【文档说明】青海省海东市2021届高三上学期第一次模拟考试数学（文）试题 含解析【精准解析】.doc，共(20)页，1.749 MB，由小赞的店铺上传

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高三数学试卷（文科）第Ⅰ卷一、选择题1.已知集合24Axx=−，{|2}Bxx=，则AB=（）A.{24}xx−∣B.{24}xx∣C.{22}xx−∣D.{24}xx∣【答案】B【解析】【分析】

根据交集定义计算．【详解】{24}ABxx=∣．故选：B．2.i为虚数单位，复数()2121izi−=+的虚部为（）A.12B.12−C.12iD.12i−【答案】B【解析】【分析】由复数的运算法则可得112zi=−−，再由复数虚部的概念即可得解.【详解】由题意()()22

121212112221iiiiziiii−−−====−−+，所以复数z的虚部为12−.故选：B.【点睛】本题考查了复数的运算与虚部的概念，属于基础题.3.函数1()1fxx=+的图象在点11,22f处的切线斜率为（）A.2B.-2C.4D.4−【答案】D【解析】【分析

】首先求出函数的导函数，再代入求值即可；【详解】解：因为()11fxx=+，所以()21fxx=−，142f=−.故选：D4.已知为第二象限角，3sin5=，则sin2=（）A.2425−B.1225−C.1225D.2425【答案】A【解析】【分析】由平

方关系求得cos，再由二倍角公式计算．【详解】因为为第二象限角，3sin5=，所以234cos1()55=−−=−．所以3424sin22sincos2()5525==−=−．故选：A．【点睛】本题考查二倍角

的正弦公式，考查同角间的三角函数关系，属于基础题．5.在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知2a=，3b=，5c=，则sinC=（）A.59B.53C.23D.49【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理求出cosC的值，再利用同角三角函数的基本关系可求得sinC的值.【详解

】由余弦定理可得2224952cos22233abcCab+−+−===，则角C为锐角，因此，245sin1cos193CC=−=−=.故选：B.6.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S值

等于()A.－3B.－10C.0D.－2【答案】A【解析】【分析】【详解】第一次循环，21112SK=−==，；第二次循环，21203SK=−==，；第三次循环，20334SK=−=−=，，当4K=时，4K不成立，循环结束，此时3s=−，故选A.7.已知一组数据1

x，2x，3x的平均数是5，方差是4则由121x+，221x+，321x+，11这4个数据组成的新的一组数据的方差是（）A.16B.14C.12D.8【答案】C【解析】【分析】根据1x，2x，3x的平均和方差是得出()()()22212355512xxx−+−

+−=,求出121x+，221x+，321x+，11这4个数据得方差为()()()222123555xxx−+−+−即可得出答案.【详解】解:由已知得12315xxx++=，()()()22212355512xxx−+−+−=，则

新数据的平均数为()()12312323111212121111144xxxxxx++++++++++==，所以方差为()()()()2222123121112111211111114xxx+−++−++−+−()()()222123145454

54xxx=−+−+−()()()22212355512xxx=−+−+−=，故选:C8.若双曲线222:1(0)9xyCbb−=的一条渐近线与x轴的夹角是3，则C的虚轴长是（）A.33B.63C.2D.233【答案】B【解析】【分析】根据双曲线方程可求出渐近线方程，利用渐近

线的倾斜角可得斜率，根据斜率即可求解.【详解】因为双曲线222:1(0)9xyCbb−=，所以双曲线的渐近线方程为3byx=，因为一条渐近线与x轴的夹角是3，所以直线3byx=的倾斜角为3，则tan333b==，解得33b=，故双

曲线C的虚轴长是263b=.故选：B9.函数()cosxfxx=（22x−且0x）的图象可能．．是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】结合函数的奇偶性和单调性，利用排除法即可得到本题答

案.【详解】因为cos()cos()()xxfxfxxx−−===−−−，又22x−且0x，所以()fx为奇函数，其函数图象关于原点对称，所以排除,AC；由题，得2sincos()xxxfxx−−

=，因为当02x时，sin0,cos0xx，所以sincos0xxx−−，则()0fx，所以()fx在0,2递减，所以排除D.故选：B【点睛】本题主要考查根据函数的解析式判断函数的图象，利用函数的性质及特殊点，是解决此类问题的关键.10.如图，战国商鞅铜方升是

公元前344年商鞅督造的标准量器.秦始皇统一中国后，仍以商鞅所规定的制度和标准统一全国的度量衡.经测量，该铜方升内口（长方体）深1寸，内口长是宽的1.8倍，内口的表面积（不含上底面）为33平方寸，则该铜方升内口的容积为（）A.5.4立方寸B.8立方寸C.16

立方寸D.16.2立方寸【答案】D【解析】【分析】根据题意设出内口的长和宽，由表面积得出长和宽，最后计算长方体的体积.【详解】设内口宽为a寸，则长为1.8a寸，由()221.81.833aaa++=整理得29281650a+−=，解得3a=（559a=−舍去）故所求的容积为()31.831

16.2=立方寸.故选：D11.在矩形ABCD中，35AB=，22AD=，点E满足32DEDC=，则AEBD=uuuruuur（）A.21B.186−C.22−D.1810【答案】C【解析】【分析】以AB，AD所在直线为x，y轴建立

平面直角坐标系，用坐标表示向量后计算数量积．【详解】(35,22)BD=−12.椭圆2222:1(0)xyCabab+=，1F，2F分别为左、右焦点，1A，2A分别为左、右顶点，P为椭圆上的动点，且12120PFPFPAPA+恒成立，则椭圆C的离心率可能为（）A

.12B.22C.33D.32【答案】AC【解析】【分析】设()00,Pxy，1(,0)Fc−，2(,0)Fc，则()100,PFcxy=−−−，()200,PFcxy=−−，()100,PAaxy=−−−，()200,PAaxy=−−，

再由12120PFPFPAPA+可得2230ac−，从而可求出离心率的范围【详解】设()00,Pxy，1(,0)Fc−，2(,0)Fc，则()100,PFcxy=−−−，()200,PFcxy=−−

，()100,PAaxy=−−−，()200,PAaxy=−−．因为222212120022PFPFPAPAxyac+=+−−22222200222bxbxaca=+−−−222222022330cxacaca=+−−恒成立，所以

离心率33cea=．故选：AC【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆的几何性质的应用，考查的离心率的求法，解题的关键是由12120PFPFPAPA+转化为坐标的关系，进而可得到,ac的关系，考查计算能力，属

于中档题二、填空题13.已知函数2,0()(3),0xxfxfxx=−，则(6)f=______.【答案】1【解析】【分析】根据分段函数每一段的定义域求解.【详解】因为函数2,0()(3),0xxf

xfxx=−，所以0(6)(3)(0)21fff====.故答案为：114.已知实数x，y满足条件20220230xyxyxy+−−−+−，则22zxy=+的最大值为______．【答案】225【解析】【分析】作出不等式组所表示的平面

区域，结合图形确定出目标函数的最优解，代入即可求解.【详解】作出不等式组20220230xyxyxy+−−−+−表示的可行域，如图所示，目标函数22zxy=+，可化为直线2zyx=−+，当直线2zyx=−+过点A时，直线2zyx=−+在y轴

上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由220230xyxy−−=+−=，解得74,55A，代入可得目标函数的最大值为max742222555z=+=.故答案为：225.【点睛】根据线性规划求解目标函数的最值问题的常见形式：（

1）截距型：形如zaxby=+.求这类目标函数的最值常将函数zaxby=+转化为直线的斜截式：azyxbb=−+，通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值；（2）距离型：形如()()22zxayb=−+−，转化为可行域内的点

到定点的距离的平方，结合点到直线的距离公式求解；（3）斜率型：形如ybzxa−=−，转化为可行域内点与定点的连线的斜率，结合直线的斜率公式，进行求解．15.如图，在三棱锥DABC−中，ACBD⊥，一平面截三棱锥DAB

C−所得截面为平行四边形EFGH.已知2EF=，5EH=，则异面直线EG和AC所成角的正弦值是______.【答案】147【解析】【分析】推导出//EHAC，//GHBD，由ACBD⊥可得出90EHG=，利用

勾股定理计算出EG，求出sinGEH，即为所求.【详解】因为四边形EFGH是平行四边形，//EHFG，EH平面ACD，FG平面ACD，//EH平面ACD，EH平面ABC，平面ABC平面ACDAC

=，//EHAC，同理可证//GHBD，直线EG和AC所成角即为GEH，因为ACBD⊥，所以90EHG=.因为2EF=，5EH=，所以227EGEFEH=+=，故14sin7GHEFGEHEGEG===.因此，异面直线EG和AC所成角的正弦值是147.故答案为：147.【点睛】思路点睛

：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线

所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．16.若将函数()()sin06fxx=+的

图象向左平移9个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，则实数的最小值是________.【答案】3【解析】【分析】函数()()sin06fxx=+的图象向左平移9个单位，得到()si

n96gxx=++为偶函数，利用(0)sin=196g=+，可得解【详解】由题意，函数()()sin06fxx=+的图象向左平移9个单位，得到()()sin()sin9696gxfxxx==++=

++为偶函数=()962kkZ+93=()22kkZ−又0，故当1k=时,实数的最小值是3，故答案为：3【点睛】本题考查了三角函数的图像变换，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题三、解答题（一）必考题

17.已知等差数列{an}是递增数列，且a1a5=9，a2+a4=10.（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=11·nnaa+(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.【答案】（1）21nan=−；（2）21nn+.【解析】【分析】（1）设{an}的公差为d，由题意得111

1(4)9310aadadad+=+++=，，从而可求出1,ad，进而可得数列{an}的通项公式；（2）由（1）可得bn=11·nnaa+=1(21)(21)nn−+=12(12-1n−121n+).然后利用裂项相消法求和即可【详解】解：（1）设{an}

的公差为d，因为a1a5=9，a2+a4=10，所以1111(4)9310aadadad+=+++=，，解得112ad==或192ad==−，由于数列为递增数列，则0d，所以112ad==所以12(1)21nann=+−=−.（2）由于

21nan=−，则bn=11·nnaa+=1(21)(21)nn−+=12(12-1n−121n+).所以Sn=b1+b2+…+bn=12(1−13+13−15+…+12-1n−121n+)=12(1−121n+

)=21nn+.18.某电脑公司为调查旗下A品牌电脑的使用情况，随机抽取200名用户，根据不同年龄段（单位：岁）统计如下表：分组频率/组距[25,30)0.01[30,35)0.04[35,40)0.07[

40,45)0.06[45,50]0.02（1）根据上表，试估计样本的中位数、平均数（同一组数据以该组区间的中点值为代表，结果精确到0.1）；（2）按照年龄段从[30,35),[45,50]内的用户中进行分层抽样，抽取6人，再从中随机选取2人赠送小礼品

，求恰有1人在[45,50]内的概率．【答案】（1）中位数为38.6，平均数为38.5岁；（2）815.【解析】【分析】（1）由中位数分数据两边的频率相等，列方程求中位数；根据各组数据的中点数乘以频率即可得平均数；（2）由分层抽样确定从[30,35)

,[45,50]中各抽4人、2人，列举出随机选取2人的所有组合，得到恰有1人在[45,50]的组合数，即可求概率.【详解】（1）中位数在)35,40中，设为x，则()0.0150.0450.07350.5x++−=，解得38.6x.平均数为()27.50.0132.50.0437.

50.0742.50.0647.50.02538.5++++=岁.所以样本的中位数约为38.6，平均数为38.5岁.（2）根据分层抽样法，其中位于)30,35中的有4人，记为A，B，C，D；位于45,50中的有2人，记为a，b.从6人中抽取2人，有(),AB，(),AC，(),

AD，(),Aa，(),Ab，(),BC，(),BD，(),Ba，(),Bb，(),CD，(),Ca，(),Cb，(),Da，(),Db，(),ab，共15种情况，恰有1人在45,50内的有(),Aa，(),Ab，(),Ba，(

),Bb，(),Ca，(),Cb，(),Da，(),Db，共8种情况，∴恰有1人在45,50内的概率为815.【点睛】关键点点睛：由中位数的性质以及平均数与各组数据中点值、频率的关系求中位数、平均数；根据分层抽样确定各组选取人数，利用列举法求概率.19.如图，在三棱锥ABCD−中，

122ABADCDBC====，E为BC的中点，BDCD⊥，且2AE=.（1）证明：平面ACD⊥平面ABD.（2）求点C到平面ADE的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）2217.【解析】【分析】（1）取BD的中点为O，连接

OA，OE，由等腰三角形的性质得BDAO⊥，由勾股定理得OEAO⊥，先得CD⊥平面ABD，再得结论；（2）利用等体积法，根据ACDECADEVV−−=可得结果.【详解】（1）证明：取BD的中点为O，连接OA，OE.因为BDCD⊥，4BC=，2CD=，

所以23BD=，3OB=.又2ABAD==，所以BDAO⊥，且1AO=.在AOE△中，112EOCD==，2AE=，所以222AOOEAE+=，即OEAO⊥，从而CDAO⊥.又CDBD⊥，BDAOO=，所以CD⊥平面ABD.因为CD平面ACD，所以平面ACD⊥

平面ABD.（2）解：因为DE是RtBCD斜边上的中线，所以122DEBC==.在ADE中，2ADDE==，2AE=，则AE边上的高为22214222−=，所以11472222ADES=

=△.又1112233222CDEBCDSS===△△.设点C到平面ADE的距离是h，由ACDECADEVV−−=，得1133CDEADESOASh=△△，所以7312h=，解得2217h=，即点C到平面ADE的距离为22

17.【点睛】关键点点睛：（1）要证面面垂直，只需在其中一个面内找一条线垂直于另一个面即可；（2）主要利用等体积法求点到面的距离，求出三棱锥的体积是解题的关键.20.已知圆22:(2)1Mxy+−=，动圆P与圆M外切，且与直线1y=−相切．（1）求动圆圆心P的轨迹C的方程．（2）

若直线:2lykx=+与曲线C交于A，B两点，分别过A，B作曲线C的切线，交于点Q．证明：Q在一定直线上．【答案】（1）28xy=，（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意可得P到直线2y=−的距离等于

P到()0,2M的距离，则由抛物线的定义可求得点P的轨迹C的方程；（2）设211,8xAx，222,8xBx，()00,Qxy，直线与抛物线联立方程组，消去y，再利用根据与系数的关系

可得128xxk+=，1216xx=−，再利用导数求出切线AQ，BQ的方程，从而可得12028xxy==−【详解】（1）解：设P到直线1y=−的距离为d，则1dPM=−，所以P到直线2y=−的距离等于P到()0,2M的距离，由抛物线的定义可知，P的轨迹C的方程为28xy=.（2）证明

：设211,8xAx，222,8xBx，()00,Qxy，联立方程组28,2,xyykx==+，得28160xkx−−=，则128xxk+=，1216xx=−，264640k=+.由28

xy=，得28xy=，所以4xy=，所以切线AQ的方程为21148xxyx=−，①同理切线BQ的方程为22248xxyx=−，②由①2x−②1x，得12028xxy==−，所以点Q在直线上2y=−.【点睛】关键点点睛：此题考查轨迹方程的求法，考

查直线与抛物线的位置关系，解题的关键是求出切线AQ的方程为21148xxyx=−，切线BQ的方程为22248xxyx=−，从而可求出其交点从坐标，考查计算能力，属于中档题21.已知函数()(1)exfxx=−（1）求()fx的最值；（2）若()elnxfx

xxa+++对(0,)x+恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）最小值为1−，无最大值；（2）(,1−.【解析】【分析】（1）求导()exfxx=，因为得定义为R，分别令()0fx，()0fx求得极值即为最值.（2

）转化为elnxaxxx−−在(0,)+上恒成立，令()elnxgxxxx=−−，用导数求得其最小值即可.【详解】（1）()exfxx=，令()0fx，得0x；令()0fx，得0x.所以()fx在(),0−上单调递减，在()0,+上单调递增

，所以()fx的最小值为(0)1f=−，无最大值.（2）由题知，elnxaxxx−−在(0,)+上恒成立，令()elnxgxxxx=−−，则1()(1)exgxxx=+−，因为0x，所以10x+.设1()exhxx=−，易知()hx在(0,)+上单调递增.因

为1e202h=−，(1)e10h=−所以存在1,12t，使得()0ht=，即1ett=.当,()0xt时，()0gx，()gx在(0,)t上单调递减；当(,)xt+时，()0gx，()gx在(,)t+上单调递增.所以min()()eln11t

gxgtttttt==−−=+−=，从而1a，故a的取值范围为(,1−.【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若()fx在区间D上有最值，()()min,00xDfxfx；()()max,00xDfxfx；若能分离常数，即将问题转化为：()a

fx（或()afx），则()()maxafxafx；()()minafxafx；（二）选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy中，直线():1tan2lyx=−.以坐标原点为极点，x轴正半轴为

极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sincos4=.（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若l与C相交于A，B两点，且16AB=，求.【答案】（1）24yx=；（2）56=【解析】【分析】（1）先将2sincos4=两边同时平方，再利用cosx

=，siny=，即可得到曲线C的直角坐标方程；（2）写出直线l的参数方程，与曲线C的直角坐标方程联立，设出A，B所对应的参数分别为1t，2t，再利用12ABtt=−，列出方程，即可求出.【详解】解：（1）由2sincos4=，得:22sin4co

s=.又cosx=，siny=，C的直角坐标方程为24yx=；（2）直线l的参数方程为1cos,sinxtyt=+=（其中t为参数，2），将它代入24yx=，得：22sin4cos40tt−−=，

设A，B对应的参数分别为1t，2t，则1224cossintt+=，1224sintt=−，()2121212244sinABtttttt=−=+−=，又2416sin=，2，1sin2=，即56=.【点睛

】关键点点睛：直角坐标方程与极坐标方程互化的关键是利用公式cossinxy==，求直线与圆锥曲线的弦长时，利用直线参数方程的几何意义更简单.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()fxx=

.（1）求不等式()()3112fxfx−−+的解集；（2）若不等式()()()23fxafxfx−+++的解集包含2,1−−，求a的取值范围.【答案】（1）()(),03,−+U；（2）2,1−−.【解析】【分析】（1）依题意可得3112xx−−+，再利用零点分段法分类讨论，分

别计算可得；（2）依题意可得23xaxx−+++对于2,1x−恒成立，即11axa−+在2,1−−上恒成立，即可得到不等式组，解得即可；【详解】解：（1）3(1)(1)2fxfx−−+即3112xx−−+

，所以13(1)12xxx−−−++或113(1)12xxx−−−−−或1,3(1)12,xxx−−−解得1x−或10x−或3x，即0x或3x，所以原不等式的解集为()(),03

,−+U.（2）()(2)(3)fxafxfx−+++即23xaxx−+++.因为不等式()(2)(3)fxafxfx−+++的解集包含2,1−−，所以23xaxx−+++对于2,1x−恒成立.因为2,1x−

−，所以20x+，30x+，所以23xaxx−+++等价于23xaxx−+++，即1xa−恒成立，所以11axa−+在2,1−−上恒成立，所以12,11,aa−−−+解得21a

−−，即实数a的取值范围为2,1−−.【点睛】本题是含参数的不等式存在性问题，只要求存在满足条件的x即可；不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集∅的对立面(如f(x)＞m的解集是空集，则f(x)≤m恒成

立)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f(x)＜a恒成立⇔a＞f(x)max，f(x)＞a恒成立⇔a＜f(x)min.