【文档说明】天津市2023届高三高考前最后一卷数学试题 含解析.docx，共(25)页，1.588 MB，由小赞的店铺上传

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绝密★启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）最后一卷数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写

在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答

案标号.2.本卷共9小题，每小题5分，共45分.参考公式：如果事件A与事件B互斥，那么()()()=+PABPAPB.如果事件A与事件B相互独立，那么()()()PABPAPB=.球的表面积公式24SR=，

其中R表示球的半径.一、选择题1.设全集为{1,2,3,4,5,6}U=，{2,3,5}UA=ð，{2,5,6}B=，则()UAB=ð（）A.{1,4}B.{2,5}C.{6}D.{1,3,4,6}【答案】A【解析】【分析】利用集合的

补集和交集运算求解.【详解】解：因为全集为{1,2,3,4,5,6}U=，{2,3,5}UA=ð，所以{1,4,6}A=，又{2,5,6}B=，所以1,3,4UB=ð，所以()UAB=ð{1,4}，故选：A2.已知非零向量a，b

，则“a与b共线”是“||abab−−”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】取,ab为方向相反的单位向量，得到不充分，根据()()22abab−−得到0=，得到必要

性，得到答案.【详解】若a与b共线，取,ab为方向相反的单位向量，则||2ab−=，0ab−=，abab−−，不充分；若||abab−−，则()()22abab−−，整理得到abab，若0a且0brr，设,ab夹角为，则0,π，即cosabab，即1cos

，即0=，故a与b共线，必要性成立.综上所述：“a与b共线”是“||abab−−”的必要不充分条件.故选：B3.函数()222cos()4xxxfxx−−=−的部分图象为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】确定函数为奇函数，排除BD，当π0,2x时，()0fx，排

除A，得到答案.【详解】()fx定义域为2xx，()()()()()2222cos22cos()44xxxxxxfxfxxx−−−−−−==−=−−−−，故()fx为奇函数，其图象关于原点对称，排除B，D；又π0,2x时，22

0xx−−，cos0x，240x−，故()0fx，排除A．故选：C．4.某乡镇为推动乡村经济发展，优化产业结构，逐步打造高品质的农业生产，在某试验区种植了某农作物．为了解该品种农作物长势，在实验区随机选取了100株该农作物苗，经测

量，其高度（单位：cm）均在区间10,20内，按照)10,12，)12,14，)14,16，)16,18，18,20分成5组，制成如图所示的频率分布直方图，记高度不低于16cm的为“优质苗”．则所选取的农作物样本苗中，“优质苗”株数为（）A.

20B.40C.60D.88【答案】C【解析】【分析】根据频率分布直方图计算出“优质苗”的占比,再乘以100可得结果【详解】由频率分布直方图可知，“优质苗”的占比为()0.20.120.6+=，的因此，所选取的农作物样本苗中，“优质苗”株数为1000.660=.故选：C.5.若0.

3log0.4a=，0.31.2b=，2.1log0.9c=，则（）A.abcB.bcaC.acbD.bac【答案】D【解析】【分析】a用对数函数的单调性和0,1比较，b用指数函数的单

调性和1比较，c用对数函数的单调性和0比较，即可判断大小关系.【详解】因为00.31,所以0.3=logyx为减函数，所以0.30.30.3log1log0.4log0.3，即01a.因为1.21,所以=1.2xy为增函数，所以0301.21.2．，即1b

.因2.11,所以2.1=logyx为增函数，所以2.12.1log0.9log1，即0c，所以bac＞．故选：D6.若2()ln3fxmnx=−−+是奇函数，则mn=（）A.ln33−B.ln33C.ln66−D.ln66【答案】A【解析】【分析

】根据奇函数的定义结合对数运算求解.【详解】若2()ln3fxmnx=−−+是奇函数，可得()()0fxfx+−=，则2222lnlnlnln23333mnmnmmnxxxx−−+−−=−

++−+−++−为22124ln209mmnx−=+−=−，可得21240ln20mmn−=−=，解得13ln3mn==−，所以ln33mn=−.故选：A.7.已知双曲线()2222

10,0yxabab−=的上､下焦点分别为1F，2F，过1F的直线与双曲线的上支交于M，N两点，若2MF，MN，2NF成等差数列，且12MFMF⊥，则该双曲线的离心率为（）A103B.102C.52D.

62【答案】B【解析】【分析】先根据2MF，MN，2NF成等差数列，并结合双曲线的定义得到4MNa=，再设1MFx=，在2RtMNF中利用勾股定理得到xa=，进而在12RtFMF△中利用勾股定理得到2225ca=，从而

得到双曲线的离心率.【详解】由双曲线的定义知212MFaMF=+，212NFaNF=+，∴221144MFNFaMFNFaMN+=++=+，∵222MFNFMN+=，∴4MNa=，令1MFx=，则14NFax=−，在2RtMNF中，22222MFMNNF+=，∴()()()222246axa

ax++=−，解得xa=，∴1MFa=，23MFa=，所以在12RtFMF△中，()()22232aac+=，∴2225ca=，∴102ca=.故选：B.8.木升在古代多用来盛装粮食作物，是农家必备的用具，如图为一升制木升，某同学制

作了一个高为40cm的正四棱台木升模型，已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50cm的球O的球面上，且一个底面的中心与球O的球心重合，则该正四棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为（）A.223B.23C.255D.25【答案】A【解析】【分析】根据正四棱台的外

接球的性质可得两底面的边长，进而根据直角三角形的边角关系，结合二面角的定义即可求解.【详解】如图：正四棱台，由题意可知：O是底面正方形的中心也是球O的球心，且50,40ROBOO===,所以502,BC=2222504030OBROO=−

=−=,进而可得302,BC=取BC的中点为N，过BC的中点P作PMON⊥，连接PN,所以11522OMOPBA===,12522ONBA==,故102MNONOM=−=,在直角三角形PMN中，40tan22,102PMPNMMN===故22sin3PNM=，由于,PNBC

ONBC⊥⊥,所以PNM即为正四棱台的侧面与底面所成二面角，故正弦值为223，故选：A9.已知函数()()5πsin06fxx=+的最小正周期为π，则以下说法错误的是（）A.将函数()fx的图象向左平移π12个单位长度后，得到的函数()gx

的图象关于原点对称B.函数()fx在区间π0,12上为减函数C.由()cos2gxx=的图象向右平移π12个单位长度可以得到()fx的图象D.点π,012是函数()fx图象的一个对称中心【答案】C【解析】【分析】先根据已知条件求解确定解析式，再利用图象平移变

换判断AC的正误，利用代入验证法判断BD的正误.【详解】函数最小正周期为π，故2=，2=，故()5πsin26fxx=+.将函数()fx的图象向左平移π12个单位长度后，得到的函数()()5πsin26πsin2sin212xgxxx

=+=++=−，满足()()gxgx−=−，()gx是奇函数，图象关于原点中心对称性，故A正确；π0,12x时5π5π2,66x+，由正弦函数单调性可知，()fx为减函数，故B正确；由()cos2g

xx=的图象向右平移π12个单位长度得到πππ5πcos2cos2cos2cos2()12666yxxxxfx=−=−=−+−=−+，故C错误；将π12x=代入()5πsin26fx

x=+得，0π12sinf==，故π,012是函数()fx图象的一个对称中心，D正确.故选：C.【点睛】方法点睛：解决三角函数()sinyAωxφ=+的图象性质，通常利用正弦函数的图象性质，采用整体代入法进行求解，或者带入验证.第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色

墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共11小题，共105分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.10.已知复数31i22z=+，z的共

轭复数为z，则zz=________.【答案】1【解析】【分析】根据共轭复数的概念，先求出复数z的共轭复数z，再根据复数的乘法运算，即可求出结果.【详解】复数31i22z=+的共轭复数为3122zi=−所以3131311222244zzii+−=+==.故答

案为：1.【点睛】本题考查了共轭复数的概念，以及复数的乘法运算，属于基础题.11.623xx+的展开式中x的系数为___________.【答案】4860【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项,令x的指数为1,求出r的值,将2r=的值代入通

项,求出系数.【详解】623xx+的展开式的通项公式为()6631662C3C32rrrrrrrrTxxx−−−+==，令31r−=，得2r=，所以展开式中x的系数为2426C324860=.故答案为:4860.12.过三点(

)()()1,5,1,1,4,2ABC−的圆交x轴于,MN两点，则MN=______．【答案】25【解析】【分析】作AB和AC的垂直平分线的交点求出圆心和半径，写出圆的标准方程，再令0y=求解.【详解】依题意作上图，显然//AB

y轴，点,AB的中点坐标为()1,2F，AB的垂直平分线方程为2y=，点,AC的中点为5,22G，直线AC的斜率为52114ACk−==−−，直线AC的斜率为1，直线AC的垂直平分线方程为1yx=+，联立两垂直平分线方程，解得圆心

坐标为()1,2，半径3AF==，所以圆的标准方程为()()22129xy−+−=，令0y=，解得与x轴交于()15,0M+，()15,0N−，所以25MN=；故答案为：25.13.甲、乙、丙三人分别独立地解一道题，甲做对的概率是12，三人都做对的概率

是124，三人都做错的概率是14，则乙、丙两人各自做对这道题的概率分别为______，甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为______．【答案】①.14，13或14，13；②.1124【解析】【分析】利用相互独立事

件同时发生的乘法公式、对立事件概率公式及互斥事件至少一个发生的加法公式计算，即可求解.【详解】设甲、乙、丙做对这道题分别为事件A、B、C，1()2PA=，由题意，1()()()241[1()][1()][1()]4PAPBPCP

APBPC=−−−=，所以1()()121[1()][1()]2PBPCPBPC=−−=，解得1()31()4PBPC==或1()41()3PBPC==；设甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的事件为D，则()()()()()()

()()()()PDPAPBPCPAPBPCPAPBPC=++1231131211123423423424=++=，所以甲、乙、丙三人中恰有一人做对这道题的概率为1124.故答案为：14，13或14

，13；1124.14.已知向量,,ABACAD满足,2,1,,ACABADABADEF=+==分别是线段,BCCD的中点，若154DEBF=−，则DEAB+=______；若点P为DE上的动点，且APxAByAD=+，则2xyxy+的最小值为_____

_.【答案】①732②.52．【解析】【分析】由ACABAD=+得ABCD是平行四边形，把,DEBF用,ABAD表示后，由数量积的运算求得ABAD，同样用,ABAD表示DEAB+后平方可求得模，由向量的线性运算得.1()2xAPxABAExyDyADA=+−+=+，利用三点共线得出112xy

+=，代入2xyxy+，化简后引入函数()fx，由导数求得其最小值．【详解】因为ACABAD=+，所以ABCD是平行四边形，由题意11,22DEDCCEABADBFBCCFADAB=+=−=+=−,2211151()()22242DEBFABA

DABADABABADAD=−−+=−+−,即2215151214242ABAD−=−+−，1ABAD=−，122ADBEAABD−+=，22211173(2)42442(1)12442DEABABADABABADAD+=

−=−+=−−+=，1122ABAEEBAEAD=+=−，11()()22xAEADyAAPxAyDxAExyABADD=−+=+−+=+，又,,EPD共线，所以1()12xxy+−+=，即112xy+=，P在线段DE上，因此01x，2222211223222122(1)2

xxxyxxxxyxxxxxx+−+−++===−+−+−+−，令232()2xfxxx+=−+，则22222344(2)(32)()(2)(2)xxxxfxxxxx+−+−==−−，203x时，()0fx，()fx递减，213x时，()0fx

，()fx递增，所以min29()()32fxf==，所以2xyxy+的最小值为95222−+=．故答案为：732；52．15.定义在(0,)+上的函数()fx满足：①当[1,3)x时，1,12,()3,23,xxfxxx−=−②(3)3()fxfx=.（i）(6)

f=_____；（ii）若函数()()Fxfxa=−的零点从小到大依次记为12,,,,nxxx，则当(1,3)a时，12212nnxxxx−++++=_______.【答案】①.3②.6(31)n−【解析】【

分析】（i）由于(3)3()fxfx=，可得(6)3(2)ff=，根据解析式求出(2)f，代入可得；（ii）在同一坐标系内做出()yfx=和ya=的图像，根据图像得到12,,,,nxxx的对称关系，把12212nnxxxx−++++转化为等比数列前n项和即可求解.【

详解】（i）因为(3)3()fxfx=，所以(6)3(2)ff=，当=2x时，(2)=21=1f−，所以(6)3(2)3ff==；（ii）在同一坐标系内做出()yfx=和ya=的图像如图所示：当(1,3)a时，利用对称性，依次有：122612xx=

=+，3421812xx==+……212223nnnxx−=+所以()()()2122123134333463113nnnnnxxxx−−++++=+++==−−故答案为：3；6(31)n−【点睛】已知函数有零点，求零点的和（积）的常用方法：(1)直接法：直接

求解方程得到方程的根，再直接求和（积）；(2)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.已知AB

C的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足()()2sin2sin2sinabAbaBcC−+−=.（1）求角C的大小；（2）若13c=，4ab+=，求ABC的面积.（3）若cos727=A，求()sin2AC−的值.【答案】（1）3（2）34（3）3314【解析】【分析】（1）运用

正弦定理角化边，再利用余弦定理即可求解；（2）先算出ab，再利用三角形面积公式即可；（3）先算出sinA，再运用两角差和倍角公式即可求解.【小问1详解】依题意，运用正弦定理得：()()2222aabbba

c−+−=，化简得222abcab+−=…①，由余弦定理得：2221cos22abcCab+−==，因为C是三角形内角，3C=；【小问2详解】由于()2224,16,216abababab+=+=++=，由①得213316,1abab+==，1133sin12224A

BCSabC===△；【小问3详解】()2272721cos,0,,sin1777AAA==−=，()2sin2sin2coscos2sin2sincoscos(2cos1)sinACACACAACAC

−=−=−−2127143332217727214=−−=；综上：3C=，34ABCS=!，()33sin214AC−=.17.如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥平而,,,ABCDACADABBC⊥⊥60,2,BCAAPADACE==

==为CD的中点，M在AB上，且2AMMB=（1）求证：//EM平面PAD；（2）求平面PAD与平面PBC所成二面角的正弦值；（3）点F是线段PD上异于两端点的任意一点，若满足异面直线EF与AC所成角的余弦值为147，求AF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）277；（3）1

02.【解析】【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理作答.（2）由（1）中坐标系，求出平面PBC的法向量，再二面角的余弦值作答.（3）利用空间向量运算求出点F的坐

标，再利用向量求出异面直线夹角余弦即可求解作答.【小问1详解】在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，,ADAC平面ABCD，则,PAADPAAC⊥⊥，而ACAD⊥，则以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则(2,0,0),(

0,2,0),(0,0,2),(1,1,0)DCPE，又,60ABBCACB⊥=，则有33(,,0)22B−，33(2,0,0),(,,0)22ADAB==−，因为2AMMB=，则23(,1,0)33AMAB==−，(1,1,0)AE=，因此313(1,0,0)(1)323MEAEAMAD=−=

+=+，即//MEAD，而,MEAD，于是得//MEAD，而AD平面PAD，ME平面PAD，所以//EM平面PAD.【小问2详解】由（1）知，31(0,2,2),(,,0)22CPCB=−=−−，设平面PBC的法向量为(,,)nxy

z=，则22031022nCPyznCBxz=−+==−−=，令=1x−，得(1,3,3)n=−，显然平面PAD的法向量为(0,2,0)AC=，令平面PAD与平面PBC所成二面角为，则||233|cos||cos

,|||||727nACnACnAC====，所以平面PAD与平面PBC所成二面角的正弦值2227sin1cos77=−==.【小问3详解】由（1）知，(2,0,2)PD=−，令(2,0,2)PFtPDtt==−，01t，则(2,0,22)Ftt−，(21,1,2

2)EFtt=−−−，而(0,2,0)AC=，则22||214|cos,|7||||(21)1(22)2EFACEFACEFACtt===−++−，整理得2162450tt−+=，而01t，解得14t=，有13,0,22F，2213

10222AF=+=.18.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2212:1(2)2xyCaa+=与椭圆222:12yCx+=，且椭圆2C过椭圆1C的焦点．过点(0,)((0,2)

)Ptt的直线l与椭圆1C交于A，B两点，与椭圆2C交于C，D两点．（1）求椭圆1C的标准方程；（2）若存在斜率不为0的直线l，使得3ABCD=，求t的取值范围．【答案】（1）22132xy+=（2）()1,2【解析】【分析】（1）根据题意可得221a−=，从而

即可求得椭圆1C的标准方程；（2）根据题意可得直线l的斜率存在，设:lykxt=+，()11,Axy，()22,Bxy，()33,Cxy，()44,Dxy，联立直线l与椭圆1C，得到关于x的一元二次方程，从而得到12xx+，12xx；同理联立直线l与椭圆2C，得到34xx+

，34xx，从而求得AB，CD，再根据3ABCD=，从而可得到t的取值范围．【小问1详解】因为椭圆2C过点(1,0)，所以221a−=，所以23a=，即椭圆1C的标准方程为22132xy+=．【小问2详解】易知直线l的斜率存在，设:,0lykxtk=+，()11,Axy，()22,Bxy

，()33,Cxy，()44,Dxy，联立直线l与椭圆1C，22132xyykxt+==+，消去y，整理得()222326360kxktxt+++−=，则122632ktxxk−+=+，21223632txxk−=+，()()()2226432360

ktkt=−+−，即223220kt−+，联立直线l与椭圆2C，2212yxykxt+==+，消去y，整理得()2222220kxktxt+++−=，则34222ktxxk−+=+，234222txxk−=+，()()()2222

4220ktkt=−+−，即2220kt−+所以()22222212121222632141132ktABxxkxxxxkkk−+=−+=+−+=++，()222222343434222214112ktCDxxkxxx

xkkk−+=−+=+−+=++，因为3ABCD=，所以22222222263226211322ktktkkkk−+−++=+++，即222222322322ktktkk−+−+=++，平方整理得

()()22231114241tkk=+−++，因为211k+，所以()()222311114241tkk=+−++，即t的取值范围为()1,2．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：①设直线方程，设交点坐标为()11,Axy，()22,Bxy；②

联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x(或y)的一元二次方程，必要时计算；③列出韦达定理；④将所求问题或题中的关系转化为12xx+，12xx(或12yy+，12yy)的形式；⑤代入韦达定理求解．19.已知数列na的前n项和为nS，满足：()*21NnnSa

nn=+.（1）求证：数列na为等差数列；（2）若23a=，数列nb满足()*113321,1,lglg2lgNnnnbababbbn++==−+=，记nT为nb的前n项和，求证：221nnnTTT++；（3）在（2）的前

提下，记()22167,log,nnnnnnbncaabn++−=为奇数为偶数，数列nc的前2n项和为2nK，若不等式24(1)41nnnKn−++对一切*Nn恒成立，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）()1,5−【解析】【分析】（

1）由条件可得()*2NnnSnann=+、()()11211NnnSnann++=+++，然后可得()()*111Nnnnanan+−=−、()()12N11nnnnana+++−=，两式相减即可证明；（2）首先可求出na、nb，然后计算出221nnnTTT++−即可；（3

）首先可得()()()1672,,2123,,nnnncnnnn−−=−+为奇数为偶数，然后利用裂项求和法求出13521nnPcccc−=++++L，然后求出2nK，然后分n为偶数、n为奇数求解即可.【小问1详解】因为()*21N

nnSann=+，所以()*2NnnSnann=+，()()11211NnnSnann++=+++，两式相减可得()()*1121N1nnnananna++++=−，即()()*111Nnnnanan+−=−由()()*111Nnnnanan+−=−可得()()12N11

nnnnana+++−=，两式相减可得()()()*12111Nnnnnnanannana+++−=−+−化简可得()()*122Nnnnnanana+++=，所以()*122Nnnnnaaa++=+，所以数列na为等差数列；【小问2详解】由()*21NnnSann=+可得11

211Sa=+，可得11a=，因为23a=，所以21nan=−，因为数列nb满足()*21lglg2lgNnnnbbbn+++=，所以()()2*21lglgNnnnbbbn++=，所以()2*21Nnnnbbbn++=，所以数列nb为等比数列，0n

b因为1133141,baba===−=，所以2q=，12nnb−=，所以()1122112nnnT−==−−，所以()()()22211221212120nnnnnnnTTT++++−=−−−−=−，即221nnnTTT++，

【小问3详解】由（2）可得21,2nnnSnb+==；由已知()22167,,log,,nnnnnnbncaabn++−=为奇数为偶数可得()()()1672,,2123,,nnnncnnnn−−=−+为奇数为偶数设nc的前2n项

和中，奇数项的和为nP，偶数项的和为nQ，所以133212462,nnnnPccccQcccc−=++++=++++，当n为奇数时，()()()1116722221232321nnnnncnnnn−+−−==−−++−，所以13521

nnPcccc−=++++L2042642222222222251951394143nnnn−=−+−+−++−+−0424141141nnnn=−=−++当n为偶数时，ncn=，所以2

4622462nnQccccn=++++=++++()()2212nnnn+==+由24(1)41nnnKn−++，得()44(1)114141nnnnnnn−+−++++，即()(1)11nnn−−++，当n为偶数时，21nn

+−对一切偶数成立，所以5，当n为奇数时，21nn+−−对一切奇数成立，所以此时1−，故对一切*Nn恒成立，则15−.20.已知函数()242ln2afxxxx=−−−，aR.（1）求函数()fx的单调区间；（2）若函数()fx有唯一的极值点0x，①求实数a取值范围；②

证明：()01220002e10xxfxx−++.【答案】（1）答案见详解（2）①(),0−；②证明见详解【解析】【分析】（1）求导，分类讨论判断原函数单调性；（2）①根据（1）中的单调性，分析判断极值点；②根据①可知()20000,2xaxx

=−+，整理分析可得原不等式等价于010200111lne022xxxx−−++−，构建新函数()12111lne22xFxxxx−=−++−，利用导数证明不等式.【小问1详解】由题意可知：()f

x的定义域为()0,+，且()()223322242xxaafxxxxx++=++=，当0a时，则()()23220xxafxx++=在定义域内恒成立，故函数()fx的递增区间为()0,+，无递减区间；当a<0时，令()0

fx=，解得12110,110xaxa=−−−=−+−，令()0fx，解得011xa−+−；令()0fx¢>，解得11xa−+−；故函数()fx的递增区间为()11,a−+−+，递减区间为()0,11a−+−；综上所述：当0a时，函数()fx的递增区间为()0,+，

无递减区间；当a<0时，函数()fx的递增区间为()11,a−+−+，递减区间为()0,11a−+−.【小问2详解】①由（1）可知：当0a时，函数()fx的递增区间为()0,+，无极值点；当a<0时，函数()fx的递增区间为()11,a

−+−+，递减区间为()0,11a−+−函数()fx有唯一的极值点11a−+−；综上所述：若函数()fx有唯一的极值点0x，则实数a取值范围为(),0−.②∵函数()fx有唯一的极值点0110xa=−+−，则()00fx=，即20020xxa++=，可得()2002axx=−+，故()00

021112222200000000002220000024212e12ln22e12ln1e22xxxxxaxfxxxxxxxxxxxx−−−+++=−−−++=−+−++012002001112lne22xxxxx−=−++−，若

()01220002e10xxfxx−++，即012002001112lne022xxxxx−−++−，且2020x，等价于010200111lne022xxxx−−++−，构建()12111lne22xFxxxx−=−++−，则()1

23111exFxxxx−=+−−，当01x时，构建()()xFx=，则()()()11234413123eexxxxxxxxx−−−+=−−++=+，∵01x，则4110,30,0,e0xxxx−−+，故()()()1

413e0xxxxx−−+=+对()0,1x恒成立，则()x在()0,1上单调递增，可得()()10x=，即()0Fx对()0,1x恒成立，故()Fx在()0,1上单调递减，可得()()10FxF=，即()0Fx对()0,1x恒成立；当1x时，则()1

233111ee1eexxxxxFxxxxxx−−−=+−−=+，构建()ee,1xgxxx=−，则()eexgx=−，∵()gx在)1,+内单调递增，则()()10gxg=，∴()

gx在)1,+内单调递增，则()()10gxg=，即当1x时，可得3ee0,e0,10,0xxxxxx−−，故()3ee10exxxxFxxx−−=+对)1,x+恒成立，则()Fx)

1,+上单调递增，可得()()10FxF=，在即()0Fx对)1,x+恒成立；综上所述：()0Fx对()0,x+恒成立.故010200111lne022xxxx−−++−，即()01220002e10xxfxx−++.【点睛】方法定

睛：利用导数证明不等式的基本步骤(1)作差或变形．(2)构造新的函数h(x)．(3)利用导数研究h(x)的单调性或最值．(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．获得更多资源请扫码加入享学资源网微

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