【文档说明】2025届高考数学一轮复习专练32 余弦定理、正弦定理.docx，共(10)页，67.149 KB，由小赞的店铺上传

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温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。三十二余弦定理、正弦定理(时间:45分钟分值:95分)【基础落实练】1.(5分)(2023·连云港模拟)在△ABC中,a=√5

,c=3,cosA=23,则b=()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由余弦定理可得,a2=b2+c2-2bccosA=b2+9-4b=5,即b2-4b+4=0,解得b=2.2.(5分)在△ABC中,a=2,b=3,cosB=

√74,则A=()A.π6B.π3C.5π6D.π6或5π6【解析】选A.因为a=2,b=3,cosB=√74,所以sinB=√1-cos2𝐵=34,因为由正弦定理可得𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵,所以sinA=𝑎·sin𝐵𝑏=2×343=12,又b>a,可

得A为锐角,所以A=π6.3.(5分)(2023·丰台模拟)在△ABC中,(a-c)(sinA+sinC)=(a+b)cos(π2+B),则C=()A.π6B.π3C.2π3D.5π6【解析】选C.在△ABC中,(a-c)(sinA+sinC)=(a+b)cos(π2

+B),则(a-c)(sinA+sinC)=-(a+b)sinB,由正弦定理可得(a-c)(a+c)=-(a+b)b,所以a2+b2-c2=-ab,则cosC=𝑎2+𝑏2-𝑐22𝑎𝑏=-12,由于C∈(0,π),故

C=2π3.4.(5分)在△ABC中,∠B=45°,c=4,只需添加一个条件,即可使△ABC存在且唯一.在条件:①a=3√2;②b=2√5;③cosC=-45中,所有可以选择的条件的序号为()A.①B.①②C.②③D.①②③【解析】选B.在△ABC中,∠B=45°,c=4,若添加条件①,则由

余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=10,即b=√10,即△ABC存在且唯一;若添加条件②,则由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,可得:a2-4√2a-4=0,解得a=2(√2+√3),即△ABC存在且唯一;若添加条件

③,则由-45<-√22,得C>135°,则B+C>45°+135°=180°,即△ABC不存在,即可以选择的条件的序号为①②.5.(5分)(多选题)(2023·日照模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,则()A.若c=2√3,

B=π3,b=5,则满足条件的三角形有且只有一个B.若sin2B+sin2C<sin2A,则△ABC为钝角三角形C.若𝑎𝑏(b2+c2-a2)=𝑏𝑎(a2+c2-b2),则△ABC为等腰三角形D.若△ABC不是直角三角形,则tanA+tanB

+tanC=tanAtanBtanC【解析】选ABD.对于A,由c·sinB=3,且b=5>3,5>2√3,知满足条件的三角形只有一个,故A正确;对于B,sin2B+sin2C<sin2A,即b2+c2<a2⇒c

osA=𝑏2+𝑐2-𝑎22𝑏𝑐<0,A为钝角,故B正确;对于C,𝑎𝑏(b2+c2-a2)=𝑏𝑎(a2+c2-b2)⇒a·𝑏2+𝑐2-𝑎22𝑏𝑐=b·𝑎2+𝑐2-𝑏22𝑎𝑐,即acosA=bcosB,由正弦定理可得sinAc

osA=sinBcosB,则sin2A=sin2B,所以A=B或A+B=π2,故C错误;对于D,因为△ABC不是直角三角形,所以tanA,tanB,tanC均有意义,又A=π-(B+C),所以tanA=-tan(B+C)=-ta

n𝐵+tan𝐶1-tan𝐵tan𝐶,所以tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,故D正确.6.(5分)(多选题)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=

4∶5∶6,则下列结论正确的是()A.sinA∶sinB∶sinC=7∶5∶3B.𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗<0C.若c=6,则△ABC的面积是15D.若b+c=8,则△ABC外接圆半径是7√33【解析】选AD.令

b+c=4x,则c+a=5x,a+b=6x,可得a=72x,b=52x,c=32x,所以a∶b∶c=7∶5∶3,由正弦定理知:sinA∶sinB∶sinC=7∶5∶3,A对;若c=6,则a=14,b=10,故cosA=100+36-1962×10×6=-12,又0<A<π,则A

=2π3,所以S△ABC=12bcsinA=15√3,C错;由𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=bccos(π-A)=-bccosA,结合C可得𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗>0,B错;若b+c=8,则a=7,易得A=2π3,故△ABC外接圆半径

是𝑎2sin𝐴=7√33,D对.7.(5分)(2022·上海高考)已知在△ABC中,A=π3,AB=2,AC=3,则△ABC的外接圆半径为__________.【解析】在△ABC中,A=π3,AB=2,AC=3,利用余弦定理BC2=AC2

+AB2-2AB·AC·cosA,整理得BC=√7,所以𝐵𝐶sin𝐴=2R,解得R=√213.答案:√2138.(5分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,sinA(tanB+tanC)=2tanBt

anC,a=2,则bc=__________.【解析】sinA(tanB+tanC)=2tanBtanC,则2sin𝐴=1tan𝐵+1tan𝐶,故2sin𝐴=cos𝐵sin𝐵+cos𝐶sin𝐶=cos𝐵sin𝐶+sin𝐵cos𝐶sin𝐵sin𝐶=s

in(𝐵+𝐶)sin𝐵sin𝐶=sin𝐴sin𝐵sin𝐶,故sin2A=2sinBsinC.由正弦定理有a2=2bc,因为a=2,则bc=2.答案:29.(10分)(2023·全国乙卷)在△ABC中,已知∠BAC=120°,AB=2,A

C=1.(1)求sin∠ABC;(2)若D为BC上一点,且∠BAD=90°,求△ADC的面积.【解析】(1)由余弦定理可得:BC2=a2=b2+c2-2bccosA=1+4-2×1×2×cos120°=7,则BC=√7,cosB=𝑎2+𝑐2-𝑏22𝑎𝑐

=7+4-12×√7×2=5√714,sinB=√1-cos2𝐵=√1-2528=√2114.(2)由三角形面积公式可得𝑆△𝐴𝐵𝐷𝑆△𝐴𝐶𝐷=12×𝐴𝐵×𝐴𝐷×sin90°12×𝐴𝐶×𝐴𝐷×sin30°=4,则S△ACD=15S△ABC=15×(12×2×1×

sin120°)=√310.【加练备选】已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足𝑎2sin𝐵sin𝐶sin𝐴=√3(𝑎2+𝑏2-𝑐2)2.(1)求角C的值;(2)若角C的平分线交AB于D,且DB=2AD,AB边上的中线CE交AB于点E,且CE=√72,求△AB

C的面积.【解析】(1)在△ABC中,由正弦定理可得𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵,即sin𝐵sin𝐴=𝑏𝑎.由𝑎2sin𝐵sin𝐶sin𝐴=√3(𝑎2+𝑏2-𝑐2)2,可得𝑎2𝑏sin𝐶𝑎=√3(𝑎2+𝑏2-𝑐2)2,即absinC=√3(𝑎2+𝑏2-�

�2)2.又由余弦定理cosC=𝑎2+𝑏2-𝑐22𝑎𝑏,可得sinC=√3cosC,即tanC=√3,因为C∈(0,π),所以C=π3.(2)因为CD为∠ACB的平分线,所以∠ACD=∠BCD,在△ACD中,由正弦定理得𝐴𝐷sin∠𝐴𝐶𝐷=𝐴𝐶sin∠𝐴𝐷𝐶

,在△BCD中,由正弦定理得𝐵𝐷sin∠𝐵𝐶𝐷=𝐵𝐶sin∠𝐶𝐷𝐵,又因为∠ADC+∠CDB=π,所以sin∠ADC=sin∠CDB,因为sin∠ACD=sin∠BCD,所以𝐴𝐶𝐵𝐶=𝐴𝐷𝐵𝐷=

12,即a=2b.因为CE为AB边上的中线,所以𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=12(𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗),即𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗2=14·(𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗2+𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗2+2𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)=14(b2+a2+2abcos∠ACB),即7=7b

2,所以b=1,a=2,所以△ABC的面积为12absin∠ACB=12×2×1×√32=√32.【能力提升练】10.(5分)(2023·龙岩模拟)若△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法错误的是()A.若c=√6,A=

45°,a=2,则△ABC有两组解B.在△ABC中,已知a2tanB=b2tanA,则△ABC是等腰或直角三角形C.若sinA<sinC,则cosA<cosCD.若△ABC为锐角三角形,且C=π3,b=4,则△ABC面积的取值范围是(2√3,8√3)【解析】选C.A选

项,由正弦定理得𝑎sin𝐴=𝑐sin𝐶,则sinC=𝑐sin𝐴𝑎=√6×√222=√32,C=60°或C=120°,同时csinA=√6×√22=√3<a<c,所以△ABC有两组解,A选项正确,不符合

题意.B选项,依题意a2tanB=b2tanA,则A,B为锐角,由正弦定理得sin2A·sin𝐵cos𝐵=sin2B·sin𝐴cos𝐴,sinA>0,sinB>0,所以sin𝐴cos𝐵=sin𝐵cos𝐴,sin

AcosA=sinBcosB,sin2A=sin2B,则2A=2B或2A+2B=π,所以A=B或A+B=π2,所以△ABC为等腰或直角三角形,B选项正确,不符合题意.C选项,当sinA<sinC时,如A=π6,C=π2,sinA=12,sinC=1,满足

sinA<sinC,但cosA=√32,cosC=0,cosA>cosC,所以C选项错误,符合题意.D选项,由正弦定理得𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵,𝑎sin𝐴=4sin𝐵,a=4sin𝐴sin𝐵=4sin(𝐵+𝐶)sin𝐵=4sin(�

�+π3)sin𝐵=4(12sin𝐵+√32cos𝐵)sin𝐵=2+2√3tan𝐵.由于△ABC是锐角三角形,所以{0<𝐵<π2𝐵+𝐶>π2,解得π6<B<π2,所以tanB>√33,0<2√3tan𝐵<6,2<2+2√3tan𝐵<8,即a

∈(2,8).由三角形的面积公式得S△ABC=12absinC=12a·4×√32=√3a∈(2√3,8√3),所以D选项正确,不符合题意.【加练备选】(多选题)(2023·新余模拟)下列有关三角形的描述正确的是()A.若△ABC的面积为√

34(a2+c2-b2),则B=π3B.在△ABC中,A=30°,b=2,a=√2,则满足这样的三角形只有一个C.在△ABC中,若(sinA+sinB)∶(sinB+sinC)∶(sinC+sinA)=9∶11∶10,则最大

内角是最小内角的2倍D.在△ABC中,a=2,c=4,cosC=-14,则AB边上的高为3√158【解析】选ACD.对于A,由题意得12acsinB=√34(a2+c2-b2),整理得a2+c2-b2=2√3acsinB,所以𝑎2+

𝑐2-𝑏22𝑎𝑐=1√3sinB,所以cosB=1√3sinB,得tanB=√3,因为B∈(0,π),所以B=π3,所以A正确;对于B,由正弦定理得𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵,则√2sin30°=2sin𝐵,得s

inB=√22,因为0°<B<150°,所以B=45°或B=135°,所以满足条件的三角形有2个,所以B错误;对于C,因为(sinA+sinB)∶(sinB+sinC)∶(sinC+sinA)=9∶11∶10,所以由正弦定理得(a+b)∶(

b+c)∶(c+a)=9∶11∶10,设a+b=9m,b+c=11m,c+a=10m,解得a=4m,b=5m,c=6m,则最大角为C,最小角为A,由余弦定理得cosC=𝑎2+𝑏2-𝑐22𝑎𝑏=16𝑚2

+25𝑚2-36𝑚22×4𝑚×5𝑚=18,cosA=𝑏2+𝑐2-𝑎22𝑏𝑐=25𝑚2+36𝑚2-16𝑚22×5𝑚×6𝑚=34,所以cos2A=2cos2A-1=2×916-1=18=cosC,因为cosC>0,cosA>0,所以

A,C均为锐角,所以2A∈(0,π),所以C=2A,所以最大内角是最小内角的2倍,所以C正确;对于D,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC,则16=4+b2-4b×(-14),即b2+b-12=0,解得b=3或b=-4(舍去).因为cosC

=-14,C∈(0,π),所以sinC=√1-cos2𝐶=√1-116=√154,所以△ABC的面积为S=12absinC=12×2×3×√154=3√154.设AB边上的高为h,则S=12ch=12×4h=3√154,解得h=3√158,所

以D正确.11.(5分)(2023·厦门模拟)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=3,S△ABC∈[√32,3√32],则B的取值范围是()A.[π4,π3]B.[π6,π4]C.

[π6,π3]D.[π3,π2]【解析】选C.在△ABC中,𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=accosB,S△ABC=12acsinB,因此tanB=2𝑆△𝐴𝐵𝐶𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗∈[√33,√3],显然B∈(0,π2),而正切

函数y=tanx在(0,π2)上单调递增,所以B∈[π6,π3].12.(5分)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若1+cosA=2cos2B,b=1,则a的取值范围是__________.【解析】由1+cosA=2cos2B,得cosA=2cos2B-1=cos2B,因为

△ABC为锐角三角形,y=cosx在(0,π)上单调递减,故A=2B,所以sinA=sin2B=2sinBcosB,由正弦定理得𝑎𝑏=2cosB.又b=1,所以a=2cosB.由题意得0<A=2B<π2,解得B

∈(0,π4),又0<C=π-3B<π2,解得B∈(π6,π3),所以B∈(π6,π4),所以cosB∈(√22,√32),2cosB∈(√2,√3),则a的取值范围是(√2,√3).答案:(√2,√

3)13.(5分)(2023·武威模拟)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若O为△ABC的重心,OB⊥OC,3b=4c,则cosA=__________.【解析】连接AO并延长交BC于D,由题意得D为BC的中点,OB⊥OC,所以OD=BD=CD=

12a,AD=32a.因为∠ADB+∠ADC=π,所以cos∠ADB+cos∠ADC=94𝑎2+14𝑎2-𝑐22×32𝑎×12𝑎+94𝑎2+14𝑎2-𝑏22×32𝑎×12𝑎=0,得b2+c2=5a2.故cosA=�

�2+𝑐2-𝑎22𝑏𝑐=𝑏2+𝑐2-15𝑏2-15𝑐22𝑏𝑐=25(𝑏𝑐+𝑐𝑏)=25×(43+34)=56.答案:5614.(10分)(2023·吕梁模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且𝑐sin𝐴+sin𝐵=𝑏-

𝑎sin𝐶+𝑎sin𝐴+sin𝐵.(1)求角B的大小;(2)若AC=2√7,D是边AC的中点,且BD=√19,求△ABC的内切圆的半径.【解析】(1)因为𝑐sin𝐴+sin𝐵=𝑏-𝑎sin𝐶+𝑎sin𝐴+sin𝐵,由正弦定理得𝑐𝑎+𝑏=𝑏-𝑎𝑐+𝑎𝑎

+𝑏,所以a2+c2-b2=ac,由余弦定理得cosB=𝑎2+𝑐2-𝑏22𝑎𝑐=𝑎𝑐2𝑎𝑐=12,又B∈(0,π),所以B=π3.(2)由余弦定理得AC2=BA2+BC2-2BA·BC·cos∠ABC,即28=a2+c2-ac.又D是边AC的中点,且BD=√19,

所以𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12(𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗),所以𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=14(𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)2=14(𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗2+2𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗2),即19=14(c2+ac+a2),又28=a2+c

2-ac,所以a2+c2=52,ac=24,所以a+c=√𝑎2+𝑐2+2𝑎𝑐=10.设△ABC的内切圆的半径为r,所以12(AB+AC+BC)r=12BA·BCsin∠ABC,所以r=𝐵𝐴·𝐵𝐶sin∠𝐴𝐵𝐶𝐴𝐵+𝐴

𝐶+𝐵𝐶=24×√3210+2√7=5√3-√213.15.(10分)在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且c=2√3,2sin(2C-π3)=√3.(1)若a=2√2,求角A;(2)求△ABC面积的最大值.【解析】(1)由2sin(2C-π3)=√3

,得sin(2C-π3)=√32,因为△ABC为锐角三角形,所以C∈(0,π2),则2C-π3∈(-π3,2π3),所以2C-π3=π3,得C=π3.由正弦定理得𝑎sin𝐴=𝑐sin𝐶,2√2sin𝐴=2√3sinπ3,得si

nA=√22,因为A∈(0,π2),所以A=π4;(2)由(1)可知C=π3,在锐角三角形ABC中,c=2√3,C=π3,则由余弦定理得,c2=a2+b2-2abcosC,12=a2+b2-2abcosπ3=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab,当且仅当

a=b时取等号,所以ab的最大值为12,所以12absinC≤12×12×√32=3√3,当且仅当a=b时取等号,所以△ABC面积的最大值为3√3.【加练备选】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+c=2bcos

C.(1)求证:B=2C;(2)求𝑎+4𝑐𝑐·cos𝐶的最小值.【解析】(1)在△ABC中,a+c=2bcosC,由正弦定理得sinA+sinC=2sinBcosC,又A=π-(B+C),所以sin(B+C)+sinC=2sinB

cosC,所以sinBcosC-cosBsinC=sinC,所以sin(B-C)=sinC,又sinC>0,所以0<B-C<π,且B-C+C=B<π,所以B-C=C,故B=2C;(2)由B=2C得B+C

=3C∈(0,π),所以C∈(0,π3),cosC∈(12,1).因为a+c=2bcosC,B=2C,所以𝑎+4𝑐𝑐·cos𝐶=2𝑏cos𝐶+3𝑐𝑐·cos𝐶=2sin𝐵·cos𝐶+3

sin𝐶sin𝐶·cos𝐶=2sin2𝐶·cos𝐶+3sin𝐶sin𝐶·cos𝐶=4sin𝐶·cos2𝐶+3sin𝐶sin𝐶·cos𝐶=4cosC+3cos𝐶≥4√3,当且仅当4cosC=3co

s𝐶,即cosC=√32,且C∈(0,π3),即当且仅当C=π6时等号成立,所以当C=π6时,𝑎+4𝑐𝑐·cos𝐶取最小值,为4√3.【素养创新练】16.(5分)(多选题)东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”,根据面积关系给出了勾股定理的证明,

后人称其为“赵爽弦图”.如图1,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图2,它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形A'B'C'拼成的一个大等边三角形ABC,对于图2,下列结论正确的是()A.这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形B.若

BB'=3,sin∠ABB'=5√314,则A'B'=2C.若AB=2A'B',则AB'=√5BB'D.若A'是AB'的中点,则三角形ABC的面积是三角形A'B'C'面积的7倍【解析】选ABD.由图可知AA'=BB',所以BB

'<AB',故A正确;在△ABB'中,sin∠ABB'=5√314,而∠AB'B=120°,所以cos∠ABB'=√1-sin2∠𝐴𝐵𝐵'=1114,sin∠BAB'=sin(60°-∠ABB')=sin60°cos∠ABB'-cos60°sin∠ABB'=3√314.

由正弦定理得𝐵𝐵'sin∠𝐵𝐴𝐵'=𝐴𝐵'sin∠𝐴𝐵𝐵',解得AB'=5.又因为AA'=BB'=3,所以A'B'=AB'-AA'=2,故B正确;不妨设AB=2A'B'=2,BB'=x,由余弦定理得AB2=BB'2+AB'2-2BB'·AB'cos120°,解得x=

√5-12,所以𝐴𝐵'𝐵𝐵'=1+𝑥𝑥=√5+1√5-1,故C错误;若A'是AB'的中点,则S△ABB'=12BB'·AB'sin120°=B'C'·A'B'sin60°=2S△A'B'C',所以S△ABC=7S△A

'B'C',故D正确.