）A．{𝑥+(2𝑥−4)≥328𝑥+2(2𝑥−4)≥148B．{�

�+(2𝑥−4)＞328𝑥+2(2𝑥−4)≥148C．{𝑥+(2𝑥−4)≥328𝑥+2(2𝑥−4)≤148D．{𝑥+(2𝑥−4)≤328𝑥+2(2𝑥−4)≤148【分析】设购买甲商品x件，则购买乙商品（2x﹣4）件，根据“购买甲、乙两种商品的总

件数不少于32，且购买甲、乙两种商品的总费用不超过148元”，即可得出关于x的一元一次不等式组，此题得解．【解答】解：设购买甲商品x件，则购买乙商品（2x﹣4）件，依题意得：{𝑥+(2𝑥−4)≥328𝑥+2(2𝑥−4)≤148．故选：C．【点评】本题考查了由实际问题

抽象出一元一次不等式组，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．【例题22】（2021•西山区二模）如图所示，运行程序规定：从“输入一个值x”到“结果是否＞79”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是（）A．x＞9B．x≤19C．9＜x≤19

D．9≤x≤19【分析】根据程序操作进行了三次才停止，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围．【解答】解：依题意得：{2(2𝑥+1)+1≤792[2(2𝑥+1)+1]+1＞79，解得：9＜x≤19．故选：C．【点评】本题考查了一元一次不等

式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．【例题23】（2019•绥化）小明去商店购买A、B两种玩具，共用了10元钱，A种玩具每件1元，B种玩具每件2元．若每种玩具至少买一件，且A种玩具的数量多于B种玩具的数量．则小明的购买

方案有（）A．5种B．4种C．3种D．2种【分析】设小明购买了A种玩具x件，则购买的B种玩具为10−𝑥2件，根据题意列出不等式组进行解答便可．【解答】解：设小明购买了A种玩具x件，则购买的B种玩具为10−𝑥2件，根据题意得，{𝑥≥110−�

�2≥110−𝑥2＜𝑥，解得，313＜x≤8，∵x为整数，10−𝑥2也为整数，∴x＝4或6或8，∴有3种购买方案．故选：C．【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的应用题，正确表示出购买B种玩具的数量和正确列出不等式组是解决本题的

关键所在．【例题24】（2019•怀化）为了落实精准扶贫政策，某单位针对某山区贫困村的实际情况，特向该村提供优质种羊若干只．在准备配发的过程中发现：公羊刚好每户1只；若每户发放母羊5只，则多出17只母羊，若每户发

放母羊7只，则有一户可分得母羊但不足3只．这批种羊共（）只．A．55B．72C．83D．89【分析】设该村共有x户，则母羊共有（5x+17）只，根据“每户发放母羊7只时有一户可分得母羊但不足3只”列出关于x的不等式组，解之求得整数x的值，再进一步计算可得．【

解答】解：设该村共有x户，则母羊共有（5x+17）只，由题意知，{5𝑥+17−7(𝑥−1)＞05𝑥+17−7(𝑥−1)＜3解得：212＜x＜12，∵x为整数，∴x＝11，则这批种羊共有11+5×11+17＝83（只），故选：C．

【点评】本题主要考查一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的不等关系，并据此得出不等式组．【例题25】（2021•宜宾二模）在“抗疫”期间，某药店计划一次购进A、B两种型号的口罩共200盒，每盒A型口罩的销售利润为7.5元，每盒B型口罩的销售利润为10元，若要

求B型口罩的进货量不超过A型口罩的3倍，且完全售出后利润不少于1870元，则该药店在此次进货中获得的最大利润是1875元．【分析】设购进A型口罩x盒，则购进B型口罩（200﹣x）盒，根据“要求B型口罩的进货量不超过A型口罩的3倍，且完全售出后利润

不少于1870元”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，结合x为正整数即可得出可以取的各x值，再利用总利润＝每盒的销售利润×销售数量，可分别求出取各x值时获得的总利润，比较后即可得出结论．【解答】解：设购进A型口罩x盒，则购进B型口罩（200﹣x）盒，依题意

得：{200−𝑥≤3𝑥7.5𝑥+10(200−𝑥)≥1870，解得：50≤x≤52，又∵x为正整数，∴x可以取50，51，52，当x＝50时，该药店在此次进货中获得的利润是7.5×50+10×（200﹣50）＝187

5（元）；当x＝51时，该药店在此次进货中获得的利润是7.5×51+10×（200﹣51）＝1872.5（元）；当x＝52时，该药店在此次进货中获得的利润是7.5×52+10×（200﹣52）＝1870（元）．∵1875＞1872.5＞1870，∴该药店在此次进货中获得的最大利润是18

75元．故答案为：1875．【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．【例题26】（2021•西城区一模）某商家需要更换店面的瓷砖，商家打算用1500元购买彩色和单色两种地砖进行搭配，并且把1500元全部花完．已知

每块彩色地砖25元，每块单色地砖15元，根据需要，购买的单色地砖数要超过彩色地砖数的2倍，并且单色地砖数要少于彩色地砖数的3倍，那么符合要求的一种购买方案是购买24块彩色地砖、60块单色地砖（或购买27块彩色地砖、55块单色地砖）．【分析】设购买x块彩色地砖，则购买1

500−25𝑥15块单色地砖，根据“购买的单色地砖数要超过彩色地砖数的2倍，并且单色地砖数要少于彩色地砖数的3倍”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，结合x，1500−25𝑥15均为正整数，即可得出各购买方案，任写一种即可．【解答】解：设购买x块彩色地砖，则购

买1500−25𝑥15块单色地砖，依题意得：{1500−25𝑥15＞2𝑥1500−25𝑥15＜3𝑥，解得：1507＜x＜30011，又∵x，1500−25𝑥15均为正整数，∴x可以取24，27．∴当x＝24时，1500−25𝑥15=60；当x

＝27时，1500−25𝑥15=55．故答案为：购买24块彩色地砖、60块单色地砖（或购买27块彩色地砖、55块单色地砖）．【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．【例题27】（2021•铜梁区校级模拟）“九月已经霜，蟹

肥菊桂香”，古往今来，每至农历九月，蟹都是人们翘首以待的珍馐．某大闸蟹养殖户十月捕捞了第一批成熟的大闸蟹，并以每只相同的价格（价格为整数）批发给某经销商．十一月该养殖户捕捞了第二批成熟的大闸蟹，这次决定与某电商合作，将这批大闸蟹根据品质及重量分

为A（小蟹）、B（中蟹）、C（大蟹）三类，每类按照不同的单价（价格都为整数）网上销售，若2只A类蟹、1只B类蟹和3只C类蟹的价格之和正好是第一批蟹8只的价格，而6只A类蟹、3只B类蟹和2只C类蟹的价格之和正好是第一批蟹12只的价格，且A类蟹与B类蟹每只的单价之比为3：4

，根据市场有关部门的要求A、B、C三类蟹的单价之和不低于40元、不高于60元，则第一批大闸蟹每只价格为14元．【分析】可设第一批大闸蟹每只价格为x元，A类蟹的单价为a元，B类蟹的单价为b元，C类蟹的单价为c元，根据等量关系和不等关系：2只A类蟹、1只B类蟹和3只C类蟹的价格之和正好是第一批蟹8

只的价格；6只A类蟹、3只B类蟹和2只C类蟹的价格之和正好是第一批蟹12只的价格；A类蟹与B类蟹每只的单价之比为3：4；A、B、C三类蟹的单价之和不低于40元、不高于60元，列出方程和不等式求解即可．【解答】解：设第一批大闸蟹每只价格为x元，A类蟹的单价为a元，B类蟹的单价为b元，C类蟹的单价为

c元，依题意有{2𝑎+𝑏+3𝑐=8𝑥6𝑎+3𝑏+2𝑐=12𝑥𝑎：𝑏=3：440≤𝑎+𝑏+𝑐≤60，则a=67x，b=87x，c=127x，则40≤67x+87x+127x≤6

0，解得14013≤x≤21013，∵价格都为整数，∴x是7的倍数，∴x＝14．故第一批大闸蟹每只价格为14元．故答案为：14．【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，三元一次方程组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意列出方程和不等式关系式

即可求解．【例题28】（2019•阜新模拟）代数式√𝑥+√𝑥−1+√𝑥−2的最小值为√2+1．【分析】利用被开方数的非负性，可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合代数式√𝑥+√𝑥−1+√𝑥−2的值随x的增大而增大，即可求出原式的最小值．【解答】解

：依题意得：{𝑥≥0𝑥−1≥0𝑥−2≥0，解得：x≥2．又∵代数式√𝑥+√𝑥−1+√𝑥−2的值随x的增大而增大，∴当x＝2时，原式取得最小值，最小值=√2+√2−1+√2−2=√2+1．故答案为：√2+1．【点评】本题考查了一元一次不等式组的

应用以及二次根式有意义的条件，由被开方数非负，找出关于x的一元一次不等式组是解题的关键．【例题29】（2019•沙坪坝区模拟）某公司在农村租用了720亩闲置土地种植了乔木型、小乔木型和灌木型三种茶树．为达到最佳

种植收益，要求种植乔木型茶树的面积是小乔木型茶树面积的2倍，灌木型茶树的面积不得超过乔木型茶树面积的75倍，但种植乔木型茶树的面积不得超过270亩．到茶叶采摘季节时，该公司聘请当地农民进行采摘，每人每天可以采摘0.4亩乔木型茶叶，或者采摘0.5亩小乔木型茶叶，或者采摘0.6亩灌木型茶叶，若该

公司聘请一批农民恰好20天能采摘完所有茶叶，则种植乔木型茶树的面积是260亩．【分析】设种植小乔木型茶树x亩，则种植乔木型茶树2x亩，灌木型茶树（720﹣3x）亩，根据“灌木型茶树的面积不得超过乔木型茶树面积的75倍，且种植乔木型茶树的面积不得超过270亩”，即

可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，设有a个工人来采摘茶叶，根据工作时间＝总工作量÷工作效率结合恰好20天能采摘完所有茶叶，即可用含x的代数式表示出a值，结合a为正整数即可得出x为10的倍数，由x的取值范围即可确定x的值，进而可求出2x的值．【解答】解：设种植小

乔木型茶树x亩，则种植乔木型茶树2x亩，灌木型茶树（720﹣3x）亩，依题意，得：{720−3𝑥≤75×2𝑥2𝑥≤270，解得：124429≤x≤135．设有a个工人来采摘茶叶，则2𝑥0.4𝑎+𝑥0.5𝑎+720−3𝑥0.6𝑎

=20，整理，得：x+600＝10a，∴a＝60+𝑥10，∵a为正整数，∴𝑥10为整数，∴x为10的倍数，又∵124429≤x≤135，∴x＝130，∴2x＝260．故答案为：260．【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式

组（或二元一次方程）是解题的关键．【例题30】（2019•荆州）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为（x），即当n为非负整数时，若n﹣0.5≤x＜n+0.5，则（x）＝n．如（1.34）＝1，（4.86）＝5．若（0.5x﹣1）＝6，则实数x的取值范围是13≤x＜15．【分析】根

据题意得到：6﹣0.5≤0.5x﹣1＜6+0.5，据此求得x的取值范围．【解答】解：依题意得：6﹣0.5≤0.5x﹣1＜6+0.5解得13≤x＜15．故答案是：13≤x＜15．【点评】考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是得到关于x的不等式组6﹣0.

5≤0.5x﹣1＜6+0.5．【例题31】（2022•济南一模）解不等式组{2(𝑥+1)＞1𝑥−12＜1，求出解集并写出此不等式组的整数解．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出整数解即可．【解答

】解：{2(𝑥+1)＞1①𝑥−12＜1②，由①得：x＞−12，由②得：x＜3，∴不等式组的解集为−12＜x＜3，则不等式组的整数解为0，1，2．【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关

键．【例题32】（2021•黑龙江）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具．已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲

种农机具和3件乙种农机具共需3万元．（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具m件，则有哪几种购买方案？哪

种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？（3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7万元，每件乙种农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买

一种）请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？【分析】（1）设购进1件甲种农机具x万元，乙种农机具y万元．由题意：1件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元，列出方程组求解即可．（

2）根据甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，列出不等式组求解．总资金＝甲农机具的总费用+乙农机具的总费用；（3）设节省的资金用于再次购买甲种农机具a件，乙种农机具b件，由题意得（1.5﹣0.7）a+

（0.5﹣0.2）b＝0.7×5+0.2×5，求出其整数解即可得出结果．【解答】解：（1）设购进1件甲种农机具x万元，1件乙种农机具y万元．根据题意得：{2𝑥+𝑦=3.5𝑥+3𝑦=3，解得：{𝑥=1.5𝑦=0.5，答：购进1件甲种农

机具1.5万元，1件乙种农机具0.5万元．（2）设购进甲种农机具m件，购进乙种农机具（10﹣m）件，根据题意得：{1.5𝑚+0.5(10−𝑚)≥9.81.5𝑚+0.5(10−𝑚)≤12，解得：4.8≤m≤7．∵m为整数．∴

m可取5、6、7．∴有三种方案：方案一：购买甲种农机具5件，乙种农机具5件．方案二：购买甲种农机具6件，乙种农机具4件．方案三：购买甲种农机具7件，乙种农机具3件．设总资金为w万元．w＝1.5m+0.5（10﹣m）＝m+5．∵k＝1＞0，∴w随着m的减少而减少，∴m＝5时，w最小＝1×5+

5＝10（万元）．∴方案一需要资金最少，最少资金是10万元．（3）设节省的资金用于再次购买甲种农机具a件，乙种农机具b件，由题意得：（1.5﹣0.7）a+（0.5﹣0.2）b＝0.7×5+0.2×5，其整数解：{𝑎=0𝑏=15或{𝑎=3𝑏=7，∴节省的资金全部用于再次购买农机具的

方案有两种：方案一：购买甲种农机具0件，乙种农机具15件．方案二：购买甲种农机具3件，乙种农机具7件．【点评】本题考查二元一次方程组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出等式关系式即可求解．考察一元一次不等式组的应用，利用题目的已知条件列出不等式关系式．利用一次

函数的性质解决最值问题．【拓展训练1】（2019•武汉模拟）我们探究得方程2xy+=的正整数解只有1组，方程3xy+=的正整数解只有2组，方程4xy+=的正整数解只有3组，，那么方程10xyz++=

的正整数解的组数是()A．34B．35C．36D．37【分析】先把xy+看作整体t，得到10tz+=的正整数解有7组；再分析xy+分别等于2、3、4、9时对应的正整数解组数；把所有组数相加即为总的解组数．【解答】解：令(2)xytt+=

…，则10tz+=的正整数解有8组(2t=，3t=，4t=，9)t=其中2txy=+=的正整数解有1组，3txy=+=的正整数解有2组，4txy=+=的正整数解有3组，9txy=+=的正整数解有8组，总的正整数解组数为：123836++++=故选

：C．【点评】本题考查了二元一次方程的解，可三元方程里的两个未知数看作一个整体，再分层计算．【拓展训练2】（2021•竞秀区一模）我国古代《孙子算经》记载“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意

思是说：“每三人共乘一辆车，最终剩余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘，问人和车的数量各是多少？”下面四个同学的思考正确的是()小聪：设共有x人，根据题意得：9232xx−−=；小明：设共有x人，根据题意得：9232xx−+

=；小玲：设共有车y辆，根据题意得：3(2)29yy−=+；小丽：设共有车y辆，根据题意得：3(2)29yy+=+．A．小聪、小丽B．小聪、小明C．小明、小玲D．小明、小丽【分析】设有x个人，由每三人共乘一辆车，最终剩余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘，根据车的数量不变

列出方程即可．设共有车y辆，根据人数不变得出方程即可．【解答】解：设有x个人，则可列方程：9232xx−+=，设共有车y辆，根据题意得：3(2)29yy+=+．故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程组，找准等量关系，正确列出一元一次方程组是解题的关键．【拓展训练3】（

2021•涧西区三模）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐，乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲仍发长安．同几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国．乙从齐国出发，7日到长安，现乙先出发2日，甲才从长安出发．问甲经过多少日与乙相

逢？设甲经过x日与乙相逢，可列方程．()A．7512xx+=+B．7512xx−=+C．275xx+=D．2175xx++=【分析】设甲经过x日与乙相逢，则乙已出发(2)x+日，根据甲行驶的路程+乙行驶的路程=齐国到长安的距离（单位1)，即可得出关

于x的一元一次方程，此题得解．【解答】解：设甲经过x日与乙相逢，则乙已出发(2)x+日，依题意，得：2175xx++=．故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元

一次方程是解题的关键．【拓展训练4】（2022•咸宁一模）某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前20天完成了任务，则原计划每天绿化

的面积为多少万平方米．设原计划每天绿化的面积为x万平方米，依题意可列方程808020(125%)xx−=+．【分析】由实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%及原计划每天绿化的面积为x万平方米，可得出实际工作时每天绿化的

面积为(125%)x+万平方米，利用工作时间=工作总量工作效率，结合实际比原计划提前20天完成了任务，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解答】解：实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，且原计划每天绿化的面

积为x万平方米，实际工作时每天绿化的面积为(125%)x+万平方米．依题意得：808020(125%)xx−=+．故答案为：808020(125%)xx−=+．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．【拓展训练5】

（2019•惠安县一模）任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式．我们以无限循环小数0.5为例说明如下：设0.5x=，由0.50.555=可知，105.555x=，所以105xx−=，解方程得59x=，于是

，50.59=．请你把0.27写成分数的形式是311．【分析】设0.27x=，则27.27100x=，列出关于x的一元一次方程，解之即可．【解答】解：设0.27x=，则27.27100x=，10027xx−=，解得：3

11x=，故答案为：311．【点评】本题考查了解一元一次方程和有理数，正确根据题意列出一元一次方程是解题的关键．【拓展训练6】（2020•仓山区模拟）已知21xy==−是二元一次方程1axby+=的一组解，则22019ab−+=2

020．【分析】根据定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．把2x=，1y=−代入方程1axby+=，得21ab−=，即可求解．【解答】解：把2x=，1y=−代入方程1a

xby+=，得21ab−=，则220192020ab−+=．故答案为2020．【点评】本题考查了二元一次方程的解，解决本题的关键是掌握二元一次方程的解的定义．【拓展训练7】（2012•巴州区校级模拟）25xy+=的正整数解是1

3xy==，21xy==．【分析】根据方程20xy+=有正整数解可分别令1x=，2x=求出y的对应值即可．【解答】解：当1x=时，215y+=，解得3y=；当2x=时，225y+=，解得1y=，方程20xy+=有正整数解为：13xy==，21xy==．当x取大

于2的整数，求出的y是负数，即正整数解只有两个，故答案为：13xy==，21xy==．【点评】本题考查的是二元一次方程，由于二元一次方程是不定方程，在解答此类题目时要先设出一个未知数的值，然后求出另一个数的对应值．

【拓展训练8】（2021•玉田县二模）如图，在长方形ABCD中，放入6个形状、大小都相同的长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分面积是267cm，若平移这六个长方形，则图中剩余的阴影部分面积是否改变？（填“变”或“不变”)．【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，观察

图形，根据图中各边之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出小长方形的长和宽，再利用阴影部分的面积=大长方形的面积6−小长方形的面积，即可求出阴影部分的面积，由该值为定值可得出：若平移这六个长方形，则图中剩余的阴影部分面积不变．【解答】解：设小长

方形的长为xcm，宽为ycm，依题意得：31927xyxyy+=+−=，解得：103xy==，19(72)619(723)610367yxy+−=+−=，若平移这六个长方形，则图中剩余

的阴影部分面积不变．故答案为：267cm；不变．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及生活中的平移现象，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【拓展训练9】（2021•西吉县二模）如图，汪曾祺纪念馆中的仿古墙独具特色，其中一处是由1

0块相同的小矩形砖块拼成了一个大矩形，若大矩形的一边长为75cm，则小矩形砖块的面积为6752cm．【分析】设小矩形的长为xcm，宽为ycm，由图形的条件列出方程组，可求解．【解答】解：设小矩形的长为xcm，宽为ycm，由题意可

得：27523xyxyx+==+，解得：4515xy==，小矩形砖块的面积为24515675cm==，故答案为：675．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找到正确的等量关系是本题的关键．【拓展训练10】（2021•永川区模拟）假设北碚万达广场地下停车场有5

个出入口，每天早晨6点开始对外停车且此时车位空置率为75%，在每个出入口的车辆数均是匀速出入的情况下，如果开放2个进口和3个出口，8小时车库恰好停满；如果开放3个进口和2个出口，2小时车库恰好停满．2019年元旦节期间，由于商场人

数增多，早晨6点时的车位空置率变为60%，又因为车库改造，只能开放2个进口和1个出口，则从早晨6点开始经过3215小时车库恰好停满．【分析】设1个进口1小时开进x辆车，1个出口1小时开出y辆，根据题意列

出方程组求得x、y，进一步代入求得答案即可．【解答】解：设1个进口1小时开进x辆车，1个出口1小时开出y辆，车位总数为a，由题意得8(23)75%2(32)75%xyaxya−=−=解得：316332xaya==，则333260%

(2)163215aa−=小时答：从早晨6点开始经过3215小时车库恰好停满．故答案为：3215．【点评】此题考查二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．【拓展训练11】（2021•新平县模拟）某工程甲单独做12天可以完成，乙单独做

9天可以完成．现在两人合作，但途中乙因事离开了几天，最后一共花了8天把这项工程做完，则乙中途离开了5天．【分析】设乙中途离开了x天，由某工程甲单独做12天可以完成，乙单独做15天可以完成可知，甲、乙的工作效率分别为112、19

，根据总工作量为1列方程求出x的值即可．【解答】解：设乙中途离开了x天，根据题意得881129x−+=，解得5x=，乙中途离开了5天，故答案为：5．【点评】此题属于没给出具体工作总量的工程问题，解题时应把工作总量看作“1”，再分别表示出甲、乙的工作效率，列方程求出

要求的结果．【拓展训练12】（2021•长兴县模拟）解方程21233xxx−=−−−．【分析】观察可得最简公分母是(3)x−，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【解答】解：方程的两边同乘(3)x−，得：212(3)xx−=−−−，解得：3x=，检验：当3x=时，(3)0x−=

，3x=是原分式方程的增根，原分式方程无解．【点评】此题考查了分式方程的求解方法．此题难度不大，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根．【拓展训练13】（2020•鼓楼区校级三模）解分式方程：2491393xxxx+−=−−+【分析】通过去分母、去括号、移项与合并同类

项、系数化为1等步骤求解，再检验即可得出答案．【解答】解：方程两边同时乘以2(9)x−得：4(3)(9)3xxx+−+=−，41293xxx+−−−=−，26x=−，3x=−，当3x=−时，229(3)9990x−=

−−=−=，3x=−为增根，原方程无解．【点评】本题考查了解分式方程，属于基础计算能力的考查，熟练掌握分式方程的解题步骤是解题的关键．【拓展训练14】（2021•广西模拟）解方程组：236210xyxy−=+=．【分析】①−②2得出714y−=−

，求出y，再把2y=代入②求出x即可．【解答】解：236210xyxy−=+=①②，①−②2，得714y−=−，解得：2y=，把2y=代入②，得410x+=，解得：6x=，所以方程组的解是62xy==．【点评】本题考查了解二元一次方程组，能用加减法把二元一次方程组转化成一元一次方程

是解此题的关键．【拓展训练15】（2021•福州模拟）解方程组：31723xyxy−=−=①②．【分析】观察方程组中各未知数的系数特点，可用①2−②消去y，解得1x=，再代入①方程得到2y=，

因此可得原方程组的解．【解答】解：①2−②得1x−=−，解得：1x=，把1x=代入①中，得31y−=，解得：2y=，原方程组的解为12xy==．【点评】本题考查了二元一次方程的解法，加减消元法或代入消元法，熟练运用这两种解法是解题关键．【拓展训练16

】（2021•福建模拟）定义新运算：a*b＝a（m﹣b）．若方程x2﹣mx+4＝0有两个相等正实数根，且b*b＝a*a（其中a≠b），则a+b的值为4．【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣m）2﹣4×4＝0，解得m1＝4，m2＝﹣4，再利用方程有两个相等的正实数解，所以m＝4

，则a*b＝a（4﹣b）．利用新定义得到b（4﹣b）＝a（4﹣a），然后整理后利用因式分解得到（a﹣b）（a+b﹣4）＝0，从而得到a+b的值．【解答】解：∵方程x2﹣mx+4＝0有两个相等实数根，∴Δ＝（﹣m）2﹣4×4＝0，解得m1＝4，m2＝﹣4，当m＝﹣4时方程有两个相等

的负实数解，∴m＝4，∴a*b＝a（4﹣b），∵b*b＝a*a，∴b（4﹣b）＝a（4﹣a），整理得a2﹣b2﹣4a+4b＝0，（a﹣b）（a+b﹣4）＝0，而a≠b，∴a+b﹣4＝0，即a+b＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程

ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．【拓展训练17】（2021•三明模拟）若关于x的方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数

根，则k的值为±4．【分析】因为方程有两个相等的实数根，说明根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，由此可以得到关于k的方程，解方程即可求出k的值．【解答】解：∵方程有两个相等的实数根，而a＝1，b＝﹣k，c＝4，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣k）2﹣4×1×4＝0，解得k＝±4．故填：k＝±

4．【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．【拓展训练18】（2017•七里河区校级模拟）把

一元二次方程（x+1）（1﹣x）＝2x化成二次项系数大于零的一般式是x2+2x﹣1＝0，其中二次项系数是1，一次项的系数是2，常数项是﹣1；【分析】通过去括号，移项，可以得到一元二次方程的一般形式，然后写出二次项系数，一次项系数和常数项．【解答】解：去括号：1﹣x2＝2x移项：x2+2x﹣1

＝0二次项系数是：1，一次项系数是：2，常数项是：﹣1．故答案分别是：x2+2x﹣1＝0，1，2，﹣1．【点评】本题考查的是一元二次方程的一般形式，通过去括号，移项，可以得到一元二次方程的一般形式，然后写出二次项系数，一次项系数和常数项．【拓展训练19】（2021•淮滨县

校级模拟）已知x=√6−2√5为一元二次方程x2+ax+b＝0的一个根，且a，b为有理数，则a＝2，b＝﹣4．【分析】可得x=√6−2√5=√5−1，代入x2+ax+b＝0得到（√5−1）2+（√5−1）a+b＝0，则√5a+（﹣a+b）＝2√5−6，可得方程组{𝑎=2−𝑎

+𝑏=−6，解方程组即可求解．【解答】解：因为x=√6−2√5=√5−1，代入x2+ax+b＝0得（√5−1）2+（√5−1）a+b＝0，则√5a+（﹣a+b）＝2√5−6，可得方程组{𝑎=2−𝑎+𝑏=−6，解得{�

�=2𝑏=−4．故答案为：2，﹣4．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．【拓展训练20】

（2021•驻马店模拟）定义新运算：a*b＝a（m﹣b）．若方程x2﹣mx+4＝0有两个相等正实数根，且b*b＝a*a（其中a≠b），则a+b的值为（）A．﹣4B．4C．﹣2D．2【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣m）2﹣

4×4＝0，解得m1＝4，m2＝﹣4，再利用方程有两个相等的正实数解，所以m＝4，则a*b＝a（4﹣b）．利用新定义得到b（4﹣b）＝a（4﹣a），然后整理后利用因式分解得到（a﹣b）（a+b﹣4）＝0，从而得到a+b的值．【解答】解：∵方程x2﹣mx+4＝0有两个相等实数根，∴Δ

＝（﹣m）2﹣4×4＝0，解得m1＝4，m2＝﹣4，当m＝﹣4时方程有两个相等的负实数解，∴m＝4，∴a*b＝a（4﹣b），∵b*b＝a*a，∴b（4﹣b）＝a（4﹣a）整理得a2﹣b2﹣4a+4b＝0，（a﹣b）（a+b﹣4）＝0，而a≠b，∴a+b﹣4＝0，即a+b＝4．故

选：B．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．【拓展训练21】（2021•安徽模拟）若x＝1是方程（m+2）x2﹣2x+

m2﹣2m﹣6＝0（m为常数）的根，则m的值为（）A．﹣2或3B．﹣2C．3D．1【分析】把x＝1代入已知方程，列出关于m的新方程，通过解新方程求得m的值即可．【解答】解：把x＝1代入（m+2）x2﹣2x+m2

﹣2m﹣6＝0，得（m+2）﹣2+m2﹣2m﹣6＝0．解得m1＝﹣2，m2＝3．故选：A．【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程

的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．【拓展训练22】（2021•宣州区校级自主招生）已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，bx2+cx+a＝0，cx2+ax+b＝0恰有一个公共实数根，则𝑎2𝑏𝑐+𝑏2𝑐𝑎+𝑐2𝑎𝑏的值为（）A．0B．1C．2D．3【分

析】设三个方程的公共根为x0，代入三个方程得到a，b，c的关系，然后代入代数式求出代数式的值．【解答】解：x0是它们的一个公共实数根，则ax02+bx0+c＝0，bx02+cx0+a＝0，cx02+ax0+b＝0．把上面三个式子相加，并整理得（a+b+c）（x02+x0+1）＝0．因为𝑥02+�

�0+1=(𝑥0+12)2+34＞0，所以a+b+c＝0．于是𝑎2𝑏𝑐+𝑏2𝑐𝑎+𝑐2𝑎𝑏=𝑎3+𝑏3+𝑐3𝑎𝑏𝑐=𝑎3+𝑏3−(𝑎+𝑏)3𝑎𝑏𝑐=−3𝑎�

�(𝑎+𝑏)𝑎𝑏𝑐=3故选：D．【点评】本题考查的是一元二次方程的公共解，一般是设公共解，代入方程，确定a，b，c的值，然后求出代数式的值．【拓展训练23】（2020•江岸区校级模拟）二次函数y＝x2+bx的对称轴为x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在

﹣3＜x＜3的范围内有解，则t的取值范围是（）A．﹣1≤t＜15B．3≤t＜15C．﹣1≤t＜8D．3＜t＜15【分析】先根据对称轴求出b的值，从而二次函数的解析式可得，从而可得当x＝﹣3和x＝3时的函数值，再根据x2+bx﹣t＝0的解为y＝x2+bx与直线y＝t在﹣

3＜x＜3的内的交点横坐标解答即可．【解答】解：∵对称轴为x＝1，∴x=−𝑏2=1，∴b＝﹣2，∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x，∴其顶点坐标为（1，﹣1）．当x＝﹣3时，y＝9+6＝15，x＝3时，y＝9﹣6＝3．∵x2+bx﹣t＝0的解为y＝x2+

bx与直线y＝t在﹣3＜x＜3的内的交点横坐标，∴当﹣1≤t＜15时，一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣3＜x＜3的范围内有解．故选：A．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，明确二次函数的性质及二

次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．【拓展训练24】（2020•邓州市二模）在“我为祖国点赞”征文活动中，学校准备购买甲，乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的学生已知购买2个甲种文具，1个乙种文具共需要花费40元；购买1个甲种文具，3个乙种文具共需35元．（1）求购买一个甲种文具，一个乙种

文具各需多少元：（2）若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于985元且甲种文具的数量不多于30个，若设购买甲种文具x个，求有多少种购买方案；（3）设学校投入资金w元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的

资金最少？最少资金是多少元？【分析】（1）根据题意列二元一次方程组{2𝑎+𝑏=40𝑎+3𝑏=35，再用加减消元法解方程组即可；（2）根据题意列一元一次不等式组{17𝑥+6(120−𝑥)≥985𝑥≤30，然后解不等式组，最后取正整数即可，（3）

根据题意表示资金w为x的一次函数，因为k大于0，所以一次函数随着x的增大而增大，所以x取最小时资金最少，即可确定购买方案．【解答】解：（1）设购买一个甲种文具a元，一个乙种文具b元，根据题意得{2𝑎+𝑏=40𝑎+3𝑏=35，解方程组得{𝑎=17𝑏=6，∴购买一

个甲种文具17元，一个乙种文具6元．（2）设购买甲种文具x个，则购买乙种文具（120﹣x）个，{17𝑥+6(120−𝑥)≥985𝑥≤30，解不等式组得：26511≤𝑥≤30，∴x取正整数有25、26、27、28、29、30

，∴有6种购买方案．（3）w＝17x+6（120﹣x）＝11x+720，∴w随着x的增大而增大，∴当x＝25时，w取最小值，此时w＝995，∴甲种玩具买25个，乙种玩具买95个，此时需要资金最少，最少为995元．【点评】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式组和一次函数的综合题，

准确列出方程组和不等式组，并根据增减性求最值是解决本题的关键．【拓展训练25】（2020•广西）某市为创建“全国文明城市”，计划购买甲、乙两种树苗绿化城区，购买50棵甲种树苗和20棵乙种树苗需要5000元，购买30棵甲种树苗和10棵乙种树苗需要280

0元．（1）求购买的甲、乙两种树苗每棵各需要多少元．（2）经市绿化部门研究，决定用不超过42000元的费用购买甲、乙两种树苗共500棵，其中乙种树苗的数量不少于甲种树苗数量的14，求甲种树苗数量的取值范围．（3）在（2）的条件下，如何购买树苗才能使总费用

最低？【分析】（1）设甲种树苗每棵x元，乙种树苗每棵y元，根据：“购买50棵甲种树苗和20棵乙种树苗共需5000元，购买30棵甲种树苗和10棵乙种树苗共需2800元”列方程组求解可得；（2）设购买的甲种树苗a棵，则购买乙种树苗（

500﹣a）棵，由题意列出一元一次不等式组，则可得出答案；（3）设购买的甲种树苗a棵，则购买乙种树苗（500﹣a）棵，总费用为W，即可得出W关于a的函数关系，再根据一次函数的性质可解决最值问题．【解答】解：（1）设购买的甲种树苗的单价为x元，乙种树苗的单价为y元．依题意得：{

50𝑥+20𝑦=500030𝑥+10𝑦=2800，解这个方程组得：{𝑥=60𝑦=100，答：购买的甲种树苗的单价是60元，乙种树苗的单价是100元；（2）设购买的甲种树苗a棵，则购买乙种树苗（500﹣a）棵，由题意得，{60𝑎+100(500−𝑎)≤42000500−𝑎≥14

𝑎，解得，200≤a≤400．∴甲种树苗数量a的取值范围是200≤a≤400．（3）设购买的甲种树苗a棵，则购买乙种树苗（500﹣a）棵，总费用为W，∴W＝60a+100（500﹣a）＝50000﹣4

0a．∵﹣40＜0，∴W值随a值的增大而减小，∵200≤a≤400，∴当a＝400时，W取最小值，最小值为50000﹣40×400＝34000元．即购买的甲种树苗400棵，购买乙种树苗100棵，总费用最低．【点评】

本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据相等关系和不等式关系建立方程和不等式是关键．【拓展训练26】（2020•长沙模拟）2019年“519（我要走）全国徒步日（江夏站）”暨第六届“环江夏”徒步大会5月19日在美丽的花山脚下隆重举行．组委会（

活动主办方）为了奖励活动中取得了好成绩的参赛选手，计划购买共100件的甲、乙两纪念品发放，其中甲种纪念品每件售价120元，乙种纪念品每件售价80元．（1）如果购买甲、乙两种纪念品一共花费了9600元，求购买甲、乙两种纪念品各是多少件？（2）设购买甲种纪念

品m件，如果购买乙种纪念品的件数不超过甲种纪念品的数量的2倍，并且总费用不超过9400元．问组委会购买甲、乙两种纪念品共有几种方案？哪一种方案所需总费用最少？最少总费用是多少元？【分析】（1）设甲种纪念

品购买了x件，乙种纪念品购买了（100﹣x）件，利用购买甲、乙两种纪念品一共花费了9600元列方程120x+80（100﹣x）＝9600，然后解方程求出x，再计算（100﹣x）即可；（2）设购买甲种纪念品m件，乙种奖品购买了（100﹣

m）件，利用购买乙种纪念品的件数不超过甲种奖品件数的2倍，总花费不超过9400元列不等式组{100−𝑚≤2𝑚120𝑚+80(100−𝑚)≤9400，然后解不等式组后确定x的整数值即可得到组委会的购买方案．【解答】解：（1）设

甲种纪念品购买了x件，乙种纪念品购买了（100﹣x）件，根据题意得120x+80（100﹣x）＝9600，解得x＝40，则100﹣x＝60，答：甲种纪念品购买了40件，乙种纪念品购买了60件；（2）设购买甲种纪念品m件，

乙种奖品购买了（100﹣m）件，根据题意，得{100−𝑚≤2𝑚120𝑚+80(100−𝑚)≤9400，解得1003≤m≤35，∵m为整数，∴m＝34或m＝35，方案一：当m＝34时，100﹣m＝66，费用为：34×120+66×80＝9360（元）方案二：当m＝35时，100

﹣m＝65，费用为：35×120+65×80＝9400（元）由于9400＞9360，所以方案一的费用低，费用为9360元．答：组委会有2种不同的购买方案：甲种纪念品34件，乙种奖品购买了66件或甲种纪念品35件，乙种奖

品购买了65件．方案一的费用低，费用为9360元．【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用：对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解；一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题．获得更多资源请扫码加入享学资源网微

信公众号www.xiangxue100.com