【文档说明】新人教版高中数学教材例题课后习题 必修一 5．5 三角恒等变换 Word版含解析.docx，共(40)页，1.329 MB，由小赞的店铺上传

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第五章三角函数5．5三角恒等变换例1利用公式()C−证明：（1）πcossin2−=；（2）cos(π)cos−=−.证明：（1）πππcoscoscossinsin222−=+01sin

=+sin=.（2）cos(π)cosπcossinπsin−=+(1)cos0=−+cos=−.例2已知4sin5=，π,π2，5cos13=−，是第三象限角，求cos()

−的值.解：由4sin5=，π,π2，得2cos1sin=−−243155=−−=−.又由5cos13=−，是第三象限角，得2sin1cos=−−251211313=−−−=−.所以cos()coscossinsin

−=+35412513513=−−+−3365=−.例3已知3sin5=−，是第四象限角，求πsin4−，πcos4+，πtan4−

的值.解：由3sin5=−，是第四象限角，得2234cos1sin155=−=−−=，所以3sin35tan4cos45−===−.于是有πππsinsincoscossin444−=−

242372252510=−−=；πππcoscoscossinsin444+=−242372252510=−−=；πtantanπtan14tanπ41tan1tantan4−−−==++31

47314−−==−+−.例4利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）sin72cos42cos72sin42−；（2）cos20cos70sin20sin70−；（3）1

tan151tan15+−.分析：和、差角公式把的三角函数式转化成了，的三角函数式.如果反过来，从右到左使用公式，就可以将上述三角函数式化简.解：（1）由公式()S−，得sin72co

s42cos72sin42−()sin7242=−sin30=12=.（2）由公式()C+，得cos20cos70sin20sin70−()cos2070=+cos90=0=.（3）由公式()T+及tan451=，得1tan15tan45tan151

tan151tan45tan15++=−−()tan4515=+tan60=3=.例5已知5sin213=，ππ42，求sin4，cos4，tan4的值.分析：已知条件给出了2的正弦函数值.由于4是2的二倍角，因此可以考虑用倍角公式.解：由ππ42，得

π2π2.又5sin213=，所以2512cos211313=−−=−于是sin4sin[2(2)]=2sin2cos2=.51212021313169=−=−；cos4cos[2(

2)]=212sin2=−251191213169=−=；sin4tan4cos4=120169120169119119=−=−.例6在ABC中，4cos5A=，tan2B=，求tan(22)AB+的值.解法1：在ABC中，由4cos5A=，0πA，得2

243sin1cos155AA=−=−=，所以sin353tancos544AAA===，22322tan244tan21tan7314AAA===−−.又tan2B=，所以222tan224tan21tan123BBB===−−−.于244

tan2tan24473tan(22)2441tan2tan2117173ABABAB−++===−−−.解法2：在ABC中，由4cos5A=，0πA，得2243sin1cos155AA=−=−=，所以sin353tancos544AAA==

=，是又tan2B=，所以32tantan114tan()31tantan2124ABABAB+++===−−−，.所以tan(22)tan[2()]ABAB+=+22tan()1tan()ABAB+=−+21124421171112−=

=−−.例7试以cos表示2sin2，22cos，2tan2.解：是2的二倍角.在倍角公式2cos212sin=−中，以代替2，以2代替，得2cos12sin2=−，所以21cossi

n22−=.①在倍角公式2cos22cos1=−中，以代替2，以2代替，得2cos2cos12=−，所以21coscos22+=.②将①②两个等式的左右两边分别相除，得21costan21cos−=+.例8求证：（1）1sincos[sin()sin()

]2=++−；（2）sinsin2sincos22+−+=.证明：（1）因为sin()sincoscossin+=+，sin()sincoscossin−=−将以上两式的左右两边分别相加，得si

n()sin()2sincos++−=，即1sincos[sin()sin()]2=++−.（2）由（1）可得sin()sin()2sincos++−=.①设+=

，−=，那么2+=，2−=.把，的值代入①，即得sinsin2sincos22+−+=.例9求下列函数的周期，最大值和最小值：（1）sin3cosyxx=+；（2）3sin4cosyxx=+.分析：便于求周期和最大值、最小值的三角函数式是si

n()yAx=+，利用和角公式将其展开，可化为sincosyaxbx=+的形式.反之，利用和（差）角公式，可将sincosyaxbx=+转化为sin()yAx=+的形式，进而就可以求得其周期和最值了.解：（1）sin3cosyxx=+132

sincos22xx=+πππ2sincoscossin2sin333xxx=+=+.因此，所求周期为2π，最大值为2，最小值为-2.（2）设3sin4cossin()xxAx+=+，则3sin4c

ossincoscossinxxAxAx+=+.于是cos3A=，sin4A=，于是2222cossin25AA+=，所以225A=.取5A=，则3cos5=，4sin5=.由5sin()yx=+可知，所求周期为2π，最大值为5，最小值为-5.例10如图5.5

-2，已知OPQ是半径为1，圆心角为π3的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形.记POC=，求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积.分析：可先建立矩形ABCD的面积S与之间的函数关系()S

f=，再求函数()Sf=的最大值.解：在RtOBC△中，cosOB=，sinBC=.在RtOAD△中，tan603DAOA==.所以333sin333OADABC===，3cossin3ABOBOA=−=−.设矩形ABCD的面积为

S，则SABBC=3cossinsin3=−23sincossin3=−13sin2(1cos2)26=−−133sin2cos2266=+−1313sin2cos2

2263=+−1π3sin2663=+−.由π03，得ππ5π2666+，所以当ππ262+=，即6=时，133663S=−=最大.因此，当π6=时，矩形ABCD的面积最大，最大面

积为36.5．5．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式练习1.利用公式()aC−证明：（1）3cos()sin2−=−；（2）()coscos−=．【答案】证明见解析；【解析】【分析】直接利用两角差的余弦公式计算可得；【详解】证明：根据cos()co

scossinsin−=+，所以（1）333cos()coscossinsinsin222−=+=−．（2）()()coscos0cos0cossin0sincos−=−=+=2.利用公式()aC

−求cos15的值.【答案】624+【解析】【分析】将cos15转化为()3cos450−，再利用两角差的余弦公式求解即可.【详解】()cos15co30s45=−cos45cos30sin45sin30=+23216222224+=+=【点睛】本题主要考查了两角

差的余弦公式，属于基础题.3.已知3cos5=−，(,)2，求cos()4−的值．【答案】210【解析】【分析】首先利用平方关系求出sin，再利用两角差的余弦公式计算可得；【详解】解：因为3cos5=−，22cossin1+=，所以4sin5=，因

为(,)2，所以4sin5=所以23242cos()coscossinsin444252510−=+=−+=4.已知15sin17=，是第二象限角，求cos3−的值.【答案】15383

4−【解析】【分析】由平方关系得出cos，再利用两角差的余弦公式求解即可.【详解】由15sin17=，是第二象限角，得2158cos11717=−−=−所以811531538coscoscossinsin33317217234

−−=+=−+=【点睛】本题主要考查了平方关系以及两角差的余弦公式，属于基础题.5.已知2sin3=-a，3,2，3cos4=，3,22，求cos()−的值.【答案】273512−【解析】【分析】由平方关系得出cos

，sin的值，再利用两角差的余弦公式求解即可.【详解】由2sin3=-a，3,2，得225cos133=−−−=−由3cos4=，3,22，得237sin144

=−−=−所以35272735cos()coscossinsin433412−−=+=−+−−=【点睛】本题主要考查了平方关系以及两角差的余弦公式，属于中档题.

练习6.利用和（差）角公式，求下列各式的值：（1）sin15；（2）cos75；（3）sin75；（4）tan15．【答案】（1）624−（2）624−（3）624+（4）23−【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦公式计算()sin15sin4530=

−即可求解；（2）利用两角和的余弦公式计算()cos75cos4530=+即可求解；（3）利用两角和的正弦公式计算()sin75sin4530=+即可求解；（4）利用两角差的正切公式计算()tan15tan4530=−即可求解.【小问1详解】()232162sin15sin4530sin

45cos30cos45sin3022224−=−=−=−=.【小问2详解】()232162cos75cos4530cos45cos30sin45sin3022224−=+=−=−=.【小问3详解】()232162sin75sin4530sin45

cos30cos45sin3022224+=+=+=+=.【小问4详解】()31tan45tan303tan15tan4530231tan45tan303113−−=−===−++.7.（1）已知3cos5=−，,2

，求sin3+的值；（2）已知12sin13=−，是第三象限角，求cos6+的值；（3）已知tan3=，求tan()4+值．【答案】（1）43310−；（2）125326−；（3）2−【解析】【分

析】（1）首先利用平方关系求出sin，再根据两角和的正弦公式计算可得；（2）首先利用平方关系求出cos，再根据两角和的余弦公式计算可得；（3）直接利用两角和的正切公式计算可得；【详解】解：（1）因为3cos5=−，22sincos1+=，所以4si

n5=，因为,2，所以4sin5=，所以4133433sinsincoscossin333525210−+=+=−=（2）因为12sin13=−，22sincos1+=，所以5cos13=，因为是第三象限角

，所以5cos13=−，所以351121253coscoscossinsin66621321326−+=−=−−−=（3）因为tan3=，所以tantan314tan()24131

1tantan4+++===−−−8.求下列各式的值：（1）sin72cos18cos72sin18+；（2）cos72cos12sin72sin12+（3）tan12tan331tan12tan33+−（4）cos74sin14sin74cos1

4鞍-鞍；（5）sin34sin26cos34cos26−；（6）sin20cos110cos160sin70+．【答案】（1）1（2）12（3）1（4）32−（5）12−（6）1−【解析】【分析】由条件利用两角和差的三角公式、诱导公式，即可求出各题．【小问1详解】解：()sin

72cos18cos72sin18sin7218sin901+=+==；【小问2详解】解：()1cos72cos12sin72sin12cos7212cos602+=−==；【小问3详解】解：()tan12tan33tan12

33tan4511tan12tan33+=+==−；【小问4详解】解：()()3cos74sin14sin74cos14sin1474sin60sin602−=−=−=−=−；【小问5详解】解：1sin34sin26cos34cos26co

s3426cos602()−=−+=−=−；【小问6详解】解：sin20cos110cos160sin70sin20cos70cos2i()0sn70+=−−sin2070sin9(1)0=−+=−=−．9.化简：（1）13cossi

n22xx−；（2）3sincosxx+；（3）2(sincos)xx−；（4）2cos6sinxx−.【答案】（1）cos3x+；（2）2sin6x+；（3）2sin4x−；（4）22cos3

x+.【解析】【分析】（1）将原式变形为coscossinsin33xx−，逆用两角和的余弦公式化简即可；（2）将原式变形为2sincoscossin66xx+，逆用两角和的正弦公式化简即

可；（3）将原式变形为2sincoscossin44xx−，逆用两角差的正弦公式化简即可；（4）将原式变形为22coscossinsin33xx−，逆用两角和的余弦公式化简即可.【详解】（1）原式coscossinsincos

333xxx=−=+；（2）原式312sincos2sincoscossin2sin22666xxxxx=+=+=+；（3）原式222sincos2sincoscossin2sin22444xxxxx=−=−=−

；（4）原式1322cossin22coscossinsin22cos22333xxxxx=−=−=+.【点睛】本题主要考查了逆用两角和与差的正弦，余弦公式，属于中档题.10.已如3si

n()coscos()sin5−−−=，是第三象限角，求5sin4+的值.【答案】7210【解析】【分析】逆用两角差的正弦公式以及诱导公式得出3sin5=−，根据平方关系得出4cos5=−，结合两角和的正弦公式求解即可.【详解】∵3sin()coscos(

)sin5−−−=，∴3sin[()]5−−=，∴3sin5=−，又是第三象限角，∴4cos5=−.因此555324272sinsincoscossin444525210

+=+=−−+−−=.【点睛】本题主要考查了两角和与差的正弦公式以及平方关系，属于中档题.练习11.已知4cos85=−，812，求sin4，cos4，tan4的值.【答案】24sin4

25=，7cos425=，24tan47=【解析】【分析】由的范围，确定8所在象限，利用平方关系以及商数关系得出sin8，tan8，利用二倍角公式得出sin4，cos4，tan4的值.【详解】因为812，所以382.又由4cos85=−，得243sin1

855=−−−=−，3sin385tan484cos85−===−，所以3424sinsin22sincos248885525===−−=，2222437coscos2cossin48885525

==−=−−−=，2232tan23162484tantan24827731tan184=====−−.【点睛】本题主要考查了利用平方关系，商数关系以及二倍角公式化简求值，属于中档题.12.已知3sin()5−=，求cos2

的值.【答案】725【解析】【分析】由诱导公式得出sin，结合二倍角的余弦公式求解即可.【详解】由3sin()5−=，得3sin5=−，所以2187cos212sin12525=−=−=.【点睛】本题主要考查了利用诱导公式以及二倍角的余弦公式化简求值，属于基础题

.13.已知sin2sin=−，,2，求tan的值.【答案】3−【解析】【分析】由二倍角的正弦公式得出1cos2=−，利用平方关系以及商数关系化简得出tan的值.【详解】由

2sincossin=−，且sin0，可得1cos2=−.又由,2，得2213sin1cos122=−=−−=，所以3sin2tan31cos2===−−.【点睛】本题主要考查了利用二倍角的正弦公

式，平方关系，商数关系化简求值，属于基础题.14.已知1tan23=，求tan的值.【答案】tan310=−【解析】【分析】由二倍角的正切公式化简得出2tan6tan10+−=，解方程即可得出答案.

【详解】由1tan23=，得22tan11tan3=−，所以2tan6tan10+−=，所以tan310=−.【点睛】本题主要考查了二倍角的正切公式，属于基础题.15.求下列各式的值：（1）sin15co

s15；（2）22cossin88−；（3）2tan22.51tan22.5−；（4）22cos22.51−.【答案】（1）14；（2）22；（3）12；（4）22【解析】【分析】（1）将原式变形为12sin15cos152

，逆用二倍角的正弦公式求解即可；（2）逆用二倍角的余弦公式求解即可；（3）将原式变形为212tan22.521tan22.5−，逆用二倍角的正切公式求解即可；（4）逆用二倍角的余弦公式求解即可.【详解】（1）111sin1

5cos152sin15cos15sin30224===；（2）222cossincos8842−==；（3）原式212tan22.511tan4521tan22.522===−；（4）原式2cos452==.【点睛】本题主要考

查了逆用二倍角公式化简求值，属于中档题.5．5．2简单的三角恒等变换练习16.求证：sin1costan21cossin−==+.【答案】证明见解析【解析】【分析】利用二倍角公式对代数式进行变形sin1cos+22sincos222cos2=，1cossin−

22sin22sincos22=即可得证.【详解】2sin2sincossin222tan21coscos2cos22===+.2sin2sin1cos22tan2sincos2sincos222−===.所以sin1costan21cossi

n−==+【点睛】此题考查三角恒等式的证明，关键在于熟练掌握二倍角公式的应用，根据公式进行化简变形.17.已知1cos3=，且270360，试求sin2和cos2的值.【答案】

3sin23=；6cos23=−【解析】【分析】根据270360得1351802，根据半角公式求值.【详解】∵270360，∴1351802，∴sin02，cos02.∴111cos33sin2223−−===；111cos

63cos2223++=−=−=−.【点睛】此题考查半角公式的应用，根据公式化简求值，关键在于熟练掌握相关公式，半角公式在使用的过程中需要注意考虑正余弦值的取值范围.18.已知等腰三角形的顶角的余弦等于725，求这个三角形的一个底角的正切.【答

案】43【解析】【分析】设等腰三角形顶角为，一个底角为，则底角2−=，根据7cos25=即可求解.【详解】设等腰三角形顶角为，一个底角为，则底角2−=，由题意知7cos25=.∴1cos4sin

sincos22225+=−===，1cos3coscossin22225−=−===，∴sin4tancos3==，∴这个角形的一个底角的正切为43.【点睛】此题以等腰三角形为背景求底角的正切值，其

本质在于利用三角恒等变换进行化简求值.19.求证：（1）1cossinsin()sin()2=+−−；（2）1coscoscos()cos()2=++−；（3）1sinsincos()cos()2=−+−−．【答案

】证明见解析；【解析】【分析】直接利用两角和与差的三角函数化简等式的左侧，证明即可．【详解】证明：（1）11[sin()sin()][sincoscossinsincoscossin]coscos22

+−−=+−+=；（2）11[cos()cos()][coscossinsincoscossinsin]coscos22++−=−++=；（3）11[cos()cos()][cosco

ssinsincoscossinsin]sinsin22−+−−=−−−−=等式成立．20.求证：（1）sinsin2cossin22+−−=；（2）coscos2coscos22+−+=；（3

）coscos2sinsin22+−−=−.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）处理sinsinsinsin2222+−+−−=+−−，利用两角和差的正弦公式求

证；（2）处理coscoscoscos2222+−+−+=++−即可得证；（3）处理coscoscoscos2222+−+−−=+−−即可得证.【详解

】（1）sinsinsinsin2222+−+−−=+−−sincoscossinsincoscossin22222222+−+−+−+−=+−+2cossin22+−=sinsin2cossin22

+−−=.（2）coscoscoscos2222+−+−+=++−.=coscossinsincoscossinsin22222222+−+−+−+−−++2coscos22+−=即coscos2c

oscos22+−+=（3）coscoscoscos2222+−+−−=+−−coscossinsincoscossinsin22222222+−+−+−+−−−−2sinsin2

2+−=−coscos2sinsin22+−−=−.【点睛】此题考查三角恒等式的证明，关键在于准确构造角的关系，熟练掌握两角和差的正余弦公式进行化简.练习21.求下列函数的周期，最大值和最小值：（1）5cos12sinyxx=−；（2）co

s2sinyxx=+.【答案】（1）最小正周期为2T=，max13y=，min13y=−（2）最小正周期为2T=，max5y=，min5y=−【解析】【分析】（1）利用辅助角公式化简13cos()yx=+即可求得周期和最值；（2）利用辅助角公式化简5cos()yx=−即可求得周期和最值【

详解】（1）5125cos12sin13cossin13cos()1313yxxxxx=−=−=+，∴最小正周期为2T=，max13y=，min13y=−.（2）12cos2sin5cossin5cos()55yxxxxx=+=+=−

，∴最小正周期为2T=，max5y=，min5y=−.【点睛】此题考查求函数的周期和最值，关键在于熟练掌握辅助角公式进行三角恒等变换，根据公式化简求值.22.要在半径为R的圆形场地内建一个矩形的花坛，应

怎样截取，才能使花坛的面积最大？【答案】截取矩形的长为2R，宽为2R时，花坛面积最大.【解析】【分析】设圆心为O，长方形面积为S，设02AOB=，表示出面积22sin2SR=，即可求得最值.【详解】如图，设圆心为O，长方形面积为S，设02AOB

=，则sinABR=，cosOBR=，∴2222sin2cos2sin2SABOBRRR===，∴当4=时，花坛的面积最大，2max2SR=.此时，22ABR=，22OBR=.∴截取矩形的长为2R，宽为2R时，花坛面积最大，最大值为

22R.【点睛】此题考查利用三角函数求解应用题，关键在于合理建立函数模型，根据函数性质求解最值和最值取得的条件.23.已知正n边形的边长为a，内切圆的半径为r，外接圆的半径为R.求证2tan2aRrn+=.【答案

】证明见解析【解析】【分析】根据正n边形的内切圆与边的切点结合外接圆半径找出直角三角形关系，利用直角三角形三角函数值的关系即可得证.【详解】设O是内切圆圆心，OB、OA分别是内切圆半径，外接圆半径，则OBr=，OAR=，∴n=，2aAB

=.在RtOAB△中，sinABOA=，即2sinanR=，∴2sinaRn=，cosOBOA=,即cosrnR=，∴coscos2sinanrRnn==，∴1coscos2sin2sin2

sinaaannRrnnn++=+=22cos24sincos2tan222aannnn==.【点睛】此题考查正n边形的内切圆外接圆半径关系的证明，关键在于准确找出相应图形中的等量关系.习题5．5复习巩固24.已知2sin3=，π,π2，3c

os4=−，3π,π2，求()cos−的值.【答案】352712−【解析】【分析】利用同角三角函数的平方关系求出5cos3=−和7sin4=−，再利用差角的余弦公式，代入计算即可.【

详解】∵2sin3=，且π,π2，∴2225cos1sin133=−−=−−=−；又∵3cos4=−，且3π,π2，∴2237sin1cos144=−−=−−

−=−.∴()coscoscossinsin−=+53273434=−−+−352712−=.【点睛】本题考查同角三角函数的平方关系和角的范围，考查差角的余弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题．25.已知,

都是锐角，111cos,cos()714=+=−，求cos的值.（提示：()=+−.）【答案】12【解析】【分析】根据,都是锐角，111cos,cos()714=+=−，运用同角三角函数

的平方关系，可以求出sin,sin()+的值，再根据题中的提示运用两角差的余弦公式求解即可.【详解】解：由1cos,7=是锐角，得22143sin1cos177=−=−=.因为,是锐角，所以(0,)a

+.又因为11cos()14+=−，所以221153sin()1cos()11414a+=−+=−−=，所以11153431coscos[()]cos()cossin()sin1471472=+−=+++=−+=.【点睛】本题考查了同

角三角函数的平方关系，考查了两角差的余弦公式，考虑到角之间的和差关系是解题的关键，考查了数学运算能力.26.已知()3sin305+=，60150，求cos的值.【答案】34310−.【解析】【分析】由()coscos3030=+−知，依条件得()cos30+

值，代入计算即可.【详解】60150，0009030180+，又()3sin305+=，()4cos305+=−，则()()()coscos3030cos30cos30sin30sin30=+−=+++

4331343525210−=−+=.【点睛】本题考查给值求值问题，考查了两角差的余弦公式，同角的三角函数基本关系式，考查了学生的运算求解能力.27.在ABC中，53sin,cos135AB==，求cosC的值.【答案】1665−【解析】【分析】根据53sin,cos135AB==，A,B为A

BC的内角，利用同角三角函数的平方关系，可以求出cos,sinAB的值，分类讨论，利用两角和的正弦公式和余弦公式求出cosC的值.【详解】解：53sin,cos135AB==且A,B为ABC的内角，1240,0,cos,sin213

5ABAB==.当12cos13A=−时，5312433sin()sincoscossin013513565ABABAB+=+=+−=−，AB+，不合题意，舍去，124cos,sin135

AB==，1235416coscos()(coscossinsin)13513565CABABAB=−+=−−=−−=−.【点睛】本题考查了同角三角函数的平方关系，考查了两角和的正弦公式、余弦公式，考查了数学运算能力.28.已知tan(

)3,tan()5+=−=，求tan2,tan2的值.【答案】4tan27=−，1tan28=−【解析】【分析】根据2()()=++−，2()()=+−−，利用两角和、差的正切公式直接求正切值即可

.【详解】解：tan()3,tan()5,+=−=tan()tan()354tan2tan[()()],1tan()tan()1357++−+=++−===−−+−−tan()tan()351tan2tan[()()]1tan()tan()1358a

+−−−=+−−===−++−+.【点睛】本题考查了两角和、差的正切公式，考查了数学运算能力.考虑到角之间的和差关系是解题的关键.29.化简：（1）sin347cos148sin77cos58+；（2）sin164si

n224sin254sin314+；（3）sin()cos()cos()sin()+−−+−；（4）sin()sin()cos()cos()−−−−−；（5）55tantan41251tan12+−；（6）sin()2sincos2

sinsincos()+−++.【答案】（1）22；（2）12；（3）sin()+；（4）cos()−−；（5）3−；（6）tan()−.【解析】【分析】（1）用诱导公式把题目中的角都

化到小于等于45的正角，然后逆用两角和的正弦公式求解即可；（2）用诱导公式把题目中的角都化到小于等于45的正角，然后逆用两角和的正弦公式求解即可；（3）结合诱导公式、逆用两角和的正弦公式直接求解即可；（4）结合诱导公式、逆用两角差的余弦公式直接求解即可；（5）结合诱导公式、逆用两角差的正切公式直

接求解即可；（6）根据两角和的正弦公式和余弦公式展开计算，再逆用两角差的正弦和余弦公式化简，最后根据同角三角函数的商数关系化简即可.【详解】（1）sin347cos148sin77cos58sin13cos32cos13sin(32())=−++−n1332452

sin()si2==+=；（2）)sin164sin224sin254sin314sin16sin44(s(co16(cos)4)4=−++−−1cos()cos6021644=+==；（3）sin()cos()cos()sin()

+−−+−sin()cos()cos()sin()=+−++−sin[(()]sin()=++−=+；（4）sin()sin()cos()cos()sin()sin()cos()cos()

−−−−−=−−−−−cos[()()]cos()=−−−−=−+；（5）555tantantantan52412412tan()tantan()55124331tan1tantan12412++==+==−−−tan33

=−=−；（6）sin()2sincossincoscossin2sincos2sinsincos()2sinsincoscossinsin+−+−=+++−.cossinsinc

ossin()tan()tan()sinsincoscoscos()−−==−=−−=−+−【点睛】本题考查了正用、逆用两角和差的正弦、余弦、正切公式，考查了诱导公式，考查了特殊角的三角函数值，考查了同角三角函数的商数关系.30.已知sin0.80,0,2

=，求sin2,cos2的值（精确到0.01）.【答案】sin20.96=，cos20.28=−【解析】【分析】运用同角三角函数的平方关系，结合已知求出cos的值，再利用二倍角的正弦公式和余弦公式求解即

可.【详解】解：由sin0.8,0,2=，得22cos1sin10.80.6=−=−=，sin22sincos20.80.60.96===，2222cos2cossin0.60.80.28=−=−=−.【点睛】本题考查了同角三角函数

的平方关系，考查了二倍角的正弦公式和余弦公式，考查了数学运算能力.31.求证：（1）2(sin2cos2)1sin4−=−；（2）tantan2tan2424xxx++−=；（3）1sin2cossincossin+=++；（4）2212sincos1

tancossin1tan−−=−+；（5）21cos2tan1cos2−=+；（6）1sin2cos2tan1sin2cos2+−=++.【答案】见解析【解析】【分析】（1）将等式的左边运用完全

平方差的公式展开，再逆用二倍角的正弦公式即可证明出等式的左边等于等式的右边；（2）将等式的左边用两角和差的正切公式展开，然后通分，最后逆用二倍角的正切公式即可证明出等式的左边等于等式的右边；（3）根据同角三角函数的平方关系和二倍角的正弦公式，可以证明出等式的左边等于等式的右边；（4）等式的左边运用

同角三角函数的平方关系、二倍角的余弦公式，完全平方和平方差公式，最后利用同角三角函数的商数关系可以证明出等式的左边等于等式的右边；（5）等式的左边运用二倍角的余弦公式、同角三角函数的商数关系可证明出等式的左边等于等式的右边；（6）等式的左边运用二倍角的余弦公式、正弦公式、同角三角函数的

商数关系可证明出等式的左边等于等式的右边.【详解】证明：（1）左边22sin2cos22sin2cos21sin4aaaa=+−=−=右边；（2）左边2tan1tan14tan2222tan1tan1tan1tan222xxxxxxx+

−=+===−+−右边；（3）左边22sin2sincoscossincoscossin++==+=+右边；（4）左边22cossin2sincoscossin1tan(cossin)(cossin)cossin1tan+−−−====−+++右边

；（5）左边()()222112sintan12cos1−−===+−右边；（6）左边22(1cos2)sin22sin2sincossin(sincos)tan(1cos2)sin22cos2sincoscos(sincos)

−+++=====++++右边.【点睛】本题考查了三角恒等式的证明，考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角的正弦、余弦公式，考查了公式的恒等变形能力.32.已知11si

n(),sin()23+=−=；（1）求证：sincos5cossin=；（2）求证：tan5tan=．【答案】（1）利用两角和差公式化简求证即可（2）化弦为切即可证明【解析】【详解】试题分析

：（1）∵1sin()2+=，，∴1sincoscossin2+=……①∵1sin()3−=，∴1sincoscossin3−=……②联立①②解得51sincos,cossin1212==，∴sincos5cossin=，得证（2）由si

ncos5cossin=得sinsin5coscos=，∴tan5tan=，得证考点：本题考查了两角和差公式的运用点评：三角求值题解题的一般思路是“变角、变名、变式”，变角：它决定变换的方向，

通过找出已知条件和待求结论中的差异，分析角之间的联系，决定用哪一组公式，是解决问题的关键；变名：在同一个三角式中尽可能使三角函数的种类最少，一般考虑化弦或化切（用同角三角函数的关系式或万能公式）；变式

：由前二步对三角式进行恒等变形，或逆用、变形用公式，使问题获解；33.已知1tan12tan−=+，求证tan24tan4=−+.【答案】证明见解析【解析】【分析】通过已知可以求出tan的值，运用二倍角的正切公式

计算等式左边代数式的值，再运用两角和的正切公式计算等式右边的值即可.【详解】证明：由已知可解得1tan2=−.于是22122tan42tan21tan3112−===−−−−，1tantan1

142tan1431tantan1142+−++===−−−，tan24tan4=−+.【点睛】本题考查了两角和的正切公式，考查了二倍角的正切公式，考查了数学运算能力.34.已知一段圆弧所对的圆心角

的正弦值等于35，求这段圆弧所对的圆周角的正弦、余弦和正切.【答案】正弦、余弦、正切值分别为103101,,10103或31010,,31010.【解析】【分析】根据同圆或等圆中同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，

根据同角三角函数的平方关系，分类讨论，结合半角公式求解即可.【详解】解：设这段圆弧所对的圆心角为，圆周角为则2=，且3sin05=，sin,cos,tan均为正值，由3sin5=，得4cos5=.当4cos

5=时，1cos101cos3101sinsin,coscos,tan221022103−+=======.当4cos5=−时，31010sinsin,coscos,tan3210210=====.∴这段弧所对圆周角的正弦、余弦、正切值

分别为103101,,10103或31010,,31010.【点睛】本题考查了同角三角函数的平方关系、商数关系，考查了圆周角和圆心角的关系，考查了数学运算能力.35.化简（1）315sin35cosxx+；（2）33cos

sin22xx−；（3）3sincos22xx+；（4）26sincos4444xx−+−.【答案】（1）65sin6x+；（2）3sin3x−；（3）2sin

26x+；（4）27sin212x−.【解析】【分析】运用辅助角公式对四个三角式直接化简即可.【详解】（1）31315sin35cos65(sincos)65sin()226xxxxx+=+=+；（2）33

31cossin3(cossin)3sin22223xxxxx−=−=−；（3）313sincos2(sincos)2sin22222226xxxxx+=+=+；（4）2621sincossincos4444222443xxxx

−+−=−+−27sin212x=−【点睛】本题考查了辅助角公式的应用，考查特殊角的三角函数值的应用，考查了数学运算能力.综合运用36.在ABC中，已知tan,tanA

B是x的方程2(1)10xpx+++=的两个实根，求C.【答案】34C=【解析】【分析】利用一元二次方程的根与系数关系，结合两角和的正切公式直接求解即可.【详解】解：tan,tanAB是x的方程2(1)10xpx+

++=，即210xpxp+++=的两个实根.tantan,tantan1ABpABp+=−=+，tantantantan[()]tan()11tantan1(1)ABpCABABABp+−=−+=−+=−=−=−−−+.由于30,4CC

=.【点睛】本题考查了两角和的正切公式，考查了一元二次方程根与系数关系，考查了三角形内角和定理，考查了数学运算能力.37.在ABC中，4B=，BC边上的高等于13BC,则cosA=（）A.31010B.1010C.1010−

D.31010−【答案】C【解析】【详解】试题分析：设2212,2,5sincos,sin,coscos255ADaABaCDaACaA========10cos()10=+=−,故选C.考点：解三

角形.视频38.求证：（1）43cos44cos28sin+−=；（2）()22tantan23sincos2sin2tan2tan3+−=−−.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分

析】（1）对等式的左边运用二倍角的余弦公式进行运算即可证明出等式的左边等于等式的右边；（2）对等式的左边运用切化弦、逆用两角差的正弦公式、辅助角公式可以证明出等式的左边等于等式的右边.【详解】证明：（1）左边()()2222232cos21412sin

3212sin58sin=+−−−=+−−+()42242214sin4sin8sin8sin=−++−+==右边；（2）左边sinsin2sinsin2coscos23cos23cos2sin2sinsin2coscos2

sincos2cos=−=−−−sin23cos22sin23=−=−=右边.【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式、同角三角函数的商数关系，考查了辅助角公式，考

查了数学运算能力.39.是否存在锐角,，使得：223+=，tantan232=−同时成立？若存在，求出锐角,的值；若不存在，说明理由.【答案】存在，,64【解析】【分析】利用两角和的正切公式可得tanta

n332+=−，结合tantan232=−可求tan232=−及tan1=，求出tan后可得,的值.【详解】假设存在锐角,使得223+=，tantan232=−同时成立.得23+=，所以tantan

2tan321tantan2++==−.又因为tantan232=−，所以tantan332+=−.因此tan,tan2可以看成是方程2(33)230xx−−+−=的两个根.解该方程得121,23xx==−.若tan12=

，则2=.这与为锐角矛盾.所以tan23,tan12=−=，故()()22233tan3123−==−−，因为,为锐角，所以,64==.所以满足条件的,存在，且,64==.【点睛】三角方程的求解的基本方法是消元法，也可以利用三角变换公式把三

角方程化简为角的三角函数的方程，求出它们的值后可得角的大小，化简三角方程时要关注三角方程的结构形式便于找到合理的三角变换方法.视频40.（1）求函数()sin4sin436fxxx=++−的最小正周期和单调递增区间；（2）求函数()22()sincos0fxaxb

xab=++的最大值和最小值.【答案】（1）周期为2，单调递增区间为75,,248248kkkZ−+.（2）最大值为22ab+，最小值为22ab−+【解析】【分析】（1）利用诱导公式、辅助角公式化简

函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式和单调性求解即可；（2）利用辅助角公式直接求解即可.【详解】解：（1）()sin4sin4sin4cos433233fxxxxx=+++−=+−+2s

in42sin43412xx=+−=+，最小正周期为242=；由242,2122kxkkZ−+++剟，得75,248248kkxkZ−+剟，∴单调递增区间为75,,2

48248kkkZ−+.（2）22()sincossin()fxaxbxabx=+=++，其中2222cos,sinababab==++，()fx的最大值为22ab+，最小值为22ab−+.【点睛】本题考查了用辅助角公式求解

正弦型函数的最小正周期、单调区间和最值，考查了数学运算能力.拓广探索41.观察以下各等式：2020003sin30cos60sin30cos604++=，2020003sin20cos50sin20cos504++=2020003sin15cos45sin15cos454++=，分析上述各

式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．【答案】【解析】【详解】本试题主要是考查了合情推理的运用，根据已知的关系式观察发现了角的关系，然后将特殊问题一般化思想，是一种归纳推理的运用．并运用二倍角公式加以证明猜想的正确性．证明：220

002sincos(30)sincos(30)1cos21cos(602)31sincossin222211331cos231cos2cos2sin2sin2244444++++−++=++−−=−+−+−=42.

你能利用所给图形，证明下列两个等式吗？1(sinsin)sincos222+−+=；1(coscos)coscos222+−+=.【答案】证明见解析【解析】【分析】取线段AB的中点M，求出它的坐标，再利用圆的几何性质和锐角三角函数中正弦的定义和余弦的定义证明即

可.【详解】证明：线段AB的中点M的坐标为11(coscos),(sinsin)22++.过点M作1MM垂直于x轴，交x轴于1M，如图，则111()()22MOM=−+=+.在RtOMA中，coscos22OMOA−−==.在1RtOMM中，11c

oscoscos22OMOMMOM+−==.11sinsincos22MMOMMOM+−==于是有1(coscos)coscos222+−+=，1(sinsin)sincos222+−+=.【点睛】本题考查了利用单位圆、锐

角三角函数中正弦的定义、余弦的定义证明三角恒等式，考查了数形结合思想.43.设()sincos,{|2,}xxfaxnnkk+=+=N.利用三角变换，估计()f在2,4,6x=时的取值情况，进而猜想x取一般值时()f的取值范围.【答案】猜想

，当2,xkk+=N时，11()12kf−.【解析】【分析】根据同角三角函数的平方关系，二倍角的正弦公式，分别求出当2,4,6x=时，()f的取值范围，然后猜想出x取一般值时()f的取值范围.【详解】解：当2x=时，2

2()sincos1f=+=；当4x=时，()244222221()sincossincos2sincos1sin22f=+=+−=−，此时有1()12f；当6x=时，()()366

22222223()sincossincos3sincossincos1sin24f=+=+−+=−，此时有1()14f剟，由此猜想，当2,xkk+=N时，11()12kf−.【点睛】本题考查了同角三角函数的平方关系，考查了正弦的二倍角的

公式，考查了正弦函数的值域，运用代数式的恒等变形是解题的关键.