【文档说明】四川省泸州市泸县第二中学2020届高三上学期期末考试数学（理）试题【精准解析】.doc，共(23)页，2.038 MB，由管理员店铺上传

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2019年秋四川省泸县第二中学高三期末考试理科数学试题第I卷(选择题共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1.已知集合2{|1}Axx=，集合2{|lo

g0}Bxx=，则AB=（）A.(0,1)B.(1,0)−C.(1,1)−D.(,1)−【答案】A【解析】【分析】先解不等式得集合A与B，再根据交集定义得结果.【详解】根据题意：集合{|11}Axx=−，集合{|01}Bxx=，(0,

1)AB=故选A．【点睛】本题考查一元二次不等式与对数不等式解法以及交集的定义，考查基本分析求解能力，属基础题.2.“()2log231x−”是“32x”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A

【解析】log2（2x﹣3）＜1，化为0＜2x﹣3＜2，解得3522x．∴“log2（2x﹣3）＜1”是“32x”的充分不必要条件．3.小张刚参加工作时月工资为5000元，各种用途占比统计如下面的

条形图.后来他加强了体育锻炼，目前月工资的各种用途占比统计如下面的拆线图.已知目前的月就医费比刚参加工作时少200元，则目前小张的月工资为（）A.5500B.6000C.6500D.7000【答案】A【解析】【分析】根据条形图求得刚参加工作的月就医费，从而求得目前的月就医费；

利用折线图可知目前月就医费占收入的10%，从而可求得月工资.【详解】由条形图可知，刚参加工作的月就医费为：500015%750=元则目前的月就医费为：750200550−=元目前的月工资为：55010%5500=元本题正确选项：A【点睛】本题考查利用统计图

表求解数据的问题，属于基础题.4.ABC中所在的平面上的点D满足2BDDC=，则AD=（）A.3144ADABAC=+B.1344ADABAC=+C.2133ADABAC=+uuuruuuruuurD.123

3ADABAC=+【答案】D【解析】【分析】已知2BDDC=，由向量的减法可得()2ADABACAD−=−，再化简运算即可.【详解】解：因为2BDDC=，所以()2ADABACAD−=−，所以1233ADABAC=+，故选D．【点睛】本

题考查了向量的减法，重点考查了向量的线性运算，属基础题.5.函数()2+lnfxxx=的图像大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先判断函数为偶函数排除BC；再根据当0x→时，()fx→−，排除D得到答案.【详解】()()()222lnlnln()fx

xxxfxxxxfx=+−=−+=+=−，偶函数，排除BC；当0x→时，()fx→−，排除D故选A【点睛】本题考查了函数图像的识别，通过函数的奇偶性和特殊函数点可以排除选项快速得到答案.6.已知平面向量a、b，满足||||1ab==，

若()20abb−=，则向量a、b的夹角为（）A.30°B.45C.60D.120【答案】C【解析】【分析】根据()20abb−=，以及||||1ab==和cos,ababab=，即可求解出,ab的值.【详解】因为()20ab

b−=，所以22abb=，所以22cos,ababb=，所以2cos,1ab=，所以1cos,2ab=rr，所以,60ab=.故选：C.【点睛】本题考查根据向量的模长以及垂直关系求解向量夹角，难度较易.已知向量的模长求解

向量的夹角时，可通过数量积计算公式cos,ababab=进行化简求解.7.已知角的终边经过点()1,3P−，则sin2=A.32B.32−C.12−D.34−【答案】B【解析】【分析】先求出点P到原点的距离，再用三角函数的定义依次算出正、余弦值，利用二倍角公式计算结果即可．【详解】角

的终边经过点p（﹣1，3），其到原点的距离r13=+=2故cos12=−，sin32=∴sin22=sincos1332222−=−=（）.故选B．【点睛】本题考查了任意角三角函数的定义，考查了二倍角公式，属于基础题．8.已知双曲线()222210,0xyab

ab−=的离心率为52，点(4，1)在双曲线上，则该双曲线的方程为A.2214xy−=B.221205xy−=C.221123yx−=D.2218xy−=【答案】C【解析】【分析】根据离心率可得一个方程，结合双曲线过点(4，1)得另一个方程，联立可得.【详解】

因为离心率为52，所以52ca=①；因为点(4，1)在双曲线上，所以221611ab−=②；因为222cab=+③；联立①②③可得2212,3ab==，故选C.【点睛】本题主要考查双曲线方程的求解，根据已知条件建立方

程组是求解的关键，注意隐含关系的挖掘使用.9.数列na中，已知12,a=且121nnaan+=++，则10a=A.19B.21C.99D.101【答案】D【解析】【分析】利用累加法及等差数列的求和公式可求10a.【详解】因为121nnaan+=++，所以213aa=+，

325aa=+，437aa=+10919aa=+.上面各式相加可得1013193519291012aa+=++++=+=，故选D.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，利用累加法求解数列通项公式时注意数列项数的变化.10.将函数()2sin26fxx=+的图像向右平移6

个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()gx的图象，则下列说法正确的是（）A.函数()gx的最大值为31+B.函数()gx的最小正周期为C.函数()gx的图象关于直线3x=对称D.函数()gx在区间2,63上单调递增【答案】D【解析】【分

析】根据平移变换和伸缩变换的原则可求得()gx的解析式，依次判断()gx的最值、最小正周期、对称轴和单调性，可求得正确结果.【详解】函数()fx向右平移6个单位长度得：2sin22sin2666xx−+=−横坐标伸长到原

来的2倍得：()2sin6gxx=−()gx最大值为2，可知A错误；()gx最小正周期为2，可知B错误；3x=时，66x−=，则3x=不是()gx的对称轴，可知C错误；当2,63x时，0,62x−

，此时()gx单调递增，可知D正确.本题正确选项：D【点睛】本题考查三角函数平移变换和伸缩变换、正弦型函数的单调性、对称性、值域和最小正周期的求解问题，关键是能够明确图象变换的基本原则，同时采用整体对应的方式来判断正弦型函数的性质.1

1.已知函数()fx和(2)fx+都是定义在R上的偶函数，当[0,2]x时，()2xfx=，则20192f−=（）A.2B.22C.322D.2【答案】B【解析】【分析】由()fx和(2)fx+都是定义在R上的偶函数，可推导出周期为4，而20192f−=20192f

=(42521.5)(1.5)ff+=，即可计算.【详解】因为(2)fx+都是定义在R上的偶函数，所以(2)(2)fxfx−+=+，即()(4)fxfx=−，又()fx为偶函数，所以()(

)(4)fxfxfx=−=+，所以函数周期4T=，所以20192f−=20192f=(42521.5)(1.5)22ff+==，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，周期性

，利用周期求函数值，属于中档题.12.已知椭圆C：22221xyab+=，()0ab的左、右焦点分别为1F，2F，M为椭圆上异于长轴端点的一点，12MFF的内心为I，直线MI交x轴于点E，若2MIIE=，则椭圆C的离心率是（）A.22B.12C.32D.13【答案】B【

解析】【分析】连接1IF和2IF，分别运用角平分线定理和比例的性质、椭圆的定义和离心率公式，计算可得所求值．【详解】解：12MFF的内心为I，连接1IF和2IF，可得1IF为12MFF的平分线，即有11MFMIFEIE

=，22MFMIFEIE=，可得12122MFMFMIFEFEIE===，即有1212222MFMFaFEEFc===，即有12e=，故选B．【点睛】本题考查椭圆的定义和性质，主要是离心率的求法，考查角平分线定理的运用，以及运算能力，属于基础题．第Ⅱ

卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.若x，y满足约束条件02636xyxy+−，则2zxy=−的最大值为______．【答案】10【解析】【分析】作出不

等式组02636xyxy+−表示的平面区域，利用线性规划知识求解．【详解】作出不等式组02636xyxy+−表示的平面区域如下：作出直线:l20xy−=，当直线l往下平移时，2zxy=−变大，当直线l经过点()2,4A−时，()max22410z=−−=【点睛

】本题主要考查了利用线性规划求目标函数的最值知识，考查作图及计算能力，属于基础题．14.在()52x+的展开式中，3x的系数为．（用数字作答）【答案】40【解析】利用通项公式，5152rrrrTCx−+=，令3r=，得出3x的系数为325240C=考点：本题考点为二项式定理，

利用通项公式，求指定项的系数.15.“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何．”用现在的数学语言表述是：“如图所示，一圆柱形埋在墙壁中，1AB=尺，D为AB的中点，ABCD⊥，1

CD=寸，则圆柱底面的直径长是_________寸”．（注：l尺=10寸）【答案】26【解析】【分析】由勾股定理222OAODAD=+，代入数据即可求得．【详解】解：∵ABCD⊥，ADBD=，∵10AB=寸，∴5AD=寸，在RtAOD中，∵222OAODAD=+，∴()22215OAO

A=−+，∴13OA=寸，∴圆柱底面的直径长是226AO=寸．故答案为26．【点睛】考查了学生对勾股定理的熟练应用，考查了数形结合思想，属于基础题．16.已知抛物线()2:20Cypxp=的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，AFB

F⊥，线段AB的中点为M，过点M作抛物线C的准线的垂线，垂足为N，则ABMN的最小值为____．【答案】2【解析】【分析】由题意结合抛物线的定义和均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果.【详解】如图所示，设抛物线的准线为l，作AQl⊥于点Q，BPl⊥于点P，由抛物线的定义可设：,AF

AQaBFBPb====，由勾股定理可知：2222ABAFBFab=+=+，由梯形中位线的性质可得：2abMN+=，则：()22212222abABabababMN++==++.当且仅当ab=时等号成立.即ABMN的最小值为2.【点睛】本题主要考查抛

物线的定义及其应用，均值不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的

生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到表（单位：人）经常网购偶尔或不用网购合计男性50100女性70100合计（1）完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0

.01的前提下认为我市市民网购与性别有关？（2）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常网购的人数为X，求随机变量X的数学期望

和方差．参考公式：()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++()20PKK0.150.100.050.0250.0100.0050.0010K2.0722.7063.8415.0246.635

7.87910.828【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）①4960；②数学期望为6，方差为2.4.【解析】【分析】（1）完成列联表，由列联表，得2258.3336.6353K=，由此能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我

市市民网购与性别有关．（2）①由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有70107100=人，偶尔或不用网购的有30103100=人，由此能选取的3人中至少有2人经常网购的概率．②由22列联表可知，

抽到经常网购的市民的频率为：1200.6200=，由题意100.6XB（，），由此能求出随机变量X的数学期望()EX和方差()DX．【详解】解：（1）完成列联表（单位：人）：经常网购偶尔或不用网购合计男性5050100女性7030100合计12080200

由列联表，得：()2220050305070258.3336.635120801001003K−==，∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关．（2）①由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有70107100=人，偶

尔或不用网购的有30103100=人，∴选取的3人中至少有2人经常网购的概率为：2137373104960cccPc+==．②由22列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：1200.6200=，将

频率视为概率，∴从我市市民中任意抽取一人，恰好抽到经常网购市民的概率为0.6，由题意()100.6XB，，∴随机变量X的数学期望()100.66EX==，方差D（X）=()100.60.42.4DX==．【点睛】本题考查独立检验的应用，考查概率、离散型随机变量的分

布列、数学期望、方差的求法，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.如图，E是以AB为直径的半圆O上异于,AB的点，矩形ABCD所在的平面垂直于半圆O所在的平面，且2AB=，3AD=（1）求证：平面EAD⊥平面EBC；（2）若EB的长度

为3，求二面角ADEC−−的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）21313【解析】【分析】（1）推导出BC⊥平面EAB，BCEA⊥，BEEA⊥，从而EA⊥平面EBC，由此能够证得结论；（2）连结OE，以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法

能求出二面角ADEC−−的正弦值．【详解】（1）证明：平面ABCD⊥平面EAB，两平面交线为AB，BC平面ABCD，BCAB⊥BC⊥平面EABEA平面EABBCEA⊥AEB是直角BEEA⊥EA⊥平面EBCEA平面EAD平面EAD⊥平面EBC（2）如图，连结OE，以点O为坐标

原点，在平面ABE中，过O作AB的垂线为x轴，AB所在的直线为y轴，在平面ABCD中，过O作AB的垂线为z轴，建立空间直角坐标系EB的长度为33BOE=则：()0,0,0O，31,,022E，()0,1,3D−，()0,1,3C，()0,1,0B()0

,2,0DC=，31,,322CE=−−，31,,022BE=−设平面DCE的一个法向量为(),,mxyz=则：20313022mDCymCExyz===−−=，令2x=

，解得：0y=，33z=32,0,3m=平面EAD的一个法向量：31,,022nBE==−3313cos,13133mnmnmn===rrrrrr213sin,

13mn=二面角ADEC−−的正弦值为21313【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.设数列na满足12323...2(nN*)nnaaana=．（1）求na的通

项公式；（2）求数列122nna++的前n项和nS．【答案】（1）2nan=；（2）()()111222nnnn++−++.【解析】【分析】（1）在()12323...2nN*nnaaana=中，将1n−代n得：()()1

123123...12n2nnaaana−−−=，由两式作商得：2nan=，问题得解．（2）利用（1）中结果求得bnn2na=+，分组求和，再利用等差数列前n项和公式及乘公比错位相减法分别求和即可得解．【详解】

（1）由n＝1得1a=2，因为()12323...2nN*nnaaana=，当n≥2时，()()1123123...12n2nnaaana−−−=，由两式作商得：2nan=（n＞1且n∈N*），又因为1a=2符合上式，所以2nan=（n∈

N*）．（2）设122nnnba++=，则bn＝n＋n·2n，所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝（1＋2＋…＋n）＋23122232(1)22nnnn−++++−+设Tn＝2＋2·22＋3·23＋…+（

n－1）·2n－1＋n·2n，①所以2Tn＝22＋2·23＋…（n－2）·2n－1＋（n－1）·2n＋n·2n＋1，②①－②得：－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1，所以Tn＝（n－1）·2n＋1＋2．所以()12nnnnST+=+，即()()111

222nnnnSn++=−++．【点睛】本题主要考查了赋值法及方程思想，还考查了分组求和法及乘公比错位相减法求和，考查计算能力及转化能力，属于中档题．20.已知椭圆22122:1(0)xyCabab+=的左、右焦点分别为1F、2F，椭圆的离心率为1

2，过椭圆1C的左焦点1F，且斜率为1的直线l，与以右焦点2F为圆心，半径为2的圆2C相切.（1）求椭圆1C的标准方程；（2）线段MN是椭圆1C过右焦点2F的弦，且22MFFN=，求1MFN的面积的最大值以及取最大值时实数的值.【答案】（1）22143xy+=；（2）3，

1.【解析】【分析】（1）由圆与直线相切可得圆心到直线的距离等于半径，求出1c=，根据椭圆离心率12cea==，求出a，进而求出b，得到椭圆得方程．（2）分类讨论思想，设出直线方程，联立椭圆方程，运用韦达定理，结合二次函数得最值，确定当直线MN与x轴垂直时1MFN的面积最大．

【详解】（1）设1(,0)Fc−，2(,0)(0)Fcc，则直线l的方程为：yxc=+，即0xyc−+=.∵直线l与圆2C相切，∴圆心2F到直线l的距离为||22ccd+==，解之得1c=.∵椭圆1C的离心率为12，即112a=，所以2a=，所以222413ba

c=−=−=，∴椭圆1C的方程为22143xy+=.（2）由（1）得1(1,0)F−，2(1,0)F，由题意得直线MN的斜率不为0，故设直线MN的方程为：1()xtyt=+R，代入椭圆方程22143xy

+=化简可得()2243690tyty++−=，()223636430tt=++恒成立，设()11,Mxy，()22,Nxy，则1y，2y是上述方程的两个不等根，∴122643tyyt−+=+，122943yyt−=+.∴1MFN的面积1121212MFNSF

Fyy=−=1212122yyyy−=−()212124yyyy=+−=22222691214434343ttttt−−+−=+++设21tm+=，则m1，221tm=−，则223431tm+=+，121231MFNmS

m=+.令2()(1)31mfmmm=+，则()22213()031mfmm−=+恒成立，则函数()fm在[1,)+上为减函数，故()fm的最大值为1(1)4f=，所以1MFN的面积的最大值为11234=，当且仅当1m=，即0t=时取最大值，此

时直线MN的方程为1x=，即直线MN垂直于x轴，此时22MFFN=，即1=.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程、直线与圆的位置关系，考查分类讨论的思想．圆与直线的位置关系有三种，可用代数法和几何法进行判断．21.已知函数2()(0)4xxafxeax++=+.（1）

讨论函数()fx的单调性；（2）当[0,1)b时，设函数22(3)()(2)(2)xebxgxxx+−+=−+有最小值()hb，求()hb的值域.【答案】(1)见解析；(2)21(),24ehb【解析】

【分析】（1）先求出()'fx，分04a和4a两种情形，利用导数的符号判断函数的单调性即可.（2）求出'()gx并将其化简为23(4)4'()(2)xxxebxgxx++++=+，构建新函数2()(2)4xxkxebxx+=+−+，利

用（1）的单调性及零点存在定理可得()kx有唯一的0x，它就是函数()gx最小值点，利用导数可求该最小值的值域.【详解】解：（1）()fx定义域为(,4)(4,)−−−+，224'()(4)4xaxafxexx+−+=+++

222(4)34(4)xxaxaex+++++=+.令2(4)340xaxa++++=，①22(4)4(34)4aaaa=+−+=−，1当04a时，0，2(4)340xaxa++++，即'()0fx且不恒为零，故()fx单调递增区间为(,4)−

−，(4,)−+，2当4a时，，方程①两根为21442aaax−−−−=，22442aaax−−+−=，由于2144(4)02aaax−−−−−=，2244(4)02aaax−+−−−=

.故124xx−，因此当1(,)xx−时，'()0fx，()fx单调递增，1(,4)xx−，'()0fx，()fx单调递减，2(4,)xx−，'()0fx，()fx单调递减，2(,)xx+，'()0fx，()fx单调递

增，综上，当04a时，()fx在(,4)−−单调递增，(4,)−+单调递增，当4a时，()fx在244(,)2aaa−−−−−单调递增，244(,4)2aaa−−−−−，244(4,)2aaa−−+−−单调递减；在244(,)2aaa−−+−+

单调递增.（2）23(4)'()(2)xxebxgxx+++=+23(4)4(2)xxxebxx++++=+，设2()(2)4xxkxebxx+=+−+，由（1）知，0a=时，2()4xxf

xex+=+在(2,)−+单调递增，由于(0)0kb=，(2)10kb−=−+，故在(2,0]−存在唯一0x，使0()0kx=，02004xxbex+−=+，又当0(2,)xx−，()0kx，即)'(0gx，()gx单调递减，0(,)xx+，()0kx，即'()0gx

，()gx单调递增，故(2,)x−+时，()()0200203()2xebxbhbgxx+−−==+()()002200020342xxxeexxx+++++=+0204xex+=+，0(2,0]x−.又设2()4xemxx+=+，(2,0]x

−，22222(4)(3)'()0(4)(4)xxxexeexmxxx++++−+==++，故()mx单调递增，故()((2),(0)]mxmm−，即21(),24emx，即21(),24ehb.

【点睛】（1）一般地，若()fx在区间(),ab上可导，且()()()'0'0fxfx，则()fx在(),ab上为单调增（减）函数；反之，若()fx在区间(),ab上可导且为单调增（减）函数，则()()

()'0'0fxfx．（2）求函数的最值，应结合函数的定义域去讨论函数的单调性，有的函数的单调性可以利用基本初等函数的单调性、复合函数的单调性判断法则得到，有的函数的单调性需结合导数的符号进行判断，有时导数的

零点不易求，则需要虚设零点，利用零点满足的方程化简函数的极值（或最值）．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为1cos2sinxtyt=+=（t为参

数，0）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为22cossin=．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于,AB两点，若8AB=，求值．【答案】（1）22=yx；（2）6=或56【解析

】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标互化原则即可求得结果；（2）将直线参数方程代入曲线直角坐标方程，可求得12tt+和12tt，根据直线参数方程参数的几何意义可知()21212124ABtttttt=−=+−，代入可求

得结果.【详解】（1）由22cossin=，得2sin2cos=22sin2cos=，即22yx=（2）将直线l的参数方程代入曲线C的方程得：22sin2cos10tt−−=()222cos4sin40=−+=设12,t

t是方程的根，则：1222cossintt+=，1221sintt=−∴()221212124224cos4248sinsinsinABtttttt=−=+−=+==21sin4=，又01sin2=6

=或56【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程、直线参数方程的几何意义的应用，关键是能够根据几何意义将已知弦长表示为韦达定理的形式，构造出关于的方程，属中档题．选修4-5：不等式选讲23.已知函数()|21||3|fxxx=−++，()

|1|||gxaax=−−.（1）求函数()fx的值域M；（2）若函数()gx的值域为N，且MN，求实数a的取值范围.【答案】（1）7,2M=+；（2）9(,0),2−+.【解析】【分析】（1）先化简得到分段函数f(x)，再求出分段函

数的值域得解；（2）对a分类讨论，根据MN得到实数a的取值范围.【详解】（1）函数()fx可化简为32,31()4,32132,2xxfxxxxx−−−=−+−+可得当3x−时，()327fxx=−−.当13

2x-<≤时，7()4,72fxx=−+.当12x时，7()322fxx=+.故()fx的值域7,2M=+.（2）当0a=时，()1gx=，{1}N=，MN=，所以0a=不符合题意.当0a

时，因为0x，所以函数()gx的值域(,|1|]Na=−−，若MN=，则7|1|2a−，解得52a−或92a，从而92a符合题意.当0a时，因为0x，所以函数()gx的值域[|1|,)Na=−+，此时一定满足MN=，从而0a符合

题意.综上，实数a的取值范围为9(,0),2−+.【点睛】本题主要考查绝对值函数的值域的求法，考查集合之间的关系和参数范围的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.