【文档说明】吉林省白城一中、大安一中、通榆一中2020-2021学年高一下学期期末考试联考数学试卷【精准解析】.doc，共(20)页，969.500 KB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年吉林省白城一中、大安一中、通榆一中、洮南一中、镇赉一中高一（下）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C

．第三象限D．第四象限2．从2021名学生中选取50名学生参与一项调查，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2021人中剔除21人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率（）A．不全相等B．均不相等C．都相等，且为D．都相等，

且为3．如图，在△ABC中，，P是BN的中点，若，则实数m的值是（）A．B．1C．D．4．如图正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积（）A．B．1C．D．2（1+）5．已知，若，则

的值为（）A．B．C．D．6．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是

（）A．甲地：总体均值为3，中位数为4B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C．丙地：中位数为2，众数为3D．丁地：总体均值为2，总体方差为37．已知A（﹣2，1），B（6，﹣3），C（0，5），则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形

8．设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，+∞）时，f（x）是增函数，则f（﹣2），f（π），f（﹣3）的大小关系是（）A．f（π）＞f（﹣3）＞f（﹣2）B．f（π）＞f（﹣2）＞f（﹣3）C．f（π）＜f（﹣3）＜f（﹣2）D．f（π）＜f（﹣2）＜f（﹣3）二、多项选择

题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若m⊥α，n∥α，则m⊥nB．若m∥n，n∥α，

则m∥αC．若m∥n，n⊥β，m∥α，则α⊥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n10．下列函数中是偶函数，且在（0，+∞）上为增函数的有（）A．y＝cosxB．y＝x3C．y＝x2+4D．y＝log2|x|11．下列说法错误的是（）A．若，，则B．若，则存在唯一实数λ使得C．若，且，则D．两个非零向

量，，若，则与共线且反向12．已知在正三棱锥A﹣BCD中，底面△BCD的边长为4，E为AD的中点，AB⊥CD，AB⊥CE，下列结论正确的为（）A．正三棱锥A﹣BCD的体积为2B．三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为24πC．AD⊥BCD．CE与CD所成角的正切值为三、填空题（本大题

共4小题，每小题5分，共20分）13．设集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x2﹣3x＜0}，则M∩N＝．14．从集合中任取两个不同的数a，b，则logab＞0的概率为．15．已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数k的取值范围是．16．如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方

体，下面结论中正确的是．（把你认为正确的结论都填上）①A1C1⊥平面BDD1B1；②BD1⊥平面ACB1；③BD1与底面BCC1B1所成角的正切值是；④过点A1与异面直线AD与CB1成60°角的直线有2条．四、解答题（本大题共6

小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知：复数z＝（1+i）2+，其中i为虚数单位．（1）求z及|z|；（2）若z2+a，求实数a，b的值．18．已知向量，满足：||＝2，||＝1，（+）（2﹣）＝8．（Ⅰ）求与的夹角θ；（Ⅱ）求|+|．

19．已知A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|（x﹣k）（x﹣k+4）＞0}．（1）若A∩∁RB＝[0，3]，求实数k的值；（2）若p：x∈A，q：x∈B，若p是q的充分条件，求实数k的取值范围．20．某学校为担任班主任的教师办理手机语音月卡套餐，为了解通话时长，采用随机抽样的方法，得

到该校100位班主任每人的月平均通话时长T（单位：分钟）的数据，其频率分布直方图如图所示，将频率视为概率．（1）求图中m的值；（2）在[450，500），[500，550]这两组中采用分层抽样的方法抽取6人

，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人恰在同一组的概率．21．如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，BC＝2AD，AD⊥CD，PD⊥平面ABCD，E为PB的中点．求证：（1）AE∥平面PD

C；（2）若CD＝PD，证明：AE⊥平面PBC．22．若向量＝（sinx，cosx），＝（cosx，﹣cosx），f（x）＝+t的最大值为．（1）求t的值及图象的对称中心；（2）若不等式m2在x∈[]上恒成立，求m的取值范围．参

考答案一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数的四则运算先化简，再求出共轭复数，得到其在复平面内对应点的坐标得答案．解：＝＝﹣i，∴复数的共轭复数为+i，∴共轭复数对应的点（，

）位于第一象限，故选：A．2．从2021名学生中选取50名学生参与一项调查，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2021人中剔除21人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率（）A．不全相等B．均不相等C．都相等，且为D．都相等，且为【分析】根据已知条件，结合系统抽样的定义，

即可求解．解：∵由系统抽样的定义可知，从N个个体中抽取M个个体，则每个个体被抽到的概率都等于，∴每个人入选的概率P＝．故选：C．3．如图，在△ABC中，，P是BN的中点，若，则实数m的值是（）A．B．1C．D．【分析】题目隐含

的等量关系是B，P，N三点共线（若A、B、C三点共线，则），若将中的用表示，就可得到关于m的方程．解：∵，，所以，∴＝，因为B，P，N三点共线，∴，∴，故选：C．4．如图正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图

，则原图形的面积（）A．B．1C．D．2（1+）【分析】由题意求出直观图中OB的长度，根据斜二测画法，求出原图形平行四边形的高，即可求出原图形的面积．解：由题意正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以OB＝，对应原图形平行四边形的高为：2，所以原图形的面积

为：1×2＝2．故选：A．5．已知，若，则的值为（）A．B．C．D．【分析】利用换元法，结合三角函数的诱导公式进行转化求解即可．解：设θ＝﹣α，则cosθ＝﹣，α＝﹣θ，则＝sin（﹣θ+）＝sin（π﹣θ）＝si

nθ，∵，∴θ∈（﹣，﹣），则sinθ＝﹣＝﹣，故选：C．6．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（）A．甲地：总体

均值为3，中位数为4B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C．丙地：中位数为2，众数为3D．丁地：总体均值为2，总体方差为3【分析】平均数和中位数不能限制某一天的病例超过7人，当总体方差大于0，不知道总体方差的具体数值，因此不能确定数据的波动大小，中位数和众数也不能确定，当

总体平均数是2，若有一个数据超过7，则方差就接近3，符合要求．解：∵平均数和中位数不能限制某一天的病例超过7人，故A不正确，当总体方差大于0，不知道总体方差的具体数值，因此不能确定数据的波动大小，故B不正确，中位数和众数也不能确定，故C不正确，当总体平均数是2，若有一个数据超过7，则方差就

接近3，∴总体均值为2，总体方差为3时，没有数据超过7．故D正确．故选：D．7．已知A（﹣2，1），B（6，﹣3），C（0，5），则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形【分析】依题意可得•＝8×2+（﹣4）×4＝0，进而根据平面向量数量积的运算可求cosA

的值，结合A为三角形内角，可得A为直角，即可判断得解．解：∵A（﹣2，1），B（6，﹣3），C（0，5），∴＝（8，﹣4），＝（2，4），∴•＝8×2+（﹣4）×4＝0，又•＝||•||cosA，∴cosA＝0，∴在△ABC中，A为直角．故选：A．8．设偶函数f（x）的

定义域为R，当x∈[0，+∞）时，f（x）是增函数，则f（﹣2），f（π），f（﹣3）的大小关系是（）A．f（π）＞f（﹣3）＞f（﹣2）B．f（π）＞f（﹣2）＞f（﹣3）C．f（π）＜f（﹣3）＜f（﹣2）D．f（π）＜f（﹣2）＜f（﹣3）【分

析】由偶函数的性质，知若x∈[0，+∞）时f（x）是增函数则x∈（﹣∞，0）时f（x）是减函数，此函数的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，故比较三式大小的问题，转化成比较三式中自变量﹣2，﹣3，π的绝对值大小的问题．解：由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，+∞）时f（x）是增函数则x

∈（﹣∞，0）时f（x）是减函数，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵|﹣2|＜|﹣3|＜π∴f（π）＞f（﹣3）＞f（﹣2）故选：A．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目

要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若m⊥α，n∥α，则m⊥nB．若m∥n，n∥α，则m∥αC．若m∥n，n⊥β，m∥α，则α

⊥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n【分析】对于A，由线面垂直的性质定理得m⊥n；对于B，m∥α或m⊂α；对于C，由面面垂直的判定定理得α⊥β；对于D，由线面垂直的性质定理得m∥n．解：设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，对于A，若m⊥α，n∥α，则由线面垂直的性质定理得m⊥n，

故A正确；对于B，若m∥n，n∥α，则m∥α或m⊂α，故B错误；对于C，若m∥n，n⊥β，m∥α，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；对于D，若m⊥α，n⊥α，则由线面垂直的性质定理得m∥n，故D正确

．故选：ACD．10．下列函数中是偶函数，且在（0，+∞）上为增函数的有（）A．y＝cosxB．y＝x3C．y＝x2+4D．y＝log2|x|【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，综合可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝cosx，是偶函数，但在在（0，+∞）

上不具有单调性，A错误；对于B，y＝x3，是奇函数不是偶函数，B错误；对于C，y＝x2+4，是二次函数，是偶函数，且在（0，+∞）上为增函数，C正确；对于D，y＝log2|x|＝，是偶函数，且在（0，+∞）上为增函数，D正确；故选：CD．11．下列说法错误的是（）A．若，

，则B．若，则存在唯一实数λ使得C．若，且，则D．两个非零向量，，若，则与共线且反向【分析】直接利用向量的线性运算，向量的共线，向量的数量积，三角形法则的应用判断A、B、C、D的结论．解：对于A：若，，（），则，故A错误；对于B：若，（），

则存在唯一实数λ使得，故B错误；对于C：若，且，若，则说明，，与没有关系，故C错误；对于D：两个非零向量，，若，根据三角形法则，则与共线且反向，故D正确．故选：ABC．12．已知在正三棱锥A﹣BCD中，底面△BCD的边长为4，E为AD的中点，AB⊥

CD，AB⊥CE，下列结论正确的为（）A．正三棱锥A﹣BCD的体积为2B．三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为24πC．AD⊥BCD．CE与CD所成角的正切值为【分析】由AB⊥CD，AB⊥CE，正三棱锥的

条件，可推出AB＝AD＝AC＝，AB，AD，AC两两垂直，选项A，根据等体积转化可求出三棱锥的体积；选项B，由侧棱两两垂直，可转化为长方体外接球求解；选项C，根据条件，证明出AD⊥平面ABC，再由线面垂直性质，可推出AD⊥BC；选项D，解三角形即可．解：如图，∵AB⊥CD，A

B⊥CE，CD∩CE＝C，∴AB⊥平面ACD，∵AD⊂平面ACD，∴AB⊥AD，由题可知，三棱锥为正三棱锥，∴AB＝AD＝AC＝，∴△ABC，△ACD，△ABD都是等腰直角三角形，选项A，＝＝，故A错误；选项B，由题可知，AB，AD，AC两两垂直，外接球半径R＝，∴外接球

的面积为S＝4πR2＝24π，故B正确；选项C，由题可知，AD⊥AB，AD⊥AC，AB∩AC＝A，∴AD⊥平面ABC，∵BC⊂平面ABC，∴AD⊥BC，故C正确；选项D，在△ACD中，CE2＝DC2+DE2﹣2DC•DE•cos∠CDE，解得，由正弦定理可知

，，即，∴sin∠ECD＝，∴cos∠ECD＝，∴，即CD与CE夹角的正切值为，故D错误；故选：BC．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x2﹣3x＜0}，则M∩N＝{1，

2}．【分析】求出集合N，利用交集定义求出M∩N．解：∵集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x2﹣3x＜0}＝{x|0＜x＜3}，∴M∩N＝{1，2}．故答案为：{1，2}．14．从集合中任取两个不同的数a，b，则logab＞0的概率为．【分析】先不重不漏地列举出从集合{2，3，

}中任取不同的数a，b的所有基本事件，再确定其中满足logab＞0的基本事件个数，最后利用古典概型求出所求概率即可．解：从集合{2，3，}中任取不同的数a，b的所有可能情况为（2，3），（2，），（3，2），（3，），（

，2），（，3），共6个基本事件，其中满足logab＞0的基本事件有（2，3），（3，2），包含了2个基本事件，故所求概率为P＝＝．故答案为：．15．已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数k的取值范围是（﹣1，1）∪（1，+∞）．【分析】利用向量夹角数量积公式直接求解．解：∵向量，，且与

的夹角为锐角，∴，解得k＞﹣1且k≠1，∴实数k的取值范围是（﹣1，1）∪（1，+∞）．故答案为：（﹣1，1）∪（1，+∞）．16．如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论中正确的是①②④．（把你认为正确的

结论都填上）①A1C1⊥平面BDD1B1；②BD1⊥平面ACB1；③BD1与底面BCC1B1所成角的正切值是；④过点A1与异面直线AD与CB1成60°角的直线有2条．【分析】由直线与平面垂直的判定判断①

与②，求解BD1与底面BCC1B1所成角的正切值判断③，由异面直线所成角的概念判断④．解：如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1⊥平面A1B1C1D1，又A1C1⊂平面A1B1C1D1，则

BB1⊥A1C1，又A1C1⊥B1D1，BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BB1D1D，故①正确，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，则DD1⊥AC，又BD⊥AC，且BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1，得AC⊥BD1，同理可

得B1C⊥BD1，又AC∩B1C＝C，∴BD1⊥平面ACB1，故②正确，由D1C1⊥平面BCC1B1，得∠D1BC1为BD1与平面BCC1B1所成角，其正切值为＝＝，故③错误，∵异面直线AD与CB1成45°角，∴把两直线平移至经过点A1，可知两直线所成锐角为45°

，钝角是135°，把45°角的角平分线旋转有上、下两条能与直线AD与CB1成60°角，其他情况不存在，故过点A1与异面直线AD与CB1成60°角的直线有2条，故④正确．故答案为：①②④．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．已知：复数z＝（1+i）2+，其中i为虚数单位．（1）求z及|z|；（2）若z2+a，求实数a，b的值．【分析】（1）利用复数代数形式的乘除运算化简z，再由复数模的计算公式求解；（2）把z代入z2+a，整理后利用复数相等的条件

列式求解．解：（1）∵，∴；（2）由z2+a，得：（﹣1+3i）2+a（﹣1﹣3i）+b＝2+3i，即（﹣8﹣a+b）+（﹣6﹣3a）i＝2+3i，∴，解得．18．已知向量，满足：||＝2，||＝1，（+）（2﹣）＝8．（Ⅰ）求与的夹角θ；（Ⅱ）求|+|．【分析】（Ⅰ）根据平面向量数量积与夹角公

式求出cosθ以及θ的值；（Ⅱ）根据平面向量的数量积与模长公式计算即可．解：（Ⅰ）因为||＝2，||＝1，（+）（2﹣）＝8，所以2+•﹣＝8，所以•＝8+﹣2＝8+1﹣2×4＝1，所以cosθ＝＝＝；又因为0°＜θ＜180°，所以、的夹角为θ＝

60°；（Ⅱ）因为||＝2，||＝1，•＝1，所以＝+2•+＝4+2×1+1＝7，所以|+|＝．19．已知A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|（x﹣k）（x﹣k+4）＞0}．（1）若A∩∁RB＝[0，3]，求实数k的值；（2）若p：x∈A，

q：x∈B，若p是q的充分条件，求实数k的取值范围．【分析】（1）若A∩∁RB＝[0，3]，利用集合的运算定义观察集合运算结果的端点可求实数k的值．（2）由p是q的充分条件，得到A⊆B，利用集合关系可

求实数k的取值范围．解：A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}，B＝{x|（x﹣k）（x﹣k+4）＞0}＝{x|x＞k或x＜k﹣4}，（1）∁RB＝{x|k﹣4≤x≤k}，若A∩∁RB＝[0，3]，则，即k＝4．（2）若p：x∈A，q：x∈

B，p是q的充分条件，则A⊆B，所以k﹣4＞3或k＜﹣1，即k＞7或k＜﹣1．20．某学校为担任班主任的教师办理手机语音月卡套餐，为了解通话时长，采用随机抽样的方法，得到该校100位班主任每人的月平均通话时长T（单位：分钟）的数

据，其频率分布直方图如图所示，将频率视为概率．（1）求图中m的值；（2）在[450，500），[500，550]这两组中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人恰在同一组的概率．【分析】（

1）利用频率分布直方图列方程，能求出m．（2）在[450，500）内抽取4人，记为a，b，c，d，在[500，550]内抽取2人，记为e，f，则6人中抽取2人，利用列举法，求出从这6人中随机抽取的2人恰在同一组的概率．解：（1）依题

意，50×（m+0.0040+0.0050+0.0066+0.0016+0.0008）＝1，解得m＝0.0020．（2）在[450，500）内抽取人，记为a，b，c，d，在[500，550]内抽取2人，记为e，

f，则6人中抽取2人的取法有：{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，e}，{a，f}，{b，c}，{b，d}，{b，e}，{b，f}，{c，d}，{c，e}，{c，f}，{d，e}，{d，f}，{e，f}共15种等可能的取法，其中抽取的2人恰在同一组

的有{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{e，f}，共7种取法，所以从这6人中随机抽取的2人恰在同一组的概率．21．如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，BC＝2AD，AD⊥CD，PD⊥平

面ABCD，E为PB的中点．求证：（1）AE∥平面PDC；（2）若CD＝PD，证明：AE⊥平面PBC．【分析】（1）取PC的中点F，连结DF、EF，推导出四边形ADFE是平行四边形，从而AE∥DF，由此能证明

AE∥平面PDC．（2）推导出DF⊥PC，由AE∥DF，得AE⊥PC，再推导出PD⊥BC，BC⊥CD，从而BC⊥平面PDC，BC⊥DF，BC⊥AE，AE⊥PC，进而AE⊥平面PBC．【解答】证明：（1）取PC的中点F，连接DF，EF，∵E是PB的中点，∴EF//BC

，且BC＝2EF，又AD//BC，BC＝2AD，∴AD//EF且AD＝EF，∴四边形ADFE是平行四边形，∴AE//DF，又DF⊂平面PDC，AE⊄平面PDC，∴AE//平面PDC．（2）若PD＝DC，则△PDC是等腰三角形，∴DF⊥PC，又AE//DF，∴AE⊥PC，∵PD

⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC，又BC⊥CD，CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PDC，∴BC⊥平面PDC，∵DF⊂平面PDC，∴BC⊥DF，∴BC⊥AE，又AE⊥PC，BC∩PC＝C，

BC，PC⊂平面PBC，∴AE⊥平面PBC．22．若向量＝（sinx，cosx），＝（cosx，﹣cosx），f（x）＝+t的最大值为．（1）求t的值及图象的对称中心；（2）若不等式m2在x∈[]上恒成立，求m的取值范围．【分析】（1）先利用向量

的数量积公式和倍角公式对函数式进行化简，再利用两角和公式整理，进而根据正弦函数的性质求得函数的对称中心．（2）跟x的范围确定函数f（x）的范围，要不等式m2在x∈[]上恒成立，只要m2﹣m≤f（x）min＝即可．解：（1）f（x）＝+t＝sinxcosx﹣cos2x+

t＝sin2x﹣cos2x﹣+t＝sin（2x﹣）+t﹣，∵f（x）的最大值为，∴+t﹣＝，∴t＝；由2x﹣＝kπ（k∈Z）得：x＝+，k∈Z，∴f（x）的对称中心为（+，0），k∈Z，（2）∵x∈[]，∴2x﹣∈[，]，∴sin（2x﹣）

∈[，1]，∴sin（2x﹣）∈[，]，即f（x）∈[，]，∵不等式m2在x∈[]上恒成立，∴m2﹣m≤f（x）min＝，即2m2﹣m﹣1≤0，解得﹣≤m≤1，m的取值范围为﹣≤m≤1．