【文档说明】广东省东莞市2020届高三下学期第一次统考（5月）模拟考试数学（文）试题 【精准解析】.doc，共(22)页，2.355 MB，由小赞的店铺上传

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东莞市2020届高三第二学期第一次统考（5月）模拟考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共23小题，满分150分，考试用时120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选

出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知R是实数集，21Mxx，1Nyyx，则RNCM?（）A.1,2B.0,2C.0,1D.1,2【答案】B【解析】【分析】求出集合,,RMNCM，根据交集

的运算即可求RNCM.【详解】解不等式21x，可得0x或2x，2Mxx或0x，02RCMxx.由10yx，可得0Nyy.02RNCMxx.故选：B.【点睛】本题考

查交集、补集运算，属于基础题.2.复数z满足23iiz（其中i是虚数单位），则z的虚部为（）A.2B.2C.3D.3【答案】B【解析】【分析】利用复数计算公式化简得到答案.【详解】23i23ii32

zzii，虚部为2故选B【点睛】本题考查了复数的计算，属于简单题型.3.已知向量(2,1),(,2)abx，若2abab，则实数x的值为（）A.49B.12C.94D.2【答案】C【解析】【分析】由向量a和向量b的

坐标求出向量ab和向量2ab的坐标，再利用2abab，即可求出x的值．【详解】解：∵向量(2,1),(,2)abx∴(2,1),2(4,4)abxabx∵2abab∴2222(2)(1)(4)4xx，解得94x故选：C【点睛】本题主要考查了向量的坐

标运算，以及向量的模长公式，是基础题．4.希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在1915年提出，先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么黑三角形为剩下

的面积（我们称黑三角形为希尔宾斯基三角形）.在如图第3个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率为（）A.35B.916C.716D.25【答案】B【解析】【分析】根据几何概型概率求解.计算出第3个大正三角形中黑色区域的面积，再除以大正三角形面积得结果.【详解】设大

正三角形面积为1，则黑色区域面积为3193444161所以落在黑色区域的概率为916.故选：B【点睛】本题考查几何概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.5.已知实数,xy满足220330240xyxyxy，则3zxy的最小值为（）A.－

7B.－6C.1D.6【答案】A【解析】【分析】作出约束条件的可行域，根据目标函数表示的几何意义即可求解.【详解】画出约束条件的可行域，如图（阴影部分）所示：由图可知向上平移直线30xy，到边界2,3B的

位置时，z取得最小值，此时2337z故选：A【点睛】本题主要考查了线性规划问题，考查的核心素养是直观想象，属于基础题6.设等差数列na前n项和为nS，若452aS，714S，则10a（）A.18B.16C.14

D.12【答案】C【解析】【分析】设等差数列的公差为d，由714S，解得42a，又由452aS，求得30a，进而得到公差2d，再结合等差数列的通项公式，即可求解.【详解】由题意，设等差数列的公差为d，由714S，可得17747

()7142aaSa，解得42a，又由452aS，所以15535()502aaSa，解得30a，所以432daa，所以103707214aad.故选：C.【点睛】本题主要考查了得出数列的通项公式，以及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公

式和前n项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.若tan2，则cos(2)2（）A.25或25B.25C.45或45D.45【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式、二倍角公式以及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入求值即

可；【详解】解：因为tan2所以2222sincos2tan4cos(2)sin22sincostan15.故选：D.【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系以及二倍角公式的应用，属于基础题.8.函数21cos21xxy

x的部分图像大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】令21cos021xxfxyxx，由fxfx可排除B、D；由当0,2x时，0fx，可排除C；即可得解.【详解】令21cos021xxfxy

xx，则1121212coscoscos1211212xxxxxxfxxxxfx，所以函数fx为奇函数，可排除B、D；当0,2x时，cos0x，21021xx，所以0fx，故排除C.故选：

A.【点睛】本题考查了函数图象的识别，考查了函数奇偶性与三角函数性质的应用，属于基础题.9.己知点A是抛物线24xy的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足PAmPB，当m取最大值时，点P恰好在以A、B为焦点的双曲线上，

则双曲线的离心率为A.212B.21C.512D.51【答案】B【解析】【分析】根据题目可知，过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义，结合PAmPB，可得1PNPAm，设PA的倾斜角为，当m取得最大值时，sin最小，此时直线PA与抛物线相切，即可求出的P的坐标，再利用双曲线

的定义，即可求得双曲线得离心率．【详解】由题意知，由对称性不妨设P点在y轴的右侧，过P作准线的垂线，垂足为N，则根据则抛物线的定义，可得PNPB，PAmPB1PNPAm设PA的倾斜角为，当m取得最大值时，sin最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA

的方程为1ykx，与24xy联立，得2440xkx，令216160k，解得1k可得(2,1)P，又此时点P恰好在以A、B为焦点的双曲线上双曲线的实轴22(21)aPAPB21,1ac21e故答案选B．【点睛】本题主要考查了双曲线与抛物线的性

质的应用，在解决圆锥曲线相关问题时常用到方程思想以及数形结合思想．10.ABC的内角,,ABC所对的边分别是,,abc.已知coscos1bbCAca，则cosB的取值范围为（）A.1(,)2B.1[,)2C.1(,1)2D.1[,1)2【答案】D【解析】【分析】由余弦

定理化简coscos1bbCAca，得2bac，再由基本不等式求解即可.【详解】因为coscos1bbCAca，得222222221222babcbcbabcababcac，所以2bac，所以222221cos2222acba

cacacBacacac当且仅当ac取等号，且B为三角形内角，所以1cos12B.故选D【点睛】本题考查余弦定理解三角形和基本不等式的应用，属于基础题.11.已知直三棱柱111ABCABC，90ABC，12ABBCAA，1BB和1

1BC的中点分别为E、F，则AE与CF夹角的余弦值为（）A.35B.25C.45D.155【答案】B【解析】【分析】如图所示：分别以1,,BABCBB为,,xyz轴建立空间直角坐标系，得到0,2,1AE，1,0,2

CF，计算夹角得到答案.【详解】如图所示：分别以1,,BABCBB为,,xyz轴建立空间直角坐标系.故0,2,0A，2,0,0C，0,0,1E，1,0,2F，故0,2,1AE，1,0,2CF.2cos,5AECFAECFAECF，即AE与CF夹角的余

弦值为25.故选：B.【点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.12.己知函数xfxeexa与1lngxxx的图像上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围为（）A.,eB.1

,C.,1D.,e【答案】C【解析】【分析】由已知，得到方程1(ln)xeexaxx在(0,)上有解，构造函数，求出它的值域，得到a的取值范围.【详解】若函数eexxfxa与1lngxxx

的图象上存在关于x轴对称的点，则方程1(ln)xeexaxx在(0,)上有解，即1lnxaexexx在(0,)上有解，令1()lnxhxexexx，则22111'()xxxhxeeeexxx，所以当

01x时，'()0hx，当1x时，'()0hx，所以函数()hx在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减，所以()hx在1x处取得最大值011ee，所以()hx的值域为(,1]，所以a的取值范围是(

,1]，故选C.【点睛】该题考查的是有关根据两个函数图象上存在过于x轴对称的点求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意关于x轴对称的两点的坐标的关系式横坐标相等，纵坐标互为相反数，之后构造新函数，求函数的值域的问题

，属于中档题目.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知e为自然对数的底数，过原点与函数exfx图像相切的直线方程为______．【答案】yex【解析】【分析】设切点为00,xy，则

切线的斜率0'0xfxe，写出切线的方程，把原点的坐标代入，求出0x，即得切线的方程.【详解】设切点为00,xy，则00xye.',xxexxfef.切线的斜率0'0xfxe，切线的方程为000xyyexx.切线过原点，0000

0000,xxyexyxe即00000,1,xxexexye.切线的方程为1yeex，即yex.故答案为：yex.【点睛】本题考查曲线的切线方程，属于基础题.14.记nS为等比数列na的前n项和，若31a，33S，则5S_

_______（0q）．【答案】114【解析】【分析】先根据31a，33S，求出首项和公比，然后利用求和公式可求5S.【详解】设等比数列na的首项为1a，公比为q，且0q；因为31a，33S，所以211112aqaaq

，解得12q或1q（舍），14a，所以5514(1())112141()2S.故答案为：114.【点睛】本题主要考查等比数列的求和，利用基本量建立方程组是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素

养.15.已知函数()kfxxx在区间(0,)上有最小值4，则实数k＝_____．【答案】4【解析】【分析】由函数在(0,)上有最小值可知，k＞0，再由基本不等式即可求得k的值．【详解】解：依题意，0k，则2kfxxkx，当且仅

当xk时，等号成立则24k，解得4k．故答案为：4．【点睛】本题考查已知函数的最值求参数的值，考查分析能力及计算能力，属于基础题．16.已知三棱锥PABC中，1PA，7PB，22AB，5CACB，面PBA面ABC，

则此三棱锥的外接球的表面积为____．【答案】253【解析】【分析】作示意图，由勾股定理分析出PAPB，设H为AB的中点，得到CH面PAB，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得HAHBHC，从

而得到外接球球心O在CH上，再求出外接球半径，从而求出外接球的表面积.【详解】作示意图如图所示：设H为AB的中点，由5CACB，则CHAB，又面PBA面ABC，则CH面PAB，由题222PAPBAB，故P

APB，则HAHBHP，故三棱锥的外接球球心O在CH上，球半径为R，则RAOCO，223CHACAH，则3OHCHRR，又222AOOHAH，得222(3)2RR，得523R，三棱锥的外接球的表面

积为22544()23R253.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，找出外接球球心的位置是解决问题的关键.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试

题考生都必须做答；第22．23题为选考题，考生根据要求做答）（一）必考题（60分）17.某大型科学竞技真人秀节目挑选选手的方式为：不但要对选手的空间感知、照相式记忆能力进行考核，而且要让选手经过名校最权威的脑力测试，12

0分以上才有机会入围．某重点高校准备调查脑力测试成绩是否与性别有关，在该高校随机抽取男、女学生各100名，然后对这200名学生进行脑力测试．规定：分数不小于120分为“入围学生”，分数小于120分为“未入围学生”．

已知男生入围24人，女生未入围80人．（1）根据题意，填写下面的2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关；性别入围人数未入围人数总计男生女生总计（2）用分层抽样的方法从“入围学生”中随机抽取11名学生，求这11名学生中男、女

生人数；若抽取的女生的脑力测试分数各不相同（每个人的分数都是整数），分别求这11名学生中女生测试分数平均分的最小值．20PKK0.100.050.010.0050K2.7063.8416.6357.7879附：22nadbcKabcdacbd，

其中nabcd．【答案】（1）见解析，没有95%以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关；（2）女生5人，男生6人，122.【解析】【分析】（1）根据题意，填写列联表.根据参考公式，计算2K的观测值，再根据临界值表，即得结论；（2）根据分层抽样

原理计算被抽到的女生人数，即得被抽到的男生人数.根据题意，被抽到的女生测试分数的平均分最小时，这5名女生的测试分数分别为120,121,122,123,124，即可求平均分的最小值.【详解】（1）填写列联表如下：性别入围人数未

入围人数总计男生2476100女生2080100总计441562002K的观测值220024807620200384110010044156429K．所以没有95%以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关．（2）在这11名学生中，被抽

到的女生人数为1120544（人），被抽到的男生人数为1124644（人）或1156（人）.因为入围的分数不低于120分，且每个女生的测试分数各不相同，每个人的分数都是整数．所以这11名学生中女生测试分数的平均分的最小值为1201211221231241225.【点

睛】本题考查列联表和独立性检验，考查分层抽样，属于中档题.18.已知函数fx满足1111fxx，数列na满足12a，11nnafnaN．(1)求证：数列na是等差数列，并求出数列na的通项公式；(2)若12nnnba，12nnTbb

b，求nT以及当100nT时n的最小值.【答案】(1)见解析，1nan；（2）2nnTn，n的最小值为5.【解析】【分析】(1)利用换元法可求出函数()fx的解析式，再由11nnafa

可得11nnaa，从而可得数列na是等差数列，再利用等差数列通项公式即可得解.(2)由(1)知112nnbn，利用错位相减法即可求出nT，通过计算即可得解.【详解】(1)令1tx，

则1111fxx，可化简为11ftt，所以11fxx，所以11111nnnfaaa，又11nnafa，所以11nnaa，即11nnaa，又12

a，所以na是以2为首项，1为公差的等差数列，所以2111nann.(2)由(1)得1nan，则112nnbn，所以011223212nnTn①，122223212nnTn②，①－②得121222212n

nnTn，12(12)21212nnn22222nnnn2nn，所以2nnTn，通过计算可得，当14n时，100nT；当5n时，100nT，综上所述，当100nT时，n的最小值为5.【点睛

】本题主要考查等差数列的定义，公式法求等差数列的通项，同时考查错位相减法求数列的和，属于中档题.19.如图，已知四边形ABCD是边长为2的菱形，60,ABC平面AEFC平面,ABCD//EFAC，且1,2AEACEF（1）求证：平面BED平面;AEFC（2）若四边

形AEFC为直角梯形，且AEAC，求点A到平面FCD的距离.【答案】（1）见解析（2）2217【解析】【分析】（1）由菱形性质可得BDAC，再由面面垂直的性质可得BD平面AEFC，由面面垂直的判定即可得证；（2）设AC与BD相交于点O，连接OF，先证明OF面ABCD，求出72CFDS

后利用ACDFFACDVV即可得解.【详解】（1）证明:因为四边形ABCD是菱形，所以BDAC，又因为BD平面ABCD，平面AEFC平面ABCD.平面AEFC平面,ABCDAC所以BD平面AEFC.因为BD平面BDE

，所以平面BED平面AEFC.（2）设AC与BD相交于点O，连接OF.因为//AOEF且AOEF，四边形AOFE是平行四边形.所以//AEOF且AEOF.因为AEAC，面AEFC面ABCD，面AEFC面ABCDAC，AE面ACFE，所以A

E⊥面ABCD，因为//AEOF，所以OF面ABCD.因为ACBD，面ABCD，所以OFAC，OFBD.在RtOFC中，222CFOFOC，在RtOFD中，222,DFOFOD在CFD

△中，2CF，2DFDC.所以CF边上的高为22214222所以11472222CFDS设点A到面CDF的距离为h，因为ACDFFACDVV，即1133CDFACDhSOFS，所以7112322h，所

以2322177h.【点睛】本题考查了面面垂直的性质和判定，考查了点到平面距离的求解和等体积法的应用，属于中档题.20.在平面直角坐标系xOy中，已知两定点2,2A，0,2B，动点P满足2PAPB.（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）轨迹C上有两点

E，F，它们关于直线l：40kxy对称，且满足4OEOF，求OEF的面积.【答案】（1）动点P的轨迹是圆，其方程为22228xy（2）23【解析】【分析】（1）设动点P的坐标为,xy表示出2PAPB化简可得.（2

）根据对称，由垂径定理可得圆心2,2在直线l：40kxy上，即可求出直线l的方程，易知OC垂直于直线l，且OCR.设EF的中点为M，则OEOFOMMEOMMF，计算可得CM，ME，EF的值，即可求出OEFS的面积.【详解】（1）设动点P的坐

标为,xy，则222222202xyPAPBxy.整理得22228xy，故动点P的轨迹是圆，且方程为22228xy.（2）由（1）知动点P的轨迹是圆心为2,2C，半径22R的圆，圆上两点E，F关于直线l对称，由

垂径定理可得圆心2,2在直线l：40kxy上，代入并求得1k，故直线l的方程为40xy.易知OC垂直于直线l，且OCR.设EF的中点为M，则OEOFOMMEOMMFOMMEOMME224OMME，又22222OMO

CCMRCM，222MERCM.∴224CM，2CM，∴226MERCM，226FEME.易知OCFE，故O到FE的距离等于CM，∴1262232OEFS.【点睛】本题考查求动点的轨

迹方程，以及直线与圆的综合问题，属于中档题.21.设函数22eRxfxxaa，e为自然对数的底数.（1）若fx在0,上单调递增，求a的取值范围；（2）证明：若0,ln221xa，则0fx．【答案】（1）1a（2）见解析

【解析】【分析】(1)利用导函数20xexa恒成立,求解即可.(2)利用(1)中的结论与零点存在定理可得存在00,ln2x,使得0000xgxexa,再利用隐零点的方法,求得fx在0,上的最小值,再代入极值点的关系化简证明即可.【详解】解：（1）因为fx

在0,上单调递增,所以'2220xxfxexaexa恒成立.令xgxexa,当0,x,'10xgxegx在0,上单调递增,依题意有min010gxga,得1a（2）由（1）

可知,gx在0,上单调递增,当ln221a时,010ga,ln22ln20ga,存在00,ln2x,使得0000xgxexa,且当00,xx时,0gx,即'0fx,fx

在00,x上单调递减当0,xx时,0gx,即'0fx,fx在00,x上单调递增所以fx在0,上的最小值为022000000=2=2=2xfxexa

xaxaxaaxln221a,00,ln2x,00xa,020ax00fx,即0fx成立或者000002200=2=2=2xxxxxfxexaeeee00,ln2x,012xe00

fx,即0fx成立【点睛】本题主要考查了函数恒成立的问题,同时也考查了隐零点问题的应用,需要根据题意列出对应的不等式,再根据导数求解单调性与极值的方法证明即可.属于难题.（二）选考题（10分，请考生在第22．23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分）【选修4-4：坐标系与参数方

程】22.在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为63xtyt（t为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为22232cos3.（1）写出曲线1

C的普通方程和曲线2C的直角坐标方程；（2）已知点P是曲线2C上的动点，求点P到曲线1C的最小距离.【答案】（1）1C的普通方程为360xy；2C的普通方程为2213xy；（2）6102.【解析】【分析】（1）消去曲线1

C参数方程的参数t，得到1C的普通方程，根据极坐标和直角坐标相互转化的公式，求得2C的直角坐标方程.（2）设出曲线2C的参数方程，利用点到直线距离公式求得点P到曲线1C的距离的表达式，再根据三角函数最值求得

P到曲线1C的最小距离.【详解】解:（1）消去参数t得到36yx，故曲线1C的普通方程为360xy22232cos3，由xcosysin得到222323xyx，即2213xy

，故曲线2C的普通方程为2213xy（2）设点P的坐标为3cos,sin，点P到曲线1C的距离3cos2sin6d10cos62所以，当cos1时，d的值最小，所以点

P到曲线1C的最小距离为6102.【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查椭圆上的点到直线的最小距离的求法，考查三角函数辅助角公式以及最值的求法，属于中档题.【

选修45：不等式选讲】23.已知121fxxx．1求不等式0fx解集；2若xR时，不等式fxax恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）{|02}xx；（2）1,【

解析】【分析】（1）由题意得121xx|，可得22121xx，整理可得220xx，利用一元二次不等式的解法可得结果不；（2）gxfxx，将gx写出分段函数形式，利用单调性可得12x时，gx取得最大值1，所以a的取值

范围是1,．【详解】（1）由题意得|x＋1|＞|2x－1|,所以|x＋1|2＞|2x－1|2,整理可得x2－2x＜0，解得0＜x＜2，故原不等式的解集为{x|0＜x＜2}．（2）由已知可得，a≥f(x)－x恒成立，设g(x)＝f(

x)－x，则,由g(x)的单调性可知，x＝12时，g(x)取得最大值1，所以a的取值范围是[1，＋∞）．【点睛】绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了

函数与方程的思想；④转化法，转化为一元二次不等式或对数、指数不等式.