【文档说明】浙南名校联盟2020 学年第一学期期末联考 数学 答案.pdf，共(7)页，412.515 KB，由管理员店铺上传

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高二数学学科试题答案第1页(共7页)2020学年第一学期浙南名校联盟期末联考答案高二年级数学学科一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1~10：DCBACDBADC10.

解析：设321()3853gxxxx=−+−，若存在唯一的正整数0x，使得0()0fx成立，即存在唯一的正整数0x，使得()gx的图象在直线yax=的下方，如图所示，(3)(4)(1)ggg=；(5)(

4)(1)ggg=需满足下列关系式(4)4(1)gaga解得143a且13a，即11(,]123a非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。11．56，+320xy−=12．6,0202xy=；13．33

−；133,3,439−−14．17,39−15．3232aa=或;16．12;17．4三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18．（本题满分14分）在锐角△ABC中，角A，B，C

所对的边分别为a，b，c．已知cos(1cos)cBbC=−．（Ⅰ）求证ab=；（Ⅱ）求cossinCA−的取值范围．解（Ⅰ）法一:应用正弦定理由cos(1cos)cBbC=−知coscoscBbCb+=-----------------

--------------------2分有:sincossincossinCBBCB+=---------------------------------------------------4分所以有sin()sin()sinsinBCAAB+=−==所以有ab=-----------

---------------------------------------------------------------6分法二:应用余弦定理由cos(1cos)cBbC=−知coscoscBbCb+=-------------------------------------

2分高二数学学科试题答案第2页(共7页)xzyMA1ABB1D1C1DCMA1ABB1D1C1DC22222222222acbabcacbabacaba+−+−+===------------------------------------

---6分法三:应用射影定理coscosacBbCb=+=所以有ab=---------------------------------------------------6分（Ⅱ）由ab=知AB=,所以有cossincos(2

)sincos2sinCAAAAA−=−−=−−-------------------------------------8分=22sinsin1AA−−-----------------------------------------

--9分=2192(sin)48A−−--------------------------------------------10分因锐角△ABC中,AB=,所以42A---------------------------------------------------------12分所

以2sin12A-----------------------------------------------------13分所以cossinCA−的取值范围是2(,0)2−．---------------------14分19．（本题满分15分）如图，在四棱柱1111ABCDABC

D−中，底面ABCD是等腰梯形，60,DAB=22ABCD==，M是线段AB的中点．（1）求证：111CMAADD平面；（2）若1CD⊥平面ABCD且1=3CD，求直线11DB与平面11CDM所成角的正弦值．解:（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD为等腰梯形，且2ABCD

=，所以DCAM，----------------------------------------------------------------------------1分连接1AD，1111DCBAABCD−为四棱柱，11DCDC------------------------------

2分11AMDC∥,---------------------------------------------------------------------------------------------3分故四边形11AMCD是平行四

边形，11//ADCM----------------------------------------------4分又111ADDAMC平面，111ADDAAD平面，111//CMAADD平面．-

----------------------------------------------------------------------------6分（2）：连接,ACMC，由（Ⅰ）知DCAM∴四边形AMCD为平行四边形可得BCADMC==，由

题意60ABCDAB==，所以MBC为正三角形．因此22,3ABBCCA===，高二数学学科试题答案第3页(共7页)∴CACB⊥---------------------------------

-----------------8分以C为坐标原点，分别以CD为x轴，1CD为z轴,过C点且与AB垂直方向为y轴，建立空间坐标系，如图所示-----------------9分111313(1,0,3),(0,0,3),(,,0)(1,0,0)(,

,0)2222CDMDB−−，，111111333(1,0,0),(,,3),(,,0)2222CDDMDBDB==−==−，---------------------11分设平面MDC11的法向量为(,,)nxyz=111001330022xnCDxyznDM==

+−==不妨取1,z=则2y=(0,2,1)n=--------------13分记直线11DB与平面11CDM所成角为111111315sin|cos,|5355nDBnDBnDB=====，---

-----------------------------15分所以直线11DB与平面MDC11所成角的正弦值为55法二:以C为坐标原点,分别以1,,CACBCD为,,xyz轴建系时,可求得1133(,,0)22DBDB==−平面11CDM法向量为(1,3,1)n=,各

步骤对应给分)20．（本题满分15分）已知数列{}na的各项均为正数，记数列{}na的前n项和为nS，数列2{}na的前n项和为nT，且2*32,nnnTSSnN=+．（Ⅰ）求1a的值及数列{}na的

通项公式;（Ⅱ）若有111nnba+=−,求证:231321nbbb+++解：（Ⅰ）由211132,TSS=+得知2211132,aaa=+110,1aa=-----------------------------------2分2*32,nnnTSSn

N=+①2*11132,nnnTSSnN+++=+②-------------------------------------3分②－①，得22211132nnnnaSSa+++=−+．-------------------------------------------------

-----------4分10na+，1132nnnaSS++=−+，③-----------------------------------------------5分22132nnnaSS+++=−+,④-----------

------------------------------------6分④－③，得212133nnnnaaaa++++−=+,即212nnaa++=，-------------------------------------7分高二数学学科试题答案第4页(共7页)故当2n时，12nnaa+=

．-----------------------------------------8分又由222232,TSS=+得222223(1)(1)2(1)aaa+=+++，即有2220aa−=22210,2,2aaaa==----

------------------------------------------------------------------9分所以对*nNn∈N*，都有12nnaa+=成立，所以数列na的通项公式为1*2,nnanN−=-

---------------------------------10分（Ⅱ）证法一:3333111111,(3)12182172(21)72nnnnnnnbna−−−−+====−−−+−-------------------13分223231111111111

2132(1)=()13722237372112nnnbbb−−−+++=+++++++=−------15分（Ⅱ）证法二:11111121112()121(21)(21)2121nnnnnnnnba++++−

====−−−−−−−--------------------------------13分2334451111111112[()()()]32121212121211111213=2()37213721nnnnbbb+++++=+−+−++−−−−−−−+

−+=−------------------------------------------15分21．（本题满分15分）已知椭圆22221(0)yxabab+=的离心率为32，A为椭圆上位于第三象限内的一点，点P满

足5OPAO=．过点P作一条斜率为k的直线l交椭圆于B，C两点，（Ⅰ）若点P的坐标为()41，，（ⅰ）求椭圆的方程；（ⅱ）求OBC面积.(用含k的代数式表示).（Ⅱ）若满足3BPBC=，求直线OA，OB的斜率之积；解:（Ⅰ）（ⅰ）由P的坐标为()41，，5OPAO=知4155A−

，-----------------------------1分ABPOxyC高二数学学科试题答案第5页(共7页)代入椭圆方程有:22161155ab+=①----------------------

-----------------2分又32cea==知224ab=②---------------------------------------3分由①②可得224,1ab==，故椭圆的方程2214xy+=-------------------------

-----4分（ⅱ）直线l的方程是14ykxk=+−,------------------------------------------------------------------------5分代入椭圆方程有:222(14)8(14)4(14)40kxkkxk++−+−−=-

------------------------------6分22222222264(14)16(14)[(14)1]823111414kkkkkkBCkkkk−−+−−−=+=+++-------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------8分点O到BC距离2141kdk−=+------

----------------------------------------------------------------------9分所以OBC面积22222214414231182312214141kkkkkkSBCdkkkk−−−−==+=+++---

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------10分（Ⅱ）设()()()112

233AxyBxyCxy，，，，，，5OPAO=，()1155Pxy−−，．--------------------------------------------------------11分3BPBC=，

()()12123232553xxyyxxyy−−−−=−−，，，--------------------------12分即()()123212325353xxxxyyyy−−=−−−=−，，于是32132152335233xxxyyy=−

=−，，代入椭圆方程，得22212122552233331xxyyab−−+=，-----------------------------------------------13分由（Ⅰ）知224ab

=即()()()22221222121222222245541999444xyxyxxyybbbbbb+++−+=，③因为A，B在椭圆上，2222112222221144xyxybbbb+=+=，．④由③④知12122204xxyy

bb+=---------------------------------------------------------------------------------14分高二数学学科试题答案第6页(共7页)即直线OA，OB的斜率之积为121214yyxx=−.--

----------------------------------------------------------15分22．（本题满分15分）已知函数11)1ln()(2−−+−=xaxxxf（Ⅰ）若1a=，试求()fx在(2,3)点处的切线方程；（Ⅱ）当0a时，试求函数)

(xf的单调增区间；(III)若在定义域上恒有()23fxx+成立，求实数a的取值范围。解:（Ⅰ）由21()ln(1)ln(1)1,11xfxxxxxx−=−+=−++−切线斜率21'(2)(1)|21xkfx===+=−---

-----------------------------------------------------2分所以()fx在(2,3)点处的切线方程为:32(2)yx−=−即210xy−−=--------------------4分（Ⅱ）函数11)1ln()(2−−+−=xax

xxf的定义域为),1(+x，---------------------------------------5分则2'2221()12(1)(1)()1(1)(1)aaxxaxxaxafxxxx−−−−−=+=−−−，------------------------------

---------7分由'()0fx知21axa−,又定义域为),1(+x,----------------------------------------------------8分知当即1a时，)(xf的单调递增区间为),12(+−aa，------

----------------------------------------9分当112−aa即01a时，)(xf的单调递增区间为),1(+，---------------------------------10分(III)由21()23ln(1)23,(1)

1axfxxxxxx−+−++−恒成立知2222(1)ln(1)xxxxax+−−−−，----------------------------------------------------------11分记2222(1)ln(1)()xxxxgxx+−−−−=高二

数学学科试题答案第7页(共7页)有3342(2)ln(1)(2)[ln(1)2]'()xxxxxgxxx−+−−−−−==-----------------------------------12分x(1,2)22(2,1)e+21e+2(1,)e++

'()gx+0-0+()gx↗2↘211e+↗----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

13分221422(1)ln(1)4ln(1)1lim()limlimlim222xxxxxxxxxxxgxxx→→→→−+−−−−−−−====-----------------------------------------------------

----------------------------------------------------------------14分所以max()2gx=实数a的取值范围是2a.-----------------------------

-------------------------15分(其它解法相应给分)