【文档说明】新教材数学人教A版必修第一册教案：2.3二次函数与一元二次方程、不等式 2.3.2二次函数与一元二次方程、不等式的应用 含解析【高考】.docx，共(10)页，463.630 KB，由管理员店铺上传

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-1-第二章一元二次函数、方程和不等式2.3二次函数与一元二次方程、不等式2.3.2二次函数与一元二次方程、不等式的应用【目标】1.理解三个二次的关系，会解与一元二次不等式有关的恒成立问题；2.能从实际问题中建立-元二次不等式的模型，并会应用其解

决实际问题.【重点】利用--元二次不等式解诀恒成立问题及实际问题.【难点】从实际问题中建立一元二次不等式的模型.要点整合夯基础...知识点一简单的分式不等式的解法【填一填】若()fx与()gx是关于x的多项式，则不等式()

0()fxgx（或0，或0，或0）称为分式不等式.解分式不等式总的原则是利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式（组）求解.（1）()0()fxgx()()0fxgx；（2）()0()fxgx()()0fxgx；（3）()0()fxgx()()0()0fxgx

gx；（4）()0()fxgx()()0()0fxgxgx；【答一答】1.不等式21021xx−+的解集为.答案：11{|}22xx−解析：原不等式可以化为(21)(21)0xx−+，即11()[()]022xx−−−，故原不等式的解集为11{|}22x

x−.-2-2.不等式204xx+−的解集是.答案：{|4xx或2}x−解析：原不等式于(2)(4)040xxx+−−，解得4x或2x−，故不等式的解集是{|4xx或2}x−.【答一答】3.不等式2()0(0)fxaxbxca=++在{|}xmxn上恒

成立，你能写出成立的等价条件吗？提示：()0()0fmfn.知识点三一元二次不等式的实际应用【填一填】对于一元二次不等式的应用题，其解题关键在于如何把文字语言换成数学语言从而把实际问题转换成数学问题.同时注意问题答案的实际意义，还要

增强解决问题的自信心，不要被问题的表面形式所迷惑.【答一答】4.解不等式应用题的解题步骤是什么？提示：（1）阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量、找准不等关系；（2）引入数学符号，用不等式表示不等关系（或表示成函数关系）；（3）解不等式（或求函数最值）；（4）回扣实际问题.典例讲练破题型...类

型一简单的分式不等式的解法【例1】解下列不等式.（1）21031xx−+；（2）213xx−+.【分析】等价转化为一元二次不等式或一元一次不等式组.【解】（1）∵(21)(31)021031031xxxxx−+−++，1{3x或1

2x，1133xx−−或12x，-3-∴原不等式的解集为1{|3xx−，或1}2x.（2）方法一：原不等式可化为3023xxx+−+，或3301232xxxxx−+−+−，或

313122xxx−−−−.∴原不等式的解集为1{|3}2xx−−.方法二：原不等式可化为(2)(3)21211000(21)(3)033332xxxxxxxxxx−−+−−+++−−+++.∴原不等式

的解集为1{|3}2xx−−.通法提炼（1）对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意分母不为零.（2）对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分（不要去分母），使之转化为不等

号右边为零，然后再用上述方法求解.【变式训练1】（1）下列选项中，使不等式21xxx成立的x的取值范围是（）A.1x−B.10x−C.01xD.1x答案：A（2）不等式：2211xxx+++的解集为.答案：-4-{|11}xx−解析

：（1）由21xxx可得211xxxx，即231010xxxx−−，解得10101xxxx−或或，所以1x−.（2）因为22131()024xxx++=++，所以原不等式可化为221xxx+++，即2

10x−，解得11x−，所以原不等式的解集为{|11}xx−.类型二不等式恒成立问题命题视角1：一元二次不等式在实数集上恒成立问题【例2】关于x的不等式22(1)(1)10axax−−−−的解集为R，求实数a的取值范围.【分析】【解】（1）若

210a−=，即1a=时，若1a=，不等式变化为10−，解集为R；若1a=−，不等式变为210x−，解集为{1|2}xx.∴1a=时满足条件.（2）若210a−，即1a+时，原不等式解集为R的条件是222[(1)]4()1100aaa−=−−

+−.解得315a−，综上所述，当315a−时，圆不等式解集为R.通法提炼-5-不等式20axbxc++对任意xR恒成立000abc==，或2040abac=−；不等式20ax

bxc++对任意xR恒成立000abc==，或2040abac=−.【变式训练2】若不等式2(2)2(2)40axax−+−−对一切xR恒成立，则a的取值范围是.答案：22a−解析：当20a

−=，即2a=时，不等式为40−，恒成立，解集为R，∴2a=满足条件；当20a−时，则原不等式解集为R时，a满足200a−，解得22a−.综上所述，a的取值范围是22a−.命题视角2：一元二次不等式在某特定范围.上恒成立问题【例

3】己知23yxaxa=++−，若{|22)xx−，2y恒成立，求a的取值范围.【分析】对于含参数的函数在某特定范围上函数值恒大于等于或小于等于常数问题，通常利用函数最值转化.【解】若{|22}xxx−，2y恒成立可转化为：{|22)xxx−

，min222732mnayya−−=−或2min222324aaya−−=−−或min2272aya−=+，解得a的取值范围为5222a−−+

.通法提炼ay或ay型不等式是恒成立问题中最基本的类型，由ay在xD上恒成立，则-6-maxay（xD，y存在最大值）；ay在xD.上恒成立，则minay（xD，y存在最小值）.【变式训练3】若14x，不等式2(2)41xaxa−++−−恒成立，求

实数a的取值范围.解：14x，不等式2(2)41xaxa−++−−恒成立.①当1x=时，不等式为04恒成立，此时aR；②当14x时，2254111xxaxxx−+=−+−−.∵14x，∴013x−，∴4412(1)411xxxx−+−

=−−（当且仅当411xx−=−，即3x=时取等号），∴4a.综上，实数a的取值范围为{|4}aa.类型三一元二次不等式的实际应用【例4】某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元（

又称征税率为10个百分点），计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低(0)xx个百分点，预测收购量可增加2x个百分点.（1）写出降税后税收y（万元）与x的函数关系式；（2）要使此项税收在税率

调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围.【解】（1）降低税率后的税率为(10)%x−，农产品的收购量为(12%)ax+万担，收购总金额为200(12%)ax+万元.依题意得1200(12%)(10)%(1002)(10)50yaxxaxx=+

−=+−(010)x.（2）原计划税收为20010%20aa=（万元）.依题意得1(1002)(10)2083.2%50axxa+−，-7-化简得240840xx+−，解得422x−.又因

为010x，所以02x.故x的取值范围是02x.通法提炼解不等式应用题的步骤【变式训练4】某商品每件的成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x成（1成10%=），则售出商品的数量就增加85x成，要求售价不能低于

成本价.（1）设该商品一天的销售额为y元，试求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）若要求该商品一天的销售额至少为10260元，求x的取值范围.解：（1）若售价降低x成，则降低后的商品售价为100(1)10x−元，售出商品的数量为8100(1)50x+件，由题意，得

y与x之间的函数关系式为8100(1)100(1)1050yxx−+=.因为售价不能低于成本低，所以100(1)80010x−−，解得2x，所以20(10)(508)yxx=−+，x的取值范围为{|02}xx.（2）由题意，的20(10

)(508)10260xx−+，化简得2830130xx−+，解得11324x，-8-因为02x，所以x的取值范围是122x.课堂达标练经典1.若集合{|1213}Axx=−+，2{|0}xBxx−=，则AB=（）A.

{|10}xx−B.{|01}xxC.{|02}xxD.{|01}xx答案：B解析：∵{|11}Axx=−，{|02}Bxx=，∴{|01}ABxx=.2.已知不等式240xax++的解集为空集，则a的取值范围是（）A.44a−

B.44a−C.4a−或4aD.4a−或4a答案：A解析：依题意应有2160a=−，解得44a−，故选A.3.不等式13xx+的解集为.答案：{|0xx或12x-9-解析：11213300(21)0xxxxxxxx++−−−且0

0xx或12x.4.已知函数2()1fxxmx=+−，若对于任意的1mxm+都有()0fx，则实数m的取值范围为.答案：202m−解析：根据题意得222)10(1)((1)(1)10mmmfmmmfm=+−+=+++−，解得202

m−.5.已知当23x时，不等式2290xxa−+恒成立，求a的取值范围.答案：见解析解析：∵当23x时，2290xxa−+恒成立，∴当23x时，229ax−+恒成立.令2()29gxxx=−+，∵23x，且对称轴方程为94x=

，∴min()(3)9gxg==，∴9a，∴a的取值范围为9a.课堂小结——本课须掌握的四大问题1.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意分母不为零.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分（不要去分母），使之转

化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解.2.对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法，这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决.当然这必须以参数容易分离作为前提.分离参数时，经常要用到下述简单结论：（1）ay恒成立maxay；（2）ay恒成立台min

ay.3.解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未-10-知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解.4.一元二次方程根的分布问题要注意数形结合，从开口方向，对称轴位置，判别式等方面考虑.