【文档说明】高考统考数学理科人教版一轮复习教师用书：第6章 第2节 等差数列及其前n项和 含解析【高考】.doc，共(11)页，288.000 KB，由小赞的店铺上传

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-1-等差数列及其前n项和[考试要求]1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的

关系．1．等差数列(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．数学语言表示为an＋1－an＝d(n∈N*)，d为常数．(2)

等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝a＋b2，其中A叫做a，b的等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：Sn＝na1＋n(n－1)2d＝n(a1＋an)2.3．等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系(1)

当d≠0时，等差数列{an}的通项公式an＝dn＋(a1－d)是关于d的一次函数．(2)当d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn＝d2n2＋a1－d2n是关于n的二次函数．4．等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn

存在最小值．-2-[常用结论]等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈

N*)是公差为md的等差数列．(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)也是等差数列，公差为m2d.(5)若{an}是等差数列，则Snn也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差是{an}的公差

的12.(6)若等差数列{an}的项数为偶数2n，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；②S偶－S奇＝nd，S奇S偶＝anan＋1.(7)若{an}，{bn}均为等差数列且其前n项和为Sn，Tn，则anbn＝S2n－1T2n－1.(8)若等差数列{an

}的项数为奇数2n＋1，则①S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；②S奇S偶＝n＋1n.一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()(2)等

差数列{an}的单调性是由公差d决定的.()(3)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.()(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．()[答案](1)×(2)√(3)√(4)×二、教材习题衍生1．等差数列{an}中，a4＋a8＝10，a10

＝6，则公差d等于()-3-A．14B．12C．2D．－12A[∵a4＋a8＝2a6＝10，∴a6＝5，又a10＝6，∴公差d＝a10－a610－6＝6－54＝14.故选A．]2．设数列{an}是等差数列，其前n项和为S

n，若a6＝2且S5＝30，则S8等于()A．31B．32C．33D．34B[设数列{an}的公差为d，法一：由S5＝5a3＝30得a3＝6，又a6＝2，∴S8＝8(a1＋a8)2＝8(a3＋a6)2＝8(6＋2)2＝32.法二：由a1＋5d＝2，5a1＋5×42d＝30，得

a1＝263，d＝－43.∴S8＝8a1＋8×72d＝8×263－28×43＝32.]3．已知等差数列－8，－3,2,7，…，则该数列的第100项为．487[依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，所以a100＝－8＋99×5＝487.]4．某剧场有20排座位，后一排比前

一排多2个座位，最后一排有60个座位，则剧场总共的座位数为．820[设第n排的座位数为an(n∈N*)，数列{an}为等差数列，其公差d＝2，则an＝a1＋(n－1)d＝a1＋2(n－1)．由已知a20＝60，得60＝a1＋2×(20

－1)，解得a1＝22，则剧场总共的座位数为20a1＋a202＝20×22＋602＝820.]考点一等差数列基本量的运算-4-解决等差数列运算问题的思想方法(1)方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d

，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二”．(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．(3)利用性质：运用等差数列性质可

以化繁为简、优化解题过程．1．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则()A．an＝2n－5B．an＝3n－10C．Sn＝2n2－8nD．Sn＝12n2－2nA[设等差数列{an}的首项为a

1，公差为d.由题知，S4＝4a1＋d2×4×3＝0，a5＝a1＋4d＝5，解得a1＝－3，d＝2，∴an＝2n－5，Sn＝n2－4n，故选A．]2．(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5等于()A．－12B

．－10C．10D．12B[设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，得33a1＋3×(3－1)2×d＝2a1＋2×(2－1)2×d＋4a1＋4×(4－1)2×d，将a1＝2代入上式，解得d＝－3，故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.故选B．]3．《算法

统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁

，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，-5-则a1＝()A．23B．32C．35D．38C[由题意可知年龄构成的数列为等差数列，其公差为－3，则9a1＋9×82×(－3)＝207，解得a1＝3

5，故选C．]点评：涉及等差数列基本量的运算问题其关键是建立首项a1和公差d的等量关系．考点二等差数列的判定与证明等差数列的判定与证明的方法方法解读适合题型定义法若an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列解答题中证明问题等差中项法2an＝

an＋1＋an－1(n≥2，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列通项公式法an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列选择、填空题中的判定问题前n项和公式法验证Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数

列[典例1]若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝12.(1)求证：1Sn成等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．[解](1)证明：当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，因为Sn≠0，所

以1Sn－1Sn－1＝2，又1S1＝1a1＝2，故1Sn是首项为2，公差为2的等差数列．(2)由(1)可得1Sn＝2n，所以Sn＝12n.当n≥2时，-6-an＝Sn－Sn－1＝12n－12(n－1)＝

n－1－n2n(n－1)＝－12n(n－1).当n＝1时，a1＝12不适合上式．故an＝12，n＝1，－12n(n－1)，n≥2.点评：证明1Sn成等差数列的关键是1Sn－1Sn－1为与n无关的常数，同时注意求数列{an}的通项公式时务必检验其

通项公式是否包含n＝1的情形．[跟进训练]已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.(1)求a2，a3；(2)证明数列ann是等差数列，并求{an}的通项公式．[解](1)由已知，得a2－2a1＝4，则a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2

＝6.由2a3－3a2＝12，得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15.(2)由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)，得nan＋1－(n＋1)ann(n＋1)＝2，即an＋1n＋1－ann＝2，所以数列ann是首项a1

1＝1，公差d＝2的等差数列．则ann＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝2n2－n.考点三等差数列性质的应用利用等差数列的性质解题的两个关注点(1)两项和的转换是最常用的性质，利用2am＝am－n＋am＋n可实现项的合并与

拆分，在Sn＝n(a1＋an)2中，Sn与a1＋an可相互转化．(2)利用Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，可求S2m或S3m.-7-等差数列项的性质[典例2－1](1)已知数列{an}是等差数列，若

a9＝4，a5＋a6＋a7＝6，则S14＝()A．84B．70C．49D．42(2)已知在等差数列{an}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝()A．10B．20C．40D．2＋log25(3)设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1

＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于()A．0B．37C．100D．－37(1)D(2)B(3)C[(1)因为a5＋a6＋a7＝3a6＝6，所以a6＝2，又a9＝4，所以S14＝14×(

a1＋a14)2＝7(a6＋a9)＝42.故选D．(2)log2(2a1·2a2·…·2a10)＝log22a1＋log22a2＋…＋log22a10＝a1＋a2＋…＋a10＝5(a5＋a6)＝5×4＝20.故选B．(3)设{an}，{bn}的公差分别为d

1，d2，则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，所以{an＋bn}为等差数列．又a1＋b1＝a2＋b2＝100，所以{an＋bn}为常数列，所以a37＋b37＝10

0.]点评：一般地am＋an≠am＋n，等号左右两边必须是两项相加，当然也可以是am－n＋am＋n＝2am.等差数列前n项和的性质[典例2－2](1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝7，S10＝21，则S15等于()A．35B．4

2C．49D．63(2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2018，S20202020－S20142014＝6，则S2021＝.(1)B(2)4042[(1)由题意知，S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，即7,14，S15－21成

等差数列，∴S15－21＋7＝28，-8-∴S15＝42，故选B．(2)由等差数列的性质可得Snn也为等差数列，设其公差为d，则S20202020－S20142014＝6d＝6，∴d＝1，∴S202120

21＝S11＋2020d＝－2018＋2020＝2，∴S2021＝4042.]点评：本例(2)，也可以根据条件先求出a1，d，再求结果，但运算量大，易出错．[跟进训练]1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若m＞1，且am－1＋am＋1－a2

m－1＝0，S2m－1＝39，则m等于()A．39B．20C．19D．10B[数列{an}为等差数列，则am－1＋am＋1＝2am，则am－1＋am＋1－a2m－1＝0可化为2am－a2m－1＝0，解得am＝1.又S

2m－1＝(2m－1)am＝39，则m＝20.故选B．]2．等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是()A．20B．22C．24D．8C[因为a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，所以a8＝2

4，所以2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.]3．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N*，都有SnTn＝2n－34n－3，则a2b3＋b13＋a14b5＋b11的值为()A．2

945B．1329C．919D．1930C[由题意可知b3＋b13＝b5＋b11＝b1＋b15＝2b8，∴a2b3＋b13＋a14b5＋b11＝a2＋a142b8＝a8b8＝S15T15＝2×15－34×15－3＝2757＝919

.故选C．]考点四等差数列的前n项和及其最值-9-求等差数列前n项和Sn最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a1>0，d<0时，满足am≥

0，am＋1≤0的项数m使得Sn取得最大值为Sm；②当a1<0，d>0时，满足am≤0，am＋1≥0的项数m使得Sn取得最小值为Sm.[典例3]等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝13，S3＝S11，当Sn最大时，n的值是()A．5B．6C．7D．8C[法

一：(邻项变号法)由S3＝S11，得a4＋a5＋…＋a11＝0，根据等差数列的性质，可得a7＋a8＝0.根据首项等于13可推知这个数列为递减数列，从而得到a7>0，a8<0，故n＝7时Sn最大．法二：(函数法)由S3＝S11，

可得3a1＋3d＝11a1＋55d，把a1＝13代入，得d＝－2，故Sn＝13n－n(n－1)＝－n2＋14n.根据二次函数的性质，知当n＝7时Sn最大．法三：(图象法)根据a1＝13，S3＝S11，知

这个数列的公差不等于零，且这个数列的和是先递增后递减．根据公差不为零的等差数列的前n项和是关于n的二次函数，以及二次函数图象的对称性，可得只有当n＝3＋112＝7时，Sn取得最大值．][母题变迁]将本例中“a1＝13，S3＝S11”改

为“a1＝20，S10＝S15”，则Sn最大时，n为何值？[解]因为a1＝20，S10＝S15，所以10×20＋10×92d＝15×20＋15×142d，所以d＝－53.法一：由an＝20＋(n－1)×－53＝－53n＋653，得a13＝0.-10-

即当n≤12时，an>0，当n≥14时，an<0.所以当n＝12或n＝13时，Sn取得最大值．法二：Sn＝20n＋n(n－1)2·－53＝－56n2＋1256n＝－56n－2522＋312

524.因为n∈N*，所以当n＝12或n＝13时，Sn有最大值．法三：由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0.所以5a13＝0，即a13＝0.所以当n＝12或n＝13时，Sn有最大值．点评：本例用了三种不同的方法，其中方法一是从项的角度分析函数最值的变化；

方法二、三是借助二次函数的图象及性质给予解答，三种方法各有优点，灵活运用是解答此类问题的关键．[跟进训练]1．设数列{an}是公差d＜0的等差数列，Sn为其前n项和，若S6＝5a1＋10d，则Sn取最大值时，n的值为()A．5B．6C．5或6D．11C[

由题意得S6＝6a1＋15d＝5a1＋10d，化简得a1＝－5d，所以a6＝0，故当n＝5或6时，Sn最大．]2．(2019·北京高考)设{an}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列．(1)求{an}的通项公式；

(2)记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．[解](1)∵{an}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列．∴(a3＋8)2＝(a2＋10)(a4＋6)，∴(－2＋2d)2＝d(－4＋3d)，解得d＝2，∴an＝a1＋(n－

1)d＝－10＋2n－2＝2n－12.(2)法一：(函数法)由a1＝－10，d＝2，-11-得Sn＝－10n＋n(n－1)2×2＝n2－11n＝n－1122－1214，∴n＝5或n＝6时，Sn取最小值－30.法二：(邻项变号法)由(1)知，an＝2n－12.所

以，当n≥7时，an＞0；当n≤6时，an≤0.所以Sn的最小值为S5＝S6＝－30.