【文档说明】2025届高考数学一轮复习专练58 直线和双曲线.docx，共(15)页，111.274 KB，由小赞的店铺上传

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温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。五十八直线和双曲线(时间:45分钟分值:95分)【基础落实练】1.(5分)(2024·大连模拟)过双曲线x2-y2

=2的左焦点作直线l,与双曲线交于A,B两点,若|AB|=4,则这样的直线l有()A.1条B.2条C.3条D.4条【解析】选D.由题意得双曲线左焦点(-2,0),当直线垂直于横轴时,|AB|=2√2不符合题意,双曲线渐近线方程为y=±x;故可设l:y=k(x+2)(k≠±1

),A(x1,y1),B(x2,y2),与双曲线联立可得{𝑦=𝑘(𝑥+2)𝑥2-𝑦2=2⇒(1-k2)x2-4k2x-4k2-2=0,x1+x2=4𝑘21-𝑘2,x1·x2=-4𝑘2-21-𝑘2,由弦长公式知|AB|=√𝑘2+

1|x1-x2|=√𝑘2+1·√8(𝑘2+1)|𝑘2-1|=4⇒k2+1=√2|k2-1|,则k=±(√2-1)或k=±(√2+1).故存在四条直线满足条件.2.(5分)(2024·深圳模拟)已知两个点M(-5,0),N(5,0),

若一条直线上存在点P,使得|PM|-|PN|=6,则称该直线为“hold直线”.给出下列直线:①y=43x,②y=2x+1,③y=x+1,则这三条直线中“hold直线”的条数为()A.3B.2C.1D.0【解析】选C.由题意知|PM|-|PN|=6<|MN|=10,根据双曲线的定义,可得点

P是以M,N为焦点的双曲线𝑥29-𝑦216=1的右支,所以点P是双曲线右支与直线的交点,即“hold直线”须满足与双曲线的右支相交,又由双曲线𝑥29-𝑦216=1的渐近线方程为y=±43x,①中,直线y=43x为双曲线的一条渐近线,直线与双曲线没有公共

点,如图所示,所以不是“hold直线”;②中,如图所示,直线y=2x+1与双曲线的右支无交点,所以不是“hold直线”;③中,直线y=x+1与双曲线的右支有一交点,如图所示,所以是“hold直线”.3.(5分)(2024·昆明模拟)已知F为双曲

线C:𝑥23-y2=1的左焦点,过F的一条直线l与双曲线C交于A,B两点,与双曲线C的渐近线交于D,E两点,若|𝐴𝐵||𝐷𝐸|=√132,则直线l的斜率为()A.±√36B.±√34C.±√53D.±2【解析】选A.

据题意,设直线l:y=k(x+2),两条渐近线满足方程𝑥23-y2=0,由{𝑦=𝑘(𝑥+2)𝑥23-𝑦2=1得x2-3k2(x2+4x+4)-3=0,整理得(1-3k2)x2-12k2x-12k2-3=0,Δ1=

144k4+4(1-3k2)(12k2+3)=12k2+12,由{𝑦=𝑘(𝑥+2)𝑥23-𝑦2=0得:x2-3k2(x2+4x+4)=0,整理得(1-3k2)x2-12k2x-12k2=0,Δ2=144k4+48k2(1-3k

2)=48k2,|AB|=√1+𝑘2·√𝛥1|1-3𝑘2|,|DE|=√1+𝑘2·√𝛥2|1-3𝑘2|,所以|𝐴𝐵||𝐷𝐸|=√𝛥1𝛥2=√𝑘2+14𝑘2=√132,所以k=±√36.4.(5分)(2024·深圳模拟)已知双曲线𝑥2𝑎

2-𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作直线l与一条渐近线垂直,垂足为M,l交双曲线右支于点N,𝐹1𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4𝐹1𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,则离心率e=()A.2√33B.53C.43D.2【解析】

选B.设F1(-c,0),不妨取其中一条渐近线y=-𝑏𝑎x,由两直线垂直,斜率乘积为-1,得过F1的直线l的方程为y=𝑎𝑏(x+c),联立上述两直线可求得点M的坐标为(-𝑎2𝑐,𝑎𝑏𝑐),因为𝐹1𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4𝐹1𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,则yN

=4yM,故yN=4𝑎𝑏𝑐,由直线l的方程为y=𝑎𝑏(x+c)得N点坐标为(3𝑐2-4𝑎2𝑐,4𝑎𝑏𝑐),因为点N在双曲线上,所以(3𝑐2-4𝑎2)2𝑎2𝑐2-16𝑎2

𝑐2=1,化简得9c2=25a2,故e=𝑐𝑎=√259=53.5.(5分)(多选题)(2024·黄石模拟)过双曲线C:𝑥24-𝑦25=1的右焦点作直线l,与该双曲线交于A,B两点,则()A.存在四条直线l,使|AB|=92B.与该双曲线有相同渐近线且过点(8,10)的双曲线的标准方程为

𝑦220-𝑥216=1C.若A,B都在该双曲线的右支上,则直线l斜率的取值范围是(-∞,-√52)∪(√52,+∞)D.存在直线l,使弦AB的中点为M(4,1)【解析】选BC.对于A,由于C:𝑥24-𝑦2

5=1,所以右焦点为(3,0),设直线l的方程为:x=my+3.联立{𝑥24-𝑦25=1𝑥=𝑚𝑦+3得:(5m2-4)y2+30my+25=0,Δ>0恒成立.所以A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-3

0𝑚5𝑚2-4,y1y2=255𝑚2-4.所以|AB|=√1+𝑚2√(𝑦1+𝑦2)2-4𝑦1𝑦2=√1+𝑚2√(-30𝑚5𝑚2-4)2-4×255𝑚2-4=20(𝑚2+1)5𝑚2-4.所以20(𝑚2+1)5𝑚2-4=92,解得m2=765,所以只有两

条,故A错误;对于B,双曲线C:𝑥24-𝑦25=1的渐近线为y=±√52x,所以𝑏𝑎=√52,过点(8,10)的双曲线的标准方程为𝑦220-𝑥216=1,故B正确;对于C,若A,B都在该双曲

线的右支上,则y1y2=255𝑚2-4<0,即5m2-4<0,所以5-4k2<0,解得k∈(-∞,-√52)∪(√52,+∞),故C正确;对于D,假设存在直线l,使弦AB的中点为M(4,1),设直线的方程为y-1=k(x-4),与C:𝑥24-𝑦25=1联立得:(5-4k2)x2+(32k2-

8k)x-64k2+32k-24=0,Δ>0恒成立.所以x1+x2=8𝑘-32𝑘25-4𝑘2=8,y1+y2=k(x1-4)+1+k(x2-4)+1=k·8𝑘-32𝑘25-4𝑘2-8k+2=10-40𝑘

5-4𝑘2=2,所以k=5,所以直线方程为y-1=5(x-4),但是由于(3,0)不在直线上,故不存在这样的直线l,故D错误.6.(5分)(多选题)已知曲线C:𝑥24+𝑚+𝑦21+𝑚=1(𝑚≠-1,且𝑚≠-4),则下列结论正确的是()A.若曲线C为椭圆

或双曲线,则其焦点坐标为(±√3,0)B.若曲线C是椭圆,则m>-1C.若m<-1且m≠-4,则曲线C是双曲线D.直线kx-y-k=0(𝑘∈R)与曲线C恒有两个交点【解析】选AB.若曲线表示椭圆,因为4+m>1+m,所以a2=4+m>0,b2=1+m>0,则m

>-1,即椭圆焦点在x轴,则c2=a2-b2=3,得c=√3,此时焦点坐标为(±√3,0),若曲线表示双曲线,由(4+𝑚)(1+𝑚)<0,得-4<m<-1,此时双曲线的标准方程为𝑥24+𝑚-𝑦2-1-𝑚=1,则a2=4+m,b2=-

1-m,即焦点在x轴,则c2=a2+b2=3,得c=√3,此时焦点坐标为(±√3,0),故A,B正确,C错误;由kx-y-k=0得k(𝑥-1)-y=0,即直线过定点M(1,0),当曲线为双曲线时,-4<m<-1,此时a2=4

+m∈(0,3),当m=-2时,a2=2,此时,双曲线右顶点为(√2,0),在点M(1,0)的右侧,此时直线与曲线C不一定有两个交点,故D错误.7.(5分)(2024·南京模拟)已知双曲线C过点(3,

√2),且渐近线为y=±√33x,则双曲线C的方程为𝑥23-y2=1;若动直线y=k(x-2)与双曲线C的同一支有两个不同的交点,则实数k的取值范围为(-∞,-√33)∪(√33,+∞).【解析】①根据题意可得,双曲线的渐近线方程为y=±√3

3x,设双曲线的方程为𝑥23-y2=λ,(λ≠0),因为双曲线过点(3,√2),所以323-(√2)2=λ,解得λ=1,所以双曲线的方程为𝑥23-y2=1.②设直线y=k(x-2)与双曲线C交于A(x1

,y1),B(x2,y2),由{𝑦=𝑘(𝑥-2)𝑥23-𝑦2=1⇒(1-3k2)x2+12k2x-3-12k2=0,则{1-3𝑘2≠0𝛥>0𝑥1𝑥2>0⇒{𝑘2≠13122·𝑘4+4×(3+12𝑘2)(1-3𝑘2)>0⇒𝑘2>13-3

-12𝑘21-3𝑘2>0,所以k∈(-∞,-√33)∪(√33,+∞).8.(5分)(2022·浙江高考)已知双曲线C:𝑥2𝑎2-𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0)的左焦点为F,过F且斜率为𝑏4𝑎的直线交双曲线于点A(𝑥1,𝑦1),交双曲线的渐近线于点B(𝑥2,𝑦2)且x

1<0<x2.若|FB|=3|FA|,则双曲线的离心率是3√64.【解析】过F且斜率为𝑏4𝑎的直线AB:y=𝑏4𝑎(x+c),渐近线l:y=𝑏𝑎x,联立{𝑦=𝑏4𝑎(𝑥+𝑐)𝑦=𝑏𝑎𝑥,得B(𝑐3,𝑏

𝑐3𝑎),由|FB|=3|FA|,得A(-5𝑐9,𝑏𝑐9𝑎),而点A在双曲线上,于是25𝑐281𝑎2-𝑏2𝑐281𝑎2𝑏2=1,解得𝑐2𝑎2=8124,所以离心率e=3√64.9.(10

分)(2024·景德镇模拟)已知焦点在x轴上的双曲线实轴长为2,其一条渐近线斜率为√2.(1)求双曲线的标准方程;(2)过点A(1,1)能否作直线l,使直线l与所给双曲线交于P,Q两点,且点A是弦PQ

的中点?如果直线l存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.【解析】(1)因为双曲线的焦点在x轴上,设该双曲线的标准方程为𝑥2𝑎2-𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0),因为该双曲线的实轴长为2,一条渐近线斜率为√2,则{2𝑎=2𝑏𝑎=√2,解得{𝑎=1𝑏=√2,因

此,该双曲线的标准方程为x2-𝑦22=1.(2)假定直线l存在,设以A(1,1)为中点的弦的两端点为P(x1,y1),Q(x2,y2),则有x1+x2=2,y1+y2=2.根据双曲线的对称性知x1≠x2.由点P,Q在双曲线上,得2𝑥12-𝑦12=2,2𝑥22-𝑦22=2,两

式相减得2(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0,所以2×2(x1-x2)-2(y1-y2)=0,所以𝑦1-𝑦2𝑥1-𝑥2=2,即以A(1,1)为中点的弦所在直线的斜率k=2,故直线PQ的方程为y-1=2(

x-1),即2x-y-1=0.联立{2𝑥2-𝑦2=22𝑥-𝑦-1=0,消去y得2x2-4x+3=0,Δ=(-4)2-4×2×3=-8<0,因此直线l与双曲线无交点,故满足条件的直线l不存在.【加练备选】已知双曲线C:x2-y2=4,直线l:y=k(x-1),试确定实数k的取值范围

,使:(1)直线l与双曲线有两个公共点;(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点;(3)直线l与双曲线没有公共点.【解析】(1)联立{𝑦=𝑘(𝑥-1)𝑥2-𝑦2=4,消y整理得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0,(*)因为直线l与双曲线C有两个公

共点,所以{1-𝑘2≠0𝛥=4𝑘4+4(1-𝑘2)(𝑘2+4)>0,整理得{1-𝑘2≠0𝛥=4(4-3𝑘2)>0,解得:-2√33<k<-1或-1<k<1或1<k<2√33.所以k的取值范围为{k|-2√33<k<-1

或-1<k<1或1<k<2√33}.(2)当1-k2=0即k=±1时,直线l与双曲线的渐近线平行,方程(*)化为2x-5=0,故方程(*)有唯一实数解,即直线与双曲线相交,有且只有一个公共点,满足题意.当1-k2≠0时,因为直线l与双曲线C仅有一个公共点,则Δ=4(

4-3k2)=0,解得k=±2√33;综上,k=±1或k=±2√33.(3)因为直线l与双曲线C没有公共点,所以{1-𝑘2≠0𝛥=4(4-3𝑘2)<0,解得k>2√33或k<-2√33.所以k的取值范围为{k|k<-2√33或k>2√33}.【能力提升练】10.(5分)(2024·绍兴模拟)

如图,加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家,他在研究圆锥曲线时发现:椭圆(或双曲线)上两条相互垂直的切线的交点P的轨迹方程为圆,该圆称为外准圆,也叫蒙日圆.则双曲线C:𝑥29-𝑦24=1的蒙日圆的面积为()A.4πB.5πC.9πD.13π【解析】选B.

设两条互相垂直的切线的交点为P(x0,y0),由题可知,双曲线上两条互相垂直的切线的斜率均存在且均不为0,设过点P且与曲线C相切的一条切线方程是y-y0=k(x-x0),k≠0,由{𝑥29-𝑦24=1𝑦-𝑦0=𝑘(𝑥-𝑥0)得,

(4-9k2)x2+(18x0k2-18ky0)x-9(𝑘𝑥0-𝑦0)2-36=0,则Δ=0,即(18𝑥0𝑘2-18𝑘𝑦0)2-4·(4-9k2)·[-9(𝑘𝑥0-𝑦0)2-36]=0,整理得,(𝑥02-9)k

2-2x0y0k+𝑦02+4=0,因为过点P有两条直线与曲线C相切,所以𝑥02-9≠0,且9𝑦02-4𝑥02+36>0即𝑥029-𝑦024<1,则-3<x0<3,得k1·k2=𝑦02+4𝑥0

2-9,又因为过点P的这两条切线互相垂直,所以k1·k2=𝑦02+4𝑥02-9=-1,即𝑥02+𝑦02=5,故该双曲线的蒙日圆方程为x2+y2=5,半径为√5,所以该双曲线蒙日圆的面积为5π.11.(5分)(

2024·渭南模拟)已知直线l过双曲线C:x2-𝑦22=1的左焦点F且与C的左、右两支分别交于A,B两点,设O为坐标原点,P为AB的中点,若△OFP是以FP为底边的等腰三角形,则直线l的斜率为()A.±√155B.±√102C.±√55D.

±√22【解析】选D.对于双曲线C:x2-𝑦22=1,a=1,b=√2,c=√3,所以F(-√3,0),双曲线的渐近线方程为y=±√2x,设直线l的斜率为k,要使直线l与双曲线C的左右两支都相交,则-√2<k<√2,直线l的方程为y=k(x+√3),由{𝑦=𝑘(�

�+√3)𝑥2-𝑦22=1消去y并化简得(2-k2)x2-2√3k2x-3k2-2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2√3𝑘22-𝑘2,y1+y2=k(x1+x2)+2√3k=k·2√3𝑘22

-𝑘2+2√3k=4√3𝑘2-𝑘2,由于P是AB的中点,所以P(√3𝑘22-𝑘2,2√3𝑘2-𝑘2).由于△OFP是以FP为底边的等腰三角形,所以|OP|=|OF|=c=√3,即(√3𝑘2

2-𝑘2)2+(2√3𝑘2-𝑘2)2=3,整理得k2=12,解得k=±√22.12.(5分)已知双曲线𝑥2𝑎2-𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作圆x2+y2=a2的切线,交双曲线右支于点M,若∠F1MF2=60°,则双曲线

的渐近线方程为()A.y=±(3+√3)xB.y=±2xC.y=±3+√33xD.y=±(1+√3)x【解析】选C.如图,作OA⊥F1M于点A,F2B⊥F1M于点B,因为F1M与圆x2+y2=a2相切,所以|OA|=a,|F2B|=2|OA|=2a,|F1B

|=2b,在Rt△BMF2中,∠F1MF2=60°,所以|BM|=|𝐹2𝐵|tan60°=2𝑎√3=2√3𝑎3,|F2M|=4√3𝑎3.又点M在双曲线上,由双曲线的定义可得:|F1M|-|F2M|=|F1B|+|BM|-|F2

M|=2b+2√3𝑎3-4√3𝑎3=2a,整理得:b=3+√33a,所以𝑏𝑎=3+√33,所以双曲线的渐近线方程为y=±3+√33x.13.(5分)(2024·宜宾模拟)已知双曲线C:𝑥2𝑎2-𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心

率为2√33,过F2作渐近线y=𝑏𝑎x的垂线交C于A,B两点,点A在第一象限,若|AF2|=3-√32,则△ABF1的周长为18.【解析】因为e=𝑐𝑎=2√33,所以𝑐2𝑎2=𝑎2+𝑏2𝑎2=1+𝑏2𝑎2=43,所以𝑏2𝑎2=13,则渐近线y=√33

x,不妨设a=√3m,b=m,c=2m,则双曲线的方程为𝑥23𝑚2-𝑦2𝑚2=1,设A(x1,y1),B(x2,y2),所以AB:x=2m-𝑦√3,联立{𝑥23𝑚2-𝑦2𝑚2=1𝑥=2𝑚

-𝑦√3,得8y2+4√3my-3m2=0,所以y1=3𝑚-√3𝑚4,y2=-3𝑚-√3𝑚4,所以|𝐴𝐹2||𝐵𝐹2|=|𝑦1||𝑦2|=3-√33+√3,所以|BF2|=3+√32,所以|

AB|=|AF2|+|BF2|=3=√1+13|y1-y2|=√1+13·3𝑚2,所以m=√3,所以a=3,所以AF1+BF1+AB=2(AF2+BF2)+4a=18.14.(10分)(2024·武威模拟)在平面直角坐标系xOy中,双曲线C:𝑥2𝑎2-𝑦2

𝑏2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,C的离心率为2,直线l过F2与C交于M,N两点,当|OM|=|OF2|时,△MF1F2的面积为3.(1)求双曲线C的方程;(2)已知M,N都在C的右支上,设l的斜率为m.①求实数m的取值范围;②是否存在实数m,使得∠MON为锐角?若存在

,请求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为|OM|=|OF1|=|OF2|,所以∠F1MF2=90°.则|𝑀𝐹1|2+|𝑀𝐹2|2=(2c)2,(|𝑀𝐹1|-|𝑀𝐹2|)2+2|MF1|·|MF2|=4a2+2|MF1|·|MF

2|=4c2,所以|MF1|·|MF2|=2b2,△MF1F2的面积S=12|MF1|·|MF2|=b2=3.又C的离心率为𝑐𝑎=√1+𝑏2𝑎2=2,所以a2=1.所以双曲线C的方程为x2-𝑦23=1.(2)①

根据题意F2(2,0),则直线l:m(x-2)-y=0,由{𝑥2-𝑦23=1𝑦=𝑚𝑥-2𝑚,得(3-m2)x2+4m2x-4m2-3=0,由{3-𝑚2≠0𝛥=16𝑚4+4(3-𝑚2)(4

𝑚2+3)>0,得m2≠3,Δ>0恒成立.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=4𝑚2𝑚2-3,x1x2=4𝑚2+3𝑚2-3,因为直线l与双曲线C的右支相交于M,N不同的两点,所以{𝑥1+𝑥2>0𝑥1𝑥2>0,即{4𝑚2𝑚2

-3>04𝑚2+3𝑚2-3>0,所以m2>3,解得m∈(-∞,-√3)∪(√3,+∞).②假设存在实数m,使∠MON为锐角,所以𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗>0,即x1x2+y1y2>0,因为y1y2=(mx1-

2m)(mx2-2m)=m2x1x2-2m2(x1+x2)+4m2,所以(1+m2)x1x2-2m2(x1+x2)+4m2>0,由①得(1+m2)(4m2+3)-8m4+4m2(m2-3)>0,即7m2+3-12m2>0解得

m2<35,m2<35与m2>3矛盾,故不存在.15.(10分)(2022·新高考Ⅰ卷)已知点A(2,1)在双曲线C:𝑥2𝑎2-𝑦2𝑎2-1=1(a>1)上,直线l交C于P,Q两点,直线AP,AQ的斜率之和为0.(1)求l的斜

率;(2)若tan∠PAQ=2√2,求△PAQ的面积.【解析】(1)因为点A(2,1)在双曲线C:𝑥2𝑎2-𝑦2𝑎2-1=1(a>1)上,所以4𝑎2-1𝑎2-1=1,解得a2=2,即双曲线C:𝑥22-y2=1,易知直线l的斜率存在,设l:y=kx+m,P(𝑥1

,𝑦1),Q(𝑥2,𝑦2),联立{𝑦=𝑘𝑥+𝑚𝑥22-𝑦2=1可得,(1-2𝑘2)x2-4mkx-2m2-2=0,所以,x1+x2=-4𝑚𝑘2𝑘2-1,x1x2=2𝑚2+22𝑘2-1,Δ=16m2k2-4(2𝑚2+2)(2𝑘2-1)>0⇒m

2+1-2k2>0.所以由kAP+kAQ=0可得,𝑦1-1𝑥1-2+𝑦2-1𝑥2-2=0,即(𝑥1-2)(𝑘𝑥2+𝑚-1)+(x2-2)(kx1+m-1)=0,即2kx1x2+(𝑚-1-2𝑘)(𝑥1

+𝑥2)-4(m-1)=0,所以2k×2𝑚2+22𝑘2-1+(m-1-2k)(-4𝑚𝑘2𝑘2-1)-4(𝑚-1)=0,化简得,8k2+4k-4+4m(𝑘+1)=0,即(𝑘+1)(2𝑘-1+𝑚)=0,所以k=-1或m=1-2k,当m

=1-2k时,直线l:y=kx+m=k(𝑥-2)+1过点A(2,1),与题意不符,舍去,故k=-1.(2)不妨设直线PA,AQ的倾斜角为α,β(α<β),因为kAP+kAQ=0,所以α+β=π,因为tan∠PAQ=2√2,所以tan(𝛽-𝛼)=2√2,即tan2α=-2√2,即√2

tan2α-tanα-√2=0,解得tanα=√2(负值舍去),于是,直线PA:y=√2(𝑥-2)+1,直线AQ:y=-√2(𝑥-2)+1,联立{𝑦=√2(𝑥-2)+1𝑥22-𝑦2=1可得,32x2+2(√2-4)x+10-4√2=0,因为方程有一个根为2,所以xP=10-4√23

,yP=4√2-53,同理可得,xQ=10+4√23,yQ=-4√2-53.所以PQ:x+y-53=0,|𝑃𝑄|=163,点A到直线PQ的距离d=|2+1-53|√2=2√23,故△PAQ的面积为12×163×2√23=16√29.【

素养创新练】16.(5分)已知曲线方程x|x|+y|y|=1,若过A(1,0)的直线l与该曲线恰有三个不同的交点,则直线l的倾斜角的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,-√22).【解析】当x≥0,y≥0时,方程x|x|+y|y|=1可化为x2+y2=1,其图象为14个单位圆;当

x>0,y<0时,方程x|x|+y|y|=1可化为x2-y2=1,其图象为焦点在x轴上的双曲线的右下支;当x<0,y>0时,方程x|x|+y|y|=1可化为-x2+y2=1,其图象为焦点在y轴上的双曲线的左上支;当x<0,y<0时,方程x|

x|+y|y|=1可化为-x2-y2=1,不可能成立;作出图象如图,设过点A(1,0)斜率为k的直线方程为y=k(x-1),联立{𝑦=𝑘(𝑥-1)𝑦2-𝑥2=1,可得(k2-1)x2-2k2x+k2-1=0,当k≠±1时,由Δ=4k4-4

(𝑘2-1)2=0,解得k=√22(舍)或k=-√22.由图可知,当k∈(-∞,-1)∪(-1,-√22)时,直线l与该曲线恰有三个不同的交点.