【文档说明】黑龙江省大庆市让胡路区铁人中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题【精准解析】.doc，共(20)页，1.586 MB，由小赞的店铺上传

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铁人中学2018级高二学年上学期期末考试数学文科试题一、选择题1.若98与63的最大公约数为a，二进制数(2)110011化为十进制数为b，则ab+=（）A.53B.54C.58D.60【答案】C【解析】由题意知

，9863135=，6335128=，352817=，2874=，∴98与63的最大公约数为7，∴7a=．又()234521100111120202121251=+++++=，∴51b=，51758ab+=+=．选C．点睛：求两个正整数的最大公约数时，可用较大的

数字除以较小的数字，得到商和余数，然后再用上一式中的除数和得到的余数中较大的除以较小的，以此类推，当出现整除时，就得到要求的最大公约数．2.与命题“若aM，则bM”等价的命题是（）．A.若aM，则bMB.若bM，则aMC.若bM，则aMD.若aM

，则bM【答案】C【解析】分析：根据四种命题等价性关系判断.详解：原命题与其逆否命题等价，C项是原命题的逆否命题，符合要求．故选C．点睛：p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p具有等价关系.3.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换

42xxyy==后，曲线C变为曲线221xy−=，则曲线C的方程为（）A.224161xy−=B.221641xy−=C.221164xy−=D.221416xy−=【答案】B【解析】【分析】将42xxyy=

=代入曲线221xy−=化简可得到式子.【详解】将42xxyy==代入曲线221xy−=方程得到221641xy−=．故答案为B.【点睛】本题考查了曲线的变换公式的应用，属于基础题.4.如图，矩形长为5，宽为3，在矩形内随机撒100颗黄豆，数得落在椭圆内的黄豆数为

60颗，以此实验数据为依据可以估算椭圆的面积约为（）A.9B.11C.12D.10【答案】A【解析】【分析】欲估计出椭圆的面积,可利用概率模拟,只要利用平面图形的面积比求概率即可.【详解】由题意,以面积为测度,设椭圆的面积为1S，矩形

的面积为2S，则1260100SS=，又因为矩形的面积为23515S==，所以椭圆的面积为160159100S==，故选：A.【点睛】本题考查运用几何概型估算几何图形的面积，关键理解几何概型的真正含义，属于基础题.5.袋中装有3个黑

球、2个白球、1个红球，从中任取两个，互斥而不对立的事件是（）A.“至少有一个黑球”和“没有黑球”B.“至少有一个白球”和“至少有一个红球”C.“至少有一个白球”和“红球黑球各有一个”D.“恰有一个白球”和“恰有一个黑球”【答案】C【解析】【分析】根据互斥事件与对立事件的定义即可判断.【详解】对于

A,“至少有一个黑球”和“没有黑球”不能同时发生,且必有一个发生,因而为对立事件;对于B,“至少有一个白球”和“至少有一个红球”可以同时发生,所以不是互斥事件;对于C,“至少有一个白球”和“红球黑球各有一个”两个

事件不能同时发生,且除这两个事件还有其他事件(如两个黑球)发生,所以两个事件为互斥事件,但为不对立事件对于D,“恰有一个白球”和“恰有一个黑球”可以同时发生,所以不是互斥事件.综上可知,C为正确选项故选:C【点睛】本题考查了互斥与对立事件的概念和判断,属于基础题.

6.“610m”是“方程221106yxmm+=−−表示椭圆”的()A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据构成椭圆的标准方程所需的条件可得选项.【详解】若221106yxmm+=−−表示椭圆,得10060106mmmm−

−−−，解得610m且8m.所以由方程221106yxmm+=−−表示椭圆得实数m的取值范围是(6,8)(8,10);因此：由“610m”不可推得“方程221106yxmm+=−−表示椭圆”，当8m=时，方程221106yxmm

+=−−表示的是圆，而由“方程221106yxmm+=−−表示椭圆”可推得“610m”，所以“610m”是“方程221106yxmm+=−−表示椭圆”的必要不充分条件，故选：C.【点睛】本题考查构成椭圆的标准方程所需的条件，注意不要漏分母不能相等的条件，属于基础题.

7.某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图,估计这次测试中数学成绩的平均分、众数、中位数分别是（）A.73.3，75，72B.72，75，73.3C.75，72，73.3D.75，73.3，72【答案】B【解析】【分析】根

据频率分布直方图,结合平均数、众数、中位数的求法,即可得解.【详解】由频率分布直方图可知,平均数为450.00510450.00510550.01510650.02010+++750.03010850

.02510950.0051072+++=众数为最高矩形底边的中点,即75中为数为:0.005100.015100.02010100.5x+++=可得0.010x=所以中为数为0.010701073.30.030+综上可知,B为正确选项故选:B

【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用,平均数、众数、中位数的计算,属于基础题.8.已知5件产品中有2件次品,其余为合格品,现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为()A.0.4B.0.6C.0.8D.1【答案】B【解析】5件产品中有2件次品，记为a

，b，有3件合格品，记为c，d，e，从这5件产品中任取2件，有10种，分别是(),ab，(),ac，(),ad，(),ae，(),bc，(),bd，(),be，(),cd，(),ce，(),de，恰有一件次品，有6种，分别是(),ac，(),ad，(),ae，(),b

c，(),bd，(),be，设事件=“恰有一件次品”，则()60.610==，故选B．考点：古典概型．9.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为()A.-10B.6C.14D.18【答案】B【解析】模拟法：输入20,1Si==；21,20

218,25iS==−=不成立；224,18414,45iS===−=不成立248,1486,85iS===−=成立输出6,故选B.考点：本题主要考查程序框图与模拟计算的过程.10.已知椭圆221

42xy+=上有一点P,1F,2F是椭圆的左、右焦点,若12FPF△为直角三角形,则这样的点P有()A.3个B.4个C.6个D.8个【答案】C【解析】【分析】由12FPF△为直角三角形，分直角的三种情况，分别得出符合要求的点P，可得选项.【详解】当12PFF为直角时，这样

的点P有2个，如下图中的点12,PP；当21PFF为直角时，这样的点P有2个，如下图中的点34,PP；当12FPF为直角时，因为椭圆22142xy+=中2,2abc===，所以这样的点P有2个，如下图

中的点56,PP，所以符合条件12FPF△为直角三角形的点P有6个，故选：C.【点睛】本题考查椭圆的标准方程和椭圆的简单的几何性质，注意对条件分类讨论，属于基础题.11.已知抛物线：24yx=，直线:40lxy−+=，抛物线上有一动点P到y轴的距离为1d，P到直线l的距离为2d，则1

2dd+的最小值为（）A.522B.5212+C.5222−D.5212−【答案】D【解析】【分析】根据抛物线的定义得将抛物线上有一动点P到y轴的距离为1d转化为点P到焦点的距离1PF−，再作PB与l垂直,垂足为B，可得121ddPFPB+=+−，当,,PFB三点共线，且点P在线段BF上时，即P

点是由F向l作垂线的垂线段与抛物线的交点时，12dd+取得最小值，再运用点到直线的距离公式可得选项.【详解】抛物线24yx=的焦点为()1,0F，准线1x=−，过P作PA与准线1x=−垂直,垂足为A,根据抛物线的定义得PAPF=，作PB与l垂直,垂足为B，则1211ddPAPBPFP

B+=+−=+−，当,,PFB三点共线，且点P在线段BF上时，即P点是由F向l作垂线的垂线段与抛物线的交点，如下图中的1P点，此时12dd+取得最小值，点F到直线l的距离()2210452211MF−+==+−，所以12dd+的最小值为5212−

，故选：D.【点睛】本题考查抛物线上的动点的距离之和的问题，此类题目常常需要根据抛物线的定义将动点到准线的距离转化为到动点到焦点的距离，再运用两点之间线段最短“化折为直”得到最小值，属于中档题.12.已知定义在R上的函数()fx的导函

数为'()fx，且()'()1fxfx+，(1)0f=，则不等式11()10xfxe−−+的解集是（）A.(,1]−B.(,0]−C.[0,)+D.[1,)+【答案】A【解析】令()()111xxgxefxe−−=−+，则：()()()()1''1xgxefxfx−=+−，由题意可

知：()'0gx，则函数()gx在R上单调递增，且()110110g=−+=，不等式()1110xfxe−−+即()1110xxefxe−−−+，即：()()1gxg，结合函数的单调性可得不等式的解集为：1x，表示为区间形式即：(,1−.本题选择A选项.点睛：函数的单

调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中．某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用．因此对函数的单调性进行全面、

准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的．根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧．许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效．二、填空题13.某班共有56名学生，现将所

有学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知12号、26号、54号同学在样本中，则样本中还有一名同学的编号是__________．【答案】40【解析】【分析】先求出组距，然后根据已知的第二个样本的编号，求得第三个

样本的编号.【详解】从56名学生中抽取4名，组距为56414=，由于抽取到第二个编号为26号，故第三个样本的编号为261440+=号.【点睛】本小题主要考查系统抽样的知识，先求得系统抽样的组距，然后根据已知来求得未知的样本编号，属于基础题.14.函数lnxyx

=的单调增区间是__________．【答案】(0)e，【解析】函数的定义域为0x，且：221ln11ln'xxxxyxx−−==，求解不等式'0y可得：0xe，则函数lnxyx=的单调增区间是()0e，.15.下列说法

中正确的个数是_________.（1）命题“若0m，则方程20xxm+−=有实数根”的逆否命题为“若方程20xxm+−=无实数根，则0m”.（2）命题“xR，20xx−”的否定“xR，20xx−”.（3）若pq

为假命题，则p，q均为假命题.（4）“1a=”是“直线1l：210axy+−=与直线2l：(1)40xay+++=平行”的充要条件.【答案】1【解析】【分析】根据命题与逆否命题的定义可判断（1）;根据

特称命题的否定即可判断（2）;由复合命题真假的关系可判断（3）;根据两条直线平行时的斜率关系可判断（4）.【详解】对于（1）,命题“若0m,则方程20xxm+−=有实数根”的逆否命题为“若方程20xxm+−=无实数根,则0m”,所以（1）正确;对于（2）,命题“

xR,20xx−”的否定“xR,20xx−”,所以（2）错误;对于（3）,若pq为假命题,则p、q中至少有一个为假命题,所以（3）错误;对于（4）,当1a=时,直线1l：210xy+−=与直线2l：240

xy++=,则12,kk=且12bb,所以是“1a=”是“直线1l：210axy+−=与直线2l：(1)40xay+++=平行”的充分条件;当“直线1l：210axy+−=与直线2l：(1)40xay+++=平行”时,则121

aa−=−+,解得1a=或2a=−,所以“1a=”是“直线1l：210axy+−=与直线2l：(1)40xay+++=平行”的充分不必要条件.所以（4）错误.综上可知,正确的为（1）故答案为:1【点睛】本题考查了命题与逆否命题的关系,特称命题的否定形式,复合命题真假的判断及充分必要条件的判断,属

于基础题.16.已知双曲线E：22221(0,0)xyabab−=的右顶点为A，抛物线C：28yax=的焦点为.F若在E的渐近线上存在点P，使得APFP⊥，则双曲线E的离心率的取值范围是______．【

答案】321,4【解析】【分析】求出双曲线的右顶点和渐近线方程，抛物线的焦点坐标，可设,bPmma，以及向量的垂直的条件：数量积为0，再由二次方程有实根的条件：判别式大于等于0，化简整理，结合离心率公式即可

得到所求范围．【详解】双曲线E：22221(0,0)xyabab−=的右顶点为(),0Aa，抛物线C：28yax=的焦点为()2,0Fa，双曲线的渐近线方程为byxa=，可设,bPmma，即有,bAPmama=−，2,bFPmama=−

，可得0APFP=，即为()()22220bmamama−−+=，化为22221320bmmaaa+−+=，由题意可得222294120baaa=−+，即有()222288abca=−，即2289ca，则324cea=．

由1e，可得3214e．故答案为321,.4【点睛】对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,ac，代入公式cea=；②只需要根据一个条件得到关于,,abc的齐次式，结合222bca=−转化为,ac

的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或2a转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).三、解答题17.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为21222xtyt=−+=

（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为2221243sincos=+，直线l与曲线C交于,AB两点．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求AB．【答案】（1）直线l的方程为y

＝x+1，曲线C的方程为2243xy+=1；（2）247.【解析】【分析】（Ⅰ）消去参数，即可求得直线的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可得到曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程

，利用直线参数方程中参数的几何意义，即可求解．【详解】（Ⅰ）由直线l的参数方程为21222xtyt=−+=，消去参数，可得直线l的方程为1yx=+，由曲线C的极坐标方程2221243sincos=+，根据cossinxy

==，曲线C的方程为22143xy+=．（Ⅱ）将21222xtyt=−+=（t参数），代入2243xy+=1，得2762180tt−−=，设AB所对应的参数分别为12,tt，则12126182,77tttt+==−，则212

121224()47ABtttttt=−=+−=．【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理利用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．18.若函数

3()4=−+fxaxbx，当2x=时，函数()fx有极值43−．（1）求函数的解析式；（2）判断函数的极值点并求出函数的极值.【答案】（1）31()443fxxx=−+（2）当2x=−时，()fx有极大值283，当2x=时，()fx有极小值43−。【解析】【分析】(1)先对函数进行求导,然后根据

4(2),(2)03ff=−=,可求出,ab的值,进而确定函数的解析式.(2)根据(1)中解析式然后求导,然后令导函数等于0，求出x的值,然后根据函数的单调性与其导函数的正负之间的关系,确定出函数的单调性,进而得到函数的极值;

【详解】(1)因为2()3fxaxb=−，由题意知(2)1204(2)8243fabfab=−==−+=−，解得134ab==，所以所求的解析式为31()443fxxx=−+;(2)由(1)可得2()4(2)(2)fxxxx=−=−+，令()0fx=,得2x

=或2x=−,则当2x−或2x时,()'0fx，()fx在(,2−−和)2,+单调递增；当22x−时,()'0fx，()fx在()2,2−单调递减,因此,当2x=−时,()fx有极大值()()(

)31282242433f−=−−−+=,当2x=时,()fx有极小值()3142242433f=−+=−;所以当2x=−时，()fx有极大值283，当2x=时，()fx有极小值43−。【点睛】本题考查运用函数的导函数，研究函数的极值和函数的单调性等相关的性质，在求函数的

极值，一定需得出在极值点两旁的单调性是不一致的，属于基础题.19.如表是某位同学连续5次周考的历史、政治的成绩，结果如下：周次12345历史(x分)7981838587政治(y分)7779798283参考公式：()()()112221

1nniiiiiinniiiixxyyxynxybxxxnx====−−−==−−，ˆˆaybx=−，,xy表示样本均值．(1)求该生5次月考历史成绩的平均分和政治成绩的方差；(2)一般来说，学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相关关系，根据上表提供的数据，求两个变

量xy、的线性回归方程．【答案】（1）283,4.8xs==（2）ˆ0.7517.75yx=+【解析】【分析】(1)利用所给数据,即可求该生5次月考历史成绩的平均分和政治成绩的方差;(2)利用最小二乘法求出线性回归直线的方程的系数,写出回归直线的方程,得到结果.【详解】(1)历史成绩的平均数1

(7981838587)835x=++++=.1(7779798283)805y=++++=,政治成绩的方差22221(7780)(7980)(7980)5s=−+−+−+22(8280)(8380)4.8−+−=

，(2)()()5130iiixxyy=−−=，()52140iixx=−=,()()()121303404niiiniixxyybxx==−−===−,3ˆˆ808317.754aybx=−=−=,ˆ0.7517.75yx=+.所以两个变量xy、的线性回归

方程是ˆ0.7517.75yx=+.【点睛】本题考查平均数、方差的求解，以及线性回归方程的求解，在求解时，熟练运用公式，仔细运算，属于基础题.20.已知抛物线C：22(0)ypxp=的焦点F，C上一点(3,)m到焦点的距离为5．（1）求C的方程；（2）

过F作直线l，交C于A，B两点，若直线AB中点的纵坐标为-1，求直线l的方程．【答案】（1）28yx=（2）480xy+−=【解析】【分析】()1法一：利用已知条件列出方程组，求解即可法二：利用抛物线2:2(0)Cypxp=的准线方程，由抛物线的定义列出方程，求解即可()2法一：由()1

可得抛物线焦点F的坐标，设出AB，两点的坐标，利用点差法，求出线段AB中点的纵坐标为1−，得到直线的斜率，求出直线方程法二：设直线l的方程为2xmy=+，联立直线与抛物线方程，设出AB，两点的坐标，通过线段AB中点的纵坐标为1−，求出m即可【详解】法一:抛物线C:22(0)ypxp=的焦点F的坐

标为,02p,由已知22223352mppm=−+=解得4p=或16p=−∵0p,∴4p=∴C的方程为28yx=.法二:抛物线2:2(0)Cypxp=的准线方程为,2px=−由抛物线的定义可知352p−−=解得4p=∴C的方程为28

yx=.2.法一:由(1)得抛物线C的方程为28yx=,焦点()2,0F设,AB两点的坐标分别为()()1122,,,AxyBxy,则21122288yxyx==两式相减,整理得2121218yyxxyy−=−+∵线段AB中点的纵坐标为1−∴直线l的斜率()2188412ABkyy===−

+−直线l的方程为()042yx−=−−即480xy+−=分法二:由(1)得抛物线C的方程为28yx=,焦点()2,0F设直线l的方程为2xmy=+由282yxxmy==+消去x,得28160ymy−−=设,AB两点的坐标分别为()()1122,,,AxyBxy,∵线段AB中点

的纵坐标为1−∴()128122myy−−+==−解得14m=−直线l的方程为124xy=−+即480xy+−=【点睛】本题主要考查了直线与抛物线相交的综合问题，对于涉及到中点弦的问题，一般采用点差法能直接求出未知参数，或是将直线方程设出，设直线方程时要注意考虑斜率

的问题，此题可设直线l的方程为2xmy=+，就不需要考虑斜率不存在，将直线方程与抛物线方程联立，利用条件列出等量关系，求出未知参数．21.已知函数()21xfxex=−−．（1）求曲线在(0,(0))f处的切线方程；（2）设()()(1-)xgxafxae=+，若()gx

的最小值小于0，求实数a的取值范围．【答案】（1）yx=−（2）e2+，【解析】【分析】（1）根据函数的导函数求出曲线在(0,(0))f处的切线的斜率，从而可得出曲线在(0,(0))f处的切线方程；（2）先求出()gx的导函数，对a的

范围进行分类讨论，得函数()gx的单调性，得出函数的最小值，根据函数的最小值小于0，建立关于a的不等式，解之可求得a的范围.【详解】（1）由题易知()2xfxe=−，(0)121kf==−=−，又0(0)2010fe=−−=，()fx在(0,(0))f处的

切线方程为yx=−．（2）由题易知()2xgxeaxa=−−，()2xgxea=−．当0a时，()0gx¢>，()gx在R上单调递增，不符合题意．当0a时，令()0gx=，得ln2xa=，在(,ln2)a−上

，()0gx，在(ln2,)a+上，()0gx，()gx在(,ln2)a−上单调递减，在(ln2,)a+上单调递增，所以()gx的最小值为(ln2)22ln22ln2gaaaaaaaa=−−=−．()gx的最小值小于0，即2ln20aaa−，∵

0a，∴1ln22a，解得2ea，∴实数a的取值范围为e2+，．【点睛】本题考查运用函数的导函数求函数的切线方程和讨论函数的单调性得函数的最值，在讨论函数的单调性时，注意分类的目标和分类的标准，

属于基础题.22.已知椭圆()2222:10xyEabab+=经过点13,2P−，且右焦点()23,0F．（1）求椭圆E的方程；（2）若直线:2=+lykx与椭圆E交于A，B两点，当AB最大时，求直线l的斜率k.【答案】（1）2214xy+=（2）112k=【解析】【分析】

（1）根据椭圆的定义求出长轴长，再根据焦点坐标得出半焦距，从而可得出椭圆的方程；（2）联立直线与椭圆的方程，消元得()22148240kxkx+++=，设点,AB的坐标，表示线段的长度，再根据根的判别式需大于零，得出直线的斜率的范围，从而可求得线段的最大值.【详

解】（1）设椭圆E的左焦点()13,0F−，则()2212112234222aPFPFa=+=++==，又22231cbac==−=，所以椭圆E的方程为2214xy+=．（2）由()2222

214824044ykxkxkxxy=++++=+=，设()11,Axy，()22,Bxy，由()2221128161404Δkkk=−+，且1228214kxxk+=−+，122414xxk=+，()2222121222824||14141414kABkxxx

xkkk=++−=+−−++．设2114tk=+，则10,2t，22125562612612246ABttt=−++=−−+，当110,122t=，即112k=时，AB取得最大值.【点睛】本题考查椭圆的方程求解和直线与椭圆的位置关

系中弦长的最值问题，此类题目运算量大，容易忽略根的判别式大于零的条件，属于中档题.