【文档说明】重庆市沙坪坝区南开中学校2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题【精准解析】.doc，共(21)页，1.826 MB，由小赞的店铺上传

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重庆南开（融侨）中学高2021级高二（上）期中考试数学试题第I卷（选择题,共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求1.已知(2,0),M−(2,0),N|||

|3PMPN−=，则动点P的轨迹是（）A.双曲线B.双曲线左边一支C.一条射线D.双曲线右边一支【答案】D【解析】【分析】根据双曲线的定义直接得到结果.【详解】3PMPNMN−=且PMPN动点P的轨迹为双曲线的右边一支故选：D【点睛】本题考查双曲线定

义的理解，易错点是忽略轨迹为双曲线的一支的问题，造成求解错误.2.抛物线y＝4x2的焦点坐标是（）A.（0，1）B.（1，0）C.1(0,)16D.1(,0)16【答案】C【解析】【分析】将抛物线方程化为标准形式，即可

得到焦点坐标.【详解】抛物线24yx=的标准方程为214xy=，即18p=，开口向上，焦点在y轴的正半轴上，故焦点坐标为10,16.故选：C.【点睛】本题考查抛物线的标准方程，把抛物线方程化为标准形式是解题的关键，属于基础题.3.

命题“[1,),x+210xx+−”的否定形式是（）A.(,1)x−，使得210xx+−B.[1)x+，使得210xx+−C.(,1)x−，使得210xx+−D.[1)x+，使得210xx+−【答案】B【解析】【分析】根据全

称量词命题的否定原理可直接得到结果.【详解】根据含全称量词命题的否定原理可知原命题的否定为：)1,x+，使得210xx+−故选：B【点睛】本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.4.圆锥曲线22189xym+=+的离心率12e=，则m的值为（

）A.54−B.4C.54−或4D.-2或4【答案】C【解析】【分析】分别在89m+、089m+和80m+三种情况下，根据椭圆和双曲线离心率的求法构造方程求得结果.【详解】若89m+，则89182mem+−==+，解得

：4m=若089m+，则()98192me−+==，解得：54m=−若80m+，则89192me++==，解得：152m=−（舍）综上所述：54m=−或4故选：C【点睛】本题考查根据离心率求解参

数值的问题，易错点是忽略对于曲线类型的讨论，即曲线为焦点在x轴或y轴的椭圆、或曲线为双曲线.5.已知P为以F为左焦点的椭圆22143xy+=上一点，M为线段PF中点，若1||2OM=（其中O为坐标原点），则||PF=（）A.1B.2C.3D.1

或3【答案】C【解析】【分析】根据三角形中位线性质可求得1PF=，利用椭圆定义可求得结果.【详解】设椭圆右焦点为F,MO分别为,PFFF中点1122OMPF==1PF=由椭圆定义可知：4PFPF+=413PF=−=故选：C【点睛】本题考查椭圆焦半径的求解问题，关

键是能够熟练应用椭圆的定义来进行求解.6.直线yxm=−+与圆221xy+=在第一象限内有两个不同的交点，则m的范围是（）A.(1,2)B.(1,3)C.2,12D.2,22【答案】A【解析】【分析】将直线方程与

圆的方程联立，根据交点位置可得1212000xxxx+，由此可解不等式求得结果.【详解】设直线yxm=−+与221xy+=交于()11,Axy，()22,Bxy，则1>0x，20x联立22

1yxmxy=−++=，消去y得：222210xmxm−+−=()221221248100102mmxxmmxx=−−+=−=，解得：12mm的取值范围为()1,2故选：A【点睛】本题考查根据直线与圆的交点个数及位置确定参数范围的问题，关键是能

够通过直线与圆方程联立，根据交点位置确定根与系数关系式所满足的不等式.7.抛物线243xy=的焦点为F，其准线与双曲线2221yxb−=(0)b相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则该双曲线渐近线方程为（）A.yx=B.2yx=C.3yx=D.2yx=【答案】A【解析】【分析

】准线方程和双曲线方程联立可求得交点的横坐标，根据等边三角形高与底边的比例关系可构造方程求得b，得到双曲线方程，进而求得结果.【详解】由抛物线方程知：()0,3F，准线为3y=−由22231yyxb=−−=得：212233bxbbxb+=+=−ABF为等边

三角形233233bb+=，解得：1b=双曲线方程为221xy−=渐近线方程为yx=故选：A【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求解问题，涉及到利用抛物线方程求解交点坐标和准线方程；关键是能够利用等边三角形边与高之间的比例关系构造方程.8.已知双曲线2

2:145xyC-=的左右焦点分别为1F、2F动点A在双曲线左支上，点B为圆22:(2)1Exy++=上一动点，则2||ABAF+的最小值为（）A.131−B.131+C.133−D.133+【答案】D【解析】【分析】根据双曲线定义将所求距离之和转化为14AB

AF++；由三角形两边之差小于第三边可知当,,ABE三点共线时ABAEr−；进一步根据两边之和大于第三边可得当1,,FAE三点共线时11AEAFEF+，由此可知213ABAFEF++；利用两点间距离公式求得1EF，进而得到结果.【详解】

由题意得：()13,0F−，()23,0F，圆心()0,2E−，半径1r=由双曲线定义知：214AFAF−=214ABAFABAF+=++ABAEr−（当且仅当,,ABE三点共线且B在线段AE上时取等号）213ABAFAEAF

+++又11AEAFEF+（当且仅当1,,FAE三点共线且A在线段1EF上时取等号）()()2221330023133ABAFEF++=−−+++=+故选：D【点睛】本题考查双曲线中的距离之和的最值的求解问题，关键是能够利用双曲线定义将问题转化为到另一个焦点距离最

值的问题，进而利用三角形三边关系确定最值取得的点，考查了学生对于距离进行转化的能力.9.有下列几个命题：①“若p，则q”的否命题是“若p，则q”；②p是q的必要条件，r是q的充分不必要条件，则p是r的必要不充分条件；③若“()

pq”为真命题，则命题p，q中至多有一个为真命题；④过点(1,2)的直线和圆221xy+=相切的充要条件是直线斜率为34.其中为真命题的有（）A.①②B.①②③C.①③④D.①②③④【答案】B【解析】【分析】由否命题的定义可知①正确；由推出关系可知②正确；由非命题和且

命题的真假性可确定,pq真假性，得到③正确；由斜率不存在直线也为切线可知充要条件不成立，④错误.【详解】①由否命题定义可知①正确；②qp，rq，qr¿rqp，pr¿p是r的必要不充分条件，②正确；

③()pq为真pq为假,pq至少有一个假命题即,pq至多有一个真命题，③正确；④当过点()1,2直线斜率不存在时，即直线方程为1x=，此时直线与圆221xy+=相切④中所说充要条件不成立，④错误.故选：B【点睛】本题考查命题与简易逻辑部分的相关命题的判定，涉及到四

种命题的形式、充分条件与必要条件的判断、非命题与且命题真假性的判断等知识，属于综合应用类问题.10.设直线(1)ykx=−与抛物线24yx=相交于M、N两点，抛物线的焦点为F，若||2||FMFN=，则k的值为（）A.22B.23C.322D

.332【答案】A【解析】【分析】由直线恒过抛物线焦点可知,,MFN共线，由2FMFN=，结合焦半径公式得到12,xx之间关系；直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理即可求得k.【详解】由抛物线方程得：()1,0F()1ykx

=−恒过定点()1,0()1ykx=−恒过焦点()1,0F，即,,MFN共线设()11,Mxy，()22,Nxy2FMFN=()12121xx+=+1221xx=+联立()214ykxyx=−=消去y得：(

)2222240kxkxk−++=()1222211xxxx=+=，解得：212x=或21x=−（舍）12x=21222415222kxxk++==+=28k=，解得：22k=故选：A【点睛】本题考

查抛物线焦点分弦成比例相关问题的求解，关键是能够通过比例关系得到两交点横坐标之间的关系，进而结合韦达定理求得交点坐标.11.已知双曲线2222:1xyCab−=(0,0)ab，若在双曲线C的渐近线上存在点P使121213PFPFFF−=，则双曲线

C离心率的取值范围是（）A.(1,3)B.(1,3)C.(3,)+D.(3,)+【答案】B【解析】【分析】设2PF与双曲线右支交于Q，结合双曲线定义可证得122PFPFa−，由此可构造不等式求得e的取值范围.【详解】设P为渐近线byxa=上一点，满足121213PFPFFF

−=，2PF与双曲线右支交于Q2211PQPFQFPFQF=−−12122PFPFQFQFa−−=即223ca3cea=，又1e()1,3e故选：B【点睛】本题考查双曲线离心率的取值范围的求解

问题，关键是能够结合双曲线的定义证得双曲线渐近线上的点到两焦点的距离之和小于2a.12.已知斜率为12的直线l与椭圆22:1164xyC+=交于A，B两点，线段AB中点M纵坐标为22−，点(22,2)P在椭圆上，若APB的平分线交线段A

B于点N，则||||PNMN的值MN为（）A.2B.325C.255D.5【答案】C【解析】【分析】利用点差法可求得M坐标，从而得到直线AB方程；将AB方程与椭圆联立求得,AB两点坐标，根据两点连线斜率公式求得,PA

PBkk，由,PAPBkk互为相反数知PN斜率不存在，由此得到N点坐标；利用两点间距离公式求得,MNPN，进而得到结果.【详解】设2,2MMx−，(),AAAxy，(),BBBxy，其中AByy222211641

164AABBxyxy+=+=，两式作差整理可得：11144222BAABMABBAAByyxxxkxxyy−+==−=−=−+−解得：2Mx=22,2M−设直线AB方程为()21222yx+=−

，即222xy=+代入椭圆方程整理得：2210yy+−=，解得：262Ay−−=，262By−+=2626,2A−−−，2626,2B−++32PAk=，32PBk=−直线PN斜率不存在，方程为22x=()22,0N10

2MN=，2PN=2255102PNMN==故选：C【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到点差法的应用、直线与椭圆交点坐标的求解、直线斜率的求解等知识；关键是能够明确当与弦中点有关的问题时，常用点差法来得到中点坐标

与斜率之间的关系.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）13.直线3310xy+−=的倾斜角为________.【答案】56【解析】

【分析】将一般式方程整理为斜截式方程可得直线斜率，由斜率和倾斜角关系求得倾斜角.【详解】由3310xy+−=得：3133yx=−+33k=−倾斜角56=故答案为：56【点睛】本题考查直线倾斜角

的求解问题，关键是能够通过直线方程整理得到直线斜率.14.直线3ykx=+与圆22(2)(3)4−+−=xy相交于M，N两点，若||22MN，则实数k的取值范围是________.【答案】[1,1]−【解析】【分析】由圆的方程可得圆心和半径，利用垂径定理构造

不等式，解不等式求得结果.【详解】由圆的方程知：圆心()2,3，半径2r=圆心到直线3ykx=+的距离221kdk=+222224422422211kMNrdkk=−=−=++11k−即实数k的取值范围为1,1−故答案为：1,1−【点睛】本题考查直线被圆截得弦长的问题

，关键是能够熟练应用垂径定理，将直线被圆截得的弦长表示为222rd−.15.过点()2,2的双曲线()2222:1,0xyCabab−=的左右焦点为1,F2F，过2F作x轴的垂线与C相交于,AB两点，

1FB与y轴相交于D.若1ADFB⊥，则双曲线C的方程为________.【答案】22124xy−=【解析】【分析】根据垂直关系可得10ADFB=，根据数量积的坐标运算可构造关于,ac的齐次方程求得离心率e，即可

得到,ac关系；利用双曲线过点()2,2，222cab=+可构造方程组求得结果.【详解】令xc=，代入双曲线方程得：2,bAca，2,bBca−//ODAB，O为12FF中点OD为

12FBF中位线22122bODBFa==20,2bDa−23,2bADca=−−，212,bFBca=−1ADFB⊥10ADFB=，即()222422223322022cabccaa−−+=−+=422431030ca

ca−+=4231030ee−+=，解得：23e=或213e=（舍）3e=，即3ca=又22222441abcab−==+22a=，24b=双曲线C的方程为：22124xy−=故答案为：22124xy−=【点睛】本

题考查直线与双曲线综合应用问题，关键是能够根据已知中的垂直关系得到两向量的数量积为零，进而通过坐标运算构造方程求得离心率，即,ac之间的关系.16.已知抛物线()2:20ypxp=，过点()1,0的直线l和抛物线交于,AB两点，且有4OAOBAB

kkkp=，C为抛物线上异于,AB的一点，若ABC的重心恰为抛物线焦点，则p的值为________.【答案】4【解析】【分析】将直线方程与抛物线方程联立得到韦达定理的形式，将韦达定理结论代入4OAOBAB

kkkp=，可整理求得ABk，由此可得到AB中点坐标；根据重心的性质可知23CFCM=，由此构造方程求得结果.【详解】设():1ABABykx=−，与抛物线方程联立得：()2222220ABABABkxkpxk−++=设()11,Axy，()22,

Bxy，则212222ABABkpxxk++=，121=xx()()()22221212121211ABABABAByykxxkxxkxxk=−−=−++()22121222224OAOBABABA

BABABAByykkkkkkkppkpxx==−−=−=2ABk=−():21AByx=−，1242pxx++=AB中点4,42ppM+设2,2yCyp，抛物线焦点,02pF

ABC的重心恰为抛物线焦点23CFCM=即2224,,223422pypypyypp+−−=−−，即2242263233pypypppyy+−=−−=−，解得

：44py==−p的值为4故答案为：4【点睛】本题考查直线与抛物线综合应用问题，涉及到韦达定理的应用、三角形重心的性质应用等知识；关键是能够将直线与抛物线联立，得到韦达定理的形式，通过韦达定理的结论求得所给直线的斜率.三、解答题：（本大题共6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卡

上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17.已知22:126xypmm+=−−表示焦点在y轴上的椭圆；22:135xyqmm−=−−表示双曲线.（1）试写出p的一个必要不充分条件；（2）若pq为假命题，且pq为真命题，求实数m的取值范围.【答案】（1）()2,5（答案不唯

一）；（2）()2,34,5.【解析】【分析】（1）根据焦点在y轴椭圆标准方程的特征可得不等式求得m范围；由必要不充分条件的推出关系可知所求条件为以()2,4为真子集的区间，由此得到结果；（2）根据椭圆与双曲线的标准方程特征求得,pq分别为真命题时m对应的范围；由复合命题真假性知,pq一真一假

，由此讨论两种情况得到结果.【详解】（1）若p为真，则有620mm−−，解得：24m故p成立的一个必要不充分条件为以()2,4为真子集的区间一个必要不充分条件为()2,5（2）若q为真，则有()()350mm

−−，解得：35m由pq为假，且pq为真可知,pq一真一假若p真q假，则有2435mmm或，解得：23m若p假q真，则有2435mmm或，解得：45m综上所述，()2,34,5m【点睛】

本题考查必要不充分条件的求解、根据复合命题真假性求解参数范围的问题；涉及到曲线表示椭圆和双曲线的基本特征；关键是能够通过复合命题的真假性确定两个命题的真假性.18.设直线l的方程为(1)20xaya+−−=()a

R.（1）若直线l与直线:280laxy+−=平行，求实数a的值；（2）设直线l与圆22:670Cxyx+−−=相交于A、B两点，当弦长||AB取得最小值时，求直线l的方程.【答案】（1）1−；（2）112yx=+.【解析】【分析】（1）由两直线平行可构造方程

求得a，验证排除重合的情况即可得到结果；（2）由垂径定理可知若AB最小，则圆心C到直线l的距离d最大；根据直线过定点()2,2P可得CPl⊥时距离d最大，由此可得直线l的斜率，从而得到直线方程.【详解】（1）//ll()121aa=−，解得：1a=

−或2a=当1a=−时，:220lxy−+=，:280lxy−+=满足题意，当2a=时，:40lxy+−=，:40lxy+−=，此时两直线重合，不满足题意.综上所述：1a=−（2）圆C的方程可化为：()22316xy−+=圆心

()3,0C，半径4r=222ABrd=−2216d=−要使弦长AB最小，则圆心C到直线l的距离d最大由题可知：直线()():20lxyay−+−=过定点()2,2P当且仅当CPl⊥时距离d最大，此时l的斜率为112CPk−=故直线l的方程为：()1222yx−

=−，即112yx=+【点睛】本题考查直线与圆部分知识的综合应用问题，涉及到根据两条直线平行求解直线方程、直线被圆截得弦长的相关问题的求解；关键是能够明确直线被圆截得弦长等于222rd−，由此确定弦长的最

值与圆心到直线距离d的关系.19.已知双曲线222221xyCab−=的离心率为53，点(3,0)是双曲线的一个顶点.（1）求双曲线的方程；（2）经过的双曲线右焦点2F作倾斜角为30直线l，直线l与双曲线交于不同的A，B

两点求AB的长.【答案】（1）22136xy−=；（2）1635.【解析】【分析】（1）由离心率和顶点可得到关于,ac的方程，再结合222bca=−即可求得标准方程；（2）将直线方程代入双曲线方程得到韦达定理的形式，利用

弦长公式求得结果即可.【详解】（1）双曲线2222:1xyCab−=的离心率为3，点()3,0是双曲线的一个顶点33caa==，解得：3c=2226bca=−=双曲线的方程为22136xy−=（2）双曲线22136xy−=的右焦点为()23,0F直线l的方程为()333yx

=−联立()22136333xyyx−==−得：256270xx+−=设()11,,Axy()22,Bxy，则1265xx+=−，12275xx=−2162714355AB=+−−−1635=【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解、

直线被双曲线截得弦长的求解问题；考查了双曲线的几何性质、弦长公式的相关知识，属于基础应用问题.20.已知椭圆2222:1xyCab+=(0)ab的离心率为22，其左、右焦点分别为1F、2F，过2F且垂直于x轴的直线交椭圆C于点D，21DF=.（1）求椭圆

C的方程；（2）过1F的直线l交椭圆C于A、B两点，若112AFFB=，求AOB的面积.【答案】（1）22142xy+=；（2）3148.【解析】【分析】（1）由离心率、半通径长和椭圆222abc=+可构造方程组求得22,ab，从

而得到所求方程；（2）当l与x轴重合时显然不合题意；当l与x轴不重合时，将直线方程与椭圆方程联立得到韦达定理的形式；结合焦点分弦所成比例可构造关于12,,yyt的方程组，求得t；由11212AOBSOFyy=−，结合韦达定理可求得结果.【详解】（1）由题意得：22222221

ceabDFaabc=====+，解得：2242ab==椭圆C的方程为22142xy+=（2）由（1）知：()12,0F−当l和x轴重合时，()2,0A−，()2,0B，则,,AOB共线，不满足题意当l和x轴不重合时，设：:2l

xty=−联立22:142xyC+=消去x整理得：()2222220tyty+−−=设()11,,Axy()22,Bxy，则122222tyyt+=+…①，12222yyt−=+…②由112AFFB=

可得：122yy=−…③由①②③消去1,y2y可解得：227t=()2112121212422AOBSOFyyyyyy=−=+−2222131428tt+==+【点睛】本题考查椭圆方程的求解、椭圆内三角形面积的求解问题，涉及到焦点分弦成比例的问题；关键是能够通过韦达定理形式与向

量坐标运算构造出方程组，求得变量t，从而将所求三角形面积利用韦达定理的形式表示出来，代入t的值即可求得结果.21.设抛物线2:4Cyx=的焦点为F，过F且斜率为(0)kk的直线l与C交于A，B两点，||8AB=.（1）求l的方

程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程.【答案】（1）1yx=−；（2）22(3)(2)16xy−+−=或22(11)(6)144xy−++=.【解析】【分析】（1）将直线方程与抛物线方程联立得到12xx

+，根据椭圆焦点弦长公式构造等量关系，代入12xx+可得关于直线斜率k的方程，解方程求得k，从而得到所求直线方程；（2）由圆心在直线AB的垂直平分线上、圆心到抛物线准线的距离等于半径可构造方程组求得圆心坐标和半径，进而得到所求圆的方程.【详解】（1

）由题意得：()1,0F，l的方程为()()10ykxk=−由2(1)4ykxyx=−=，得()2222240kxkxk−++=，则216160k=+设()11,,Axy()22,Bxy212224kxxk++=()()1211ABAFBFxx=+=+++22448kk+

==，解得：1k=−（舍去）或1k=l的方程为1yx=−（2）由（1）得：AB的中点坐标为()3,2AB的垂直平分线方程为()23yx−=−−，即5yx=−+设所求圆的圆心坐标为()00,xy则()()0022000511162yxyxx=−+−++=+，

解得：0032xy==或00116xy==−所求圆的半径4r=或12所求圆的方程为()()223216xy−+−=或()()22116144xy−++=【点睛】本题考查根据椭圆焦点弦长求解参数值、圆的标准

方程的求解问题；已知两点及圆的切线求解圆的方程时，通常采用待定系数法，利用圆心在两点连线的垂直平分线上、圆心到切线的距离等于半径来构造方程组求得结果.22.如图所示，椭圆2222:1xyEab+=(0)ab的右焦点为F，双

曲线22221xyab−=的渐近线分别为1l和2l，过点F作直线2ll⊥于点C，直线l与1l交于点P、与椭圆E从上到下依次交于点A，B.已知直线1l的倾斜角为30，双曲线的焦距为8.（1）求椭圆E的方程；（2）设1,PAAF=2PBBF=，证明：12

+为定值.【答案】（1）221124xy+=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由渐近线倾斜角与斜率关系及焦距可构造方程求得22,ab，进而得到椭圆方程；（2）将直线l方程与渐近线方程联立可求得6Py=，利用定比分点公式表示

出12,，则可得到()12121262yyyy++=−+；将直线l方程与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，代入12+中，整理可得定值.【详解】（1）由题意得：223tan30316baab==+=，解得：22124ab==

椭圆E的方程为221124xy+=（2）由（1）知：()22,0F，则直线l的方程为()322yx=−与33yx=联立解得：6Py=设()11,,Axy()22,Bxy则由题知：11111PPyyyyy−==−−，同理221Ryy=−()12121262yyyy

++=−+由221223312xyxy=++=得：210424033yy+−=则12462631053yy+=−=−，12461053yy=−=−1226562065−+=−+=−，为定值【点睛】本题考查直线与圆锥曲线综

合应用问题，涉及到双曲线的简单几何性质、椭圆方程的求解、直线与椭圆位置关系中的定值问题的求解；求解定值问题的关键是能够利用变量表示出所求式子，进而通过消元、化简等方式消去变量得到定值.