【文档说明】数学人教A版必修第一册 5.4三角函数的图象与性质 5.4.2正弦函数、余弦函数的性质（第一课时） 教案含答案【高考】.docx，共(9)页，210.013 KB，由小赞的店铺上传

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1第五章三角函数5.4三角函数图象与性质【素养目标】1．理解周期函数、周期、最小正周期的定义，并会求正弦函数y＝sinx、余弦函数y＝cosx的周期．(数学抽象、数学运算)2．掌握正弦函数y＝sinx，余弦函数y＝cosx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．(数学运算)3．掌握y＝sinx，y

＝cosx的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．(数学运算)4．掌握y＝sinx，y＝cosx的单调性，并能利用单调性比较大小，并会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．(数学运算、逻辑推理)5．让学生探究学习正

、余弦函数的图象性质，体会数形结合的思想，激发学生学习数学的兴趣．(逻辑推理)【学法解读】在本节学习中，学生从观察正弦、余弦函数图象，总结它们有哪些特殊性质，从而可给出周期函数的定义，再利用诱导公式进行验证其性质，提升学生的直观想象

、数学运算等核心素养．5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一)必备知识·探新知基础知识知识点1函数的周期(1)_____周期函数______：设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有(x＋T)∈D，且f(x＋T)＝f(x)

，那么这个函数的周期为T.(2)_____最小正周期____：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．思考1：是不是所有的函数都是周期函数？若一个函数是周期函数，它的周期是

否唯一？提示：并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．知识点2正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数y＝sinxy＝cosx周期2kπ(k∈Z且k≠0)2kπ(k∈Z且k≠0)最

小正周期2π2π奇偶性奇函数偶函数思考2：(1)正弦曲线对称吗？(2)余弦曲线对称吗？提示：(1)正弦函数y＝sinx是奇函数，正弦曲线关于原点对称．(2)余弦函数y＝cosx是偶函数，余弦曲线关于y轴对

称．基础自测1．下列函数中，周期为2的是(D)A．y＝sin2xB．y＝sin2x2C．y＝cos4xD．y＝cos4x【解析】A项中，4sin(2)sin()sin222xxx++==，故T＝4π；B项中，sin(2x＋2π)＝sin[2(x＋π)]＝sin2x，故T＝π；C项中，

8cos(2)cos()cos444xxx++==，故T＝8π；D项中，cos(4x＋2π)＝cos[4(x＋2)]＝cos4x，故T＝2，综上，D项正确．2．函数y＝2sin2x的奇偶性为(A)A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非

奇非偶函数3．函数y＝－sin2x，x∈R是(A)A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为2π的奇函数D．最小正周期为2π的偶函数【解析】函数y＝－sin2x为奇函数，周期T＝22＝π.

4．若函数f(x)满足f(x＋3)－f(x)＝0，则函数f(x)是周期为___3__的周期函数．5．若函数f(x)的最小正周期是4，则必有f(x＋8)＝_____f(x)_____.关键能力·攻重难题型探究题型一三角函数的周期【例1】求下列函数的周期：(1)y＝sin12x；(2)y＝2sin(

)36x−；(3)y＝|cosx|，x∈R.【分析】可以根据周期函数的定义求解，也可以用公式T＝2||直接求解．【解析】(1)解法1：令u＝12x，则y＝sinu是周期函数，且周期为2π.∴sin1(2)2x+＝sin12x，即sin1[(4)]2x+＝si

n12x.∴y＝sin12x的周期是4π.解法2：(公式法)∵ω＝12，∴T＝212＝4π.(2)解法1：∵2sin(2)36x−+＝2sin()36x−，∴2sin1[(6)]36x+−＝2sin()36x−，3∴y＝2sin()36x

−的周期是6π.解法2：∵ω＝13，∴T＝213＝6π.(3)y＝|cosx|的图象如图(实线部分)所示，由图象可知，y＝|cosx|的周期为π.【归纳提升】求三角函数周期的方法(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对定义域

内的任意实数x都满足f(x＋T)＝f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数．(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，可利用T＝2||来求．(3)图象法：可画出函数的

图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般可采用此法．【变式训练1】求下列函数的最小正周期：(1)y＝sin(3)3x+；(2)y＝|cos(2)|6x+；(3)y＝2sin()4x−.【解析】(1)∵ω＝3，T＝23.(2)∵函数y＝cos(2)6x+的

最小正周期为π，而函数y＝|cos(2)|6x+的图象是将函数y＝cos(2)6x+的图象在x轴下方的部分对折到x轴上方，并且保留在x轴上方图象而得到的，由此可知所求函数的最小正周期为T＝2.(3

)∵ω＝2，∴T＝222=.4题型二三角函数奇偶性的判断【例2】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝|sinx|＋cosx；(2)f(x)＝sin33()42x+；(3)f(x)＝21sin

cos1sinxxx+−+.【分析】先求函数的定义域，判断函数定义域是否关于原点对称，再判断f(－x)与f(x)的关系，最终确定奇偶性．【解析】(1)函数的定义域为R.∵f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝

|sinx|＋cosx＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数．(2)f(x)＝sin33()42x+＝－cos34x，x∈R.∵f(－x)＝－cos3()4x−＝－cos34x＝f(x)，∴函数f(x)＝sin33()42x+是偶函数．(3)函数应满足1＋sinx≠0，

则函数f(x)＝21sincos1sinxxx+−+的定义域为{x∈R|x≠2kπ＋32，k∈Z}．显然定义域不关于原点对称，故函数f(x)＝21sincos1sinxxx+−+为非奇非偶函数．【归纳提升】1.判断函数奇偶

性的常用方法：(1)定义法，即从f(－x)的解析式中拼凑出f(x)的解析式，再看f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是否成立．(2)图象法，即作出函数的图象，由图象的对称性确定其奇偶性．(3)验证法，即验证f(－x)＋f(x)＝0或f(－x)－f(x)＝0(或()()fxfx−＝±1)是否

成立．此法通常用于函数是非奇非偶的情形．2．判断函数奇偶性时，必须先判断其定义域是否关于原点对称．如果是，再验证f(－x)是否等于－f(x)或f(x)，进而再判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数是非奇非偶数．【变式训练2】判断下列函

数的奇偶性：(1)f(x)＝xcos(π＋x)；(2)f(x)＝sin(cosx)．【解析】(1)函数f(x)的定义域为R，∵f(x)＝x·cos(π＋x)＝－x·cosx，∴f(－x)＝－(－x)·cos(－x)＝x·cosx＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．(2)函

数f(x)的定义域为R.∵f(－x)＝sin[cos(－x)]＝sin(cosx)＝f(x)．∴f(x)为偶函数．题型三三角函数奇偶性与周期性的综合运用5【例3】定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈[0，2]时，f(x)＝sinx，求f(53)

的值．【分析】利用周期性与奇偶性将53化到[0，2]内再求值．【解析】∵f(x)的最小正周期为π，∴522()()()()()33333fffff=+==−=−．又f(x)是偶函数．∴f(－3)＝f(3

)＝sin3＝32.【归纳提升】1.解答此类题目的关键是利用化归的思想，借助于周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解即可．2．如果一个函数是周期函数，若要研究该函数的有关性质，结合周期函数的定义可知，完全可以只研究该

函数在一个周期上的特征，加以推广便可以得到该函数在其他区域内的有关性质．【变式训练3】若f(x)是以2为周期的奇函数，且f(3)＝1，求f(－56)的值．【解析】∵f(x)为以2为周期的奇函数，∴f(－56)＝－f(56)＝－f(2

＋3)＝－f(3)＝－1.素养作业·提技能A组素养自测一、选择题1．下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是(D)2．函数y＝sin2x是(A)A．周期为π的奇函数B．周期为π

的偶函数C．周期为π2的偶函数D．周期为π2的奇函数3．对于函数y＝cos(π2－2x)，下列命题正确的是(D)A．函数是周期为2π的偶函数B．函数是周期为2π的奇函数C．函数是周期为π的偶函数D．函数是周期为π的

奇函数【解析】因为函数y＝cos(π2－2x)＝sin2x，T＝2π2＝π，且y＝sin2x是奇函数，6所以y＝cos(π2－2x)是周期为π的奇函数．4．函数y＝4cos(2x＋π)的图象关于(C)A．x轴对称B．原点对称C．y轴对称

D．直线x＝π4对称【解析】因为y＝4cos(2x＋π)＝－4cos2x，所以y＝4cos(2x＋π)为偶函数，其图象关于y轴对称．5．函数y＝sin(2x＋5π2)的一个对称中心是(B)A．(π8，0)B．(π4，0)C．(－π3，0

)D．(3π8，0)【解析】y＝sin(2x＋5π2)＝cos2x，对称中心是函数图象与x轴的交点，将四个点代入验证，只有(π4，0)符合要求，故选B．6．函数f(x)＝sinx1＋cosx的奇偶性是(A)A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数也不是偶

函数【解析】因为f(x)的定义域为{x|x≠2kπ＋π，k∈Z}，关于原点对称，又f(－x)＝sin()1cos()xx−+−＝－sinx1＋cosx＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故选A．二、填空题7．已

知函数f(x)是以2为周期的函数，且当x∈[1,3)时，f(x)＝x－2，则f(－1)＝__－1__.【解析】因为T＝2，则f(x)＝f(x＋2)．又f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)，且x∈[1,3)时，f(x)＝x－2，所以f

(－1)＝f(1)＝1－2＝－1.8．使函数y＝sin(2x＋φ)为奇函数的φ值可以是__π(答案不唯一)__.【解析】因为函数y＝sin(2x＋φ)的定义域为R，且为奇函数，所以f(0)＝0，即sin(2

×0＋φ)＝sinφ＝0，故φ＝kπ(k∈Z)．9．函数f(x)＝2sinωx－π6(ω>0)的最小正周期为4π，当f(x)取得最小值时，x的取值集合为__{x|x＝4kπ－2π3(k∈Z)}_

_.【解析】∵T＝2πω＝4π，∴ω＝12，∴f(x)＝2sin12x－π6.由12x－π6＝2kπ－π2(k∈Z)，得x＝4kπ－2π3(k∈Z)．三、解答题10．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)f(x)＝1，求证：f(x)是周期函数．7【解析】∵f(x＋2)

＝1()fx，∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝1(2)fx+11()fx=＝f(x)．∴函数f(x)是周期函数，4是一个周期．11．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈[0，π2]时，f(

x)＝sinx.(1)求当x∈[－π，0]时，f(x)的解析式；(2)画出函数f(x)在[－π，π]上的简图；(3)求当f(x)≥12时x的取值范围．【解析】(1)∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)．∵当x∈

[0，π2]时，f(x)＝sinx，∴当x∈[－π2，0]时，f(x)＝f(－x)＝sin(－x)＝－sinx.又∵当x∈[－π，－π2]时，x＋π∈[0，π2]，f(x)的周期为π，∴f(x)＝f(π＋x)＝sin(π＋x)＝－sinx.∴当x∈[－

π，0]时，f(x)＝－sinx.(2)如图．(3)∵在[0，π]内，当f(x)＝12时，x＝π6或5π6，∴在[0，π]内，f(x)≥12时，x∈[π6，5π6]．又∵f(x)的周期为π，∴当f(x)≥12时，x∈[kπ＋π6，kπ＋5π6]，k

∈Z.B组素养提升一、选择题1．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，则“f(x)是偶函数”是“φ＝3π2”的(B)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】若f(x)是偶函

数，则φ＝kπ＋π2(k∈Z)，φ＝3π2不一定成立；而φ＝3π2时，f(x)为偶函数，所以“f(x)是偶函数”是“φ＝3π2”的必要不充分条件，故选B．2．函数：①y＝x2sinx；②y＝sinx，x∈[0,2π]；③y＝sinx，x∈[－π，π]；④y＝xcosx中，奇函

数的个数为(C)8A．1B．2C．3D．4【解析】①③④是奇函数，故选C．3．(多选题)下列函数中，最小正周期为π的偶函数是(AC)A．y＝sin(2x＋π2)＋1B．y＝cos(2x＋π2)C．f(x)＝1＋sin2x＋1－sin2xD．y＝2cos

(2x＋π4)【解析】由y＝sin(2x＋π2)＋1＝cos2x＋1知，y＝sin(2x＋π2)＋1为偶函数，且周期为π，故A满足条件；由y＝cos(2x＋π2)＝－sin2x知，y＝cos(2x＋π2)为奇函数，故B

不满足条件；对任意x∈R，－1≤sin2x≤1，∴1＋sin2x≥0,1－sin2x≥0.∴f(x)＝1＋sin2x＋1－sin2x的定义域是R，关于原点对称．∵f(－x)＝1sin(2)1sin(2)xx+−+−−＝1＋sin2x＋1－sin2x＝f(x)，∴f(x)是偶函数，

且周期为π，故C满足条件；y＝2cos(2x＋π4)是非奇非偶函数，故D不满足条件，故选AC．4．(多选题)下列关于函数f(x)＝sin(x＋φ)的说法错误的是(AD)A．对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数B．存在φ，使f(

x)是偶函数C．存在φ，使f(x)是奇函数D．对任意的φ，f(x)都不是偶函数【解析】φ＝0时，f(x)＝sinx是奇函数；φ＝π2时，f(x)＝cosx是偶函数，所以B、C中的说法正确，A、D中的说法错误，故选AD．二、填空题5．

已知函数f(x)＝sin(ωx＋π6)(0<ω<2)，若f(2π3)＝1，则函数y＝f(x)的最小正周期为__4π__.【解析】因为f(2π3)＝sin(ω·2π3＋π6)＝1，所以ω·2π3＋π6＝2kπ＋π2(k∈Z)，

由此可得ω＝3k＋12(k∈Z)．又因为0<ω<2，所以令k＝0，得ω＝12，所以函数y＝f(x)的最小正周期T＝4π.6．若函数f(x)是以π2为周期的偶函数，且f(π3)＝1，则f(－17π6)＝__1__.【解析】∵f(x)的周期为π2，且f(x)为偶函数，∴f(－17π6)＝f(－3π＋

π6)＝f(－6×π2＋π6)＝f(π6)＝f(π6－π2)＝f(－π3)＝f(π3)＝1.7．关于函数f(x)＝4sin(2x＋π3)(x∈R)有下列命题：①y＝f(x)的表达式可改写为y＝4cos(2x－π6)；②y＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函9数；③函数y＝f(x－π

6)是奇函数；④y＝f(x＋π12)的图象关于y轴对称．其中正确命题的序号是__①③④__.【解析】①正确，f(x)＝4sin(2x＋π3)＝4cos[π2－(2x＋π3)]＝4cos(2x－π6)；

②错误，由题意知T＝2π2＝π；③正确，f(x－π6)＝4sin[2(x－π6)＋π3]＝4sin2x，是奇函数；④正确，f(x＋π12)＝4sin[2×(x＋π12)＋π3]＝4cos2x，是偶函数，其图象关于y轴对称．综上知，①③④正确．三、解答题8．已知函数y＝12sinx＋12|s

inx|.(1)画出函数的简图；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．【解析】(1)y＝12sinx＋12|sinx|＝sinx，x∈[2kπ，2kπ＋πk∈Z，0，x∈[2kπ－π，2kπ

k∈Z.函数图象如图所示．(2)由图象知该函数是周期函数，其图象每隔2π重复一次，则函数的周期是2π.9．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈[0，π2]时，f(x)＝1－sinx，求当x∈[52π，

3π]时f(x)的解析式．【解析】x∈[52π，3π]时，3π－x∈[0，π2]，因为x∈[0，π2]时，f(x)＝1－sinx，所以f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sinx.又f(x)是以π为周期的偶函数，所以

f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，所以f(x)的解析式为f(x)＝1－sinx，x∈[52π，3π]．