【文档说明】四川省阆中中学2020届高三适应性考试（二）数学（理）试题 【精准解析】.doc，共(24)页，1.863 MB，由小赞的店铺上传

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2020年普通高等学校招生全国统一考试适应性考试（二）数学（理）一．选择题（每题5分，共60分）1.已知集合{1,2,3,4,5}A=,(,),,BxyxAyAxyA=−,则B中所含元素的个数为（）A.3B.6C.8D.10【答案】D【解析】列举法得出集合()()()()()()()(

)()()2,1314151324252435354B=，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共含10个元素．故答案选D2.设复数z满足=1iz−，z在复平面内对应的点为(x，y)，则A.22+11()xy+=B.22(1)1xy−+=C.22(1)1yx

+−=D.22(+1)1yx+=【答案】C【解析】【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．【详解】,(1),zxyizixyi=+−=+−22(1)1,zixy−=+−=则22(1)1yx+−=．故

选C．【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．3.已知向量()()1,3,2amb==−，，且()abb+⊥，则m=()A.−8B.−6C.6D.8【答案】D【解析】【分析】由已知向量的坐标求

出ab+的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．【详解】∵(1,),(3,2),(4,2)ambabm==−+=−，又()abb+⊥，∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝8．故选D．【点睛】本题考查平面向量的坐标运算

，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．4.已知双曲线C：2221(0)9yxbb−=，其焦点F到C的一条渐近线的距离为2，该双曲线的离心率为（）A.133B.132C.23D.32【答案】A【解析】【分析】求出双曲线的焦点坐标以及双曲线的渐近线方

程，然后利用已知条件求解即可．【详解】双曲线C：2221(0)9yxbb−=，其焦点()20,9Fb+到C的一条渐近线3yxb=的距离为2，可得229231()bb+=+，可得2b=，3a=，所以13c=，所以双曲线的离心率为：133e=．故选A．【点睛】本题考查双

曲线的简单性质的应用，渐近线方程以及离心率求法，考查计算能力．双曲线的离心率问题，主要是有两类试题：一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的范围．基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中,,abc的关系式，求值问题就是建立关于,,abc的等式，求取值范围问题就是建立关于

,,abc的不等式．5.我国古代数学著作（算法统宗》中有这样一个问题（意为）：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．“那么，此人第4天和第5天共走路程是（）A.24里B.36里C

.48里D.60里【答案】B【解析】【分析】记每天走的路程里数为na，可知na是公比12q=的等比数列，由6378S=，利用等比数列求和公式解得1a，利用等比数列的通项公式可得45aa+．【详解】记每天走的路程里数为na，可知na是公比12q=的等比数列，由6378S=，得166

112378112aS−==−，解得：1192a=，344511192()192()24123622aa+=+=+=．所以此人第4天和第5天共走了241236+=里，故选B．【点睛】本题考查了等比数

列的通项公式与求和公式，考属于中档题．等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,nnaqnaS，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A.12

种B.18种C.24种D.36种【答案】D【解析】4项工作分成3组,可得：24C=6，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：36363A=种．故选D.7.已知满足223cos=，则coscos44+−=

（）A.718B.2518C.718−D.2518−【答案】A【解析】【分析】根据两角和差的余弦公式得到原式可化为()2211(cossin)(cossin)cossin22−+=−，代入余弦值求解即可．【详解】根据两角和差的

余弦公式得到()2211coscos(cossin)(cossin)cossin4422+−=−+=−，因为22cos3=，得到sin=13或13−代入得到结果为718．故答案为：A【点睛】本题考查利用两角和差的

余弦公式，属基础题.8.已知5log2a=，0.5log0.2b=，0.20.5c=，则,,abc的大小关系为（）A.acbB.abcC.bcaD.cab【答案】A【解析】【分析】利用10,,12等中间值区分各个数值的大小．【详解】551log2log52a=，0

.50.5log0.2log0.252b==，10.200.50.50.5，故112c，所以acb．故选A．【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较．9.函数()(1cos)sinfxxx=−在[,]−的图

像大致为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：因为()102f=，故排除A；因为()(1cos)(sin)()fxxxfx−=−−=−，所以函数()fx为奇函数，故排除B；因为()cosc

os2fxxx=−，分别作出cosyx=与cos2yx=的图象，可知极值点在(,)2上，故选C．考点：1、函数的图象；2、函数的奇偶性；3、利用导数研究函数的单调性．10.如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上

底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为（）A.16053B.8053C.9623D.25633【答案】A【解析】【分析】设球心为O，三棱柱的上底面111ABC△的内切圆的圆心为1O，该圆与边11BC切于点M，根据球的几何性质可得

1OOM△为直角三角形，然后根据题中数据求出圆1O半径，进而求得球的半径，最后可求出球的体积．【详解】如图，设三棱柱为111ABCABC−，且12,5,13ABBCAC===，高14AA=．所以底面111ABC△为斜边是11AC的直角三角

形，设该三角形的内切圆为圆1O，圆1O与边11BC切于点M，则圆1O的半径为11251322OM+−==．设球心为O，则由球的几何知识得1OOM△为直角三角形，且1844OO=−=，所以222425OM=+=，即球O的半径为25，所以球O的体积为34(25)16

0353=．故选：A．【点睛】本题考查与球有关的组合体的问题，解答本题的关键有两个：（1）构造以球半径R、球心到小圆圆心的距离d和小圆半径r为三边的直角三角形，并在此三角形内求出球的半径，这是解决与球有关的问题时常用的方法

．11.设抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点为F，点M在C上，5MF=，若以MF为直径的圆过点（0,2），则C的方程为（）A.24yx=或28yx=B.22yx=或28yx=C.24yx=或216yx=D.22yx=或216yx=【答案】C【解析】【详解

】∵抛物线C方程为22(0)ypxp=,∴焦点(,0)2pF，设(,)Mxy,由抛物线性质52pMFx=+=,可得52px=−，因为圆心是MF的中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为52，由已知圆半径也为52,据此可知该圆与y轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为2，

则M点纵坐标为4，即(5,4)2pM−,代入抛物线方程得210160pp−+=，所以p=2或p=8.所以抛物线C的方程为24yx=或216yx=.故答案C.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义与简单几何性质，圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题，本题给出抛物线一条长度为5的焦

半径MF,以MF为直径的圆交抛物线于点(0,2)，故将圆心的坐标表示出来，半径求出来之后再代入到抛物线中即可求出p的值，从而求出抛物线的方程，因此正确运用圆的性质和抛物线的简单几何性质是解题的关键.12.若对于任意的12,[2,0)xx−，12xx，有121212

22xxxexeaxx−−−−（）（）恒成立，则a的最小值为（）A.21e−B.22e−C.23e−D.1e−【答案】C【解析】【分析】由原不等式恒成立可转化为()()()()121222xxxeaxea−−−−恒成立，构造函数()(2)()xfxxea=−−，根

据函数在[2,0)−上单调递减求参数a的取值范围即可求解.【详解】由题意，不妨设120xx−，则12121222xxxexeaxx−−−−（）（）可变为12121222()xxxexeaxx−−−−（）（），即()()1212122222xxxexeaxx−−−

−−−（）（）整理得：()()()()121222xxxeaxea−−−−所以函数()(2)()xfxxea=−−在[2,0)−上为减函数，()()1xfxexa=−−Q，令()0fx„

，得(1)xexa−„设(())1xgexx−=，则max()agx…因为()0xgxxe=，所以(())1xgexx−=在[2,0)−上为减函数，即max23()(2)gxge=−=−所以23ae−…，即a的最小值为23e−.

故选：C【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，利用导数解决不等式恒成立问题，考查了转化思想，属于难题.二．填空题（每题5分，共20分）13.若x，y满足113xyxy−+，则2z

xy=+的最小值为____【答案】2【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域，将2zxy=+变形为22xzy=−+，移动直线22xzy=−+并结合图形得到最优解，进而得到所求的最小值．【详解】画出不等式组表示的可行域，如图阴

影部分所示．由2zxy=+可得22xzy=−+．平移直线22xzy=−+，由图形得，当直线经过可行域内的点A时，直线22xzy=−+在y轴上的截距最小，此时z取得最小值．由31xyy+==−解得41xy==−，所以点A的坐标为(4,)1−．所以min42(1)2z=+

−=．故答案为2．【点睛】利用线性规划求最值体现了数形结合思想的运用，解题的关键有两个：一是准确地画出不等式组表示的可行域；二是弄清楚目标函数中z的几何意义，根据题意判断是截距型、斜率型、还是距离型，然后再结合图形求出最优解后可得所求．

14.5(2)xx+的展开式中，x3的系数是_________.（用数字填写答案）【答案】10【解析】试题分析：5(2)xx+的展开式的通项为555255(2)()2rrrrrrCxxCx−−−=(0r=，1，

2，…，5)，令532r−=得4r=，所以3x的系数是452C10=.考点:二项式定理【名师点睛】确定二项展开式指定项的系数通常是先写出通项1rT+,再确定r的值,从而确定指定项系数.15.已知函数2()ln(1)1fxxx=+−+，()4fa=，

则()()()fafafa−+−−=_______．【答案】2−【解析】【分析】根据已知条件求得()fa−，结合()fx是偶函数，即可求得结果.【详解】因为()()()()222ln1ln1212fafaaaaaln+−=++−+++=+=

，又因为()4fa=，故可得()2fa−=−；又因为()()2ln1gxxx=+−是奇函数，故()gx为偶函数.又()()fxgx=也是偶函数，故可得()()0fafa−−=.故()()()fafafa−+−−=2−.故答案为：2−.【点睛】本题考查利用函数奇偶性求函数值，以及导数的

计算，属综合基础题.16.在ABC中，若()22235acb+=，则cosB的最小值为______．【答案】25【解析】【分析】根据已知条件，将cosB转化为15caac+，再利用基本不等式即可求得结果.【详解】由()22235acb+=，结合2222cosacbacB+=+，可得

：222122cos35555baccacaBacacacac+===+=，当且仅当ac=时，cosB取得最小值为25.故答案为：25【点睛】本题考查余弦定理、利用均值不等式求和的最小值，属综合中档题.三、解答题（共70分，解答题应

写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.等差数列na的前n项和为nS，数列nb是等比数列，112ab==，234SSS+=，37646aab+=.（1）求数列na和nb的通项公式；（2）设22loglognnnnnabcba=+，求数列nc的前n项和nT.【答案】（1）1nan

=+；2nnb=（2）1211nTnn=+−+【解析】【分析】（1）设等差数列na的公差为d，等比数列nb的公比为q.根据234SSS+=，124aaa+=.再由12a=，求na的通项公式.由63746baa

=+和12b=，求nb的通项公式（2）由（1）得2222loglog211loglog211nnnnnnnabnnncbannn++=+=+=+++，转化为1121nCnn=+−+，利用裂项相消法求和.

【详解】（1）设等差数列na的公差为d，等比数列nb的公比为q.234SSS+=，即121231234aaaaaaaaa++++=+++，124aaa+=.12a=，1d=，()111naandn=+−=+.3764664aab

+==.12b=，2q=，2nnb=.（2）2222loglog211loglog211nnnnnnnabnnncbannn++=+=+=+++()11111111112111nnnnnnn+−=++=++−=+−+++1111111121212233411n

Tnnnnn=+−+−+−++−=+−++.【点睛】本题主要考查等差、等比数列通项公式和裂项相消法求和，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.1

8.在某单位的食堂中，食堂每天以10元/斤的价格购进米粉，然后以4.4元/碗的价格出售，每碗内含米粉0.2斤，如果当天卖不完，剩下的米粉以2元/斤的价格卖给养猪场.根据以往统计资料，得到食堂某天米粉需求量的频率分布直方图如图

所示，若食堂购进了80斤米粉，以x（斤）（其中50100x）表示米粉的需求量，T（元）表示利润.（1）估计该天食堂利润不少于760元的概率；（2）在直方图的需求量分组中，以区间中间值作为该区间的需求量，以需求量落入该区间的频率作为需求量在该区间的概率，求T的分布列和数学期望.【答案】

(1)0.65；(2)答案见解析.【解析】试题分析：(1)由题意可得利润函数20640,5080,960,80100.xxTx−=结合题意求解不等式有即70100x.则食堂利润不少于760元的概

率是0.65.(2)由题意可知T可能的取值为460，660，860，960.分别求得相应的概率有()4600.15PT==，()6600.2PT==，()8600.3PT==，()9600.35PT==.据此得出分布列，然后计算数学期望有()795ET=.试题解析：

（1）一斤米粉的售价是4.4522=元.当5080x时，()22108028020640Txxx=−+−=−.当80100x时，22801080960T=−=.故20640,5080,

960,80100.xxTx−=设利润T不少于760元为事件A，利润T不少于760元时，即20640760x−.解得70x，即70100x.由直方图可知，当70100x时，()()100.030.0150.020.65PA=++=.（2）当55x=时，2

055640460T=−=；当65x=时，2065640660T=−=；当75x=时，2075640860T=−=；当80x时，2055640460T=−=.所以T可能的取值为460，660，860，960.()4600.015100.15PT===，()6600.02100.2

PT===，()8600.03100.3PT===，()()9600.0150.02100.35PT==+=.故T的分布列为()4600.156600.28600.3ET=++9600.35795+=.19.如图所示，直三棱柱111ABCABC−的各棱长均相等，点E为1AA的中点.（

1）证明：11EBBC⊥；（2）求二面角11CEBC−−的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）64【解析】【分析】（1）通过证明1BC⊥平面1EBC即可证得；（2）建立空间直角坐标系，利用向量求解.【详解】（1）设1BC与1CB交点为O，连接OE，BE.由

题可知四边形11BCCB为正方形，所以11BCCB⊥，且O为1BC中点.又因222BEABAE=+，2221111CEAEAC=+，所以1BECE=，所以1BCOE⊥.又因为1OECBO=，所以1BC⊥平面1EBC.因为1EB平面1EBC，所以11BCEB⊥.（2）取AB的中点'O，

连接'OC，'OCAB⊥，在平面11ABBA过点'O内作AB的垂线，如图所示，建立空间直角坐标系'Oxyz−.设2AB=，则()0,1,1E−，()10,1,2B，()0,1,0B，()13,0,2C−.所以()10,2,1

EB=，()13,1,1EC=−.设平面11CEB的一个法向量为(),,nxyz=，则112030nEByznECxyz=+==−++=，令3y=，则()1,3,23n=−−.由（1）可知平面1CEB的一个法向量为()13,1,2BC=−−，则111cos,nBC

BCnnBC=43643141312==++++.由图可知二面角11CEBC−−为锐角，所以其余弦值为64.【点睛】此题考查通过线面垂直证明线线垂直，通过空间向量求解二面角的大小，关键在于根据定理准确推导，计算求解.20.己知圆222

1:(1)(13)Fxyrr++=剟，圆2222:(1)(4)Fxyr−+=−．（1）证明：圆1F与圆2F有公共点，并求公共点的轨迹E的方程；（2）已知点(),00()Qmm，过点2F且斜率为()0kk的直线与（1）中轨迹E相交于,MN两点，记直线QM的斜率为1k，直线

QN的斜率为2k，是否存在实数m使得()12kkk+为定值？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．【答案】（1）详见解析；22143xy+=；（2）存在实数2m=−使得()121kkk+=−．【解析】【分析】（1）根据圆与圆的位置关系以及椭圆

的定义，即可得出公共点的轨迹E的方程；（2）设过2F点且斜率为k的直线方程为(1)ykx=−，将其代入椭圆方程，利用韦达定理得出1212,xxxx+的值，再结合两点的斜率公式求解即可.【详解】（1）证

明：因为12(1,0),(1,0)FF−，所以122FF=因为圆1F的半径为r，圆2F的半径为4r−又因为13r≤≤，所以|4|2rr−−，即12|4||4|rrFFrr−−−+所以圆1F与圆2F有公共点设公共点为P，因此124PFPF+=，所以P点的轨迹E是以12(1,0),(

1,0)FF−为焦点的椭圆，所以24,12,3acab====即轨迹E的方程为22143xy+=（2）过2F点且斜率为k的直线方程为(1)ykx=−，设()()1122,,,MxyNxy由22143(1)xyykx+

==−消去y得到()22224384120kxkxk+−+−=则221212228412,4343kkxxxxkk−+==++①因为121112,yykkxmxm==−−所以()()()121212121211kx

kxyykkkkkxmxmxmxm−−+=+=+−−−−()()()()()()2212211212121111xxmxxmxxkkxmxmxmxm−−+−−−−=+=−−−−()()21212212122(1)2xxmxxmkxxmxxm−+++=−++将①式

代入整理得()212222(624)4(1)312mkkkkmkm−+=−+−因为0m所以当23120m−=时，即2m=−时，()121kkk+=−即存在实数2m=−使得()121kkk+=−【点睛】本题主要考查了求椭圆的轨迹方程以及椭圆中的定值问

题，涉及了圆与圆位置关系的应用，属于中档题.21.已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．【答

案】（1）见解析；（2）(,0a−.【解析】【分析】（1）求导得到导函数后，设为()gx进行再次求导，可判断出当0,2x时，()0gx，当,2x时，()0gx，

从而得到()gx单调性，由零点存在定理可判断出唯一零点所处的位置，证得结论；（2）构造函数()()hxfxax=−，通过二次求导可判断出()()min2hxha==−−，()max222hxha−==−

；分别在2a−，20a−≤，202a−和22a−的情况下根据导函数的符号判断()hx单调性，从而确定()0hx恒成立时a的取值范围.【详解】（1）()2coscossin1cossin1fxxxxxxxx=−+−=+−令()cossin1gxxxx=+−，

则()sinsincoscosgxxxxxxx=−++=当()0,x时，令()0gx=，解得：2x=当0,2x时，()0gx；当,2x时，()0gx()gx在0,2上单调递增；在,2ππ

上单调递减又()0110g=−=，1022g=−，()112g=−−=−即当0,2x时，()0gx，此时()gx无零点，即()fx无零点()02gg

0,2x，使得()00gx=又()gx在,2ππ上单调递减0xx=为()gx，即()fx在,2ππ上的唯一零点综上所述：()fx在区间()0,存在唯一零点

（2）若0,x时，()fxax，即()0fxax−恒成立令()()()2sincos1hxfxaxxxxax=−=−−+则()cossin1hxxxxa=+−−，()()coshxxxgx==由（1）可知，

()hx在0,2上单调递增；在,2ππ上单调递减且()0ha=−，222ha−=−，()2ha=−−()()min2hxha==−−，()max222hxha−==−①当2a−时，(

)()min20hxha==−−，即()0hx在0,上恒成立()hx在0,上单调递增()()00hxh=，即()0fxax−，此时()fxax恒成立②当20a−≤时，()0

0h，02h，()0h1,2x，使得()10hx=()hx在)10,x上单调递增，在(1,x上单调递减又()00h=，()()2sincos10haa=−−+=−()0hx在0,上恒成立，即()fxax恒成立③

当202a−时，()00h，2022ha−=−20,2x，使得()20hx=()hx在)20,x上单调递减，在2,2x上单调递增()20,xx时，()()00hxh=，可知()fxax不恒成立

④当22a−时，()max2022hxha−==−()hx在0,2上单调递减()()00hxh\<=可知()fxax不恒成立综上所述：(,0a−【点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范

围的问题.对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值.请考生在第22，23三题中任选一题作答，如果多做，则按所做

的第一题得分．作答时请写清题号22.在平面直角坐标系xOy中，l的参数方程为1,11txttyt−+=+=+（t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐

标方程为22123sin=+.（1）求l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点到l距离的最大值及该点坐标.【答案】（1）l的普通方程为210(1)xyx−+=；曲线C的直角坐标方程为22143xy+=（2）曲线C上的点到直

线l距离的最大值为5，该点坐标为31,2−【解析】【分析】（1）先将直线l的参数方程利用部分分式法进行转化，再消参数，即可得解，要注意去除杂点；将曲线C的方程先去分母，再将siny=，222xy+=代入，化简即可求

解；（2）先将曲线C的方程化为参数形式，再利用点到直线的距离公式，结合三角函数求最值，即可得解.【详解】解：（1）由1(1)221,111(1)111111ttxtttttyttt−++−===−++++−===−+++

（t为参数），得1x.消去参数t，得l的普通方程为210(1)xyx−+=；将22123sin=+去分母得2223sin12+=，将222sin,yxy==+代入，得22143xy+=，所以曲线C的直角坐标方程为22143xy+=.（2）由（1）可设曲线C的参数

方程为2cos,3sinxy==（为参数），则曲线C上的点到l的距离224cos1|2cos23sin1|351(2)d++−+==+−，当cos13+=，即2,3kk=−+Z时，max555d==，此时，2cos2

1,3()33sin232xkkyk=−+==−+=−Z，所以曲线C上的点到直线l距离的最大值为5，该点坐标为31,2−.【点睛】本题考查参数方程与普通方程、直角坐标和极坐标之间的转化，利用圆锥曲线的参数方程解

决点到直线距离的问题，考查考生的运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题.23.设函数()|2||3|fxxx=++−.（Ⅰ）求不等式()9fx的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式()|32|fxm−有解，求实数m的取值范围.【答案】（

Ⅰ）|5xx或4x−；（Ⅱ）1m−或73m.【解析】【分析】（Ⅰ）将绝对值函数分段表示，分别求解即可；（Ⅱ）利用绝对值不等式的性质|2||3|5xx++−，转化为|32|5m−，求解即可.【详解】（Ⅰ）21,2()5,2321,3xxfxxxx−+−=−−

，当2x−时，219x−+，解得4x−，所以4x−；当23x−时，59，解得x；当3x时，219x−，解得5x，所以5x，综上所述，不等式()9fx的解集为|5xx或4x−.（Ⅱ）∵|2||3||2(3)|5xxxx++−+−

−=（当且仅当(2)(3)0xx+−即23x−时取等）∴|32|51mm−−或73m.【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解和恒成立问题，考查了学生转化化归，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题

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