【文档说明】江苏省扬州市2023届高三上学期期末考试数学试卷 含答案.docx，共(12)页，1.136 MB，由小赞的店铺上传

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江苏省扬州市2022-2023学年度上学期期末考试题高三数学2023.01试卷满分：150分，考试时间：120分钟一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.

（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）1．已知复数3iz=（i为虚数单位），则22zz−的共轭复数的模是（）A．1B．3C．5D．72．已知集合()ln12,Z3sinAxxByyx=+==，则AB=（）A．0,1,2,3B．0,3C．3D．

3．设123,,aaaR，则“123,,aaa成等比数列”是“()()()2222212231223aaaaaaaa++=+”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．某中学全体学生参加了数学竞赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取

的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，每组数据以组中值（组中值=(区间上限+区间下限)/2）计算），下列说法正确的是（）A．直方图中x的值为0.035B．在被抽取的学生中，成绩在区间)70,80的学生数为30人C．估计全校

学生的平均成绩为83分D．估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为95分5．已知π0,2，且tan32πcos4+=，则sin2=（）A．13−B．16C．13D．236.在平面直角坐标系xOv中

，M为双曲线224xy−=右支上的一个动点，若点M到直线20xy−+=的距离大于m恒成立，则实数m的最大值为（）A.1B.2C.2D.227．如图是一个由三根细棒PA、PB、PC组成的支架，三根细棒PA、PB、PC两两所成的角都为6

0，一个半径为1的小球放在支架上，则球心O到点P的距离是（）A．32B．2C．3D．28．已知函数()fx及其导函数()fx的定义域均为R，且()52fx+是偶函数，记()()gxfx=，()1g

x+也是偶函数，则()2022f的值为（）A．－2B．－1C．0D．2二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（请将所有

选择题答案填到答题卡的指定位置中.）9．如图，在正方体1111ABCDABCD−中，E为1AA的中点，则（）A．11//AD平面BECB．1AB⊥平面BECC．平面11AABB⊥平面BECD．直线1DD与平面BEC所成角的余弦值为551

0．已知函数()()2πsin02fxx=+的一条对称轴为π3x=，则（）A．()fx的最小正周期为πB．()104f=C．()fx在π2π,33上单调递增D．π6xfx−11．已知数列na

中，12a=，()21212nnaa+=++−，则关于数列na的说法正确的是（）A．25a=B．数列na为递增数列C．221nann=+−D．数列11na+的前n项和小于3412．已知函数()sin

fxx=，()()0gxkxk=，若()fx与()gx图象的公共点个数为n，且这些公共点的横坐标从小到大依次为1x，2x，…，nx，则下列说法正确的有（）A．若1n=，则1kB．若3n=，则33321

sin2xxx=+C．若4n=，则1423xxxx++D．若22023k=，则2024n=三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.）13．已知52212xax+展开式中的各项系数和为243，则其展开式中含2x项的系数为__

___.14．已知()()2,1,3,ababa==−−⊥,则a与b的夹角为__________．15．已知()()12,0,,0FcFc−为椭圆2222:1xyCab+=的两个焦点，P为椭圆C上一点（P不在y轴上），12PFF△的重心为G，内心为M，且12//

GMFF，则椭圆C的离心率为___________．16．对于函数()fx和()gx，设{|()0}xfx=，{|()0}xgx=，若存在、，使得||1−，则称()fx与()gx互为“零点相邻函数”.若函数1()e2−=+−xfxx与2()3gxxaxa=−−+互为“零点相邻函

数”，则实数a的取值范围为______.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中.）17．已知数列na满足，12(1)nnnaa+=+−.(1)若11a=，数列2na的通项公式；(

2)若数列na为等比数列，求1a.18．记锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinsintancoscosACBAC+=+．(1)求B；(2)求()2acab−的取值范围．19．密室逃脱可以因不同的设计思路衍生出不同的主题，从古墓科考到蛮荒探险，从窃取

密电到逃脱监笼，玩家可以选择自己喜好的主题场景在规定时间内完成任务，获取奖励．李华参加了一次密室逃脱游戏，他选择了其中一种模式，该游戏共有三关，分别记为A，B，C，他们通过三关的概率依次为：211,,323．若其中某一关不通过，则游戏停止，

游戏不通过．只有依次通过A，B，C三道关卡才能顺利通关整个游戏，并拿到最终奖励．现已知参加一次游戏的报名费为150元，最终奖励为400元．为了吸引更多的玩家来挑战该游戏，商家推出了一项补救活动，可以在闯关前付费购买通关币．游戏中，若某关卡不通过，则自动使用一枚通关币通过该关卡进入下一关．购

买一枚通关币需另付100元，游戏结束后，剩余的未使用的通关币半价回收．(1)若李华同学购买了一枚通关币，求他通过该游戏的概率．(2)若李华同学购买了两枚通关币，求他最终获得的收益期望值．（收益等于所得奖励减去报名费与购

买通关币所需费用）．20．图1是直角梯形ABCD，ABCD，90D=，2AB=，3DC=，3AD=，2CEED=，以BE为折痕将BCE折起，使点C到达1C的位置，且16AC=，如图2.(1)求点D到平面1BCE的距离；(2)若113DPDC=u

uuruuur，求二面角PBEA−−的大小.21．已知点()1,2Q是焦点为F的抛物线C：()220ypxp=上一点．(1)求抛物线C的方程；(2)设点P是该抛物线上一动点，点M，N是该抛物线准线上两个不同的点，且PMN的内切圆方程为221xy+=，求PMN面积的最

小值．22．已知函数()lnfxxaxa=−+，其中Ra．(1)讨论函数()fx的单调性；(2)若()fx在(0,1上的最大值为0，①求a的取值范围；②若2()31fxkxax−+恒成立，求正整数k的最小值．参考答案：1．C【详解】因为3iiz==−

，所以22212i112iizz−=+=+=+−，所以22zz−的共轭复数为12i−，12i5−=，所以22zz−的共轭复数的模是5.2．A【详解】由()ln12x+，可得201ex+，则21e1Axx=−−∣又Z3si

n3,2,1,0,1,2,3Byyx===−−−，所以0,1,2,3AB=.3．A【详解】①若123,,aaa成等比数列，则2213aaa=，所以()()22221223aaaa++()()22113133aaaaaa=++()()113133aaaaaa=++(

)21313aaaa=+()22132aaa=+()2132aaa=+()21223aaaa=+；②若1230aaa===,满足()()()2222212231223aaaaaaaa++=+，但是不满足123,,aaa成等比数列（因为等比数列中不能含有0）“123,,aa

a成等比数列”是“()()()2222212231223aaaaaaaa++=+”的充分不必要条件，4．D【详解】对于A：根据学生的成绩都在50分到100分之间的频率和为1，可得10(0.005+0.01+0.015+x+0.040)=1，解得x=0.03，故A错误；对于B：在被抽

取的学生中，成绩在区间)70,80的学生数为100.015400=60人，故B错误；对于C：估计全校学生的平均成绩为550.05+650.1+750.15+850.3+950.4=84分；故C错误.对于D：全校学生成绩的样本数据的

80%分位数约为0.29010950.4+=分.故D正确.5．D【详解】设π4+=，π3π,44，则π4=−，tan32πcos4+=，即πtan3cos23sin22=−=，sin6sincoscos=，sin0，故2

1cos6=，22sin2sin2cos212cos23=−=−=−=.6.B【详解】由点M到直线20xy−+=的距离大于m恒成立，可得点M到直线20xy−+=的最近距离大于m.因为双曲线的渐近线为yx=，则yx=与20xy−+=的距

离222d==即为最近距离，则2m，即max2m=.7．C【详解】如图所示，连接,,ABACBC，作ABC所在外接圆圆心1O，连接1,AOAO，设PAx=，由PA、PB、PC两两所成的角都为60可得ABACBCx===，因为1

O为ABC几何中心，所以132332333AOABABx===，易知对1PAO△和POA，1,90PPPOAPAO===，所以1PAOPOA△≌△，所以1PAPOAOAO=，即133xPOx=，解得3PO=.故选：C8．C【详解】因为()52

fx+是偶函数，所以(52)(52)fxfx−+=+，两边求导得5(52)5(52)fxfx−−+=+，即(52)(52)fxfx−−+=+，所以(52(52)gxgx+=−−+），即()(4)gxgx=−−+，令2x=可得(2

)(2)gg=−，即(2)0=g，因为()1gx+为偶函数，所以(1)(1)gxgx+=−+，即()(2)gxgx=−+，所以(4)(2)gxgx−−+=−+，即()(2)gxgx=−+，(4)(2)()gxgxgx+=−+=，所以4是

函数()gx的一个周期，所以(2022)(2022)(50542)(2)0fggg==+==,9．ACD10．ABD【详解】因为函数21cos(22)11()sin()cos(22)222xfxxx−+=+==−++，因为函数

()()2πsin02fxx=+的一条对称轴为3x=，所以π22π,()3kk+=Z，解得：ππ,()23kk=−Z，又因为π02，所以π1,6k==，则1π1

()cos(2)232fxx=−++，对于A，函数()fx的最小正周期πT=，故选项A正确；对于B，1111(0)2224f=−+=，故选项B正确；对于C，因为π2π33x，所以π5ππ<2+33x，因为函数cosyt=−在5π(π,)3上单调递减，

故选项C错误；对于D，因为π11()cos2622fxx−=−+，令π11()()cos2622gxxfxxx=−−=+−，当0x时，11()cos222gxxx=+−，则()1sin20gxx=−，所以()gx在[0,)+上

单调递增，则()(0)0gxg=，也即π()6xfx−，当0x时，11()cos222gxxx=−+−，则()1sin20gxx=−−，所以()gx在(,0)−上单调递减，则()(0)0gxg=，也即π()6x

fx−−，综上可知：6xfx−恒成立，故选项D正确，11．BCD【详解】由()21212nnaa+=++−，得()21221nnaa++=++，即1221nnaa++=++，又12a=，122a+=所以2na+是以2为首项，1为公差的等差数列，所以22(1)11na

nn+=+−=+，即221nann=+−，所以27a=，故A错误，C正确；()212nan=+−，所以na为递增数列，故B正确；()211111112222nannnnnn===−++++，所以

数列11na+的前n项和为11111111111...232435112nnnn−+−+−++−+−−++1111311131221242124nnnn=+−−=−+++++，故D正

确.12．BCD【详解】对于A：当1k=时，令sinyxx=−，则cos10yx=−，即函数sinyxx=−有且仅有一个零点为0，同理易知函数sinyxx=−−有且仅有一个零点为0，即()fx与()gx也恰有一个公共点，故A错误；对于B：当3n=时，如下图：易知在3xx=，且()3,2x，

()fx与()gx图象相切，由当(),2x时，()sinfxx=−，则()cosfxx=−，()gxk=，故333cossinkxxkx=−−=，从而33tanxx=，所以()222333332333333cos

1tan1tan112tantantancostansin2xxxxxxxxxxx+++=+===，故B正确；对于C：当4n=时，如下图：则10x=，42x，所以142xx+，又()fx图象关于x=对称，结

合图象有32xx−−，即有32142xxxx++，故C正确；对于D：当22023k=时，由20232023()122fg==，()fx与()gx的图象在y轴右侧的前1012个周期中，每个

周期均有2个公共点，共有2024个公共点，故D正确.13．8014.π415.12【详解】设()()000,0Pxyx，由于G是12PFF△的重心，由重心坐标公式可得00,33xyG，由于12//GMFF，所以M的纵坐标为03Myy=，由于M是12PFF△的内心，所以1

2PFF△内切圆的半径为03yr=，由椭圆定义得12212,2PFPFaFFc+==，()2121210120122111223PFFMFFMFPMPFySSSSFFyFFPFFP=++=++，()001222232ycyacace=+==16．23a【详解】因为(1)0f=

，且函数1()e2−=+−xfxx为单调递增函数，所以1为函数1()e2−=+−xfxx的唯一零点，设函数2()3gxxaxa=−−+的零点为b，又因为函数1()e2−=+−xfxx与2()3gxxaxa=−−+互为“零点相邻函数”

，所以|1|1b−，解得02b，所以函数2()3gxxaxa=−−+在(0,2)上有零点，所以(0)(2)0gg或()2022Δ430aaa=−−+=或()()()2022Δ4

300020aaagg=−−+，即733a或2a=或23a，所以23a.17．【详解】（1）由题意得()121nnnaa+−=−，所以()()()22212122211nnnnnaaaaaaaa−−−=−+−++−+()()

()212212121211nn−−=−+−++−+211=−+=−.（2）设数列na的公比为q，因为()121nnnaa+=+−，所以212aa=−，322aa=+，两式相加得2311aaqa=

=，所以1q=，当1q=时，2112aaa==−不成立，所以1q=−，2112aaa=−=−，解得11a=.18．【详解】（1）因为sinsintancoscosACBAC+=+，即sinsinsincoscoscosBACBAC+=+，所以sincossincoscossinc

ossinBABCBABC+=+，即sincoscossincossinsincosBABABCBC−=−，所以sin()sin()BACB−=−，因为0πA，0πB，所以ππBA−−，同理得ππ

CB−−，所以BACB−=−或()()πBACB−+−=（不成立），所以2BAC=+，结合πABC++=得π3B=．（2）由余弦定理2221cos22acbBac+−==得，222acacb=+−，所以222acacb−=−，则2222222()1acaacacbcbbb

b−−−===−，由正弦定理得，sin23sinsin3cCCbB==，因为π3B=，2π3AC+=，π02A，π02C，所以ππ62C，1sin12C，所以32333cb

，，2()2133acab−−，．19.【详解】（1）由题意可知：这一枚通关币的使用情况有四种：①在第一关使用；②在第二关使用；③在第三关使用；④没有使用.而通过三关的概率依次为：211,,323，则李华通过该游戏的概率1112112122111323323323

3232P=+++=．（2）购买两枚通关币的费用为200元，报名费为150元，则收益可能为：1400(150200100)150x=−+−=（未使用通关币过关），2400(15020050)100x=−+−=（使用1枚通关币且过关），3400(15

020050）x=−+=（使用2枚通关币且过关），4(150200350）x=−+=−（使用2枚通关币且未过关），则12111(150)3239px===2117(100)2918px==−=31111122127(50)32332332318px==

++=41121(350)3239px=−==则17()150100918Ex=+13255035018997+−=.所以他最终获得的收益期望值是3259元.20【详解】（1）解：如图所示：连接AC，交BE于F，因为90D=，2AB=，3DC=，3AD=，

2CEED=，所以AE=2，又ABCD，所以四边形ABCE是菱形，所以ACBE⊥，在ACD中，2223ACADCD=+=，所以3AFCF==，又16AC=，则2221ACAFCF=+，所以1CFAF⊥，又AFBEF=，所以1CF⊥平面ABED，设

点D到平面1BCE的距离为h，因为1113233,13222CBEDBESS====，且11CDBEDCBEVV−−=，所以111133CBEDBEhSCFS=，解得32h=；（2）由（1）建立如图所示空间直角坐标系：则()()()()133,,0

,0,0,3,0,1,0,0,1,0,3,0,022DCBEA−−，所以()()3,1,0,0,2,0BABE=−=−uuruur，因为113DPDC=uuuruuur，所以133,2,3133BPBDBDDPDC=++=−=uuruuuruuuruuuruuur

，设平面BEP的一个法向量为(),,mxyz=，则00mBEmBP==，即20332033yxyz−=−+=，令1x=，得()1,0,1m=−，易知平面BEA的一个法向量为()0,0,1n=，所以2cos,2mnmnmn==−urrurrurr，则3,4mn=

urr，易知二面角PBEA−−的平面角是锐角，所以二面角PBEA−−的大小为4.21.【详解】（1）因为点()1,2Q是抛物线C：()220ypxp=上一点，所以42p=，解得：2p=，所以24yx=.（2）设点()00,Pxy，点()1,Mm−，点()1,Nn−，直线PM方程为：()0

011ymymxx−−=++，化简得()()()()0000110ymxxyymmx−−++−++=．PMN的内切圆方程为221xy+=，圆心()0,0到直线PM的距离为1，即()()()002200111ymmxymx−++

=−++．故()()()()()()222220000001211ymxymmymxmx−++=−+−+++．易知01x，上式化简得，()()20001210xmymx−+−+=．同理有()()200

01210xnynx−+−+=，m，n是关于t的方程()()20001210xtytx−+−+=的两根．0021ymnx−+=−，()0011xmnx−+=−．()()()()222200200414411xyMNmnmnmnxx+=−=+−=+−−．2004yx=，()

20000220004116412(1)1(1)xxxxMNxxx++−=+=−−−，点()00,Pxy到直线=1x−的距离为01dx=+，所以PMN面积为()()()()()()22200000022004114111212

211xxxxxSMNdxxx+−++−==+=−−，令()010xtt−=，则()()22222444640161032ttttSttttt++++==++++，因为2222161628tttt+=，40401021040tttt+=，当且仅当2t=

取等，所以8403245S++=.故PMN面积的最小值为45．22.【详解】（1）()'1fxax=−，若0a，则有()'0fx＞，()fx单调递增；若0a＞，()'11axafxaxx−=−=，当10xa＜＜时，()'0fx＞，()fx单调递增，当

1xa＞时，()'0fx＜，()fx单调递减；（2）①由（1）的讨论可知，当0a时，()fx单调递增，在(0,1x，()()max10fxf==，满足题意；当11a时，在(0,1x，()()max10fxf==，满足题意；当101a＜＜时，

即1a＞，在(0,1x，()max11ln1ln1fxfaaaaa==−+=−−，令()ln1gxxx=−−，则()'111xgxxx−=−=，当1x＞时，()'gx＞0，()gx单调递增，()()10gxg=＞，即ln10aa−−＞，不满足题意；综上，a的取值范围是1a

；②由题意，1k，2ln31xaxakxax−+−+，即()2ln121kxxax−++，考虑直线()21yax=+的极端情况a=1，则2ln2kxxx+，即2ln2xxkx+，令()2ln2xxhxx+=，()'3122lnxxhxx−−=，显然()122lnkxxx=−−是

减函数，333222124721033eeek=−+=−＞，4413202eek=−＜，∴存在唯一的043211,eex使得()'00hx=，当0xx＞时，()'hx＜0，当0xx＜时，()'hx＞0，00122ln0xx−−=，()()002ma

x012xhxhxx+==，()max43211eehhxh＜＜，即()max24hx＜＜，故k的最小值可能是3或4，验算23ln20xxx−−，由于ln1−xx，223ln2331xxxxx−−−+，

23340=−＜，223ln23310xxxxx−−−+＞，满足题意；综上，a的取值范围是1a，k的最小值是3.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com