【文档说明】湖南省株洲市2021届高三下学期教学质量统一检测（二）数学试卷 含解析.docx，共(21)页，223.902 KB，由小赞的店铺上传

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湖南省株洲市2021届高三下学期数学教学质量统一检测试卷（二）一、单选题（共8题；共40分）1.已知集合𝐴={𝑥||𝑥|≤2,𝑥∈N}，集合𝐵={𝑥|𝑥2+𝑥−6=0}，则𝐴∩𝐵=（）A.{2}B.{−3,2}C.{−3,1}D.{−3,0,1,2}2.已知向量𝑎⃗，𝑏

⃗⃗满足|𝑎⃗|=1，𝑏⃗⃗=(−2,1)，且|𝑎⃗−𝑏⃗⃗|=2，则𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗=（）A.-1B.0C.1D.23.2015年11月23日，中共中央政治局审议通过《关于打赢脱贫攻坚战的决定》，在脱贫攻坚战的过程中，某单位从7名申请人中挑

选5名工作人员到甲､乙两个贫困村做志愿者，要求甲村安排2名，乙村安排3名，则不同的安排方法共有（）A.270种B.240种C.210种D.180种4.在△𝐴𝐵𝐶中，内角A､B､C所对的边分别为a､b､c，若2√3𝑎cos𝐶−3𝑏cos𝐶=3𝑐cos𝐵，则角C的大小

为（）A.𝜋6B.𝜋4C.𝜋3D.2𝜋35.如图为学生做手工时画的椭圆𝐶1、𝐶2、𝐶3(其中网格是由边长为1的正方形组成)，它们的离心率分别为𝑒1,𝑒2,𝑒3，则（）A.𝑒1=𝑒2<𝑒3B.𝑒2=𝑒3<𝑒1C.𝑒1=𝑒2>𝑒3D.𝑒2=𝑒3>𝑒16.

为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量𝑃(mg/L)与时间𝑡(h)的关系为𝑃=𝑃0𝑒−𝑘𝑡.如果在前5个小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花的时间为（

）A.7小时B.10小时C.15小时D.18小时7.若函数𝑓(𝑥)=(𝑒𝑚𝑥−𝑛)2的大致图象如图所示，则（）A.𝑚>0,0<𝑛<1B.𝑚>0,𝑛>1C.𝑚<0,0<𝑛<1D.𝑚<0,𝑛>18.高铁是当代中国重要的一

类交通基础设施，乘坐高铁已经成为人们喜爱的一种出行方式，已知某市市郊乘车前往高铁站有①，②两条路线可走，路线①穿过市区，路程较短但交通拥挤，所需时间（单位为分钟）服从正态分布𝑁(50,100)；路线②走环城公路，路程长，但意外阻塞较少，所

需时间（单位为分钟）服从正态分布𝑁(60,16)，若住同一地方的甲、乙两人分别有70分钟与64分钟可用，要使两人按时到达车站的可能性更大，则甲乙选择的路线分别是（）A.①、②B.②、①C.①、①D.②、②二、多选题（共4题；共20分）9.从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的

概率是12，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（）A.2个球都是红球的概率为16B.2个球中恰有1个红球的概率为12C.至少有1个红球的概率为56D.2个球不都是红球的概率为1310.若正实数a，b满足𝑎>𝑏且ln𝑎⋅ln𝑏>0，下列不等式恒成立的是（）A.log�

�2>log𝑏2B.𝑎⋅ln𝑎>𝑏⋅ln𝑏C.2𝑎𝑏+1>2𝑎+𝑏D.log𝑎𝑏>011.已知点𝑃(5𝜋48,12)、𝑄(𝜋6,√32)、𝑅(𝜋4,1)、𝑆(𝜋2,0)，若这四个点中有且仅有两个点在函数𝑓(𝑥)=sin

𝜔𝑥的图象上，则正数𝜔的可能值为（）A.2B.4C.8D.1212.如图所示，在正方体𝐴𝐶1中，E是棱𝐶𝐶1的中点，F是侧面𝐵𝐶𝐶1𝐵1，(包含边界)内的动点，且𝐴1𝐹//平面𝐷1𝐴𝐸，下列说法正确的是（）A.𝐴1𝐹与

BE是异面直线B.𝐴1𝐹不可能与𝐷1𝐸平行C.DF不可能与平面𝐴𝐷1𝐸垂直D.三棱锥𝐹−𝐴𝐵𝐷1的体积为定值三、填空题（共4题；共20分）13.已知函数𝑓(𝑥)=(𝑥−1)𝑒𝑥，则𝑓(𝑥)在点(1,0)处的切线方程为________

.14.已知数列{𝑎𝑛}为等比数列，若数列{10𝑛−𝑎𝑛}也是等比数列，则数列{𝑎𝑛}的通项公式可以为________.（填一个即可）15.已知A，B(不与原点O重合)分别为直线𝑥+𝑦=0与𝑥−𝑦

=0上的两点，𝐶(0,2)，M为动点，且|𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗|,|𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=1，记三角形△𝐴𝑂𝑀,△𝐵𝑂𝑀的面积分别为𝑆1,𝑆2，若𝑆1=𝜆𝑆2，则𝜆的取值范围是________.16.粽子古称“角黍”，是

中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成，因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状可以看成所有棱长均为4𝑐𝑚的正四棱锥，则这个粽子的表面积为________𝑐𝑚2.现在需要在粽子内部放入一颗咸蛋黄

，蛋黄的形状近似地看成球，则当这个蛋黄的体积最大时，其半径与正四棱锥的高的比值为________.四、解答题（共6题；共70分）17.如图所示，在四边形ABCD中，tan∠𝐵𝐴𝐷=−3√3,tan∠𝐵𝐴𝐶=√3

2.（1）求∠𝐷𝐴𝐶的大小；（2）若𝐷𝐶=2，求△𝐴𝐷𝐶周长的最大值.18.已知复数𝑍𝑛=𝑎𝑛+𝑏𝑛𝑖(𝑎𝑛,𝑏𝑛∈𝑅)，满足𝑍1=1,𝑍𝑛+1=𝑍𝑛̅̅̅+1+2𝑖(𝑛∈𝑁∗)，其中i为虚数单位，𝑍𝑛

̅̅̅表示𝑍𝑛的共轭复数.（1）求|𝑍2|的值；（2）求𝑍100.19.如图①，在直角梯形ABCD中，𝐴𝐷//𝐵𝐶,𝐴𝐷⊥𝐷𝐶,𝐵𝐶=2𝐴𝐷=2𝐷𝐶，四边形ABEF是正方形：现将正方形ABEF沿AB折起到四边形𝐴𝐵𝐸1𝐹1的位置，使平面𝐴𝐵𝐸1�

�1⊥平面ABCD，M为𝐴𝐹1的中点，如图②.（1）证明：直线DC与直线𝐸1𝑀相交；（2）求直线BM与平面𝐶𝐸1𝑀所成角的正弦值.20.已知点𝐴(𝑥1,𝑦1)𝐷(𝑥2,𝑦2)(其中𝑥1<𝑥2)是曲线𝑦2=8𝑥(𝑦≥0)上

的两点，点A，D两点在x轴上的射影分别为点B､C，且|𝐵𝐶∣=𝑎.（1）当点B的坐标为(2,0)，且𝑎=6时，求直线AD的方程；（2）记△𝑂𝐴𝐷的面积为𝑆1，梯形ABCD的面积为𝑆2，求证

：𝑆1𝑆2<14.21.某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人.萌宠机器人语音功能让它就像孩子的小伙伴一样和孩子交流，记忆功能还可以记住宝宝的使用习惯，很快找到宝宝想听的内容.同时提供快乐儿歌、国学经典、启蒙英语等早期教育内

容，且云端内容可以持续更新.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎.为了更好地服务广大家长，该公司研究部门从流水线上随机抽取100件萌宠机器人（以下简称产品），统计其性能指数并绘制频率分布直方图（如图1）：产品的性能指数在[50,70)的适合托班幼儿使用（简称A类产品），在

[70,90)的适合小班和中班幼儿使用（简称B类产品），在[90,110]的适合大班幼儿使用（简称C类产品），A，B，C，三类产品的销售利润分别为每件1.5，3.5，5.5（单位：元）.以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数

位于该区间的概率.参考公式：对于一组数据(𝑢1,𝜐1),(𝑢2,𝜐2),⋯,(𝑢𝑛,𝜐𝑛)，其回归直线𝜐=𝛼+𝛽𝑢的斜率和截距的最小二乘估计分别为𝛽̂=∑(𝑢𝑖−𝑢̅)𝑛𝑖=1(𝜐𝑖−𝜐̅)∑(𝑢𝑖−𝑢̅)𝑛𝑖=12，𝛼̂=𝜐̅−𝛽̂

𝑢̅.（1）求每件产品的平均销售利润；（2）该公司为了解年营销费用𝑥（单位：万元）对年销售量𝑦（单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用𝑥𝑖，和年销售量𝑦𝑖(𝑖=1,2,3,4,5)数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值.∑𝑢𝑖5

𝑖=1∑𝜐𝑖5𝑖=1∑(𝑢𝑖−𝑢̅)5𝑖=1(𝜐𝑖−𝜐̅)∑(𝑢𝑖−𝑢̅)25𝑖=116.3024.870.411.64表中𝑢𝑖=ln𝑥𝑖，𝜐𝑖=ln𝑦𝑖，𝑢̅=15∑𝑢𝑖5𝑖=1，𝜐̅=15∑𝜐𝑖5𝑖=1.根据散点图判断，

𝑦=𝑎⋅𝑥𝑏可以作为年销售量𝑦（万件）关于年营销费用𝑥（万元）的回归方程.（i）建立𝑦关于𝑥的回归方程；（ii）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益=销售利润-营销费用，取𝑒4.159=64）.22.已知函数𝑓(𝑥)=ln(𝑥

+1)+𝑎(𝑥2+𝑥)+2(其中常数𝑎>0).（1）讨论𝑓(𝑥)的单调性；（2）若𝑓(𝑥)有两个极值点𝑥1,𝑥2，且𝑥1<𝑥2，求证：𝑓(𝑥1)<−2ln2+12.答案解析部分湖南省株洲市2021届高三下学期数学教学质量统一检测试卷（二）一、单选题（共8题；共

40分）1.已知集合𝐴={𝑥||𝑥|≤2,𝑥∈N}，集合𝐵={𝑥|𝑥2+𝑥−6=0}，则𝐴∩𝐵=（）A.{2}B.{−3,2}C.{−3,1}D.{−3,0,1,2}【答案】A【考点】交集及其运

算【解析】【解答】集合𝐴={𝑥||𝑥|≤2,𝑥∈N}={0,1,2}，集合𝐵={𝑥|𝑥2+𝑥−6=0}={−3,2}，所以𝐴∩𝐵={2}.故答案为：A.【分析】可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．2.已知向量𝑎

⃗，𝑏⃗⃗满足|𝑎⃗|=1，𝑏⃗⃗=(−2,1)，且|𝑎⃗−𝑏⃗⃗|=2，则𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗=（）A.-1B.0C.1D.2【答案】C【考点】向量的模，平面向量数量积的运算【解析】【解答】因为𝑏⃗⃗=(−2,1)，

所以|𝑏⃗⃗|=√4+1=√5，将|𝑎⃗−𝑏⃗⃗|=2两边同时平方可得：(𝑎⃗−𝑏⃗⃗)2=4，即𝑎⃗2+𝑏⃗⃗2−2𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗⃗⃗⃗=4，|𝑎⃗|2+|𝑏⃗⃗|2−2𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗⃗⃗⃗=4所以1+5−2𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗⃗⃗

⃗=4，解得𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗=1，故答案为：C【分析】通过向量的模的运算法则，转化求解向量的数量积即可．3.2015年11月23日，中共中央政治局审议通过《关于打赢脱贫攻坚战的决定》，在脱贫攻坚战的过程中，某

单位从7名申请人中挑选5名工作人员到甲､乙两个贫困村做志愿者，要求甲村安排2名，乙村安排3名，则不同的安排方法共有（）A.270种B.240种C.210种D.180种【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】【解答】甲村安排2名，乙

村安排3名，则不同的安排方法共有𝐶72𝐶53=7×62×1⋅5×4×33×2×1=210故答案为：C【分析】根据组合和分步计数原理可得答案。4.在△𝐴𝐵𝐶中，内角A､B､C所对的边分别为a､b､c，若2√3𝑎cos𝐶−3𝑏cos𝐶=3𝑐cos𝐵，则角C的大小为（）A.𝜋6B

.𝜋4C.𝜋3D.2𝜋3【答案】A【考点】两角和与差的正弦公式【解析】【解答】因为2√3𝑎cos𝐶−3𝑏cos𝐶=3𝑐cos𝐵，所以2√3sin𝐴cos𝐶−3sin𝐵cos𝐶=3sin𝐶cos𝐵，所以2√3sin𝐴cos𝐶=3sin(𝐶+𝐵)=3sin

𝐴，因为𝐴,𝐶∈(0,𝜋)，所以sin𝐴≠0,cos𝐶=√32，又𝐶∈(0,π)所以𝐶=𝜋6故答案为：A【分析】利用两角和的正弦公式可得答案。5.如图为学生做手工时画的椭圆𝐶1、𝐶2、𝐶3(其中网格是由边长为1的正方形组成)，它们的离心率分别为𝑒1,𝑒2,𝑒3，则（）

A.𝑒1=𝑒2<𝑒3B.𝑒2=𝑒3<𝑒1C.𝑒1=𝑒2>𝑒3D.𝑒2=𝑒3>𝑒1【答案】D【考点】椭圆的简单性质【解析】【解答】由图知椭圆𝐶1的半长轴和半短轴分别为：𝑎=2,𝑏=1.5，椭圆𝐶2的半长轴和半短轴分别为：𝑎=4,𝑏=2，椭圆𝐶3的半长轴

和半短轴分别为：𝑎=6,𝑏=3，所以𝑒1=𝑐𝑎=√𝑎2−𝑏2𝑎=√1−(𝑏𝑎)2=√1−(1.52)2=√1.752，𝑒2=𝑐𝑎=√𝑎2−𝑏2𝑎=√1−(𝑏𝑎)2=√1−(24)2=√32，𝑒

3=𝑐𝑎=√𝑎2−𝑏2𝑎=√1−(𝑏𝑎)2=√1−(36)2=√32，所以𝑒2=𝑒3>𝑒1，故答案为：D【分析】由图形可知，椭圆C1、C2、C3的长半轴长，短半轴长，分别计算离心率，即可求得

结论．6.为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量𝑃(mg/L)与时间𝑡(h)的关系为𝑃=𝑃0𝑒−

𝑘𝑡.如果在前5个小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花的时间为（）A.7小时B.10小时C.15小时D.18小时【答案】B【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】【解答】因为前5个小时消除了10%的污染物，所以𝑃=(1−0.1)𝑃0=𝑃0𝑒−5𝑘，解得𝑘=−l

n0.95，所以𝑃=𝑃0𝑒ln0.95𝑡，设污染物减少19%所用的时间为t，则(1−0.19)𝑃0=0.81𝑃0=0.92𝑃0=𝑃0𝑒ln0.95𝑡=𝑃0(𝑒ln0.9)𝑡5=𝑃0(0.9)𝑡5，所以𝑡5=2，解得𝑡=10，故答案为：B【分析

】由已知t=5h时，P=（1-10%）P0=90%P0，从而求出k的值，根据题意污染物减少19%即(1−0.19)𝑃0=0.81𝑃0=𝑃0(0.9)𝑡5，再利用指数和对数的运算即可求出t的值．7.若函数𝑓(𝑥)=(�

�𝑚𝑥−𝑛)2的大致图象如图所示，则（）A.𝑚>0,0<𝑛<1B.𝑚>0,𝑛>1C.𝑚<0,0<𝑛<1D.𝑚<0,𝑛>1【答案】B【考点】函数的图象【解析】【解答】令𝑓(𝑥)=0得𝑒𝑚𝑥=𝑛，即𝑚𝑥=ln𝑛，解得𝑥=1𝑚

ln𝑛，由图象知𝑥=1𝑚ln𝑛>0，当𝑚>0时，𝑛>1，当𝑚<0时，0<𝑛<1，故排除AD，当𝑚<0时，易知𝑦=𝑒𝑚𝑥是减函数，当𝑥→+∞时，𝑦→0，𝑓(𝑥)→𝑛2，故排除C故答案为：B【分析】通过

函数值为0，求出x的表达式，判断m，n的范围，排除选项AD，通过m<0，利用函数的单调性，结合x与y的关系，判断排除选项C，即可．8.高铁是当代中国重要的一类交通基础设施，乘坐高铁已经成为人们喜爱的一种出行方式，已知某市市郊乘车前往高铁站有①，②两条路线

可走，路线①穿过市区，路程较短但交通拥挤，所需时间（单位为分钟）服从正态分布𝑁(50,100)；路线②走环城公路，路程长，但意外阻塞较少，所需时间（单位为分钟）服从正态分布𝑁(60,16)，若住同一地方的甲、乙两人分别有70分钟与64分钟可用，

要使两人按时到达车站的可能性更大，则甲乙选择的路线分别是（）A.①、②B.②、①C.①、①D.②、②【答案】B【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【解析】【解答】对于甲，若有70分钟可走，走第一条线路赶到的概率为𝑃(𝑋≤70)=𝛷(70−5010)=𝛷(2)，走第二条线

路赶到的概率为𝑃(𝑋≤70)=𝛷(70−604)=𝛷(2.5)，∵𝛷(2)<𝛷(2.5)，所以甲应走线路②；对于乙，若有64分钟可走，走第一条线路的概率为𝑃(𝑋≤64)=𝛷(64−5010)=𝛷(1.4)，走第二条线路赶到的概率为𝑃(𝑋≤64)=𝛷(64−6

04)=𝛷(1)，∵𝛷(1.4)>𝛷(1)，所以乙应走线路①.故答案为：B.【分析】分别比较甲、乙走路线①，②的概率大小，由此可得出结论。二、多选题（共4题；共20分）9.从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋

中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（）A.2个球都是红球的概率为16B.2个球中恰有1个红球的概率为12C.至少有1个红球的概率为56D.2个球不都是红球的概率为13【答案】A,B【考点】相互独立事件的概率乘

法公式【解析】【解答】对于A选项，2个球都是红球的概率为13×12=16，A选项正确；对于B选项，2个球中恰有1个红球的概率为13×(1−12)+(1−13)×12=12，B选项正确；对于C选项，至少有1个红球的概率为

1−(1−13)×(1−12)=23，C选项错误；对于D选项，2个球不都是红球的概率为1−13×12=56，D选项错误.故答案为：AB.【分析】设从甲袋中摸出一个红球为事件A，从乙袋中摸出一个红球为事件分别根据概率公

式计算即可．10.若正实数a，b满足𝑎>𝑏且ln𝑎⋅ln𝑏>0，下列不等式恒成立的是（）A.log𝑎2>log𝑏2B.𝑎⋅ln𝑎>𝑏⋅ln𝑏C.2𝑎𝑏+1>2𝑎+𝑏D.log𝑎𝑏>0【答案】C

,D【考点】指数函数的单调性与特殊点，对数函数的单调性与特殊点【解析】【解答】由ln𝑎⋅ln𝑏>0有0<𝑏<𝑎<1或𝑎>𝑏>1，对于A，当0<𝑏<𝑎<1或𝑎>𝑏>1都有log𝑎2<log𝑏2，A

不符合题意；对于B，比如当𝑎=12,𝑏=14时，有14ln14=14ln(12)2=2×14ln12=12ln12故𝑎⋅ln𝑎>𝑏⋅ln𝑏不成立，B不符合题意；对于C，因为𝑎𝑏+1−𝑎−

𝑏=(𝑎−1)(𝑏−1)>0，所以𝑎𝑏+1>𝑎+𝑏，则2𝑎𝑏+1>2𝑎+𝑏，C符合题意；对于D，因为ln𝑎⋅ln𝑏>0，所以log𝑎𝑏=ln𝑏ln𝑎>0，D正确，故答案为：CD．【分析】判断a，b的大小，利用特殊值判断选项即可．11.已知点𝑃(5𝜋48

,12)、𝑄(𝜋6,√32)、𝑅(𝜋4,1)、𝑆(𝜋2,0)，若这四个点中有且仅有两个点在函数𝑓(𝑥)=sin𝜔𝑥的图象上，则正数𝜔的可能值为（）A.2B.4C.8D.12【答案】B,C

【考点】正弦函数的图象【解析】【解答】对于A选项，当𝜔=2时，𝑓(𝑥)=sin2𝑥，𝑓(5𝜋48)=sin5𝜋24≠12，𝑓(𝜋6)=sin𝜋3=√32，𝑓(𝜋4)=sin𝜋

2=1，𝑓(𝜋2)=sin𝜋=0，此时，𝑄、𝑅、𝑆三点在函数𝑓(𝑥)的图象上，A选项不合乎题意；对于B选项，当𝜔=4时，𝑓(𝑥)=sin4𝑥，𝑓(5𝜋48)=sin5𝜋12≠

12，𝑓(𝜋6)=sin2𝜋3=√32，𝑓(𝜋4)=sin𝜋≠1，𝑓(𝜋2)=sin2𝜋=0，此时，𝑄、𝑆两点在函数𝑓(𝑥)的图象上，B选项合乎题意；对于C选项，当𝜔=8时，𝑓(𝑥)=

sin8𝑥，𝑓(5𝜋48)=sin5𝜋6=12，𝑓(𝜋6)=sin4𝜋3≠√32，𝑓(𝜋4)=sin2𝜋≠1，𝑓(𝜋2)=sin4𝜋=0，此时，𝑃、𝑆两点在函数𝑓(𝑥)的图象上，C选项

合乎题意；对于D选项，当𝜔=12时，𝑓(𝑥)=sin12𝑥，𝑓(5𝜋48)=sin5𝜋4≠12，𝑓(𝜋6)=sin2𝜋≠√32，𝑓(𝜋4)=sin3𝜋≠1，𝑓(𝜋2)=sin6𝜋=0，此时，𝑆点在函数𝑓(𝑥)的图象上，D选项不合乎题意.故答案为：BC.【分析】

由条件利用正弦函数的图象特征，分类讨论，求得每种情况下正数ω的最小值，从而得出结论．12.如图所示，在正方体𝐴𝐶1中，E是棱𝐶𝐶1的中点，F是侧面𝐵𝐶𝐶1𝐵1，(包含边界)内的动点，且𝐴1𝐹//平面𝐷1𝐴𝐸，下列说法正确的是（）A.𝐴1𝐹与BE是异面直线B.𝐴

1𝐹不可能与𝐷1𝐸平行C.DF不可能与平面𝐴𝐷1𝐸垂直D.三棱锥𝐹−𝐴𝐵𝐷1的体积为定值【答案】A,C,D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，异面直线的判定，空间中直线与直线之间的位置关系【解析】【解答】取𝐵𝐵1，𝐵1𝐶1的中点N，M，连接𝐴1𝑀,𝐴

1𝑁,𝑀𝑁，𝐵𝐶1，则𝐴1𝑁//𝐷1𝐸,𝑀𝑁//𝐵𝐶1//𝐴𝐷1，又𝐴1𝑁⊂面𝐴1𝑀𝑁，𝑀𝑁⊂面𝐴1𝑀𝑁，𝐴1𝑁∩𝑀𝑁=𝑁，𝐷1𝐸⊂面𝐴𝐷1𝐸，𝐴𝐷1⊂面𝐴

𝐷1𝐸，所以面𝐴1𝑀𝑁//面𝐴𝐷1𝐸，又𝐴1𝐹//平面𝐷1𝐴𝐸，𝐴1𝐹⊂平面𝐴1𝑀𝑁，所以点F的轨迹是线段MN，对于A：因为𝑀𝑁//𝐵𝐶1，所以点F一定不在𝐵𝐶1上，所以𝐴1𝐹与BE是异面直线，A符合题意；对于B

：当点F与点N重合时，𝐴1𝐹//𝐷1𝐸，B不正确；对于C：因为点F的轨迹是线段MN，又正方体中𝐷𝐵1⊥面𝐴𝐷1𝐸，若𝐷𝐹⊥面𝐴𝐷1𝐸，则𝐷𝐵1//𝐷𝐹，这显然不可能，所以DF不可能与平面𝐴𝐷1𝐸垂直

，C符合题意；对于D：因为𝑀𝑁//𝐴𝐷1，𝐴𝐷1⊂面𝐴𝐵𝐷1，𝑀𝑁⊄面𝐴𝐵𝐷1，所以𝑀𝑁//面𝐴𝐵𝐷1，所以点F到面𝐴𝐵𝐷1的距离是定值，所以三棱锥𝐹−𝐴�

�𝐷1的体积为定值，D符合题意，故答案为：ACD．【分析】取𝐵𝐵1，𝐵1𝐶1的中点N，M，连接𝐴1𝑀,𝐴1𝑁,𝑀𝑁，𝐵𝐶1，对于A：因为𝑀𝑁//𝐵𝐶1，所以点F一定不在𝐵𝐶1上，所以𝐴1𝐹与BE是异面直线；对于B：当点F与点

N重合时，𝐴1𝐹//𝐷1𝐸；对于C：因为点F的轨迹是线段MN，又正方体中𝐷𝐵1⊥面𝐴𝐷1𝐸，若𝐷𝐹⊥面𝐴𝐷1𝐸，则𝐷𝐵1//𝐷𝐹，这显然不可能，所以DF不可能与平面𝐴𝐷1𝐸垂直；对于D：因为𝑀𝑁//𝐴

𝐷1，𝐴𝐷1⊂面𝐴𝐵𝐷1，𝑀𝑁⊄面𝐴𝐵𝐷1，所以𝑀𝑁//面𝐴𝐵𝐷1，所以点F到面𝐴𝐵𝐷1的距离是定值，所以三棱锥𝐹−𝐴𝐵𝐷1的体积为定值。三、填空题（共4题；共20分）13.已知函数𝑓(𝑥)=(𝑥−1)𝑒𝑥，则

𝑓(𝑥)在点(1,0)处的切线方程为________.【答案】ex-y-e=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】因为𝑓′(𝑥)=𝑥𝑒𝑥，所以𝑓′(1)=𝑒，所以𝑓(𝑥)在点(1,0

)处的切线方程为𝑦−0=𝑒(𝑥−1)，即ex-y-e=0．故答案为：ex-y-e=0【分析】求导得𝑓′(𝑥)=𝑥𝑒𝑥，即可得出𝑓(𝑥)在点(1,0)处的切线方程。14.已知数列{�

�𝑛}为等比数列，若数列{10𝑛−𝑎𝑛}也是等比数列，则数列{𝑎𝑛}的通项公式可以为________.（填一个即可）【答案】𝑎𝑛=−10𝑛（答案不唯一）【考点】等比数列的通项公式【解析】【解答】取𝑎𝑛=−10𝑛，则𝑎𝑛+1𝑎𝑛=−10�

�+1−10𝑛=10，10𝑛+1−𝑎𝑛+110𝑛−𝑎𝑛=2×10𝑛+12×10𝑛=10，所以，数列{10𝑛−𝑎𝑛}和{𝑎𝑛}都是等比数列.故答案为：𝑎𝑛=−10𝑛（答案不唯一）.【分析】直接利用等比数列的通项公式求

出首项和公差，进一步确定数列的通项公式.15.已知A，B(不与原点O重合)分别为直线𝑥+𝑦=0与𝑥−𝑦=0上的两点，𝐶(0,2)，M为动点，且|𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗|,|𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=1，记三角形△𝐴𝑂𝑀,△𝐵𝑂𝑀的面积分别为𝑆1,�

�2，若𝑆1=𝜆𝑆2，则𝜆的取值范围是________.【答案】[2−√3,2+√3]【考点】两角和与差的正弦公式【解析】【解答】依题意得点M在以𝐶为圆心半径为1的圆上，如图所示：依题意得𝑆1=12|

𝑂𝐴|⋅|𝑂𝑀|sin∠𝐴𝑂𝑀，𝑆2=12|𝑂𝐵|⋅|𝑂𝑀|sin∠𝐵𝑂𝑀，又因为|𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗|所以𝜆=𝑆1𝑆2=sin∠𝐴𝑂𝑀sin∠𝐵𝑂𝑀，当直线𝑂𝑀与圆𝐶相切时，sin∠𝐶𝑂𝑀=|𝐶𝑀

||𝑂𝐶|=12，得∠𝐶𝑂𝑀=30°，又因为∠𝐴𝑂𝐶=∠𝐵𝑂𝐶=45°所以∠𝐴𝑂𝑀=45°+30°=75°，∠𝐵𝑂𝑀=45°−30°=15°，此时𝜆max=𝑆1𝑆2=sin75°sin15°=sin(45°+30°)sin(45

°−30°)=√6+√2√6−√2=2+√3或∠𝐴𝑂𝑀=45°−30°=15°，∠𝐵𝑂𝑀=45°+30°=75°此时𝜆min=𝑆1𝑆2=sin15°sin75°=sin(45°−30°)sin(45°+30°)=√6−√2√6+√2=2−√3所以𝜆∈[2−√3

,2+√3]故答案为：[2−√3,2+√3]【分析】依题意得点M在以𝐶为圆心半径为1的圆上，依题意得𝑆1=12|𝑂𝐴|⋅|𝑂𝑀|sin∠𝐴𝑂𝑀，𝑆2=12|𝑂𝐵|⋅|𝑂𝑀|sin∠𝐵𝑂𝑀，𝜆=𝑆1𝑆2=sin∠𝐴𝑂𝑀s

in∠𝐵𝑂𝑀，𝜆max=𝑆1𝑆2=sin75°sin15°=sin(45°+30°)sin(45°−30°)=√6+√2√6−√2=2+√3，𝜆min=𝑆1𝑆2=sin15°sin75°=sin(45°−30°)sin(45°+30°)=√6−

√2√6+√2=2−√3，即可得出𝜆的取值范围。16.粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成，因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状可以看成所有棱长均为4𝑐

𝑚的正四棱锥，则这个粽子的表面积为________𝑐𝑚2.现在需要在粽子内部放入一颗咸蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，则当这个蛋黄的体积最大时，其半径与正四棱锥的高的比值为________.【答案】16+16√3；√

3−12【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【解答】正四棱锥的表面积为𝑆=4×12×42×sin𝜋3+42=(16+16√3)(𝑐𝑚2)，如下图所示：设正四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷底面𝐴𝐵𝐶𝐷的中心为点𝐸

，则𝑃𝐸⊥底面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐴𝐸=12𝐴𝐶=√22𝐴𝐵=2√2，𝑃𝐸=√𝑃𝐴2−𝐴𝐸2=2√2，𝑉𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷=13𝑆正方形𝐴𝐵𝐶𝐷⋅𝑃𝐸=13×42

×2√2=32√23，设正四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷的内切球球心为𝑂，球𝑂的半径为𝑟，由𝑉𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷=𝑉𝑂−𝑃𝐴𝐵+𝑉𝑂−𝑃𝐵𝐶+𝑉𝑂−𝑃𝐶𝐷+𝑉𝑂−𝑃𝐷𝐴+𝑉𝑂−𝐴

𝐵𝐶𝐷=13𝑟(𝑆△𝑃𝐴𝐵+𝑆△𝑃𝐵𝐶+𝑆△𝑃𝐶𝐷+𝑆△𝑃𝐷𝐴+𝑆正方形𝐴𝐵𝐶𝐷)=13𝑟𝑆，所以，𝑟=3𝑉𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆=32√21

6+16√3=√6−√2，所以，𝑟𝑃𝐸=√6−√22√2=√3−12.故答案为：16+16√3；√3−12.【分析】由三角形面积公式求出侧面积，再由正方形面积公式求得底面积，则表面积可求；求出正四棱锥的高，再由等体积法求内切球的半径，

作比得答案．四、解答题（共6题；共70分）17.如图所示，在四边形ABCD中，tan∠𝐵𝐴𝐷=−3√3,tan∠𝐵𝐴𝐶=√32.（1）求∠𝐷𝐴𝐶的大小；（2）若𝐷𝐶=2，求△𝐴𝐷𝐶周长的最大值.【答案】（1）解：因为∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐵𝐴𝐷

−∠𝐵𝐴𝐶，且tan∠𝐵𝐴𝐷=−3√3,tan∠𝐵𝐴𝐶=√32，所以tan∠𝐷𝐴𝐶=tan(∠𝐵𝐴𝐷−∠𝐵𝐴𝐶)，=tan∠𝐵𝐴𝐷−tan∠𝐵𝐴𝐶1+tan∠

𝐵𝐴𝐷⋅∠𝐵𝐴𝐶，=−3√3−√321−3√3×√32=√3，因为∠𝐷𝐴𝐶∈(0,𝜋)，所以∠𝐷𝐴𝐶=𝜋3；（2）解：由正弦定理得𝐷𝐶sin∠𝐷𝐴𝐶=𝐴𝐷sin∠𝐴𝐶𝐷=𝐴𝐶sin∠𝐴𝐷𝐶=4√33，所以𝐴𝐷

=4√33sin∠𝐴𝐶𝐷,𝐴𝐶=4√33sin∠𝐴𝐷𝐶，所以△𝐴𝐷𝐶的周长为2+𝐴𝐷+𝐴𝐶=2+4√33(sin∠𝐴𝐶𝐷+sin∠𝐴𝐷𝐶)，=2+4√33(sin∠𝐴𝐶𝐷+sin(2𝜋3−∠𝐴𝐶𝐷))，=2+4√33(32si

n∠𝐴𝐶𝐷+√32cos∠𝐴𝐶𝐷)，=2+4sin(∠𝐴𝐶𝐷+𝜋6)，因为0<∠𝐴𝐶𝐷<2𝜋3，所以𝜋6<∠𝐴𝐶𝐷+𝜋6<5𝜋6，所以12<sin(∠𝐴𝐶𝐷+𝜋6)≤1，所以△𝐴𝐷𝐶的周长的最大值为2

+4×1=6.【考点】两角和与差的正切公式，正弦定理【解析】【分析】（1）利用两角和差的正切公式即可求出∠𝐷𝐴𝐶的大小；（2）由正弦定理可得𝐴𝐷=4√33sin∠𝐴𝐶𝐷,𝐴𝐶=4√33sin∠𝐴𝐷𝐶，即可得△𝐴

𝐷𝐶的周长为2+𝐴𝐷+𝐴𝐶=2+4√33(sin∠𝐴𝐶𝐷+sin∠𝐴𝐷𝐶)=2+4sin(∠𝐴𝐶𝐷+𝜋6)，由0<∠𝐴𝐶𝐷<2𝜋3得12<sin(∠𝐴𝐶𝐷+𝜋6)≤

1，可得△𝐴𝐷𝐶的周长的最大值。18.已知复数𝑍𝑛=𝑎𝑛+𝑏𝑛𝑖(𝑎𝑛,𝑏𝑛∈𝑅)，满足𝑍1=1,𝑍𝑛+1=𝑍𝑛̅̅̅+1+2𝑖(𝑛∈𝑁∗)，其中i为虚数单位

，𝑍𝑛̅̅̅表示𝑍𝑛的共轭复数.（1）求|𝑍2|的值；（2）求𝑍100.【答案】（1）解：由题意知，𝑍2=𝑎2+𝑏2𝑖，𝑍1=1,𝑍2=𝑍1̅̅̅+1+2𝑖=2+2𝑖|𝑍2|=√22+22=2√2；（2）解：𝑎1=1,𝑎2=2；𝑏1

=0,𝑏2=2∵𝑍𝑛̅̅̅=𝑎𝑛−𝑏𝑛𝑖(𝑎𝑛,𝑏𝑛∈𝑅)，∴𝑍𝑛+1=𝑍𝑛̅̅̅+1+2𝑖=𝑎𝑛−𝑏𝑛𝑖+1+2𝑖=𝑎𝑛+1+(2−𝑏𝑛)𝑖又𝑍

𝑛+1=𝑎𝑛+1+𝑏𝑛+1𝑖，∴𝑎𝑛+1=𝑎𝑛+1,𝑏𝑛+1=2−𝑏𝑛则{𝑎𝑛}是以1为首项，1为公差的等差数列，𝑎100=1+99×1=100∵𝑏1=0,𝑏2=2,∴𝑏3=0,𝑏4=2...，∴𝑏100=2故𝑍100=100+2𝑖．【考点】复数

求模【解析】【分析】（1）由题意知，𝑍2=𝑎2+𝑏2𝑖，𝑍1=1,𝑍2=𝑍1̅̅̅+1+2𝑖=2+2𝑖，再根据模长公式得出|𝑍2|的值；（2）由𝑍𝑛=𝑎𝑛−𝑏𝑛𝑖(𝑎𝑛,𝑏𝑛∈𝑅)，得𝑍𝑛+1=𝑎𝑛+1+(2−

𝑏𝑛)𝑖，则{𝑎𝑛}是以1为首项，1为公差的等差数列，进而得出𝑍100.19.如图①，在直角梯形ABCD中，𝐴𝐷//𝐵𝐶,𝐴𝐷⊥𝐷𝐶,𝐵𝐶=2𝐴𝐷=2𝐷𝐶，四边形ABEF是正方形：现将正方形ABEF沿AB折起

到四边形𝐴𝐵𝐸1𝐹1的位置，使平面𝐴𝐵𝐸1𝐹1⊥平面ABCD，M为𝐴𝐹1的中点，如图②.（1）证明：直线DC与直线𝐸1𝑀相交；（2）求直线BM与平面𝐶𝐸1𝑀所成角的正弦值.【答案】（1）证明：建立如图所示空间直角坐标系：设A

D=1，则𝐷(2,1,0),𝐶(2,0,0),𝐸1(0,0,√2),𝑀(1,1,√22)，所以𝐷𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,0,√22),𝐶𝐸1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−2,0,√2)，所以𝐷𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐶𝐸1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则𝐷𝑀⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗//𝐶𝐸1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，因为𝐷𝑀,𝐶𝐸1不重合，所以𝐷𝑀//𝐶𝐸1，所以𝐶,𝐷,𝑀,𝐸1四点共面，在直角梯形ABCD中，因为𝐴𝐷//𝐵𝐶，设𝐶𝐷∩𝐴𝐵=𝑃

，则𝑃∈𝐶𝐷,𝑃∈𝐴𝐵，所以𝑃∈平面𝐶𝐷𝑀𝐸1，𝑃∈平面𝐵𝐴𝑀𝐸1又因为平面𝐶𝐷𝑀𝐸1∩平面𝐵𝐴𝑀𝐸1=𝑀𝐸1，所以𝑃∈𝑀𝐸1，所以直线DC与直线𝐸1𝑀相交；（2）解：由（1）知𝐵𝑀⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗=(1,1,√22),𝐶𝐸1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−2,0,√2),𝐸1𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,1,−√22)，设平面𝐶𝐸1𝑀的一个法向量为𝑛⃗⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，则{�

�⃯⋅𝐶𝐸1⃯=0𝑛⃯⋅𝐸1𝑀⃯=0，即{−2𝑥+√2𝑧=0𝑥+𝑦−√22𝑧=0，令𝑥=1，得𝑛⃗⃗=(1,0,√2)，设直线BM与平面𝐶𝐸1𝑀所成的角为𝜃，所以sin𝜃=|cos〈𝑛⃗⃗,𝐵𝑀⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗〉|=|𝑛⃗⃗⋅𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||𝑛⃗⃗|⋅|𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2√3015，故直线BM与平面𝐶𝐸1𝑀所成角的正弦值是2√3015【考点】用空间向量求直线与平面的

夹角【解析】【分析】（1）建立如图所示空间直角坐标系，设AD=1，求出D，C，E1，M的坐标，得出𝐷𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐶𝐸1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则𝐷𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗//𝐶𝐸1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以𝐶,𝐷

,𝑀,𝐸1四点共面，再由平面𝐶𝐷𝑀𝐸1∩平面𝐵𝐴𝑀𝐸1=𝑀𝐸1，可得直线DC与直线𝐸1𝑀相交；（2）利用向量法可求出直线BM与平面𝐶𝐸1𝑀所成角的正弦值。20.已知点𝐴(𝑥1,𝑦1)𝐷(𝑥2,𝑦2

)(其中𝑥1<𝑥2)是曲线𝑦2=8𝑥(𝑦≥0)上的两点，点A，D两点在x轴上的射影分别为点B､C，且|𝐵𝐶∣=𝑎.（1）当点B的坐标为(2,0)，且𝑎=6时，求直线AD的方程；（2）记△𝑂𝐴𝐷的面积为𝑆1，梯形ABCD的面积为𝑆2，求证

：𝑆1𝑆2<14.【答案】（1）解：由题知点𝐵的坐标为(2,0)，因为|𝐵𝐶|=6，所以点𝐶(8,0)，故点𝐴(2,𝑦1)，𝐷(8,𝑦2)，因为点𝐴，点𝐷在曲线上，满足曲线方程，故𝑦1

=√8×2=4，𝑦2=√8×8=8，故点𝐴(2,4)，𝐷(8,8)，所以直线𝐴𝐷的方程为𝑦−4=8−48−2(𝑥−2)⇒2𝑥−3𝑦+8=0；（2）解：设直线𝐴𝐷方程为𝑦=𝑘𝑥+𝑚，联立{𝑦2=8𝑥𝑦=𝑘𝑥+𝑚⇒𝑘2𝑥2+(2�

�𝑚−8)𝑥+𝑚2=0，因为直线与曲线相交于两点，所以𝛥=(2𝑘𝑚−8)2−4𝑘2𝑚2>0⇒𝑘𝑚<2，根据韦达定理有{𝑥1+𝑥2=8−2𝑘𝑚𝑘2𝑥1𝑥2=𝑚2𝑘2，所以|𝐴𝐷|=√1+𝑘2|𝑥1−�

�2|=√1+𝑘2|𝐵𝐶|=𝑎√1+𝑘2，原点𝑂到直线𝐴𝐷的距离𝑑=|𝑚|√1+𝑘2，所以𝑆1=12|𝐴𝐷|⋅𝑑=𝑎2|𝑚|，𝑆2=12|𝐵𝐶|(𝑦1+𝑦2)=𝑎2𝑘(𝑥1+𝑥2)+�

�𝑚，故𝑆1𝑆2=𝑎2|𝑚|𝑎2𝑘(𝑥1+𝑥2)+𝑎𝑚=𝑎2|𝑚|𝑎2𝑘(8−2𝑘𝑚𝑘2)+𝑎𝑚=𝑘|𝑚|8，由题知𝑦1𝑦2=√8√𝑥1×√8√𝑥2=8𝑚𝑘>0，又因为𝑥1<𝑥2代入曲线方程有𝑦1<𝑦2，有𝑘=

𝑦2−𝑦1𝑥2−𝑥1>0，所以𝑚>0，所以0<𝑘𝑚<2，故𝑆1𝑆2=𝑘𝑚8∈(0,14)．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1）由B的坐标，可得A的坐标，又|𝐵𝐶|=6，可得D的坐标𝐷(8,8)，运用直线的斜率

公式，即可得到所求直线方程；（2）设直线AD的方程为y=kx+m．M（0，m），运用三角形的面积公式可得𝑆1=12|𝐴𝐷|⋅𝑑=𝑎2|𝑚|，将直线方程和抛物线的方程联立，运用判别式大于0和韦达定理，以及梯形的面积公式可得S2，进而得到

所求范围．21.某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人.萌宠机器人语音功能让它就像孩子的小伙伴一样和孩子交流，记忆功能还可以记住宝宝的使用习惯，很快找到宝宝想听的内容.同时提供快乐儿歌、国学经典、启蒙英语等早期教育内容，且云端内容可以持续更

新.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎.为了更好地服务广大家长，该公司研究部门从流水线上随机抽取100件萌宠机器人（以下简称产品），统计其性能指数并绘制频率分布直方图（如图1）：产品的性能指数在[50,70)的适合托班幼儿使用（简称

A类产品），在[70,90)的适合小班和中班幼儿使用（简称B类产品），在[90,110]的适合大班幼儿使用（简称C类产品），A，B，C，三类产品的销售利润分别为每件1.5，3.5，5.5（单位：元）.以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该

区间的概率.参考公式：对于一组数据(𝑢1,𝜐1),(𝑢2,𝜐2),⋯,(𝑢𝑛,𝜐𝑛)，其回归直线𝜐=𝛼+𝛽𝑢的斜率和截距的最小二乘估计分别为𝛽̂=∑(𝑢𝑖−𝑢̅)𝑛𝑖=1(𝜐𝑖−𝜐̅)∑(𝑢𝑖−𝑢̅)𝑛𝑖=12，𝛼̂=𝜐̅−𝛽̂𝑢̅

.（1）求每件产品的平均销售利润；（2）该公司为了解年营销费用𝑥（单位：万元）对年销售量𝑦（单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用𝑥𝑖，和年销售量𝑦𝑖(𝑖=1,2,3,4,5)数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值.∑𝑢𝑖5𝑖=1

∑𝜐𝑖5𝑖=1∑(𝑢𝑖−𝑢̅)5𝑖=1(𝜐𝑖−𝜐̅)∑(𝑢𝑖−𝑢̅)25𝑖=116.3024.870.411.64表中𝑢𝑖=ln𝑥𝑖，𝜐𝑖=ln𝑦𝑖，𝑢̅=15∑𝑢𝑖5𝑖=1，𝜐̅=15∑𝜐𝑖5𝑖=1.根据散点图判断

，𝑦=𝑎⋅𝑥𝑏可以作为年销售量𝑦（万件）关于年营销费用𝑥（万元）的回归方程.（i）建立𝑦关于𝑥的回归方程；（ii）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益=销售利润-营销费用，取𝑒4.15

9=64）.【答案】（1）解：设每件产品的销售利润为𝜉元，则𝜉的所有可能取值为1.5，3.5，5.5，由直方图可得，𝐴，𝐵，𝐶三类产品的频率分别为0.15、0.45、0.4，所以，𝑃(𝜉=1.5)=0.15，𝑃(𝜉=

3.5)=0.45，𝑃(𝜉=5.5)=0.4，所以随机变量𝜉的分布列为：𝜉1.53.55.5𝑃0.150.450.4所以，𝐸𝜉=1.5×0.15+3.5×0.45+5.5×0.4=4，故每件产品的平均销售利润为4元；（2）解：（i）由𝑦=𝑎⋅𝑥𝑏得，ln

𝑦=ln(𝑎⋅𝑥𝑏)=ln𝑎+𝑏ln𝑥，令𝑢=ln𝑥，𝜐=ln𝑦，𝑐=ln𝑎，则𝜐=𝑐+𝑏𝑢，由表中数据可得，𝑏̂=∑(𝑢𝑖−𝑢̅)5𝑖=1(𝜐𝑖−𝜐̅)∑(𝑢𝑖−𝑢̅)25𝑖=1=0.41

1.61=0.25，则𝑐̂=𝜐̅−𝑏̂𝑢̅=24.875−0.25×16.305=4.159，所以，𝜐̂=4.159+0.25𝑢，即ln𝑦̂=4.159+0.25ln𝑥=ln(𝑒4.159⋅𝑥14)，因为𝑒4.159=64，所以𝑦̂=64�

�14，故所求的回归方程为𝑦=64𝑥14；（ii）设年收益为𝑧万元，则𝑧=(𝐸𝜉)⋅𝑦−𝑥=256𝑥14−𝑥，设𝑡=𝑥14，𝑓(𝑡)=256𝑡−𝑡4，则𝑓′(𝑡)=256−4𝑡3=4(64−𝑡3)，当𝑡∈(0,4

)时，𝑓′(𝑡)>0，𝑓(𝑡)在(0,4)单调递增，当𝑡∈(4,+∞)时，𝑓′(𝑡)<0，𝑓(𝑡)在(4,+∞)单调递减，所以，当𝑡=4，即𝑥=256时，𝑧有最大值为768，即该厂应投入256万元营销费，能使得该产品

一年的收益达到最大768万元.【考点】频率分布直方图，线性回归方程【解析】【分析】（1）设每件产品的销售利润为ξ元，则ξ的所有可能取值为1.5，3.5，5.5，求出概率，得到分布列，然后求解期望；（2）（i）由y=a•xb得，lny=ln（a•xb

）=lna+blnx，令u=lnx，υ=lny，c=lna，可得υ=c+bu，求出回归直线方程的系数，然后求解y关于x的回归方程；（ii）设年收益为z万元，则𝑧=(𝐸𝜉)⋅𝑦−𝑥=256𝑥14−𝑥，利用换元法，以及函数的导数，判断函数的单调性，求解函数的最值

，推出结果．22.已知函数𝑓(𝑥)=ln(𝑥+1)+𝑎(𝑥2+𝑥)+2(其中常数𝑎>0).（1）讨论𝑓(𝑥)的单调性；（2）若𝑓(𝑥)有两个极值点𝑥1,𝑥2，且𝑥1<𝑥2，求证：𝑓(𝑥1

)<−2ln2+12.【答案】（1）解：𝑓′(𝑥)=1𝑥+1+𝑎(2𝑥+1)=2𝑎𝑥2+3𝑎𝑥+𝑎+1𝑥+1，记𝑔(𝑥)=2𝑎𝑥2+3𝑎𝑥+𝑎+1，𝛥=𝑎2−8𝑎，①当𝛥≤0，即0<𝑎≤8时，

𝑔(𝑥)≥0，故𝑓′(𝑥)≥0，所以𝑓(𝑥)在(−1,+∞)单调递增．②当𝛥>0，即当𝑎>8时，𝑔(𝑥)=0有两个实根𝑥1=−3𝑎−√𝑎2−8𝑎4𝑎，𝑥2=−3𝑎+√𝑎2−8𝑎4𝑎，注意到𝑔(0)=

𝑎+1>0，𝑔（1）=6𝑎+1>0且对称轴𝑥=−34∈(−1,0)，故𝑥1，𝑥2∈(−1,0)，所以当−1<𝑥<𝑥1或𝑥>𝑥2时，𝑔(𝑥)>0，𝑓′(𝑥)>0，𝑓(𝑥)单调递增；当𝑥1<𝑥

<𝑥2时，𝑔(𝑥)<0，𝑓′(𝑥)<0，𝑓(𝑥)单调递减．综上所述，当0<𝑎≤8时，𝑓(𝑥)在(−1,+∞)单调递增；当𝑎>8时，𝑓(𝑥)在(−1,−3𝑎−√𝑎2−8𝑎4𝑎)和(−3𝑎+√𝑎2

−8𝑎4𝑎,+∞)上单调递增，在(−3𝑎−√𝑎2−8𝑎4𝑎,−3𝑎+√𝑎2−8𝑎4𝑎)上单调递减．（2）解：∵𝑓(𝑥)有两个极值点𝑥1,𝑥2，且𝑥1<𝑥2，∴𝑥1为𝑓(𝑥)的极大值点由（1）知，−1<𝑥1<−34，又�

�(𝑥1)=0，∴𝑎=−12𝑥12+3𝑥1+1𝑓(𝑥1)=ln(𝑥1+1)+−12𝑥1⬚2+3𝑥1+1(𝑥1⬚2+𝑥1)+2=ln(𝑥1+1)−𝑥12𝑥1+1+2设𝜑(𝑡)=ln(𝑡+1)−𝑡2𝑡+1+2(−1<𝑡<−34)𝜑′(

𝑡)=1𝑡+1−1(2𝑡+1)2=𝑡(4𝑡+3)(𝑡+1)(2𝑡+1)2>0∴𝜑(𝑡)单调递增，𝜑(𝑡)<𝜑(−34)=−2ln2+12即𝑓(𝑥1)<−2ln2+12【考点】利用导数研究函数的单调性【解析

】【分析】（1）求导得𝑓′(𝑥)=1𝑥+1+𝑎(2𝑥+1)=2𝑎𝑥2+3𝑎𝑥+𝑎+1𝑥+1，记𝑔(𝑥)=2𝑎𝑥2+3𝑎𝑥+𝑎+1，𝛥=𝑎2−8𝑎，分两种情况讨论①当𝛥≤0，

②当𝛥>0𝑔(𝑥)的正负，即𝑓′(𝑥)的正负，进而得出𝑓(𝑥)的单调性；（2）求出𝑓(𝑥1)=ln(𝑥1+1)+−12𝑥1⬚2+3𝑥1+1(𝑥1⬚2+𝑥1)+2=ln(𝑥1+1)−𝑥12𝑥1+1+2，设𝜑(𝑡)=ln(𝑡+1)−𝑡

2𝑡+1+2(−1<𝑡<−34)，根据函数的单调性证明即可．