【文档说明】浙江省之江教育评价联盟2021届高三上学期8月返校联考数学试题含答案.docx，共(8)页，629.420 KB，由小赞的店铺上传

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之江教育评价2020学年第一学期高三返校联考（2020.08）数学试题卷考生须知：1.本试题卷分选择题和非选择题两部分，全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.2.考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上.选择题部分（共40分）一、选

择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.）1.集合|22Axx=−，集合2|30Bxxx=−，则AB=（）A.()0,3B.()2,3C.()0,2D.()2,3−2.双曲线22143xy

−=的渐近线方程是（）A.34yx=B.43yx=C.233yx=D.32yx=3.若实数x，y满足2248yxxyxy++−，则2xy+的最小值是（）A.2B.4C.6D.84.函数4cosxyxe=−（e为自然对数的底数）的

图象可能是（）A.B.C.D.5.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积（单位：2cm）是（）A.204+B.206+C.244+D.246+6.设a，b是实数，则“0a，0b”

是“2baab+”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件7.有9本不同的书，其中语文书2本，英语书3本，数学书4本.现从中随机拿出2本，记拿出数学书的本数为X，则（）A.()126PX==，(

)23EX=B.()123PX==，()89EX=C.()126PX==，()89EX=D.()123PX==，()23EX=8.要得到函数sin23yx=+的图象，只需将函数cos23yx=−的图象（）A.向左平移12个单位B.向右

平移12个单位C.向左平移6个单位D.向右平移6个单位9.已知xR，若函数()2fxxxa=−−有4个零点，则方程210axx++=的实数根个数为（）A.0B.1C.2D.与a的取值有关10.设*kN，

若数列na是无穷数列，且满足对任意实数k不等式()()20nnkaak−−恒成立，则下列选项正确的是（）A.存在数列na为单调递增的等差数列B.存在数列na为单调递增的等比数列C.212

2naanann+++−恒成立D.2122naanann++++恒成立非选择题部分（共110分）二、填空题（本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.）11.已知,abR，11abii=++（i是虚数单位），则a=______，b=______.12.二项展开式

52340145235(2)xaaxaxaxaxax+=+++++，则2a=______，012345aaaaaa+++++=______.13.已知为第二象限角，3sin5=，则cos2=___

___，sin4−=______.14.已知圆1C：222880xyxy+++−=和圆2C：224420xyxy+−−−=相交于A，B两点，则直线AB的方程是______，线段AB的长度是______.15.已知单位向量e，若向量a满足34aeae−

=+=，则a=______.16.已知椭圆C：()222210xyabab+=的左右焦点分别为1F，2F.直线l过椭圆C的左顶点且与椭圆C相切，P为直线l上任意一点，若12FPF的最大值为6，则椭圆C的离心率是______.17.若函数()xxafxee=+（e为自然对数的底数

）在区间()1,2上存在最小值，则实数a的取值范围是______.三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.已知函数()22sincos23cosfxxxx=−.（Ⅰ）求函数()fx的单调递增区间；（Ⅱ）在

ABC△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若02Af=，2a=，求ABC△面积的最大值.19.如图，在三棱台111ABCABC−中，平面11AACC⊥平面ABC，90ABC=，11112AAACCC===，4AC=，2BC

=，点O是AC的中点.（Ⅰ）求证：1//OC平面11ABBA；（Ⅱ）求直线1BC与平面11ABBA所成角的正弦值.20.等差数列na满足13a=，21a+，51a+，95a+成等比数列，数列nb满足11b

=，1nnnbba+=+.（Ⅰ）求数列na，nb的通项公式；（Ⅱ）数列1nnnabb+的前n项和为nT，证明1nT.21.如图，已知抛物线1C：2yx=与圆2C：()()22210xyrr−+=有四个不同的公共点A，B，C，D.（Ⅰ）求r的取

值范围；（Ⅱ）求四边形ABCD面积的最大值.22.已知函数2()ln()2afxaxxaxaR=+−+.（Ⅰ）当9a=时，求函数()fx的单调递减区间；（Ⅱ）若函数()fx存在极大值点1x与极小值点2x，当21x

xa−时，有()()12(3ln6)fxfx+−恒成立，求实数的取值范围.之江教育评价2020学年第一学期高三返校联考（2020.08）数学参考答案一、选择题1-5：CDABB6-10：ACA

CD二、填空题11.12，12−12.80，24313.725，721014.210xy+−=，2515.1316.1217.()()4224,,eeee−−三、解答题18.2()2sincos23cossin23(1cos2)fxxxxxx=−=−+2sin233x

=−−.（Ⅰ）令222()232kxkkZ−−+，则5()1212kxkkZ−+，所以函数()fx的单调递增区间为5,,()1212kkkZ−+.（Ⅱ）32sin30sin2332

AfAA=−−=−=33A−=或22333AA−==或A=（不符），则2222cosbcbcAa+−=得2243bcbcbc++=，则43bc当且仅当“bc=”时取等号，所以()max1423sin2333ABCS==△.19.（

Ⅰ）证：由题意可知：1112ACACAO==且11//ACAO，所以四边形11AACO为平行四边形，所以11//OCAA，所以1//OC平面11ABBA.（Ⅱ）法一：将三棱台还原为三棱锥PABC−，连接PO，90ABC=，则OAOBOC==，则PAPBPC

==，由题意可知PO⊥平面ABC，取AB中点E，则OEAB⊥，连PE.则PEAB⊥，那么AB⊥平面POE.所以平面PAB⊥平面POE.过O作OHPE⊥，即OH就是O到平面PAB的距离h.又因为1//OC平面11ABBA，所以1

C到平面PAB的距离等于O到平面PAB的距离h.在OPE△中，1OE=，23PO=，则13PE=，23913hOH==.又因为16BC=，设直线1BC与平面11ABBA所成角为，即2392613sin136==.法二：建立如图所示空间直角坐标系Axyz−，则()0,0,

0A，()3,3,0B，()0,4,0C，在梯形11ACCA中，11112AAACCC===，4AC=，则()10,1,3A，()10,3,3C，设(),,nxyz=是平面11ABBA的法向量，则133

30303xyABnxyyzAAnyz=−=+==−=+=取3y=−，则()3,3,1n=−，()13,0,3BC=−，设1BC与平面11ABBA所成角为，则sincos,232613136BCn===.20.（Ⅰ）由题意得()()(

)22295151(4)(88)(44)aaaddd++=+++=+1d=−（不符）或2d=，所以21nan=+.则当2n时()()()121321nnnbbbbbbbb−=+−+−++−211211

35(21)nbaaann−=++++=++++−=.当1n=时符合，所以2nbn=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知222212111(1)(1)nnnanbbnnnn++==−++，所以2222221111111223(1)nTnn

=−+−++−+2111(1)n=−+.21.解（Ⅰ）联立2222(1)yxxyr=−+=得2210xxr−+−=.由题可知，2210xxr−+−=在()0,+上有两个不同的解，所以()22141010r

r=−−−，得2314r，所以3,12r.（Ⅱ）设()11,Axx−，()11,Dxx，()22,Bxx−，()22,Cxx，由韦达定理可知，121xx+=，()2121212xxrADBCxx=−+=+.又()()221212122121xxxxxxr+

=++=+−.()22211212443xxxxxxr−=+−=−，所以()()()22211121432ABCDSADBCxxrr=+−=+−−.令21tr=−，则10,2t，此时()2(12)14ABCDStt=+−.记()232()(12)148421fttttt

t=+−=−−++，10,2t.2'()24822(21)(61)fttttt=−−+=−+−.当()'0ft时，10,6t，当()'0ft时，11,62t.所以()yft=在10,6

上单调递增，在11,62单调递减.所以max132()627ftf==，得四边形ABCD的最大值为469.22.解：（Ⅰ）29299'()290(0)xxfxxxxx−+=+−=，解得332x，所以()fx单调递减区间为3,32

.（Ⅱ）22'()2axaxafxxaxx−+=+−=，设()22gxxaxa=−+，则1x，2x是220xaxa−+=两根，所以2080aaa−，从而8a.因为122axx+=，122axx=，所以2218

122aaxxaa−−=.()()()()2212121212lnlnfxfxaxxxxaxxa+=+++−++()()22212121212ln2ln242aaaaxxxxxxaxxaaa=++−−+=+−−+2ln24aaa=−.令()()212()ln(12)2

4aagafxfxaa=+=−.则'()ln1022aaga=−+，所以()ga在)12,+上面递减，所以max()(12)12ln636(3ln6)gag==−−恒成立，则12−.