【文档说明】《冲刺2022年新高考数学艺术生专题复习提升》第6讲 立体几何（解析版）.docx，共(35)页，2.397 MB，由管理员店铺上传

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第6讲立体几何[一、基础知识必备]1.空间几何体(1)概念：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体.(2)多面体与旋转体多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体(如图)，围成多面体的

各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.2.几种常见的多面体多面体定义图形及表示相关概念棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平

行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.如图可记作：棱柱ABCDEF－A′B′C′D′E′F′底面(底)：两个互相平行的面侧面：其余各面..侧棱：相邻侧面的公共边.顶点：侧面与底面的公共顶点.棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，

由这些面所围成的多面体叫做棱锥.如图可记作，棱锥S－ABCD底面(底)：多边形面.侧面：有公共顶点的各个三角形面侧棱：相邻侧面的公共边.顶点：各侧面的公共顶点.棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面

与截面之间的部分叫做棱台.如图可记作：棱台ABCD－A′B′C′D′上底面：原棱锥的截面下底面：原棱锥的底面.侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边.顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点.3.棱柱、棱锥、棱台的关系在运动变化的

观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例).（1）分类与联系①棱柱的分类面）斜棱柱（侧棱不垂直底一般的直棱柱形）正棱柱（底面是正多边）直棱柱（侧棱垂直底

面棱柱②常见的几种四棱柱之间的转化关系(2)棱柱、棱锥、棱台在结构上既有区别又有联系，具体见下表：名称底面侧面侧棱高平行于底面的截面棱柱斜棱柱平行且全等的两个多边形平行四边形平行且相等与底面全等直棱柱平行且全等的两个多边形矩形平行、相等且垂直于底面等于侧棱与底面全等棱锥正棱锥一个正多边形全等的等腰

三角形有一个公共顶点且相等过底面中心与底面相似其他棱锥一个多边形三角形有一个公共顶点与底面相似棱台正棱台平行且相似的两个正多边形全等的等腰梯形相等且延长后交于一点与底面相似其他棱台平行且相似的两个多边形梯形延长后交于一点与底面相似温馨提醒：正四面体是

所有棱长相等的特殊的正三棱锥。正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。4.旋转体(1)圆柱①定义：以矩形一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.②相关概念(图1)③表示法：圆柱用表示它的轴的字

母表示，图中圆柱表示为圆柱O′O.(2)圆锥①定义：以直角三角形的一直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.②相关概念(图2)③表示法：圆锥用表示它的轴的字母表示，图中圆锥表示为圆锥SO.(3)圆台①定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆

台.②相关概念(图3)③表示法：圆台用表示轴的字母表示，图中圆台表示为圆台OO′.(4)球①定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.②相关概念(图4)③表示法：球常用表示球心的字母表示，图中的球表示为球O.（5）圆柱、圆锥、

圆台的关系如图所示.5.简单组合体(1)概念：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组成的.(2)基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.6.平面的概念（1）平面的概念：广阔的

草原、平静的湖面都给我们以平面的形象．和点、直线一样，平面也是从现实世界中抽象出来的几何概念．平面的画法：一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线画出来.平面的表示方法平面通常用希腊字母α，β，γ…表示，也可以用平行四边形的两个相对

顶点的字母表示，如图中的平面α、平面AC等．（2）点、线、面之间的位置关系点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达位置关系符号表示点P在直线AB上P∈AB点C不在直线AB上C∉AB点M在平面AC内M∈平面AC点A1不在平面AC内A

1∉平面AC直线AB与直线BC交于点BAB∩BC＝B直线AB在平面AC内AB⊂平面AC直线AA1不在平面AC内AA1⊄平面AC（3）平面的基本性质公理(推论)文字语言图形语言符号语言作用公理1如果一条直线上的

两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内A∈αB∈α⇒AB⊂α(1)判定直线在平面内；(2)证明点在平面内公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线P∈αP∈β⇒α∩β＝l且P∈l(1)判断两个平面

是否相交；(2)判定点是否在直线上；(3)证明点共线问题公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C不共线⇒A，B，C确定一个平面α(1)确定一个平面的依据；(2)证明平面重合；(3)证明点、线共面推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面A∉

l⇒A和l确定一个平面α推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面a∩b＝A⇒a，b确定一个平面α推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面a∥b⇒a，b确定一个平面α7.空间两条直线的位置关系(1)在同一平面内，两条直线位置关系：平行与相交．空

间中，既不平行又不相交的两条直线叫做异面直线。(2)空间两条直线的位置关系位置关系共面情况公共点个数相交直线在同一平面内有且只有一个平行直线在同一平面内没有异面直线不同在任何一个平面内没有(3)判断异面直线的方法方法内容定义法不同在任何一个平面内的两条直

线叫做异面直线定理法过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线反证法判定两条直线既不平行也不相交，那么这两条直线就是异面直线（4）平行公理(公理4)平行于同一条直线的两条直线互相平行．符号表示：a∥bb∥c⇒a∥c.（5）等角定理及异面直线所成的角①等角定理

:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．②异面直线所成的角定义前提两条异面直线a，b作法经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b结论我们把a′和b′所成的锐角(或直角)叫

做异面直线a，b所成的角范围记异面直线a与b所成的角为θ，则0°<θ≤90°特殊情况当θ＝90°时，异面直线a，b互相垂直，记作a⊥b8.直线和平面的位置关系三种位置关系：(1)直线在平面内；(2)直线与平面相交；(3)直线

与平面平行．直线与平面的位置关系：(1)直线l在平面α内(l⊂α).(2)直线l在平面α外(l⊄α)直线l与平面α相交(l∩α＝A)直线l与平面α平行(l∥α)9.两个平面的位置关系两种位置关系：两个平面相交或两个平面平行．平面与平面的位置关系位置关系图示表

示法公共点个数两平面平行α∥β0个两平面相交α∩β＝l无数个点(共线)9.线面、面面平行的判断定理及性质定理（1）直线与平面平行的判定表示定理图形文字符号直线与平面平行的判定定理平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行a⊄αb⊂αa∥b⇒a∥

α（2）平面与平面平行的判定表示定理图形文字符号平面与平面平行的判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行a⊂βb⊂βa∩b＝Pa∥αb∥α⇒β∥α（3）线面平行的性质文字语言一条直线与一个平面

平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行符号语言a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b图形语言(4)两平面平行的性质定理文字语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b图形语言10.线面、面面垂直的判

断定理及性质定理（1）直线与平面垂直的判定①直线与平面垂直的定义定义如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直记法l⊥α有关概念直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足图示

画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直②直线和平面垂直的判定定理文字语言一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直符号语言l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α图形语言（2）平面与

平面垂直的判断①定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．画法：记作：α⊥β.②判定定理文字语言一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直图形语言符号语言l⊥α，l⊂β⇒α⊥

β11.空间几何体的表面积图形表面积公式体积棱柱表面积：S＝S底+S侧hsV底柱=棱锥hsV底锥31=棱台hssssV）（下下上上台++=31圆柱底面积：S底＝2πr2，侧面积：S侧＝2πrl，表面积：S＝2πr(r＋l)hsV底柱=圆

锥底面积：S底＝πr2，侧面积：S侧＝πrl，表面积：S＝πr(r＋l)hsV底锥31=圆台上底面面积：S上底＝πr2，下底面面积：S下底＝πr2，侧面积：S侧＝π(rl＋rl)，表面积：S＝π(r2＋r2＋rl＋rl)hssssV）（下下上

上台++=31球表面积：24Rs=334RV=12.斜二测画法(1)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使

）或=135(45yox，它们确定的平面表示水平面．(2)画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．(3)取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原来的长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一

半．(2)立体图形直观图的画法规则：画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度不变，其他同平面图形的画法．[二、典型例题]题型一直观图【例1】如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6c

m，C′D′＝2cm，则原图形是________．【答案】菱形【解析】如图所示，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×22＝42(cm)，CD＝C′D′＝2(cm)，∴OC＝OD2＋CD2＝(42)2＋22＝6(cm)，∴OA

＝OC，故四边形OABC是菱形．【反思】(1)由原图形求直观图的面积，关键是掌握斜二测画法，明确原来实际图形中的高，在直观图中变为与水平直线成45°(或135°)角且长度为原来一半的线段，这样可得出所求图形相应的高．(2

)若一个平面多边形的面积为S，它的直观图面积为S′，则S′＝24S.【思考提升1】如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′＝1，那么原三角形ABO的面积是________．【答案】2【

解析】直观图中等腰直角三角形的直角边长为1，因此面积为12.又直观图与原平面图形面积比为2∶4，所以原图形的面积为2.题型二平行问题证明直线与直线平行一般思路与方法：1.三角形的中位线与底边平行:在三

角形ABC中，E、F为AB,AC中点，则EF//BC。推论：若𝐴𝐸𝐸𝐵=𝐴𝐹𝐹𝐶，则EF//BC2.平行对边平行且相等.在平行四边形中，AB𝐷𝐶=//,AD𝐵𝐶=//3．两条直线平行于同另一条直线，则

这条直线平行:a//b,b//c⇒a//c4.两条直线垂直于同一平面，则这两条直线平行：a⊥α,b⊥α⇒a//b5．如果一条直线平行于一个平面，那么这条直线平行于过这条直线的平面与这个平面的交线𝑎//β,𝑎⊂α,α∩β=𝑙⇒𝑎//𝑙6.如果有一个平面

分别与两个平行的平面相交，则它们的交线平行。𝑎//β,α∩γ=m,β∩γ=n⇒𝑚//n【例2】如图，在三棱锥PABC−中，PAPC⊥，ABPB=，,EF分别是PA，AC的中点．求证：（1）EF∥平面PBC；解析：证明：⑴在APC

中，因为,EF分别是,PAAC的中点，所以EF∥PC又PC⊂平面PAC，EF平面PAC，所以EF∥平面PBC；【思考提升2】如图，在三棱柱111ABCABC−中，侧棱1AA⊥平面ABC，ACBC⊥，1AC=，2BC=，11AA=，点D是AB的中点（1）证明：1//AC平面1CDB；解析：（Ⅰ

）证明：设1CB与1CB相交于E，连结DE,D是AB的中点,E是1BC的中点,DE∥1AC,DE平面1CDB，1AC平面1CDB,1AC∥平面1CDB【思考提升3】如图，在四棱锥PABCD−中，PD⊥平面ABCD，ADCD⊥，DB平分ADC，E为PC的中点，1AD

CD==，22DB=.（1）证明：//PA平面BDE.解析：（1）设ACBDH=，连接EH，在ADC中，因为ADCD=，且DB平分ADC，所以H为AC的中点，又由题设，知E为PC的中点，故//EHPA，又EH

平面BDE，且PA平面BDE，所以//PA平面BDE.【思考提升4】如图，已知四棱锥11ACBBC−的底面为矩形，D为1AC的中点，AC⊥平面BCC1B1．（Ⅰ）证明：AB//平面CDB1;解析：（Ⅰ）

证明：连结1BC交1BC于E，连结DE，∵D、E分别为1AC和1BC的中点，∴DE//AB,又∵DE平面1CDB,AB平面1CDB,∴AB//平面CDB1;【例3】如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，MN、分别为ABPC、的中点

，045,2,1PDAABAD===.（1）求证：//MN平面PAD；解：记PD中点为E，易得EN平行且等于AM，（1）证明：如图，取PD的中点E，连结AEEN、，则有////ENCDAM，且1122ENCDABMA===，∴四边形AMNE是平行四边形.∴//MNAE.∵AE平面PAD，M

N平面PAD，∴//MN平面PAD；【例4】（存在性问题）如图所示，四棱锥PABCD−中,,,ABADADDCPA⊥⊥⊥底面ABCD,112PAADABCD====,M为PB中点.（1）试在CD上确定一点N,使得//MN平面PAD解：(1)证

明:1,//3CNNDMN=平面PAD.过M作//EMAB交PA于E,连接DE.因为13CNND=,所以1142CNCDABEM===，又////EMDCAB，故//EMDN,且EMDN=，即DEMN为平行四边形,则//NMED,又ED平面PAD,NM平面PAD

,//MN平面PAD；【思考提升5】如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BCE，BECE⊥.2ABBEEC===，,GF分别是线段,BEDC的中点.（Ⅰ）求证：//GF平面ADE；解析：（Ⅰ）证明：取AE中点H，连接DHGH、

.在ABE中，,GH分别是线段,BEAE的中点，所以//GHAB且12GHAB=；又在矩形ABCD中，//DFAB且12DFAB=，故//GHDF且GHDF=，四边形GFDH是平行四边形，//,GFDHDH面ADE，GF面ADE，所以//GF平面ADE.【思考提升6】已知直角梯

形ABCD中，ADAB⊥，//ABDC，2AB=，3DC=，E为AB的中点，过E作EF作//EFAD，将四边形AEFD沿EF折起使面AEFD⊥平面EBCF.（1）若G为DF上的一点，当G在什么位置时，//EG平面BCD；解析：（1）G为DF的中点时，//EG平面BCD。取DC的中点H，连接

,GHBH，因为//GHFC，12GHFC=，且2FC=，所以GHEB=，且//GHEB，所以四边形EGHB为平行四边形，//EGBH，BH平面BDC，故//EG平面BDC.【例5】（面面平行证明平行问题）

如图，四棱锥PABCD−中，//ABCD，ABAD⊥，22BCCDAB===，PAD是等边三角形，,MN分别为,BCPD的中点.（1）求证：//MN平面PAB；解析：（1）证明：取PC中点Q，连接,MQNQ，∵,MQ分别是,BCPC

的中点，则//MQBP，所以//MQ平面PAB.同理可证：////NQCDAB，所以//NQ平面PAB，∴平面//NQM平面PAB，得//MN平面PAB.【思考提升7】如图，四边形ABCD与BDEF均为菱

形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．（Ⅰ）求证：FC∥平面EAD；解析：（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD与BDEF均为菱形，所以AD∥BC，DE∥BF，所以平面FBC∥平面EAD．又FC⊂平面FBC，所以FC∥平面EAD．【思考提升8】(面面平行存在性问题)．如图所示，在直三棱柱111

ABCABC−中，13,4,5,4ACBCABAA====，点D是AB的中点.（1）在棱11AB上找一点1D，当1D在何处时可使平面11//ACD平面1CDB，并证明你的结论；【解析】（1）当1D在棱11AB中点时，可使平面11//AC

D平面1CDB，证明：易得1111//,A//CDCDDBD.因此平面11//ACD平面1CDB.【思考提升9】（利用比例证明平行问题）若图，在正方体1111ABCDABCD−中，,MN分别是,ABBC的中点.（1）在棱1DD上是存在一点P，使得1//BD平面PMN，若存在，求1DPPD的值；若不

存在，说明理由.解析：(1)设MN与BD的交点是Q，连接PQ，因为1//BD平面1,PMNBD平面11BBDD，平面11BBDD平面PMNPQ=，所以11//,:1:3BDPQPDDP=【例6】(线面平行的性质定理的)如图，用平行于四面体ABCD

的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形．证明因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB⊂平面ABC，所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN.同理AB∥PQ，所以MN∥

PQ.同理可得MQ∥NP.所以截面MNPQ是平行四边形．【例7】(利用面面平行证明线线平行)如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.证明因为BE∥AA1，AA1⊂平面AA1D，BE⊄平面AA1D，所以BE∥

平面AA1D.因为BC∥AD，AD⊂平面AA1D，BC⊄平面AA1D，所以BC∥平面AA1D.又BE∩BC＝B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，所以平面BCE∥平面AA1D.又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1D

CE∩平面AA1D＝A1D，所以EC∥A1D.【思考提升10】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于

GH，求证：AP∥GH.证明连接MO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点．又∵M是PC的中点，∴AP∥OM.又∵AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，∴AP∥平面BDM.又∵AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.【思考提升1

1】如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.证明因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB

.又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以DE∥平面ABC，同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，DE，DF⊂平面DEF，所以平面DEF∥平面ABC.又平面PCM∩平面DEF＝NF，平面PCM∩平面ABC＝CM，所以NF∥CM.题型三垂直问题证明线

线垂直问题的思路研究1.几何图形的特征证明垂直①等腰三角形底边的高中线三线合一:等腰三角形ABC中，AB=BC，D为AB中点，则CD⊥AB②圆直径所对的圆周角为直角③菱形、正方形的对角线互相垂直。④其他（例如直角三角形，长方形，

直角梯形具有垂直的关系）2.数量关系证明垂直：如勾股定理，内角和，解三角形3.空间位置关系相关定理证明垂直①线面垂直，得到线线垂直:𝑙⊥α,𝑎⊂α⟹𝑙⊥𝑎②两条平行线，其中一条直线垂直一个平面，则另外一条也垂直该平面:𝑎//𝑏,�

�⊥α⇒𝑏⊥α③两条平行线，其中一条直线垂直第三条直线，则另外一条也垂直该直线:𝑎//𝑏,𝑎⊥𝑙⇒𝑏⊥𝑙(注意：垂直同一直线的两条直线不一定垂直)④面面垂直—>线面垂直—>线线垂直（即面面垂直的性质定理）𝛼⊥β,𝑎⊂α，𝑎⊥𝑙,α∩β=l

⇒𝑎⊥β→𝑎⊥β,𝑏⊂β⇒𝑎⊥𝑏⑤平面外一点与在这个平面的投影的连线垂直于该平面。【例8】如图，𝑃𝐴⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷,𝐴𝐷//𝐵𝐶,𝐴𝐷=2𝐵𝐶,𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，点𝐸为𝑃𝐷中点．（1）求证：𝐴𝐵⊥𝑃𝐷；【解析】（1）因为𝑃𝐴⊥平面𝐴𝐵�

�𝐷，𝐴𝐵⊂平面𝐴𝐵𝐶𝐷，所以𝑃𝐴⊥𝐴𝐵，又因为𝐴𝐵⊥𝐵𝐶,𝐴𝐷//𝐵𝐶，所以𝐴𝐵⊥𝐴𝐷，又因为𝑃𝐴⊥𝐴𝐵,𝑃𝐴∩𝐴𝐷=𝐴，所以𝐴𝐵⊥𝑃𝐷．【思考提升12】如图，在三棱柱111ABCABC−中，平面11A

ACC⊥平面ABC，𝐴𝐵=𝐵𝐶=2,∠𝐴𝐶𝐵=30°𝐴𝐴1=3,11,BCACE⊥为AC的中点.求证：1AC⊥平面1CEB；解析：（1）∵BABC=，E为AC的中点，∴BEAC⊥，又平面11AACC⊥平面ABC，平面11AACC平面ABCAC=，BE

平面ABC，∴BE⊥平面11AACC，又1AC平面11AACC，∴1BEAC⊥．又11BCAC⊥,1BEBCB=，∴1AC⊥面1CEB．【例9】如图，三棱锥PABC−中，PB⊥底面ABC，2PBBC==，1AC=，5AB=，E为PC的中点，点F在PA上，且2PFFA=.（1）求证：平面PAC⊥

平面BEF；解：（Ⅰ）证明：∵PB⊥底面ABC，且AC底面ABC，∴ACPB⊥．由1AC=，2BC=，5AB=，∴222ABBCAC=+，∴ACCB⊥又∵PBCBB=，∴AC⊥平面PBC，注意到BE平面PBC，∴ACBE⊥．∵PBBC=，E为P

C中点，∴BEPC⊥．∵PCACC=，∴BE⊥平面PAC，而BE平面BEF，∴平面PAC⊥平面BEF．【思考提升13】已知多面体ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，EFCE⊥，且2AC=，1AEEC==，2BCEF=，//ADEF.（1）求证：平面ACE⊥平面ADEF

；解析（1）∵2AC=，1AEEC==，∴222ACAECE=+，∴AEEC⊥；又EFCE⊥，AEEFE=，∴CE⊥平面ADEF；因为CE平面ACE，所以平面ACE⊥平面ADEF.【例10】在三棱柱111A

BCABC−中，已知侧棱1CC⊥底面,ABCM为BC的中点，13,2,2ACABBCCC====.（1）证明:1BC⊥平面1AMC；（2）求点1A到平面1AMC的距离.解：(1)证明：在ABC中，,ACABM=为BC的中点，故AMBC⊥，又侧棱1C

C⊥底面ABC，所以1CCAM⊥，又1BCCCC=，所以AM⊥平面11BCCB，则1AMBC⊥，在1RtBCB中，112tan2BBBCBBC==；在1RtMCC中，1112tan22MCMCCCC===，∴11BCBMCC=，又11190BCBCCB+

=，∴11190MCCCCB+=，即11MCBC⊥，又11,AMBCAMMCM⊥=，∴1BC⊥平面1AMC.(2)设点1A到平面1AMC的距离为h，由于1111111,AAMCMAACCAMCAAMCCAMCVVVVV−−−−−===即1111··33A

MCAMCShSCC=，于是1111111·····262133··2AMCAMCAMMCCCSCCMCCChSCMAMCM=====所以点1A到平面1AMC的距离为63.【思考提升14】如图，直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱）ABC﹣

A1B1C1中，点G是AC的中点．（1）求证：B1C∥平面A1BG；（2）若AB=BC，12ACAA=，求证：AC1⊥A1B．解析：（1）证明：连结AB1，交A1B于点O，连结OG，在△B1AC中，∵G、O分别为AC、AB1中点，∴OG∥B1C，又

∵OG⊂平面A1BG，B1C⊄平面A1BG，∴B1C∥平面A1BG．（2）证明：∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，BG⊂平面ABC，∴AA1⊥BG，∵G为棱AC的中点，AB=BC，∴BG⊥AC，∵AA1∩AC=A，∴BG⊥

平面ACC1A1，∴BG⊥AC1，∵G为棱AC中点，设AC=2，则AG=1，∵12AA=，∴在Rt△ACC1和Rt△A1AG中，11tantan2ACCAGA==，∴∠AC1C=∠A1GA=∠A1GA+∠C1AC=90°，∴A1G⊥AC1，∵1BG

AGG=，∴AC1⊥平面A1BG，∵A1B⊂平面A1BG，∴AC1⊥A1B.【例11】如图，在多面体𝐴𝐵𝐶𝐷𝐹𝐸中，四边形𝐴𝐷𝐹𝐸是正方形，在等腰梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷∥𝐵𝐶，𝐴𝐵=𝐶�

�=𝐴𝐷=1，𝐵𝐶=2，𝐺为𝐵𝐶中点，平面𝐴𝐷𝐹𝐸⊥平面𝐴𝐷𝐶𝐵.(1)证明：𝐴𝐶⊥𝐵𝐸；(2)求三棱锥𝐴−𝐺𝐹𝐶的体积.解：（1）证明：连接𝐷𝐺,∵𝐴𝐷=𝐺𝐶,𝐴𝐷∥�

�𝐶，所以四边形𝐴𝐷𝐶𝐺为平行四边形，又𝐴𝐷=𝐶𝐷，所以四边形𝐴𝐷𝐶𝐺为菱形，∴𝐴𝐶⊥𝐷𝐺，同理可证𝐴𝐵∥𝐷𝐺，因此𝐴𝐶⊥𝐴𝐵，由于四边形𝐴𝐷𝐹𝐸为正方形，所以𝐸𝐴⊥𝐴𝐷，又平面

𝐴𝐷𝐹𝐸⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，平面𝐴𝐷𝐹𝐸∩平面𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐴𝐷，故𝐸𝐴⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，∴𝐸𝐴⊥𝐴𝐶，又𝐸𝐴∩𝐴𝐵=𝐴，故𝐴𝐶⊥平面𝐴𝐵𝐸，∴𝐴�

�⊥𝐵𝐸..(2)∵𝑉𝐴−𝐺𝐹𝐶=𝑉𝐹−𝐴𝐺𝐶=𝑉𝐸−𝐴𝐺𝐶=12𝑉𝐸−𝐴𝐵𝐶，𝑉𝐸−𝐴𝐵𝐶=13×1×12×1×√3=√36.∴三棱锥𝐴−𝐺𝐹𝐶的体积为√312.【思考

提升15】如图AB，CD是圆柱的上、下底面圆的直径，ABCD是边长为2的正方形，E是底面圆周上不同于,AB两点的一点，1AE=.(1)求证：BE⊥平面DAE；解析：(1)由圆柱性质知：DA⊥平面ABE，又BE平面ABE，∴BEDA⊥，又AB是底面圆的直径，E是底面圆

周上不同于,AB两点的一点，∴BEAE⊥，又DAAEA=，,DAAE平面DAE，∴BE⊥平面DAE.【思考提升16】已知四棱锥PABCD−中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，02,60ADDAB==，E为AB

的中点.（1）证明：平面PAB⊥平面PED解：（1）证明：∵PD⊥底面ABCD，∴PDAB⊥，连接DB，在菱形ABCD中，060DAB=，∴DAB为等边三角形，又∵E为AB的中点，∴ABDE⊥，∴AB⊥底面PDE；又因为AB在平面PAB中，∴平面PAB⊥

平面PED。题型四成角问题1.几何法2.向量法角的分类向量求法范围两异面直线l1与l2所成的角θ设l1与l2的方向向量为a，b，则cosθ＝|cos<a，b>|＝|a·b||a||b|0，π2直线l与平

面α所成的角θ设l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos<a，n>|＝|a·n||a||n|0，π2二面角α­l­β的平面角θ设平面α，β的法向量为n1，n2，则|cosθ|＝|cos<n1，n2>|＝|n1·n2||n1|·|n2|[0，π]【例11】

已知四棱锥S­ABCD的底面是正方形且侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的余弦值为多少？解：设AD=2法一：取BD为中点O，连解EO，则EO//SD，所有AE与EO所成的角，即是AE与SD所成的角，三角形AEO中，2,3,1===AOAEE

O，故异面直线所成角的余弦值为33.法二：依题意，建立坐标系如图所示，设四棱锥S­ABCD的棱长为2，则A(0，－1,0)，B(1,0,0)，S(0,0,1)，D(－1,0,0)，∴E点坐标为12，0，12，AE→＝12，1，12，

SD→＝(－1,0，－1)，cos〈AE→，SD→〉＝－162·2＝－33，故异面直线所成角的余弦值为33.【思考提升17】如图，点P，Q分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线AD1，BD的中点，则异面直线PQ和BC1所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案C解析连接

AC，D1C.由P，Q分别为AD1，BD的中点，得PQ∥CD1.又BC1∥AD1，∴∠AD1C为异面直线PQ和BC1所成的角．∵△ACD1为等边三角形，∴∠AD1C＝60°.即异面直线PQ和BC1所成的角为

60°.【例12】如图，四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)证明MN∥平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.[分析](

1)线面平行的判定定理⇒MN∥平面PAB．(2)利用空间向量计算平面PMN与AN方向向量的夹角⇒直线AN与平面PMN所成角的正弦值．[解](1)证明：由已知得AM＝23AD＝2.如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC的中点知TN∥B

C，TN＝12BC＝2.又AD∥BC，故TN═∥AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB．(2)如图，取BC的中点E，连接AE.由AB＝AC得AE⊥BC，从而AE⊥AD，且AE＝AB2

－BE2＝AB2－BC22＝5.以A为坐标原点，AE→的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A­xyz.由题意知P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(5，2,0)，N52，1，2，PM→＝(0,

2，－4)，PN→＝52，1，－2，AN→＝52，1，2.设n＝(x，y，z)为平面PMN的法向量，则n·PM→＝0，n·PN→＝0，即2y－4z＝0，52x＋y－2z＝0，可取n＝(0,2,1)．于是|cos〈n，AN→〉|＝|n·AN→||n||AN→|＝8

525.所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为8525.【思考提升18】如图，在四棱锥P­ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝5.(1)求证

：PD⊥平面PAB．(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由．[解](1)证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD．所以AB⊥PD．又因为PA⊥PD，所以PD⊥平面P

AB．(2)取AD的中点O，连接PO，CO.因为PA＝PD，所以PO⊥AD．又因为PO⊂平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD．因为CO⊂平面ABCD，所以PO⊥CO.因为AC＝CD，所以CO⊥AD．如图，建立空间直角坐标系O­xyz.由题意得，A(0,1,0)，B(1

,1,0)，C(2,0,0)，D(0，－1,0)，P(0，0,1)．设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，则n·PD→＝0，n·PC→＝0，即－y－z＝0，2x－z＝0.令z＝2，则x＝1，y＝－2.所以n＝(1，－2,2)．又P

B→＝(1,1，－1)，所以cos〈n，PB→〉＝n·PB→|n||PB→|＝－33.所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为33.(3)设M是棱PA上一点，则存在λ∈[0,1]使得AM→＝λAP→.因此点M(0,1－λ，λ)，BM→＝(－

1，－λ，λ)．因为BM⊄平面PCD，所以要使BM∥平面PCD当且仅当BM→·n＝0，即(－1，－λ，λ)·(1，－2,2)＝0.解得λ＝14.所以在棱PA上存在点M使得BM∥平面PCD，此时AMAP＝14.【例13】如图，在四棱

锥P­ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A­PB­C的余弦值.[分析](1)先证线面垂直，再证面面垂直；(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求解．[解](1)证明：由已知

∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD．因为AB∥CD，所以AB⊥PD．又AP∩DP＝P，所以AB⊥平面PAD．因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．(2)在平面PAD内作PF⊥

AD，垂足为点F.由(1)可知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PF，可得PF⊥平面ABCD．以F为坐标原点，FA→的方向为x轴正方向，|AB→|为单位长度建立如图所示的空间直角坐标系F­xyz.由(1)及已知可得A22，0，0，P0，0，22，B

22，1，0，C－22，1，0，所以PC→＝－22，1，－22，CB→＝(2，0,0)，PA→＝22，0，－22，AB→＝(0,1,0)．设n＝(x1，y1，z1)是平面PCB的一个法向量，则n

·PC→＝0，n·CB→＝0，即－22x1＋y1－22z1＝0，2x1＝0.所以可取n＝(0，－1，－2)．设m＝(x2，y2，z2)是平面PAB的一个法向量，则m·PA→＝0，m·AB→＝0，即22x2－22

z2＝0，y2＝0.所以可取m＝(1,0,1)，则cos〈n，m〉＝n·m|n||m|＝－23×2＝－33.所以二面角A­PB­C的余弦值为－33.[方法小结]利用向量法求二面角的步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)分别求出二面角的两个半平

面所在平面的法向量；(3)求两个法向量的夹角；(4)判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角；(5)确定二面角的大小．【思考提升19】如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是DF︵

的中点．(1)设P是CE︵上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；(2)当AB＝3，AD＝2时，求二面角E­AG­C的大小．[解](1)因为AP⊥BE，AB⊥BE，AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP＝A，所以BE⊥平面ABP.又BP⊂平面ABP，所以BE⊥BP.又∠EBC＝1

20°，所以∠CBP＝30°.(2)以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得A(0,0,3)，E(2,0,0)，G(1，3，3)，C(－1，3，0)，故AE→＝(2,0，－3)，AG→＝(1，3，0)，CG→＝(2,0,3)．设m＝(

x1，y1，z1)是平面AEG的一个法向量，由m·AE→＝0，m·AG→＝0，可得2x1－3z1＝0，x1＋3y1＝0.取z1＝2，可得平面AEG的一个法向量m＝(3，－3，2)．设n＝(x2，y2，z2)是平面ACG的一个法向量，由

n·AG→＝0，n·CG→＝0，可得x2＋3y2＝0，2x2＋3z2＝0.取z2＝－2，可得平面ACG的一个法向量n＝(3，－3，－2)．所以cos〈m，n〉＝m·n|m|·|n|＝12.故所求的角为60°.题型五体积、面积【例14】如图所示，半径为R的半圆内的阴影

部分是以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到的一几何体，求该几何体的表面积和体积．(其中∠BAC＝30°)解过C作CO1⊥AB于点O1，由已知得∠BCA＝90°，∵∠BAC＝30°，AB＝2R，∴AC＝3R，BC＝R，CO1＝32R.∴S球＝4πR2，S圆锥A

O1侧＝π×32R×3R＝32πR2，S圆锥BO1侧＝π×32R×R＝32πR2，∴S几何体表＝S球＋S圆锥AO1侧＋S圆锥BO1侧＝4πR2＋32πR2＋32πR2＝11＋32πR2.又∵V球＝43πR3，1AOV圆锥＝13·AO1·π·CO21＝14πR2·AO1，1BOV圆锥＝13·BO

1·π·CO21＝14πR2·BO1，∴V几何体＝V球－(1AOV圆锥＋1BOV圆锥)＝56πR3.【思考提升20】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触

水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为____cm3.答案500π3解析设球半径为Rcm，根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm，球心到截面的距离为(R－2)cm，所以由42＋(R－2)2＝R2，得R＝5(cm)，所以球的体积V＝43πR3＝43π

×53＝500π3(cm3)．