【文档说明】新教材数学人教A版必修第一册教案：2.1等式性质与不等式性质 含解析【高考】.docx，共(13)页，591.463 KB，由小赞的店铺上传

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-1-第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质【素养目标】1．了解现实世界和日常生活中的等量关系与不等关系．(数学抽象)2．了解不等式(组)的实际背景，会用不等式(组)表示不等关系．(数学建模)3．掌握不等式的性质及应用．(逻辑推理)4．会用作差法(或作商法)比较两个实数或代

数式值的大小．(数学运算)5．能运用等式的性质或不等式的性质解决相关问题．(逻辑推理)【学法解读】在相等关系与不等关系的学习中，学生通过类比学过的等式与不等式的性质，进一步探索等式与不等式的共性与差异．第1课时不等关系与比较大小必备知识·探新知

基础知识知识点1不等式与不等关系不等式的定义所含的两个要点．(1)不等符号，，______，______或.(2)所表示的关系是____________.思考1：不等式“ab”的含义是什么？只有当“ab”与“ab=”同时成立时，该不等式才成立，是吗？提

示：不等式ab应读作“a小于或者等于b”，其含义是指“ab或者ab=”，等价于“a不大于b”，即若ab或ab=之中有一个正确，则ab正确．知识点2比较两实数a，b大小的依据000ababab−−−=

如果依据如果如果-2-比较两实数a，b的大小依据如果a－b>0，那么________如果a－b<0，那么________如果a－b＝0，那么________结论：确定任意两个实数a，

b的大小关系，只需确定它们的差a－b与0的大小关系思考2：(1)在比较两实数a，b大小的依据中，a，b两数是任意实数吗？(2)若“0ba−”，则a，b的大小关系是怎样的？提示：(1)是(2)ba基础自测1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)(1)不等式2x的含

义是指x不小于2.()(2)若20x＝，则0x.()(3)若10x−，则1x.()(4)两个实数a，b之间，有且只有ab，ab=，ab三种关系中的一种．()[解析](1)不等式2x表示2x或2x＝，即x不小于2.(2)若20x=，则0x=，所以0x成立．(3)若10

x−，则1x或者1x=，即1x.(4)任意两数之间，有且只有ab，ab=，ab三种关系中的一种，没有其他大小关系．2．大桥桥头立着的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T满足关系()A．40TB．40TC．40

TD．40T3．已知1x，则22x+与3x的大小关系为_____________.关键能力·攻重难-3-题型探究题型一用不等式(组)表示不等关系例1某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每

天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件．若把提价后商品的售价设为x元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？[分析]由“这种商品的售价

每提高1元，销售量就相应减少10件”确定售价变化时相应每天的利润，由“每天的利润不低于300元”确定不等关系，即可列出不等式．[解析]若提价后商品的售价为x元，则销售量减少10101x−件，因此，每天的利润为810010()[

)]0(1xx−−−元，则“每天的利润不低于300元”可以用不等式表示为810010()[(10300)]xx−−−.[归纳提升]将不等关系表示成不等式的思路(1)读懂题意，找准不等式所联系的量．(2)用适

当的不等号连接．例2某矿山车队有4辆载重为10t的甲型卡车和7辆载重为6t的乙型卡车，且有9名驾驶员，此车队每天至少要运360t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有

不等关系的不等式．[分析]首先用变量x，y分别表示甲型卡车和乙型卡车的车辆数，然后分析已知量和未知量间的不等关系：(1)卡车数量与驾驶员人数的关系；(2)车队每天运矿石的数量；(3)甲型卡车的数量；(4)乙型卡车的数量．再将不等关系用含未知数的不等式表示出来，要注意

变量的取值范围．[解析]设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，则9106683600407,xyxyxyxyN++即954300407,xyxyxyxyN++

-4-[归纳提升]用不等式组表示不等关系的方法首先要先弄清题意，分清是常量与常量、变量与变量、函数与函数还是一组变量之间的不等关系；然后类比等式的建立过程找到不等词，选准不等号，将量与量之间用不等号连接；最后注意不等式与不等关系

的对应，不重不漏，尤其要检验实际问题中变量的取值范围．【对点练习】❶用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于2110m，靠墙的一边长为xm，试用不等式表示其中的不等关系．[解析]由于矩形菜

园靠墙的一边长为xm，而墙长为18m，所以018x，这时菜园的另一条边长为30(15)()22xxm−=−．因此菜园面积(15)2xSx=−，依题意有110S，即(15)1102xx−，故该题中的不等关系可用不等式组表示为018(15)1102xxx−题型二比

较实数的大小例3已知a，b为正实数，试比较abba+与ab+的大小．[解析]方法一(作差法)：()()ababba+−+()()abbaba=−+−()()abbaababbaab−−−−=+=2()()ababab−

+=.∵a，b为正实数，∴>0ab+，0ab，2()0ab−，∴2()()0ababab−+，∴ababba++.-5-方法二(作商法)：33()ababbaababab++=++()()()ababababababa

bab++−+−==+22()()11ababababab−+−==+.∵0baab+，0ab+，∴ababba++.方法三(平方后作差)：∵222()+2abababbaba+=+，2()2ababab+=++，∴222()()()()abababababba+−

+−+=.∵0a，0b，∴2()()0ababab+−.又0abba+，0ab+，故ababba++.[归纳提升]比较大小的方法1．作差法的依据：0abab−；0abab−==；0

abab−.步骤：作差—变形—判断差的符号—得出结论．注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是多少无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或多个因式的积的形式．2．作商法的依据：()0b时，1()aabb；1aabb==；1()aab

b.步骤：作商——变形——判断商与1的大小——得出结论．注意：作商法的适用范围较小，且限制条件较多，用的较少．3．介值比较法：(1)介值比较法的理论根据：若ab，bc，则ac，其中b是a与c的中

介值．(2)介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个比较合适的中介值．-6-【对点练习】❷当1x时，比较33x与231xx−+的大小．[解析]3232()()()331331xxxxxx−−+−−=+231()()1xxx+=−−231()()1xx=+−．因为1x，所以10x－，而

2310x+.所以2()(10)31xx+−，所以32331xxx−+.-7-第2课时不等式性质必备知识·探新知基础知识知识点1不等式的性质性质1ab________；(对称性)性质2ab，bc___

_____；(传递性)性质3ab______________；(同加保序性)推论：abc＋___________；(移项法则)性质4ab，0c__________，(乘正保序性)ab，0cacbc；(乘负反序性)性质5a

b，cd______________；(同向相加保序性)性质60ab，0cd__________；(正数同向相乘保序性)性质70ab__________()2nNn，．(非负乘方保序性)思考

：(1)性质3的推论实际就是解不等式中的什么法则？(2)性质4就是在不等式的两边同乘以一个不为零的数，不改变不等号的方向，对吗？为什么？(3)使用性质6,7时，要注意什么条件？提示：(1)移项法则．(2)不对．要看两边同乘以的数的符号，同乘以正数，不改变不等号的

方向，但是同乘以负数时，要改变不等号的方向．(3)各个数均为正数．基础自测1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)(1)若ab，则22acbc.()(2)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．()-8-(3)设a，bR，且ab，则33ab.()(4)若acbd＋＋，则ab，cd

.()[解析](1)由不等式的性质，22acbcab；反之，0c=时，ab22acbc.(2)相乘需要看是否00abcd，而相加与正、负和零均无关系．(3)符合不等式的可乘方性．(4)取4a=

，5c=，6b=，2d=，满足acbd＋＋，但不满足ab，故此说法错误．2．设ba，dc，则下列不等式中一定成立的是()A．acbd−−B．acbdC．acbd＋＋D．adbc＋＋3．已知0a，10b−，那么下列不等式成立的是(

)A．2aababB．2ababaC．2abaabD．2ababa[解析]由10b−，可得21bb，又0a，∴2ababa，故选D．4．用不等号“>”或“<”填空：(1)如果ab，cd，那么ac−______bd−；(2)如果0ab

，0cd，那么ac______bd；(3)如果0ab，那么21a______21b；(4)如果0abc，那么ca______cb.[解析](1)∵cd−−，∴cd−−，∵ab，∴acbd−−.(2)∵0c

d，∴0cd−−.∵0ab，∴acbd−−，∴acbd.(3)∵0ab，∴0ab，10ab，∴110ababab，-9-∴110ba，∴2211()()ba，即2211ab.(4)∵0ab，所以10ab，10ab.于

是11ababab，即11ba，即11ab.∵0c，∴ccab.关键能力·攻重难题型探究例1若0ab，则下列结论正确的是()A．22abB．2abbC．11abD．22acbc[分析]通过赋值可以排除A，D，根据不等式的性质可判断B，C

正误．[解析]若0ab，对于A选项，当2a=−，1b=−时，不成立；对于B选项，等价于ab，故不成立；对于C选项，110ba，故选项正确；对于D选项，当0c=时，不正确．[归纳提升]判断关于不等式的命题真假的两种方法(1)直接运用不等式的性质：把要判断的命题和不等式的性质联系起来

考虑，找到与命题相近的性质，然后进行推理判断．(2)特殊值验证法：给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值，然后进行比较、判断．【对点练习】❶设a，b是非零实数，若ab，则下列不等式成立的是()A．22abB．22ababC．221

1ababD．baab[解析]当0a，0b时，22ab不一定成立，故A错．因为22()abababba=−−，0ba−，ab符号不确定，故B错.2222110abababab−−=，所以2211abab，故C正确．D中ba与ab的大小不能确定．题

型二利用不等式的性质证明不等式例2设abc，求证：111>0abbcca++−−−.-10-[分析]不等式证明，就是利用不等式性质或已知条件，推出不等式成立．[证明]因为abc，所以cb−−.所以0acab−−，所以

11>>0abac−−.所以110abca+−−.又0bc−，所以10bc−.所以1110abbcca++−−−.[归纳提升]利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类

问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．【对点练习】❷若0ab，0cd

，0e，求证：22>()()eeacbd−−.[证明]因为0cd，所以0cd−−.又因为0ab，所以0acbd−−.所以22()()0acbd−−.所以22110()()acbd−−.又因为0e，

所以22>()()eeacbd−−.题型三利用不等式的性质求范围例3已知14x−,23y.(1)求xy−的取值范围．(2)求32xy＋的取值范围．[解析](1)因为14x−,23y，所以32y−−−，所以42xy−−.-11-(2)由14x−,23

y，得3312x−,426y，所以13218xy＋.[归纳提升]利用不等式的性质求取值范围的策略(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围

．(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．【对点练习】❸已知1025m，3015n−−，求mn−与mn的取值范围．[解析]因为30

15n−−，所以1530n−，所以10152530mn−＋＋，即2555mn−.因为3015n−−，所以1111530n−−，所以1113015n−，又111<<3015n，所以10253015mn−，即1533mn−.所以5133mn−−.误区警示错

用同向不等式性质例4已知1260a,1536b，ab的取值范围是_____________.[错解]∵1260a,1536b，∴1260<<1536ab，∴45<<53ab.故填45<<53ab.[错因分析]把不等式的同向不等式(正项)相乘的性质用到了除法，从而导致错误．[正解]

∵1536b，∴1113615b，又1260a，∴12603615ab，∴143ab，故填143ab.[方法点拨]若题目中指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等-12-式具有可加性与可乘性，但是不能相减或

相除，解题时必须利用性质，步步有据，避免改变代数式的取值范围．学科素养不等关系的实际应用不等关系是数学中最基本的部分关系之一，在实际问题中有广泛应用，也是高考考查的重点内容．例5有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间

颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：2m)分别为x，y，z，且xyz，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/2m)分别为a，b，c，且abc.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是()

A．axbycz++B．azbycx++C．aybzcx++D．aybxcz++[分析]本题考查实际问题中不等关系的建立及利用不等式的性质比较大小．[解析]方法一：因为xyz，abc，所以0()()()()()axb

yczazbycxaxzczxxzac++−++−−=−−=＋，故axbyczazbycx++++；同理，0()()()()()aybzcxaybxczbzxcxzxzcb++−++−−=−−=＋，故aybzcxaybxcz++++.又0()()()()

()azbycxaybzcxazybyzabzy++−++−−=−−+=，故azbycxaybzcx++++.综上可得，最低的总费用为azbycx++.方法二：采用特殊值法进行求解验证即可，若1x=，2y=，3z=，1a=，2b=，3c=，则14axbycz++＝，

10azbycx++＝，11aybzcx++＝，13aybxcz++＝.由此可知最低的总费用是azbycx++.[归纳提升]对于不等关系判断问题的求解，一般需要通过作差进行推理论证，对运算能力-13-要求较高，但对于具有明确不等关系的式子进行判断时，

特殊值法是一种非常值得推广的简便方法．