浙南名校联盟2020 学年第一学期期末联考 数学 答案

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以下为本文档部分文字说明:

高二数学学科试题答案第1页(共7页)2020学年第一学期浙南名校联盟期末联考答案高二年级数学学科一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1~10:

DCBACDBADC10.解析:设321()3853gxxxx=−+−,若存在唯一的正整数0x,使得0()0fx成立,即存在唯一的正整数0x,使得()gx的图象在直线yax=的下方,如图所示,(3)(4)(1)ggg

=;(5)(4)(1)ggg=需满足下列关系式(4)4(1)gaga解得143a且13a,即11(,]123a非选择题部分(共110分)二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分。11.56,+320x

y−=12.6,0202xy=;13.33−;133,3,439−−14.17,39−15.3232aa=或;16.12;17.4三、解答题:本大题共5小题,共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18.(本题满

分14分)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知cos(1cos)cBbC=−.(Ⅰ)求证ab=;(Ⅱ)求cossinCA−的取值范围.解(Ⅰ)法一:应用正弦定理由cos(1cos)cBbC=−知coscoscBbCb+=------

-------------------------------2分有:sincossincossinCBBCB+=----------------------------------------------

-----4分所以有sin()sin()sinsinBCAAB+=−==所以有ab=--------------------------------------------------------------------------6分法二:应用余

弦定理由cos(1cos)cBbC=−知coscoscBbCb+=-------------------------------------2分高二数学学科试题答案第2页(共7页)xzyMA1ABB1D1C1DCMA1ABB1D1C1DC22222222222

acbabcacbabacaba+−+−+===---------------------------------------6分法三:应用射影定理coscosacBbCb=+=所以有ab=----------------------------

-----------------------6分(Ⅱ)由ab=知AB=,所以有cossincos(2)sincos2sinCAAAAA−=−−=−−-------------------------------------8

分=22sinsin1AA−−-------------------------------------------9分=2192(sin)48A−−--------------------------------------------10分因锐角△ABC中,AB=,所以42A

---------------------------------------------------------12分所以2sin12A----------------------------

-------------------------13分所以cossinCA−的取值范围是2(,0)2−.---------------------14分19.(本题满分15分)如图,在四棱柱1111ABCDABCD−中,底面ABCD是等腰梯形,60,DA

B=22ABCD==,M是线段AB的中点.(1)求证:111CMAADD平面;(2)若1CD⊥平面ABCD且1=3CD,求直线11DB与平面11CDM所成角的正弦值.解:(Ⅰ)证明:∵四边形ABCD为等腰梯形,且2ABCD=,所以DCAM

,----------------------------------------------------------------------------1分连接1AD,1111DCBAABCD−为四棱柱,11DCDC---------------------------

---2分11AMDC∥,---------------------------------------------------------------------------------------------3

分故四边形11AMCD是平行四边形,11//ADCM----------------------------------------------4分又111ADDAMC平面,111ADDAAD平面,111//CMAADD平面.----

-------------------------------------------------------------------------6分(2):连接,ACMC,由(Ⅰ)知DCAM∴四边形AMCD为平行四边形可得BCADMC==,由题意60

ABCDAB==,所以MBC为正三角形.因此22,3ABBCCA===,高二数学学科试题答案第3页(共7页)∴CACB⊥--------------------------------------------------8分以C为坐标原点,分别以CD为x轴,1CD为z轴,过C点且与AB垂直方

向为y轴,建立空间坐标系,如图所示-----------------9分111313(1,0,3),(0,0,3),(,,0)(1,0,0)(,,0)2222CDMDB−−,,111111333(1,0,0),(,,3),(,,0)22

22CDDMDBDB==−==−,---------------------11分设平面MDC11的法向量为(,,)nxyz=111001330022xnCDxyznDM==+−==不妨取1,z=则2y=(0,2,1)n=--------------

13分记直线11DB与平面11CDM所成角为111111315sin|cos,|5355nDBnDBnDB=====,--------------------------------15分所以直线11DB与平面MDC11所成角的正弦值为55法二:以C为坐标原点,分别以

1,,CACBCD为,,xyz轴建系时,可求得1133(,,0)22DBDB==−平面11CDM法向量为(1,3,1)n=,各步骤对应给分)20.(本题满分15分)已知数列{}na的各项均为正数,记数列{}na的前n项和为nS,数列2{}na的前n项和为nT,且2*32,nnnTSS

nN=+.(Ⅰ)求1a的值及数列{}na的通项公式;(Ⅱ)若有111nnba+=−,求证:231321nbbb+++解:(Ⅰ)由211132,TSS=+得知2211132,aaa=+110,1aa=--

---------------------------------2分2*32,nnnTSSnN=+①2*11132,nnnTSSnN+++=+②------------------------------

-------3分②-①,得22211132nnnnaSSa+++=−+.------------------------------------------------------------4分10na+,1132nnnaSS++=−+,

③-----------------------------------------------5分22132nnnaSS+++=−+,④-----------------------------------------------6分④-③,得212133nnnnaaaa++++−=+,即2

12nnaa++=,-------------------------------------7分高二数学学科试题答案第4页(共7页)故当2n时,12nnaa+=.-----------------------------------------8分又由222232,TSS=+得222223(

1)(1)2(1)aaa+=+++,即有2220aa−=22210,2,2aaaa==----------------------------------------------------------------------9

分所以对*nNn∈N*,都有12nnaa+=成立,所以数列na的通项公式为1*2,nnanN−=----------------------------------10分(Ⅱ)证法一:3333111111,(3)12182172(21)72nnnnnnnbna−−−−+====−−

−+−-------------------13分2232311111111112132(1)=()13722237372112nnnbbb−−−+++=+++++++=−------15分(Ⅱ)证法二:11111121112()121(21)(21)

2121nnnnnnnnba++++−====−−−−−−−--------------------------------13分2334451111111112[()()()]32121212121211111213=2()37213721nnnnbbb++

+++=+−+−++−−−−−−−+−+=−------------------------------------------15分21.(本题满分15分)已知椭圆22221(0)yxabab+=的离心率为32,A为椭圆上位于第三象限内的一点,点P

满足5OPAO=.过点P作一条斜率为k的直线l交椭圆于B,C两点,(Ⅰ)若点P的坐标为()41,,(ⅰ)求椭圆的方程;(ⅱ)求OBC面积.(用含k的代数式表示).(Ⅱ)若满足3BPBC=,求直线OA,OB的斜率之积;解:(Ⅰ)(ⅰ)由P的坐标为()41,,5O

PAO=知4155A−,-----------------------------1分ABPOxyC高二数学学科试题答案第5页(共7页)代入椭圆方程有:22161155ab+=①--------------------

-------------------2分又32cea==知224ab=②---------------------------------------3分由①②可得224,1ab==,故椭圆的方程2214xy+=----------

--------------------4分(ⅱ)直线l的方程是14ykxk=+−,------------------------------------------------------------------------5分代入

椭圆方程有:222(14)8(14)4(14)40kxkkxk++−+−−=-------------------------------6分22222222264(14)16(14)[(14)1]823111414kkkkkkBCkk

kk−−+−−−=+=+++-----------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------8分点O到BC距离2141kdk−=+-----------------------------------------------------------------

-----------9分所以OBC面积22222214414231182312214141kkkkkkSBCdkkkk−−−−==+=+++-----------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------10分(Ⅱ)设()()()112233AxyBxyCxy,,,,,,5OPAO=,()1155Pxy−−,.---------

-----------------------------------------------11分3BPBC=,()()12123232553xxyyxxyy−−−−=−−,,,---------------

-----------12分即()()123212325353xxxxyyyy−−=−−−=−,,于是32132152335233xxxyyy=−=−,,代入椭圆方程,得22212122552233331xxyyab−−

+=,-----------------------------------------------13分由(Ⅰ)知224ab=即()()()22221222121222222245541999444xyxyxx

yybbbbbb+++−+=,③因为A,B在椭圆上,2222112222221144xyxybbbb+=+=,.④由③④知12122204xxyybb+=---------------------------------------

------------------------------------------14分高二数学学科试题答案第6页(共7页)即直线OA,OB的斜率之积为121214yyxx=−.---------------------

---------------------------------------15分22.(本题满分15分)已知函数11)1ln()(2−−+−=xaxxxf(Ⅰ)若1a=,试求()fx在(2,3)点处的切线方程;(Ⅱ)当

0a时,试求函数)(xf的单调增区间;(III)若在定义域上恒有()23fxx+成立,求实数a的取值范围。解:(Ⅰ)由21()ln(1)ln(1)1,11xfxxxxxx−=−+=−++−切线斜率21'(2)(1)|21xkfx===+=−------------------------

--------------------------------2分所以()fx在(2,3)点处的切线方程为:32(2)yx−=−即210xy−−=--------------------4分(Ⅱ)函数11)1ln()(2−−+−=xaxxxf的定义域为)

,1(+x,---------------------------------------5分则2'2221()12(1)(1)()1(1)(1)aaxxaxxaxafxxxx−−−−−=+=−−−,--------

-------------------------------7分由'()0fx知21axa−,又定义域为),1(+x,----------------------------------------------

------8分知当即1a时,)(xf的单调递增区间为),12(+−aa,----------------------------------------------9分当112−aa即01a时,)(xf的单调递增区间为),1(+,------------------

---------------10分(III)由21()23ln(1)23,(1)1axfxxxxxx−+−++−恒成立知2222(1)ln(1)xxxxax+−−−−,------------------------------------

----------------------11分记2222(1)ln(1)()xxxxgxx+−−−−=高二数学学科试题答案第7页(共7页)有3342(2)ln(1)(2)[ln(1)2]'()xxxxxgxxx−+−−−−−==------------------

-----------------12分x(1,2)22(2,1)e+21e+2(1,)e++'()gx+0-0+()gx↗2↘211e+↗--------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------------13分221422(1)ln(1)4ln(1)1lim()limlimlim222xxxxxxxxxx

xgxxx→→→→−+−−−−−−−====------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

---14分所以max()2gx=实数a的取值范围是2a.------------------------------------------------------15分(其它解法相应给分)

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