【文档说明】四川省成都市高新区2021届高三下学期3月月考理科数学试题含答案.docx，共(11)页，631.611 KB，由小赞的店铺上传

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成都市高新区2018级高三3月月考数学试题（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合ln(2)0Axx=−，22950Bxxx

=−−，则AB=A．()2,5B．)2,5C．)3,5D．()3,52．设复数z满足(1)4izi+=，则z=A．1B．2C．2D．223．已知等比数列na的前n项和为nS，若334a=，3214S=，则na的公比为A．13−或12B．13或12−C．

3−或2D．3或2−4．为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本，其中城镇户籍与农民户籍各50人；男性60人，女性40人.绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图（如图所示），其中阴影部分

表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是A．是否倾向选择生育二胎与户籍有关B．是否倾向选择生育二胎与性别无关C．倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同D．倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数5．若向量a，b满足2a=，1b

=，()26aba+=，则cos,ab=A．32B．12C．12−D．32−6．已知焦点为F的抛物线22(0)ypxp=上有一点(,22)Am，以A为圆心，||AF为半径的圆被y轴截得的弦长为25，则m=A．2或2−B．2C．

1D．1或1−7．已知平面,，直线,lm，且有l⊥，m，给出下列命题：①若//，则lm⊥；②若//lm，则⊥；③若⊥，则//lm；④若lm⊥，则//.其中正确命题有A．①④B．①②C．②③D．③④8．已知257log2,l

og2,0.5aabc−===，则,,abc的大小关系为A．cbaB．abcC．bacD．cab9．将偶函数()cos2fxx=的图象向右平移6个单位，得到()ygx=的图象，则()gx的一个单调递增区间为A．ππ,36−B．π7

π,1212C．π2π,63D．π5π,3610．已知函数()2fxaxxa=−+，“函数()fx在()0,2上有两个不相等的零点”是“1142a”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要

条件D．既不充分也不必要条件11．已知双曲线C：22221xyab−=(0a，0b)的左､右焦点分别为1F，2F，且以12FF为直径的圆与双曲线C的右支交于Q，直线1FQ与C的左支交于P，若12FPPQ=，则双曲线C的离心率为A．52B．62C．3D．512．已知111ln20x

xy−−+=，22242ln20xy+−−=，记()()221212Mxxyy=−+−，则M的最小值为A．25B．45C．85D．125第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若实数,xy满足不等式组40,2380,1

,xyxyx+−−−则目标函数3zxy=−的最大值为▲．14．nxx)12(+的展开式中各项系数之和为81，则展开式中x的系数为▲．15．已知圆台内有一个球，该球与此圆台的上下两个底面及母线都相切，若圆台的上，下两个底面的半径分

别为1,4，那么这个球的体积为▲．16．已知数列na的前n项和为nS，数列nb的前n项和为nT，满足()12,3,nnaSnmamR==+，且nnabn=.则2a=▲；若存在nN，使得2n

nTT+成立，则实数的最小值为▲．三、解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(本小题满分12分)已知在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，且()()sinsin2sinabAcCabB+=+−.（1）求

角C的大小；（2）若2c=，求ABC面积的最大值.18．(本小题满分12分)2020年是让人难忘的一年，为了战胜疫情，全国人民万众一心，同舟共济，众志成城.隔离期间，教育部门倡导学生停课不停学，建议学生在家进行网课学习，为了解全校高中学生在家上网课的时

长，随机从高一高二两个年级中各选择了10名同学，统计了学生在家一周上网课的时长，统计结果如下(单位：小时)：其中，高一年级中有一个数据模糊.高一年级高二年级9746a4312001234260122670（1）若高一年级的平均时长小于高二年级的

平均时长，设aZ，求图中a的所有可能值；（2）将两个年级中学习时长超过25小时的学生称为“学习达人”.设1a=，现从所有“学习达人”中任选3人，求高一年级的人数X的分布列和数学期望；（3）记高二年级学习时间的方差为21S，若在高二年

级中增加一名学生A得到一组新的数据，若该名学生的学习时长为20，记新数据的方差为22S，比较21S与22S的大小(直接写结论).19．(本小题满分12分)如图所示，四棱柱1111ABCDABCD−的底面是菱形，侧棱垂直于底面，点E，F分别在棱

11,AACC上，且满足113AEAA=，113CFCC=，平面BEF与平面ABC的交线为l.（1）证明：直线l⊥平面1BDD；（2）已知12,4EFBD==，设BF与平面1BDD所成的角为，求sin的取

值范围.20．(本小题满分12分)已知椭圆C：22221(0)xyabab+=的左、右顶点分别为12,AA，上、下顶点分别为12,BB，四边形1122ABAB的面积为43，坐标原点O到直线11AB的距离为221

7.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C相交于A，B两点，点P为椭圆C上异于A，B的一点，四边形OAPB为平行四边形，探究：平行四边形OAPB的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.21．(本小题满分12分)已知函数1()1xfxaex−=−−.（1）当aR时，讨论函数

()fx的单调性；（2）当0a时，若()lnlngxxxa=−−，且()()fxgx在0x时恒成立，求实数a的取值范围.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做题的第一题记分.作答时请将答题纸上所选题目对应题号后的方框涂

黑.22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知曲线1C的参数方程为2cos22sinxy==+(为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为4cos=.（1）求曲线

1C与曲线2C两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线1l过点()1,2P且与直线l:2sin16+=平行，直线1l与曲线1C相交于A，B两点，求11PAPB+的值.23．（本小题满分10

分）选修4-5：不等式选讲已知函数()22fxxx=−++.（1）求不等式()24fxx+的解集；（2）若()fx的最小值为k，且实数,,abc，满足()abck+=，求证：22228abc++.数学试卷（理科）参考答案一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．

123456789101112CDACBBBCAADB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．1214．2415．32316．613（第一空2分，第二空3分.）三、解答题：本大题共6个小题，共70分.17．(本小题满分12分)解：（1）因为()()sinsin2si

nabAcCabB+=+−，由正弦定理，可得()()22abacabb+=+−，整理得222abcab+−=，2分又由余弦定理，可得2221cos222abcabCabab+−===，4分又因

为()0,C，所以3C=.6分（2）由（1）知222abcab+−=，又由2c=，可得224abab+=+.8分因为222abab+，当且仅当ab=时等号成立，所以4ab，

10分所以11sin4sin3223ABCSabC==△，即ABC面积的最大值3.12分18．(本小题满分12分)解：（1）高一年级10名同学学习时长的平均值为1X，则：11196(7914162223

24303220)1010aXa+=++++++++++=；1分高二年级10名同学学习时长的平均值为1X，则：21(4121620212222262730)2010X=+++++++++=.2分因为高一年级的

平均时长小于高二年级的平均时长，所以196200a+，解得4a，3分解得0a=或1a=或2a=或3a=.4分（2）因为1a=，所以高一年级的“学习达人”有2人，高二年级的“学习达人”有3人.由题意，随机变量X的所有可能取值

为：0，1，2，则：3122132323333555133(0),(1),(2)10510CCCCCPXPXPXCCC=========.7分所以随机变量X的分布列为：8分所以336()125105EX=+=.10分（3）2212SS.

12分19．（(本小题满分12分)解：（1）如图，连接AC，与BD交于点O.由条件可知//AECF，且AECF=，所以//ACEF，因为EF平面BEF，所以//AC平面BEF.2分因为四棱柱1111ABCDABCD−的底面是菱形

，且侧棱垂直于底面，所以ACBD⊥，1ACBB⊥，又1BDBBB=，所以AC⊥平面1BDD，4分因为平面BEF平面ABCl=，所以//ACl.所以l⊥平面1BDD.6分（2）如图所示，以O为坐标原点，分别以OB，OC的

方向为x，y轴的正方向建立空间直角坐标系.设2BDa=，因为1BDBD，所以02a.则OBa=，2221124DDBDBDa=−=−.所以(,0,0)Ba，(0,1,0)C，220,1,43Fa

−.由（1）可知(0,1,0)OC=是平面1BDD的一个法向量，7分而22,1,43BFaa=−−，8分所以sincos,OCBFOCBFOCBF==()222134255149aaa==+

++−，10分当02a时，253355255a+，即53sin,55.12分20．(本小题满分12分)解：（1）直线11AB的方程为1xyab−+=，1分由题意可得22

243?1221711abab==+，解得23ab==，3分∴椭圆C的方程为22143xy+=4分（2）当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为1x=，此时3OAPBS=

6分当直线AB的斜率存在时，设AB：ykxm=+，11(,)Axy，22(,)Bxy，联立22143xyykxm+==+，可得222(43)84120kxkmxm+++−=，7分则2248(43)0km=−+，122843kmxxk+=−+，21224124

3mxxk−=+，8分()121226243myykxxmk+=++=+，∵四边形OAPB为平行四边形，∴OAOBOP+=，∴2286,4343kmmPkk−++，∵点P在椭圆上，∴2222864343

143kmmkk−+++=，整理得2234mk=+，10分22221224343||1143kmABkxxkk−+=+−=++11分原点O到直线AB的距离2||1mdk=+，22243||43||343OAPBmkmSABdk−+=

==+，综上，四边形OAPB的面积为定值3.12分21．(本小题满分12分)解：（1）1()1xfxae−=−，①当0a时，()0fx恒成立，即函数()fx在(,)−+递减；2分②当0a

时，令()0fx，解得1lnxa−，令()0fx，解得1lnxa−，即函数()fx在(1ln,)a−+上单调递增，在(,1ln)a−−上单调递减.4分综上，当0a时，函数()fx在(,)−+递减；当0a时，函数()fx在(1ln,)a−+上单调递增，在()

,1lna−−上单调递减.5分（2）由题意，即当0a时()()0fxgx−在0x时恒成立，即1lnln10xaexa−−+−在0x时恒成立.记1()lnln1xhxaexa−=−+−，则(1)ln10ha

a=+−，6分记()ln1aaa=+−，1()10,()aaa=+在(0,)a+递增，又(1)0=，当(1)ln10haa=+−时，得1a.8分下面证明：当1a时，1()lnln10xhxaexa−

=−+−在0x时恒成立.因为11()lnln1ln1xxhxaexaex−−=−+−−−.所以只需证1ln10xex−−−在0x时恒成立.10分记1()ln1xTxex−=−−，所以1

1(1)0,()xTTxex−==−，又121()0xTxex−=+，所以()Tx在(0,)+单调递增，又(1)0T=，所以(0,1),()0xTx，()Tx单调递减；(1,),()0xT

x+，()Tx单调递增，11分所以min()(1)0TxT==，∴()0Tx在(0,)+恒成立.即1()lnln10xhxaexa−=−+−在0x时恒成立.综上可知，当()()f

xgx在0x时恒成立时，实数a的取值范围为1a.12分22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解：（1）由2cos22sinxy==+(为参数)，消去参数，得曲线1C的普通方程为：22(2)4xy+−=，2分由4c

os=，得24cos=，得曲线2C的直角坐标方程为：224xyx+=，即22(2)4xy−+=.3分所以两方程相减可得交线为yx=，4分所以直线的极坐标方程为4=()R.5分（2）由l:2sin16

+=，得3sincos1+=，∴直线l的直角坐标方程：31xy+=，6分直线l的斜率为33−，所以直线1l的斜率为33−，倾斜角为56，所以直线1l的参数方程为312122x

tyt=−=+(t为参数)7分将直线2l的参数方程代入曲线1C，22(2)4xy+−=中，得2330tt−−=.设A，B两点的参数为1t，2t，∴123tt+=，123tt=−，

则1t，2t异号.8分∴1212121211113ttttPAPBtttt+−+=+==()2121241533tttt+−==.10分23．（本小题满分10分）选修4-5不等式

选讲解：（1）①当2x−时，不等式即为224xx−+，解得1,2xx−−；1分②当22x−时，不等式即为424x+，020xx−；2分③当2x时，不等式即为224xx+，x.3分综上，不等式()24fxx+的解

集为(,0]−.5分（2）由绝对值不等式的性质可得：|2||2||(2)(2)|4xxxx−++−−+=7分当22x−时，()fx取最小值4，即4,()4kabc=+=，即4abac+=()()222222

22228abcabacabac++=++++=9分当且仅当2abc===时等号成立.10分