【文档说明】山东省威海市文登区2024-2025学年高三上学期第一次模拟考试试题数学答案.docx，共(22)页，1.463 MB，由envi的店铺上传

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第1页/共22页学科网（北京）股份有限公司高三数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑

.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.1.已知集合21Axyx==−，21xByy==+，则()AB=RIð（）A.B.1,1−C.)1,+D.()1,+【答案】D【解析】【分析】求出集合A，B，再用补集和交集的概念求解即可.【详解】由210x−，得11x−，所以11Axx=−，1Axx=−

Rð或𝑥>1}，由20x，得211xy=+，所以1Byy=，所以()1ABxx=Rð.故选：D.2.设复数z满足i1zz=+，则zz=（）A.24B.22C.12D.2【答案】C【解析】【分析】由题可得i1iz=−，计算后可得z与z，即可得答案.第2页/共2

2页学科网（北京）股份有限公司【详解】由i1zz=+，可得()()()()()i1ii111ii=1ii1i1i1i22zzzz+=+−===−+−−+，则11i22z=−−，则111442zz=+=.故选：C3.已知命题1:1pa，命题2:,210qx

axax++R，则p成立是q成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先化简命题p:01a，q：01a，再利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】解：由11a，得()10aa−，解得01a；由

2:,210qxaxax++R，得2:,210qxaxax++R，当0a=时，10成立；当0a时，2440aa=−，解得01a，综上01a，所以p成立是q成立的充分不必要条件，故选：A4.已知π1tan64+=

，则πsin26−=（）A.1517−B.817−C.817D.1517【答案】A【解析】【分析】根据诱导公式和余弦二倍角公式得到2222ππsincosπsin2ππ6sinc6s6o66+−+−=

+++，化弦为切，代入求值即可.【详解】π1tan64+=，第3页/共22页学科网（北京）股份有限公司故o2πππππsinc32cos2os2cs2666

−=−−+=−+=−+222222ππsincosππsincosππsi66666nc6os+−+=+−+=+++

22π1tan11151π171tan6161661+−−===−+++.故选：A5.已知F为椭圆22:195yxC+=上焦点，P为C上一点，Q为圆22:8150Mxyx+−+=上一点，则PQPF+的最大值为（）A.125+B.325+C.5

25+D.725+【答案】D【解析】【分析】由圆和椭圆方程可确定圆心、半径、,ac的长；利用椭圆定义和圆的对称性可将问题转化为求解7PMPF+−的最大值问题，利用三角形三边关系可知当,,MPF三点共线时取得最大值，由此可得结

果.【详解】由圆M方程得：圆心()4,0M，半径1646012r=−=；由椭圆C方程得：3a=，2c=，设椭圆C下焦点为F，则()0,2F−，由椭圆定义知：26PFPFa+==，6PQPFPQPF+=+−；PQPMr+（当且仅当,,PMQ三点共线

时取等号），67PQPFPQPFPMPF+++−−=，又PMPFMF−（当且仅当,,MPF三点共线时取等号），()()22774002725PQPFMF++=+−++=+，即PQPF+的最大值为725+.的第4页/共22页学科网（北京）股份有限公司故选：D.6

.已知ππ,,22−，且sinsin0−，则（）A.B.22CD.22【答案】B【解析】【分析】根据函数ππ()sin,,22fxxxx=−，

利用函数的奇偶性及导数与函数单调性间的关系，可得()fx，在区间π,02−上单调递减，在区间π0,2上单调递增，结合条件可得，即可求解.【详解】令ππ()sin,,22fxxxx=−，则()()()sinsin()fxxxxxfx−=−−==

，则ππ()sin,,22fxxxx=−是偶函数，又()sincosfxxxx=+，当π0,2x时，()0fx恒成立，所以ππ()sin,,22fxxxx=−，在区间π,02−上单调递减，在

区间π0,2上单调递增，又ππ,,22−，且sinsin0−，即()()ff，所以，则22，所以选项B正确，当π,,02−时，0，所以选项A

和D错误，.第5页/共22页学科网（北京）股份有限公司当π,0,2时，0，所以选项C错误，故选：B.7.已知定义在R上的偶函数()fx满足()()2fxfx=−，当1,0x

−时，()1fxx=+.函数()2e(15)xgxx−−=−，则()fx与()gx的图象所有交点的横坐标之和为（）A.6B.8C.10D.14【答案】C【解析】【分析】画出()fx、()gx在区间()1,5−上的图象，根据对称性、周期性等知识来求得正确答案.【详解】依题意，

()fx是定义在𝑅上的偶函数，图象关于直线0x=对称，()()2fxfx=−，所以()()()()()22fxfxfxfx+=−−=−=，所以()fx是周期为2的周期函数，所以()fx的图象关于直线2x=对称.函数()2e(15)xgxx−−=−的图象也关于直线2x=对称.当2x时，()(

)()()22e,e,21,21xxgxgxgg−+−+==−−==.当01x时，10x−−，()()1fxfxx=−=−+，当23x时，021x−，()()()2213fxfxxx=−=−−+=−+，()21f=

，所以直线3yx=−+与曲线𝑦=𝑔(𝑥)相切于点(2,1).画出()fx、()gx在区间()1,5−上的图象如下图所示，由图可知，两个函数图象有415+=个公共点，所以所有交点的横坐标之和为24210+=.故选：C第6页/共22页学科网（北京）股份有

限公司8.在ABCV中，90BAC=，1ABAC=，P是ABCV所在平面内一点，3ABACAPABAC=+，则PBPC的最大值为（）A.523+B.1023+C.523−D.1023−【答案】D【解析】【分析】根据向量的数

量积以及基本不等式求解即可.【详解】90BAC=，0ABAC=，3ABACAPABAC=+，222236310910ABACABABACACAPABACABABACAC=

+=++=++=，()()=++PBPCPAABPAAC2PAPAACPAABABAC=+++10APACAPAB=−−3103ABACABACACABABACABAC

=−++−()10310310231023ACABACABACAB=−−=−+−=−，当且仅当3ACAB=，即3AB=，33AC=时等号成立，所以PBPC的最大值为1023−.故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题

6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数()sin3cosfxxx=+，则（）第7页/共22页学科网（北京）股份有限公司A.π是()fx的一个周期B.π2x=是()fx的一条

对称轴C.()fx的值域为1,2−D.()fx在π3π,22上单调递减【答案】BC【解析】【分析】先化简函数，再结合函数图像对各个选项逐一分析判断即可.【详解】()()()πππsin3cos2sin,2π,2π322sin3co

sππ3πsin3cos2sin,2π,2π322xxxxkkkfxxxxxxxkkk+=+−++=+=−=−++ZZ，图像如图所示：由图像可得，函数的最小正周期为2π，故选项A错误，不符合题意；π2x=是(

)fx的一条对称轴，故选项B正确，符合题意；()fx的值域为1,2−，故选项C正确，符合题意；()fx在π3π,22上先增后减，选项D错误，不符合题意；故选：BC.10.如图，在四边形ABCD中，()*nFnN为边BC上的一列点，连接nAF交BD于点(

)*NnGn，且nG满足112nnnnnnnnaaGBaGFaGC++=−，其中数列na是首项为1的正项数列，则（）A.数列11na+为等比数列第8页/共22页学科网（北京）股份有限公司B.数列1na的前n

项和为122nn+−−C.数列na为递增数列D.121nna=−【答案】ABD【解析】【分析】A选项，根据向量共线定理得到1121nnaa+−=，从而111121nnaa++=+，A正确；B选项，在A选项基础上得到121nna=−，由分组求和和等比数列求和

公式得到B正确；C选项，举出反例即可；D选项，在B选项基础上得到D正确.【详解】A选项，因为()*nFnN为边BC上的一列点，设nntFBFC=，即nnnnnntGtBGFGCGF−=−，所以()1nnnnGtBGCtGF=+−111122nnnnnnnnnnnnnnaaGBaGFaG

CGBGFGCaa+++=−=−，即1211nntata+=−−=，所以1121nnaa+−=，即111121nnaa++=+，所以数列11na+为公比为2的等比数列

，A正确；B选项，因为11a=，所以1112a+=，故11na+是首项为2，公比为2的等比数列，所以112nna+=，121nna=−，1na的前n项和为12212121242nnn−+−++−=+++−LL第9

页/共22页学科网（北京）股份有限公司11222212nnnn++−=−=−−−，B正确；CD选项，121nna=−，故123111,,37aaa===，显然123aaa，则数列na不递增数列，C错误，D正确.故选：ABD11

.已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，点P满足1,0,1APAD=，则（）A.点P到平面1BCD的距离为233B.二面角1PBCD−−的正弦值为63C.当12=时，过点P的平面截该正方体外接球所得截面面积的取值范围为2,3ππD.若Q是对角线1AC上一点，则PQQC+

最小值为83【答案】ACD【解析】【分析】选项A，根据条件可得1//AD面1BCD，从而将P到平面1BCD的距离转化成A到平面1BCD的距离，进而转化成C到平面1BCD的距离，再利用等体积法，即可求解；选项B，取1AD中点E，1BC中点F，连接,EFDF，根据条件可得EFD为二面角1

PBCD−−的平面角，再利用几何关系，即可求解；选项C，由题知，过点P的平面经过球心O时，截面圆的面积最大，当P为截面圆的圆心时，截面圆的面积最大，即可求解；选项D，通过翻折平面，使得点C翻转后得到的点

C满足,,CQP三点共线，且1CPAD⊥.即可求得【详解】如图1，易知11//ADBC，1AD面1BCD，1BC面1BCD，所以1//AD面1BCD，对于选项A，因为1,0,1APAD=，即点P在线段1AD上（含端点）

，因为1//AD面1BCD，所以P到平面1BCD的距离，也即A到平面1BCD的距离，连接AC交BD于1O，易知1O为AC中点，则A到平面1BCD的距离等于C到平面1BCD的距离，又正方体的棱长为2，则1122BDBCDC===，所以()1

2322234BDCS==，是的第10页/共22页学科网（北京）股份有限公司设C到平面1BCD的距离为h，由11CBDCCBDCVV−−=，得到3111223323h=，解得233h=，所以选项A正确，对于选项B，如图1，取1AD中点E，1B

C中点F，连接,EFDF，易知11,DFBCEFBC⊥⊥，所以EFD为二面角1PBCD−−的平面角，在EFD中，2,2EFDE==，()()222226DF=−=，所以222DEEFDF+=，则23sin36EDEFDDF===，所以选项B错误，对于选项C，正方体的外接球的球心O为

正方体的体心，且外接球的直径2R为正方体的体对角线长，则3R=，当过点P的平面经过球心O时，此时平面截该正方体外接球所得截面面积最大，截面面积为2π3πSR==，当过点P的平面经不过球心O时，不妨设截面圆的半径为r，球心到

截面圆的距离为d，则22rRd=−，显然有dOP，当且仅当P为截面圆的圆心时取等号，即截面圆的直径为1AD，此时122ADr==，所以平面截该正方体外接球所得截面面积最小值为2π2πSr==，故选项C正确，对于选项D，如图2，将平面1ACC绕着1AC旋转到1ACC位

置，使之与平面11ADC在一个平面内，因Q是对角线1AC上一点，要使PQQC+最小，需使三点,,CQP共线，且1CPAD⊥.设11DAC=，则22623cos,sin332323====，第11页/共22页

学科网（北京）股份有限公司故16322sinsin22333DAC===，于是min228()sin22233PQQCCPAC+====，故选项D正确，故选：ACD.【点睛】关键点点睛：解决空间角问题，关键在

于根据定义找到平面角，然后借助于三角形和正、余弦定理求解；对于包含动点的线段和最小问题，一般考虑将其中一个平面翻折，使之与另一个平面共面，化空间距离的和为平面距离的和来求解.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知底面半径为3的

圆锥SO，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为1，则此圆柱的侧面积为__________.【答案】43π【解析】【分析】作出圆锥的轴截面SAB，求出圆锥的高，利用三角形相似求出圆柱的高，再根据侧面积公式计算可得.【详解】如图作出圆锥的轴截面SAB，根据题

意可知6ABSASB===,3,1OBOAOCOD====,所以可得2236933SOSAOA=−=−=,根据三角形相似可得ACEAOS,所以CEACSOAO=,可求得23CE=,根据圆柱侧面积公式可得2πr2π12343πSh===.故答案为：43π第12页/共22页学科网（北京）股份有

限公司13.已知函数()3sincosfxxx=−，若将函数()yfx=的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再将得到的图象向右平移(0π)个单位长度，得到的函数图象关于y轴对称，则=__________.【答案】2π3【解析】【分

析】由图象变换写出新解析式，然后由图象关于y轴对称求得参数值．【详解】31π()2sincos)2sin()226fxxxx=−=−（，变换后函数式为()11π2sin226gxx=−−，它的图象关于y轴对称，则1πππ,Z262kk−−=+，4π2π,

3kkZ=−−,又0π，所以2π3=，故答案为：2π3．14.已知1F，2F是双曲线()2222:10,0xyCabab−=的左､右焦点，过1F的直线与C的左､右两支分别交于A，B两点.若以C的中心为圆心，12FF的长为直径的圆与C的右支的一个交点恰为

B，若AB，2BF，2AF成等差数列，则C的渐近线方程为__________.【答案】23yx=【解析】【分析】由已知以12FF为直径的圆过点B，可知1290FBF=，再结合等差数列及双曲线定义可得各边长，再根据直角三角形勾股定理可得2212ba=，即可得渐近线方程.第13页/共

22页学科网（北京）股份有限公司【详解】如图所示，由已知以C的中心为圆心，12FF的长为直径的圆过点B，可知1290FBF=，再由|𝐴𝐵|，2BF，2AF成等差数列，得222BFAFAB=+，由双曲线定义可知212AFAFa=+，122BFBFa=+，则2211222

24BFAFABAFABaBFaBFa=+=++=+=+，即24BFa=，1226BFBFaa=+=，又1290FBF=，则2221212BFBFFF+=，即222223616444aacab+==+，则2212ba=，即渐近线方程为23yx=，故答案

为：23yx=.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知数列na的各项均为正数，其前n项和记为()()()11,1,11nnnnSaaaSn+=++=+，其中为常数且0.（1）若数列

na为等差数列，求na；（2）若3=，求2nS.【答案】（1）21nan=−（2）223nSn=.第14页/共22页学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】（1）根据等差数列列方程，求得，求得公差，进而求得na.（

2）利用分组求和法，结合等差数列的前n项和公式来求得正确答案.【小问1详解】当1n=时，()()()121111aaS++=+，解得21a=−，当2n=时，()()()232112aaS++=+，解得31a=+，因数列

na为等差数列，所以2132aaa=+，即()2111−=++，解得4=，所以233,5aa==，公差为2，所以21nan=−.【小问2详解】当3=时，()()()1113nnnaaSn+++=+①所以()()()1211131nnnaaSn+++++=++②所以②-①得，()()()

121131nnnnaaaa++++−=+，因为110na++，所以23nnaa+−=，当1n=时，()()()1211131aaS++=+，解得22a=，所以数列na的奇数项成等差数列，首项为11a=

，公差为2；偶数项成等差数列，首项为22a=，公差为2，所以()()2211323322nnnnnSnnn−−=+++=.16.在ABCV中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，且coscos2CAcab−=+.（1）求角C的大小；（2）若2ACBC==，如图，,DE是A

B上的动点，且DCE始终等于30o，记CED=.当为为第15页/共22页学科网（北京）股份有限公司何值时，CDE的面积取到最小值，并求出最小值.【答案】（1）120C=（2）75=，最小值为23−【解析】【分析】（1）根

据正弦定理将分式化简，结合两角和的正弦公式可求得结果；（2）在ACE△中，根据正弦定理表示出CE，在BCD△中，根据正弦定理表示出CD，根据三角形面积公式得到CDE的面积，即可求出结果.【小问1详解】在ABCV中，由正弦定理可得coscossinsin2sinCACAB−=+，

所以sincos2sincoscossinACBCAC+=−，所以()sin2sincosACBC+=−，即得sin2sincosBBC=−，因为0180B，所以sin0B，所以1cos2C=−，因为0180C，所以120C=；【小问2详解】因为

2ACBC==，由（1）知120C=，所以30AB==，在ACE△中，由正弦定理可得sinsin30ACCE=，所以1sinCE=，在BCD△中，由正弦定理可得()sin150sin30BCCD=−

，所以()1sin150CD=−，所以()()111sin3024sinsin1502sin2603CDESCDCE===−−+，因为0150，所以0260<240−，当()sin2601−=时，CDES△取得

最小值23−，此时26090−=，即75=，所以当75=时，CDE的面积取到最小值，最小值为23−.17.如图，在四棱锥PABCD−中，平面PAD⊥平面,ABCDPAD为等边三角形，,PDABAD⊥//BC，2,2,ADBCABM==

为PA的中点.第16页/共22页学科网（北京）股份有限公司（1）证明：DM⊥平面PAB；（2）求直线PB与平面MCD所成角的正弦值的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）35.【解析】【分析】（1）取AD的中点O，连接PO，由面面垂直得⊥

PO平面ABCD，从而得POAB⊥，再由线面垂直的判定定理证得线面垂直AB⊥平面PAD，得证ABDM⊥，然后再由线面垂直的判定定理证得结论成立.（2）证明OC⊥平面PAD，然后以O为坐标原点，,,OCODOP的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标

系，设BCa=，用空间向量法求线面角，利用基本不等式、不等式的性质得最值.【小问1详解】取AD的中点O，连接PO，因为PAD△为等边三角形，所以,POAD⊥因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面,ABC

DADPO=平面PAD，所以⊥PO平面ABCD，AB平面ABCD，所以POAB⊥，因为,PDABPDPOP⊥=，,PDPO平面PAD，所以AB⊥平面PAD，因为DM平面PAD，所以ABDM⊥，因为PAD△为等边三角形，M为PA的中点，所以DMPA⊥，因为

,,ABPAAABPA=平面PAB，所以DM⊥平面PAB.【小问2详解】连接CO，因为AD//,2BCADBC=，所以AO//BC且AOBC=，第17页/共22页学科网（北京）股份有限公司所以四边形A

BCO为平行四边形，所以AB//OC，所以OC⊥平面PAD，以O为坐标原点，,,OCODOP的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设(),20BCaADaa==，则()()()()32,0,0,0,,0,0,0,3,2,,0,0,,,22aaCDaPa

BaM−−所以()()32,,3,2,,,2,,022aaPBaaCMCDa=−−=−−=−，设平面MCD的一个法向量为𝑛⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，则00CMnCDn==，可得3202220aaxyzxay−−+=

−+=，令xa=，则(),2,23na=，设直线PB与平面MCD所成角为，则24222226sincos,317164416PBnaaaaPBnaaPBnaa−−====++++，因为0a，所以22113sin3316

52161717aa==+++，当且仅当2216aa=即2a=时取得最大值35，所以直线PB与平面MCD所成角的正弦值的最大值为35.18.已知函数()()()2ln0fxaxxaxa=−+.第18页/共22页学科网（北京）股份有限公司（1）讨论()

fx的单调性；（2）令()()()()25,e02xgxfxxaxhxaa=+−+=.若曲线()ygx=与()yhx=存在公切线，求实数a的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）2120,,2eea+【解析】【分析】（1）求导，即可对a讨论求解导

函数的单调性，结合二次函数的性质求解，（2）设出切点，根据点斜式求解直线方程，根据公切线可得()()112121e3e1ln2xxaxaxax=−=+，进而可得()11113121e1xxa

xx−=−，构造函数()312(0e1xxxxx−=−且1),x求导，即可根据单调性求解函数的值域得解.【小问1详解】()2212axaxfxxaaxx−++=−+=，①当0a时，()fx的定义域为(0,+∞)，令𝑓′(𝑥)>0，即得2210x

ax−++，所以2210xax−−，因为2Δ80a=+，解得：2804aax++；令()20,210fxxax−−，解得：284aax++，②当0a时，()fx的定义域为(),0−，令

𝑓′(𝑥)>0，即得2210xax−++，所以2210xax−−，因为2Δ80a=+，解得：284aax−+，第19页/共22页学科网（北京）股份有限公司令()20,210fxxax−−，解得：2804aax−+，综上：当0a时，()fx的单调递增区间为280,4aa

++，单调递减区间为28,4aa+++；当0a时，()fx的单调递减区间为28,04aa−+，单调递增区间为28,4aa−+−.【小问

2详解】由题意知：设()()e0xhxaa=的切点横坐标()1,exxxhxa==，则ℎ(𝑥)在1xx=处的切线方程为()111eexxyaaxx−=−.③设()()()25ln2gxfxxaxax=+−=+的切点横坐标()

21,xxgxx==，则()gx在2xx=处的切线方程为()()22251ln2yaxxxx−−=−.④联立③④，得()()112121e3e1ln2xxaxaxax=−=+，当11x=时，21exa=，代入方程组，不成立，所以消去2x得()11113121

e1xxaxx−=−.设函数()312(0e1xxxxx−=−且()()()221211),e2(1)xxxxxx−−=−−.令()0x=，得2x=或12.令𝜑′(𝑥)>0，解得122x且1x；令𝜑′(𝑥)<0，解得12x或2x，所以

𝜑(𝑥)在10,2和()2,+上单调递减，在(12,1)和()1,2上单调递增，第20页/共22页学科网（北京）股份有限公司因为()2121,2,022eea==，结合图象可知，当2

120,,2eea+时，方程111312e1xxax−=−有解，从而当2120,,2eea+时，曲线𝑦=𝑔(𝑥)与()yhx=存在公切线.【点睛】方法点睛：

1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论

和数形结合思想的应用.3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.19.定义二元函数()()*,,fmnmnN，

同时满足：①()()1,,2fmnfmnn+=+；②()(),1,2fmnfmnm+=+；③()1,11f=三个条件.（1）求()()2,2,3,3ff的值；（2）求(),fmn的解析式；（3）若()()123123sinsinsinsin1,,,0,2πnnnnaxaxaxaxafnSxaaaa

==++++.比较nS与0的大小关系，并说明理由.附：参考公式()()()()11sincossinsin;cossinsinsin;22=++−=+−−第21页/共22页学

科网（北京）股份有限公司()()()()11coscoscoscos;sinsincoscos22=++−=−+−−.【答案】（1）7；17（2）(),21fmnmn=−

（3）答案见解析【解析】【分析】（1）结合已知条件迭代求函数值；（2）根据函数列出等式，然后根据等式累加解得()()(),,121212221fmnfmmnmmnmmn=+−=−+−=−；（3）()1,21nafnn==−，然后求解()2

sinnxS，根据三角函数的有界性进行伸缩变换，最后判断nS与0的大小关系；【小问1详解】因为()1,11f=，由①得()()2,11,123ff=+=，由②得()()2,22,14347ff=+=+=，由①得()()2,32,247411ff=

+=+=，由②得()()3,32,3611617ff=+=+=.【小问2详解】由①得：()()2,11,12ff−=，()()3,12,12,ff−=()(),11,12,fmfm−−=将上述等式相加，可得

()()(),11,121fmfm−=−，所以()()(),11,12121fmfmm=+−=−，()1,11f=也满足此式，故(),121fmm=−.由②得，()(),2,12fmfmm−=，()(),3,2

2fmfmm−=第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司()(),,12,fmnfmnm−−=将上述等式相加，可得()()(),,121fmnfmmn−=−，所以()()(),,121212221fmnfmmnmmn

mmn=+−=−+−=−.而(),121fmm=−也满足此式，故(),21fmnmn=−.【小问3详解】由（2）知()1,21nafnn==−，()312123sin21sinsinsinsinsinsin3sin51

3521nnnnxaxaxaxaxxxxSaaaan−=++++=++++−，所以()()22sinsin212sin2sinsin32sinsin52sin13521nxnxxxxxxxSn−=++++−

()cos22cos21cos2cos2cos4cos4cos613521nxnxxxxxxn−−−−−=++++−()11111cos211cos2cos4cos22335232121nxxxnxnnn=−−−−−−−

−−−−−111111110,335232121nnn−−−−−−−−=−−−当且仅当πx=时，()cos211,2,,kxkn==，上式取得等号，即

当πx时，均有()2sin0nxS，所以当0πx时，0nS；当πx=时，0nS=；当π2πx时，0nS.【点睛】根据已知条件迭代，结合数列的累加法找到解题的突破点，本题章节跨度大，题目较难，是高

考新题型的典型例题.