【文档说明】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期月考卷（五）数学 含解析.docx，共(17)页，1.435 MB，由小赞的店铺上传

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数学命题：高三备课组时景：120分钟满分：150分第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知aR，若复数()()211izaa=−++为纯虚数，则复数2

iia+−在复平面内对应的点所在的象限为A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设xR，向量()1,2a=，(),1bx=，()4,cx=.则“ab⊥”是“bc∥”的A.充分不必要文件B.必要不充分条

件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.如图所示，A，B是非空集合，定义集合#AB为阴影部分表示的集合.若xR，40log2Axx=，3e1xBx−=，则#AB为A.((),03,16−B.((),1

3,16−C.()),13,16−D.(1,34.已知角的终边上有一点()2,1P−−，则2cos24+的值为A.13B.75C.15−D.155.甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油都说“师

傅，给我加300元的油”，而乙则说“师傅帮我把油箱加满”，如果甲、乙各加同一种汽油两次，两人第一次与第二次加油的油价分别相同，但第一次与第二次加油的油价不同，乙每次加满油箱，需加入的油量都相同，就加油两次来说，甲、乙谁更合算（

）A.甲更合算B乙更合算C.甲乙同样合算D.无法判断谁更合算6.为参加学校组织的“喜迎二十大，奋进新征程”的演讲比赛，某班从班级初选的甲乙2名男生和6名女生共8名同学中随机选取5名组成班级代表队参加比赛，则代表队中既

有男生又有女生的条件下，男生甲被选中的概率为（）A.1556B.57C.12D.7107.若直线2ay=与函数1xya=−（0a且1a）的图象有两个公共点，则a的取值不可以是（）A.38B.34C.32D.38.

已知函数()12e1xfxax−=++的图象在1x=处的切线与直线310xy−+=平行，若存在00x，使得不等式()00fxkx成立，则实数k的最小值是（）A.1B.2C.3D.4二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选

错的得0分，部分选对的得2分.9.下列说法正确的是（）A.若样本数据1220,,,xxx的方差为4，则数据122021,21,,21xxx+++的方差为9B.若随机变量()2~2,XN，()10.68PX=，则()23

0.18Px=C.若线性相关系数r越接近1，则两个变量的线性相关性越弱D.若事件A，B满足()0PA，()0PB，()()PBAPB=，则有()()PABPA=10.在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，点M，N，P分别是线段11CD，线段1CC，线段

1AB上的动点，且110MCNC=.则下列说法正确的有（）A.1MNAB⊥B.直线MN与AP所成的最大角为90°C.三棱锥1NDDP−的体积为定值D.当四棱锥11PDDBB−体积最大时，该四棱锥的外接球表

面积为911.已知函数()xfxex=−，()lngxxx=−，则下列说法正确的是（）A.()lnfx在()1,+上是增函数B.1x，不等式()()2lnfaxfx恒成立，则正实数a的最小值为2eC.若()gxt=有两个零点1x，2x，则121xxD.若()()()122fxgx

tt==，且210xx，则21lntxx−的最大值为1e12.已知1F，2F分别为双曲线C：()222210,0xyabab−=的左、右焦点，点M为双曲线右支上一点，设12FMF=.过M作两渐近线的垂线，垂足分别为P，Q，则下列说法正确的是（）A.2

FM的最小值为2baB.MPMQ为定值C.若当2=时，2OMF△（O为坐标原点）恰好为等边三角形，则双曲线C的离心率为31+D.当6=时，若直线1FM与圆222xya+=相切，则双曲线C的渐近线的斜率的绝对值为33−第Ⅱ卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.()522211yyy−+−的展开式中含3y的系数是_______.14.若直线l：220kxyk−+−=与曲线C：24yx=−有两个不同的交点，则实数k的取

值范围是_______.15.已知数列na满足：212nnnaaa+++=对*Nn恒成立，且981aa−，其前n项和nS有最大值，则使得0nS的最大的n的值是_________.16.已知F为

抛物线24xy=的焦点，由直线2y=−上的动点P作抛物线，切点分别是A，B，则ABO△与AFO△（O为坐标原点）的面积之和的最小值是_________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知等比数列na的首项11a

=，公比为q，前n项和为nS，且4S，3S，5S成等差数列.（1）求na的通项na；（2）若,21,1,2,nnankbqnnk=−=+=，*kN，求nb的前n项和nT.18.（本小题满分12分）在ABC△中，角A，B

，C的对边分别是a，b，c，已知()cos2cos22sinsinsinABCBC−=−.（1）若3c=，求sinC；（2）若BC边上的高是AH，求BH的最大值.19.（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱ABCDEF−中，ABC是边长为2的正三角形，433BDCD==

，侧棱AD与底面ABC所成角为60°.（1）求三棱柱ABCDEF−的体积；（2）在线段DF（含端点）上是否存在点G，使得平面GBC与平面ABC的夹角为60°？若存在，请指出点G的位置；若不存在，请说明理由.20.（本小题满分12分）

甲乙两人进行乒乓球比赛，经过以往的比赛分析，甲乙对阵时，若甲发球，则甲得分的概率为35，若乙发球，则甲得分的概率为13.该局比赛甲乙依次轮换发球权（甲先发球），每人发两球后轮到对方进行发球.（1）求在前4球中，甲领先的概率；（2）12球

过后，双方战平（6：6），已知继续对战奇教球后，甲率先取得11分获得胜利（获胜要求净胜2分及以上）.设净胜分为X（甲，乙的得分之差），求X的分布列.21.（本小题满分12分）已知椭圆()222210xyabab+=的离心率为12，且点3

1,2M在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆右焦点2F作两条互相垂直的弦AB与CD，求ABCD+的取值范围.22.（本小题满分12分）设函数()22lnfxxaxax=−−.()aR（1）当2a=时，讨论函数()yfx=的单调性；（2）曲线()yfx=与直线ym=交于()

11,Axy，()22,Bxy两点，求证：1202xxf+；（3）证明：()*1111ln2,35212nnnn+++−N.参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.A【解析】∵复数(

)()211izaa=−++是纯虚数，∴210a−=且10a+，故1a=.∴()()()()2i1i2i2i1313iii1i1i1i22a++++===+−+−−−+.故复数2iia+−在复平面内对应的点在第一象限，故选A.2.A【解析】因为20abx⊥+=，即2x=

−；24bcx=∥，即2x=，故选A.3.B【解析】因为集合40log2116Axxxx==，3e13xBxxx−==，所以(),16AB=−，(1,3AB=，则()(()#,13,16ABABAB==

−ð.故选B.4.C【解析】角的终边上有一点()2,1P−−，所以1tan2=，所以222cos2cos2sin2cossin2sincos4+=−=−−222222111cossin2sincos1tan2tan

141cossin1tan514−−−−−−====−+++.5.A【解析】设两次的单价分别是(),xyxy元/升，甲加两次油的平均单价为600230030011xyxy=++，单位：元/升，乙每次加油a升，加

两次油的平均单价为22axayxya++=，单位：元/升，因为0x，0y，xy，所以()112224xyxyxyxyyxyx++=+++=，即2112xyxy++，即甲的平均单价低，甲更合算.6.D【解析】记“代表队中既有男生又有女生”为事件A，“男生甲被选中”为

事件B，则()1232626548CCCC25C28PA+==，所以()4758C35C56PAB==，所以()()()710PABPBAPA==，或者()()()442326726C7CCCC10nABPBAnA===+.故选D.7.D【解析

】1xya=−的图象由xya=的图象向下平移一个单位，再将x轴下方的图象翻折到x轴上方得到，分1a和01a两种情况分别作图.如图所示：当1a时，需要012a，即02a，即12a；当01a

时，有012a，都符合条件；所以综上01a或12a，所以a的取值不可以是D.故选D8.C【解析】函数()12e1xfxax−=++的导数为()1e2xfxax−=+，由题意可得()fx的图象在1x

=处的切线的斜率为12a+，由切线与直线310xy−+=平行，可得123a+=，解得1a=.若存在00x，使得不等式()00fxkx成立，即为12e1xxkx−++在0x时有解，故12e1xxkx−++在0x时有解，令()1e1xgxxxx−=++，0x，则()()()()1122

21e1e111xxxxxgxxxx−−−++−=+−=，易得，0x时，1e10xx−++恒成立，故1x时，()0gx，函数()gx单调递增，当01x时，()0gx，函数()gx单调递减，故1x=时，()gx取得最小值()13

g=，则3k，可得k的最小值为3.故选C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.BD【解析】由于()()2DaXbaDX+=，所以数据122

021,21,,21xxx+++的方差为16，因此选项A错误；随机变量()2~2,XN，()10.68PX=，则()()()()2312120.680.50.18PxPxPxPx==−=−=，因此选项B正确；线性相关系数r

越接近1，则两个变量的线性相关性越强，故选项C错误；由于()()PBAPB=等价于“事件A与事件B相互独立”，即()()()PABPAPB=，故必有()()()()PABPABPAPB==.因此选项D正确.故选BD.10.ABC【解析】对于A，因为正方体1111ABCDABCD−是棱长为2的正方体

，连接1DC，因为点M、N分别是线段11CD、线段1CC的动点，且110MCNC=，所以1MNDC∥，而11DCAB⊥，所以1MNAB⊥，因此A正确；对于B，又11DCAB∥，因此1MNAB∥，因此直线MN与AP所成的角就

是直线1AB与AP所成的角，当P为1AB中点时，直线1AB与AP所成的角最大为90°，因此B正确；对于C，1111NDDPPDDNADDCVVV−−−==，因此C正确；对于D，当P为1A点时，四棱锥11PDDBB−体积最大

，该四棱锥的外接球即正方体1111ABCDABCD−的外接球，其表面积为12，因此D不正确.故选ABC.11.ABD【解析】A项中，令lntx=，则lntx=在()1,+是单调增函数且0t；又函数()()ee1xxfxx

=−=−，易知函数()xfxex=−在()0,+上是单调增函数，由复合函数单调性原理可知()lnfx在()1,+上是增函数，所以A项正确；B项中，1x时，2ln0x，又a为正实数，所以0ax，又()e10xfx=−

，所以()fx单调递增，所以不等式等价于2lnaxx，对1x恒成立，即max2lnxax.令()2lnxxx=，知()222lnxxx−=，所以()x在()1,e上递增，在()e,+上递减，所以()(

)2eex==，所以B项正确；C项中，易知()lngxxx=−在()0,1上递减，在()1,+上递增，()()min11gxg==，所以1t，不妨设12xx，则必有201xx，若121xx，则等价于2111xx，等价于()211gxgx

，等价于()111gxgx，令()()112lnFxgxgxxxx=−=−−，()0,1x，()22121110Fxxxx=+−=−，即()Fx在()0,1x上递增，所以()()

10FxF=，则()10,1x时，()111gxgx，所以121xx不成立，即C错误；D项中，由()exfxx=−在(),0−上递减，在()0,+上递增，()gx在()0,1上递减，在()1,+

上递增，易知()()fxgx=有唯一的解()00,1x，又()1e12f=−，所以211xx，由()()12fxgx=，即12ln1222elnelnxxxxxx−=−=−，即有()()12lnfxfx=，所以

12lnxx=，即12exx=，所以1211lnlnlnextttxxxt==−−，又2t，所以21maxln1etxx=−，所以D正确.12.BCD【解析】对于A，因为2F是双曲线C的右焦点

，点M为双曲线右支上一点，所以由双曲线性质知：线段2FM长度的最小值为ca−，故A错误；对于B，设()00,Mxy，两渐近线方程分别为：0bxay+=，0bxay−=，所以222222000000222222bxaybxaybxaybaMPMQccbaba−−+===++

，故B正确；对于C，因为2=，所以12FMFM⊥，而2OMF△（O为坐标原点）恰好为等边三角形，因此由122FFc=知：13FMc=，2FMc=，所以由双曲线的定义知：1232FMFMcca−=−=，即23131ca==+−，即双曲线C的离心率

31e=+，故C正确；对于D，如图，设直线1FM与圆222xya+=相切于点A，连接OA，则1OAFM⊥，且OAa=.作21FBFM⊥于点B，则22FBa=.又因为126FMF=，所以23BMa=，24FMa=，因此在12Rt

FBF△中，22221122442FBFFFBcab=−=−=.又点M在双曲线右支上，所以1223242FMFMabaa−=+−=，整理得33baa=−，即33ba=−，因此双曲线C的渐近线的斜率的绝对值33bka==−，故D正确.故选BCD.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，

共20分.13.-12【解析】略14.10,2【解析】由题意可得直线l：()22ykx=−+恒过定点()2,2A，曲线C：24yx=−图象为以()0,0为圆心，2为半径的上半圆，它们的图象如

图所示，当直线l过点()2,0−时，它们有两个交点，此时()201222k−==−−，当直线l与上半部分圆相切时，有一个交点，此时0k=，由图象可知，若直线l与曲线C有两个不同的交点，则102k，即实数k的取值范围是10,2.15.15【

解析】略16.43【解析】略四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解析】（1）若1q=，而首项11a=，则33S=，459SS+=，3452SSS+，不

合题意，故1q.则3452111220111qqqqqqqq−−−=++−=−−−，∴2q=−，则()12nna−=−.（2）略18.【解析】（1）由()cos2cos22sinsinsinABCBC−=−有：22

212sin12sin2sinsin2sinABCBC−−+=−222sinsinsinsinsinBCABC+−=，即：222222122bcabcabcbc+−+−==.即1cos2A=，又()0,A，∴3A=，由正弦定理得：33sin332si

n48cACa===.（2）方法一：由3A=及4a=知，顶点A在ABC△的外接圆上，且在BC边所对的优弧上，外接圆的直径832sin3aRA==.当AH与外接圆相切且H在BC的延长线上时BH最大，此时，43223BCBHR=+=+.方法二：832cos2sincossincos33BHBA

BRCBCC===−24323434sinsincos2sin22cos22sin23333CCCCCC=−=−+=−+，∵250,2,3333CC+，∴3723212CC+==时，BH取得最大值4323+.

19.【解析】（1）取BC中点M，连接AM，DM.因为ABC△为正三角形，DBC△为等腰三角形且以BC为底，故AMBC⊥，DMBC⊥（三线合一），所以BC⊥平面ADM.又BC平面ABC，所以平面ADM⊥平面ABC，故AD在平面ABC的射影在射线AM上，DAM为侧

棱AD与底面ABC所成角，即60DAM=.在DAM△中，3AM=，133DM=，由余弦定理知433AD=，故三棱锥DABC−为正三棱锥，高sin602hAD==，底面ABC△的面积3S=，三棱柱的高也为2，故三棱柱ABCDEF−的体积23VSh==.（2）以M为坐标原

点，MA、MB为x，y轴建立如图所示坐标系.依题意，()3,0,0A，()0,1,0B，()0,1,0C−，3,0,23D，假设存在点G满足题意，设()3,,0DGDFAC===−−，0,1，()0,2,0CB=，33,1,23BGBDDG=+=−−−

.设平面GBC的法向量为(),,mxyz=，则0,0,mCBmBG==取()6,0,333m=−，平面ABC的法向量()0,0,1n=.依题意，12mnmn=，解得1=，故当G位于

点F时，满足要求.20.【解析】（1）甲与乙的比分是4：0的概率为33111553325=；比分是3：1的概率为32113321482255335533225+=.故前4球中，甲领

先的概率为57225，（2）依题意，接下来由甲先发球.继续对战奇数球后，甲获得11分胜利，即甲11：6或11：8获胜，即在接下来的比赛中，甲乙的比分为5：0或5：2，且最后一球均为甲获胜.设甲发球的两次对战中，甲乙比分为“2：0”，“1：1”，“

0：2”依次为事件1A，2A，3A；设乙发球的两次对战中，甲乙比分为“2：0”，“1：1”，“0：2”依次为事件1B，2B，3B.由条件可知，()1925PA=，()21225PA=，()3425PA=，()119PB=，

()249PB=，()349PB=.()()()11335:05125PPAPB==，()5:2P=()()()()()()()()()()()()131311122212152223625PAPBPAPAPBPAPA

PBPAPAPBPA+++=故甲依题意获胜的概率为35267125625625+=.X的所有可能取值为3，5，由条件概率有，()52367PX==，()15567PX==，故X的分布列为：X35

P5267156721.【解析】∵12cea==，所以2234ba=.设椭圆方程为2243xy+=，将31,2M代入，得1=.故椭圆方程为22143xy+=.（2）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，易得，7ABCD+=；

②当两条弦斜率均存在且不为0时，设()11,Axy，()22,Bxy，设直线AB的方程为()1ykx=−，则直线CD的方程为()11yxk=−−，将直线AB的方程代入椭圆方程中，并整理得：()22223484120kxkxk+−+−=，∴212283

4kxxk+=+，212241234kxxk−=+，∴()22122121134kABkxxk+=+−=+，同理，()222211211214343kkCDkk++==++，∴()()()()()2222222212112184134343434kkkABCDkkkk++++

=+=++++，令21tk=+，则1t，∴()()22228484844131121114924ttABCDttttt+===−++−−−+，∵1t，∴101t，∴211494912244t−−+，∴24114912114924t−−+，∴24

88477114924t−−+，∴4877ABCD+.综合②可知，ABCD+的取值范围为48,77.22.【解析】（1）当2a=时，()224lnfxxxx=−−，()()()212422xxfxxxx+−=−−=，()0,2x时，()0fx，()fx单调

递减；()2,x+时，()0fx，()fx单调递增.（2）()22lnfxaxxax=−+−，则()22afxxax=−+−，由题意，知()fxm=有两解1x，2x，不妨设12xx，要证1202xxf+，即证2121220axxaxx

−++−+，①若0a，则120xxa+−；②若0a，由()()()222xaxaafxxaxx+−=−+−=知，()fx在()0,a上单调递减，在(),a+上单调递增，也有12xxa+，综合①②知，12xxa+，所以只需

证212122xxaxxa++−（*）.又22111lnaxxaxm−+−=，22222lnaxxaxm−+−=，∴两式相减，整理得2121212lnlnxxaxxaxx−=+−−，代入（*）式，得121212lnln2xxxxxx−

+−，即11122221ln01xxxxxx−−++.令()2101xttx=，即证()21ln01ttt−−++.令()()()21ln011ttttt−=−++，则()()()()222141011tttttt−=−+=++，∴()t在其定

义域上为增函数，∴()()10t=，∴1202xxf+成立.（3）由（2）知，121222lnln2xxxxxx−+−，故212112lnln2xxxxxx−−+，21xx，取2xn=，11xn=−，所以，()()

lnln112221nnnn−−−，累加，得()1111ln235212nnn+++−.