【文档说明】2022高三统考数学文北师大版一轮教师文档：第二章第十二节第二课时　导数与函数的零点问题 含答案【高考】.doc，共(4)页，131.000 KB，由小赞的店铺上传

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-1-第十二节第二课时导数与函数的零点问题授课提示：对应学生用书第47页考点一利用导数判断函数的零点个数或区间[例]已知函数f(x)＝1＋x－x22＋x33－x44＋…＋x20192019，g(x)＝1－x＋x22－x33＋x44－…－x20192019，设函数F

(x)＝f(x＋2)·g(x－3)，且函数F(x)的零点均在区间[a，b](a＜b，a，b∈Z)内，求b－a的最小值．[解析]f′(x)＝1－x＋x2－x3＋…＋x2018＝1＋x20191＋x＞0，

所以f(x)在[a，b](a＜b，a，b∈Z)上为增函数，至多有一个零点．f(－1)＝1＋(－1)－（－1）22＋（－1）33－…＋（－1）20192019＝－12－13－…－12019＜0，f(0)＝1

＞0，所以f(x)的零点x满足－1＜x＜0，所以f(x＋2)的零点x1满足－1＜x1＋2＜0，则－3＜x1＜－2.g′(x)＝－1＋x－x2＋x3－…－x2018＝－1＋x20191＋x＜0，所以g(x)

在[a，b](a＜b，a，b∈Z)上为减函数，至多有一个零点．g(1)＝1－1＋12－13＋…＋12018－12019＞0，g(2)＜0，所以g(x)的零点x满足1＜x＜2，所以g(x－3)的零点x2满足1＜x2

－3＜2，所以4＜x2＜5，故b－a的最小值为5－(－3)＝8.[破题技法]判断函数零点个数的方法(1)直接解方程法，令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点；(2)利用零点的存在性定理，定理的使用前提不仅要求函数图像在区间[a，

b]上是连接不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还要注意结合函数的图像与性质才能确定函数有多少个零点；(3)数形结合法，将原问题转化为两个函数图像的交点个数问题．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2sinx－x

cosx－x，f′(x)为f(x)的导数．(1)证明：f′(x)在区间(0，π)存在唯一零点；(2)若x∈[0，π]时，f(x)≥ax，求a的取值范围．解析：(1)证明：设g(x)＝f′(x)，则g(x)＝cosx＋xsinx－1，g′(x)＝xcosx.当x∈

0，π2时，g′(x)>0；当x∈π2，π时，g′(x)<0，所以g(x)在0，π2上单调递增，在π2，π上单调递减．又g(0)＝0，gπ2>0，g(π)＝－2，故g(x)在(0，π)存在唯一零点．所以f′(x)在区间

(0，π)存在唯一零点．-2-(2)由题设知f(π)≥aπ，f(π)＝0，可得a≤0.由(1)知，f′(x)在(0，π)只有一个零点，设为x0，且当x∈(0，x0)时，f′(x)>0；当x∈(x0，π)时，f′(x)<0，所以f(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，π)上单调递减．

又f(0)＝0，f(π)＝0，所以当x∈[0，π]时，f(x)≥0.又当a≤0，x∈[0，π]时，ax≤0，故f(x)≥ax.因此，a的取值范围是(－∞，0]．考点二由函数零点或方程的根求参数问题[例]已知函数

f(x)＝lnx－kx＋1(k为常数)，若f(x)有且只有一个零点，求k的取值组成的集合．[解析]易知f′(x)＝1－kxx(x＞0)．①k≤0时，f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．而f(ek－2)＝k－2－k·ek－2

＋1＝k(1－ek－2)－1≤－1＜0，f(1)＝1－k＞0，故f(x)在(ek－2，1)上存在唯一零点，满足题意．②k＞0时，令f′(x)＞0，得x＜1k，则f(x)在(0，1k)上单调递增；令f′(x)＜0，得x＞1k，则f(x)在(1k，＋∞)上单调递减．若f(

1k)＝0，即k＝1，显然满足题意．若f(1k)＞0，即0＜k＜1，而f(1e)＝－ke＜0，又f(4k2)＝2ln2k－4k＋1＝2(ln2k－2k)＋1，令h(x)＝lnx－x＋1(x＞0)，则h′(x

)＝1－xx，令h′(x)＞0，得x＜1，故h(x)在(0，1)上单调递增；令h′(x)＜0，得x＞1，故h(x)在(1，＋∞)上单调递减．故有h(x)≤h(1)＝0，则h(2k)＝ln2k－2k＋1＜0，即ln2k－2k＜－1.

则f(4k2)＝2(ln2k－2k)＋1＜－1＜0，故f(x)在(1e，1k)上有唯一零点，在(1k，4k2)上有唯一零点，不符合题意．易知f(1k)＜0时不符合题意．综上，k的取值组成的集合是{k|k≤0或k＝1}．[破题技法]已知

函数(方程)零点的个数求参数的取值范围(1)函数在定义域上单调，满足零点存在性定理．(2)若函数不是严格单调函数，则结合图像求最小值或最大值．(3)分离参数后，数形结合，讨论参数所在直线与函数图像交点的个数．若函数f(x)＝ax－x2(a＞1)有三个不同的零点，求实数a的取值范围．解析：令f

(x)＝ax－x2＝0，可得ax＝x2.(1)当x＜0时，函数y＝ax与y＝x2的图像有一个交点；(2)当x＞0时，两边同时取自然对数得xlna＝2lnx，-3-即lna＝2lnxx，由题意得函数y＝lna与g(x)＝2lnxx的图像在(0，＋∞)上有两个不同的交点，g′

(x)＝2（1－lnx）x2，令g′(x)＞0，解得0＜x＜e，则g(x)在(0，e)上单调递增，令g′(x)＜0，解得x＞e，则g(x)在(e，＋∞)上单调递减，则g(x)max＝g(e)＝2e，lna＜2e，∴1＜a＜e

2e时有两个交点；又x＜0时，必有一个交点，∴1＜a＜e2e时，函数f(x)＝ax－x2(a＞1)有三个不同的零点．考点三零点双变量问题[例]已知f(x)＝ex－ax有两个零点x1，x2，且x1＜x2，则下列不等关系正确的是()A．a＜eB．x1＋x2

＞2C．x1·x2＞1D．有极小值点x0且x1＋x2＞2x0[解析]①对于选项A，(分离参数)若a＝0，不符合题意，故a≠0，令f(x)＝0，得1a＝xex.设g(x)＝xex，则g′(x)＝(1－x)e－x，进而

可得g(x)在(－∞，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，所以g(x)在x＝1处取得极大值g(1)＝1e.由此可画出直线y＝1a与曲线y＝g(x)，如图所示，由图知，0＜1a＜1e，所以a＞e，

故选项A错误．②对于选项B，(分离参数＋构造函数)由①可得g(x)在(－∞，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，由g(x1)＝g(x2)及图可得0＜x1＜1＜x2，所以2－x2＜1.欲证x1＋x2＞2，即证x1＞2－x2.因为函数g(x)在(－∞，1)上是增函数，所以即证g(x1

)＞g(2－x2)．又g(x1)＝g(x2)，所以即证g(x2)＞g(2－x2)，即g(x2)－g(2－x2)＞0(x2＞1)．设F(x)＝g(x)－g(2－x)＝xex－2－xe2－x(x＞1)，可得F′(x)＝(x－1)(ex－2－e－x)＞0(x＞1)．所以函数

F(x)在(1，＋∞)上是增函数，所以F(x)＞F(1)＝0(x＞1)．所以g(x2)＞g(2－x2)(x2＞1)，所以x1＋x2＞2，故选项B正确．[答案]B[破题技法]求解零点双变量问题的常用策略：一是构造新函数；二是将原问题转-4-化为

极值点或拐点偏移问题．设函数f(x)＝ex＋sinx，g(x)＝12x.若存在x1，x2∈[0，＋∞)使得f(x1)＝g(x2)成立，则x2－x1的最小值是________．解析：设x2－x1＝t，由f(x1)＝g(x2)得x2＝2

(ex1＋sinx1)＝x1＋t，所以t＝2(ex1＋sinx1)－x1，所以x2－x1的最小值即函数F(x)＝2(ex＋sinx)－x在[0，＋∞)上的最小值．因为F′(x)＝2ex＋2cosx－1(x≥0)，所以令φ(x)＝2ex＋2cosx－1(x≥0)，则φ

′(x)＝2(ex－sinx)＞0，所以函数F′(x)在[0，＋∞)上单调递增，从而F′(x)≥F′(0)＝2＋2－1＝3＞0，所以F(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以F(x)≥F(0)＝2，故x2－

x1的最小值为2.答案：2