【文档说明】浙江省杭州市富阳中学2020届高三下学期6月三模考试数学试题【精准解析】.doc，共(24)页，2.329 MB，由小赞的店铺上传

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2020年普通高等学校招生全国统一考试浙江数学模拟试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1Axx=，15Bxx=−，

则AB=（）A.15xx−B.15xxC.1xx−D.1xx【答案】B【解析】【分析】直接计算AB即可.【详解】15ABxx=，故选：B【点睛】本题主要考查交集的运算，属于简单题.2.已知实数x，y满足不等式组22

0240330xyxyxy+−−+−−，则zxy=−的最大值为（）A.-2B.-1C.1D.2【答案】C【解析】【分析】首先根据已知条件画出可行域，再根据z的几何意义即可得到最大值.【详解】首先根据已知条件画

出可行域，如图所示：由zxy=−，得到yxz=−，z表示直线yxz=−的y轴截距相反数.当直线yxz=−过()10B,时，z取得最大值.故z的最大值为1.故选：C【点睛】本题主要考查线性规划，根据题意画出可行域为解题关键，属于简单题.3.已知双

曲线22212xya−=的一条渐近线的倾斜角为6，则双曲线的离心率为（）A.233B.263C.3D.2【答案】A【解析】【分析】求出双曲线的渐进线方程，可得到a值，再由,,abc的关系和离心率公式，即可得到答案.【详解】双曲线22212xya−=的一条渐近

线的倾斜角为6，又3tan63=，所以该条渐近线方程为33yx=，所以233a=，解得6a=，所以226222cab=+=+=，所以双曲线的离心率为222336cea===.故选:A【点睛】本题主要考查了双曲线的方程与性质，考查离心率

的求法，考查学生基本的运算能力，属于基础题.4.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中x的值是（）A.2B.92C.32D.3【答案】D【解析】【分析】根据几何体的三视图判断出几何体的形状，然后根据棱锥的体积公式计算出正视图中x的值即可.【详解】由三视图知，其直观图如下图所示：

该几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，所以底面积()112232S=+=，高hx=，所以其体积113333VShx===，解得3x=.故选：D.【点睛】本题考查根据几何体的三视图还原几何体的形状以及棱锥体积公式的运用，难度一般.5.设a，b

都是不等于1的正数，则“1ab”是“log3log3ab”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】首先根据题意得到log3log3ab等价于3311loglogab，再分类讨论解不等式即可得到答案.【详解】因

为log3log3ab等价于3311loglogab，当3log0a，3log0b时，解得33loglog0ab，即1ab，当3log0a，3log0b时，解得33loglog0ba，即01ba，当3log0a，3log0b

时，解得01ab.所以“1ab”是“log3log3ab”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题主要考查对数不等式的解法，同时考查了充分必要条件的判断，属于中档题.6.函数()||()afxxaRx=−的图象不可能是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】变成分段函数

后分段求导，通过对a分类讨论，得到函数的单调性，根据单调性结合四个选项可得答案.【详解】,0(),0axxxfxaxxx−=−−,∴221,0()1,0axxfxaxx+=−+.(1)当0a=时,

,0(),0xxfxxx=−,图象为A;(2)当0a时,210ax+,∴()fx在(0,)+上单调递增,令210ax−+=得xa=−,∴当xa−时,210ax−+,当0ax−时,210ax−+,∴()fx在(,)a−

−上单调递减,在(,0)a−上单调递增,图象为D;(3)当0a时,210ax−+,∴()fx在(,0)−上单调递减,令210ax+=得xa=−,∴当xa−时,210ax+,当0xa−时,210ax+,∴()fx在(0,)

a−上单调递减,在(,)a−+上单调递增,图象为B;故选：C.【点睛】本题考查了分段函数的图像的识别，考查了分类讨论思想，考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题.7.从0，2，4，6，8和1，3，5，7，9两组数中各取两个数，组成无重复数字的四位偶数的个数是（）A.7

20B.1120C.1200D.1680【答案】B【解析】【分析】根据两组数的特点，按取到0和没有取到0进行讨论，然后直接计算即可.【详解】取到0，则组成无重复数字的四位偶数的个数是()1231245322400+=CCACA没有取到0，则组成

无重复数字的四位偶数的个数是22134523720=CCCA所以所求的结果数为4007201120+=故选：B【点睛】本题考查特殊元素的排列组合问题，审清题意，细心计算，属基础题.8.在四面体ABCD中，1ABBCCD===，2ACBD==，

3AD=，点P是棱AD上的动点，点Q为棱BC的中点，记直线PQ与直线AB所成的夹角为，直线PQ与平面BCD所成的角为，二面角PBCD−−的平面角为，则有（）A.B.C.2+D.2+【答案】D【解析】【分析】将该四面体补全为一个正方体，

然后取特殊点使用排除法，简单判断可得结果.【详解】由题可知：1ABBCCD===，2ACBD==，3AD=所以222ABBCAC+=，222ABBDAD+=，222CDBCBD+=222CDACAD+=,所以,ABBCABBD⊥⊥,CDAC⊥

,,=BCBDBBCBD平面BCD所以AB⊥平面BCD，又,,BCACCBCAC=平面ABC，所以CD⊥平面ABC将该四面体补全为一个正方体，如图当P为AD的中点时，M为BD的中点，可知PM//AB，MQ//DC，所以PM⊥平面BCD，,⊥⊥MQBCPQBC所以=，2+=

，则+2=，故排除C当P为A点时，=2，1tan,tan22====BQABABBQ所以，故排除A、B故选：D【点睛】本题考查线线角、线面角、面面角之间的关系，对选择题、填空题可以使用特殊值法以及排除

法，化繁为简，便于计算，属中档题.9.已知向量a，b，c满足4a=，a在b方向上的投影为2，()3cca−=−，则||bc−的最小值为（）A.31−B.31+C.232−D.232+【答案】A【解析】【分析】设

a，b向量的夹角为，可得2cosa=，即可求出，不妨设()2,23aOA==，()(),00bOBmm==，设(),cOCxy==，由()3cca−=−，整理可知点C的轨迹是以()1,3为圆心，半径1r=的圆，而()22|

|bcmxyBC−=−+=，结合圆的性质，可求出BC的最小值.【详解】设a，b向量的夹角为，则cos2a=，则221cos42a===，因为0,π，所以π3=.不妨设()2,23aOA==，()(),00bOBmm==，设(),cOCx

y==，则()()(),2,233ccaxyxy−=−−=−，整理得()()22131xy−+−=，所以点C的轨迹是以()1,3为圆心，半径1r=的圆，记圆心为D，又(),bcmxy−=−−，即()22||bc

mxyBC−=−+=，当直线BC过圆心D，且垂直于x轴时，BC可取得最小值，即min331BCr=−=−.故选：A.【点睛】本题考查向量的模，考查向量的数量积及向量的投影，注意利用数形结合的方法，属于难题.10.在平面直角坐标系中，定义11

nnnnnnxxyyxy++=−=+（*nN）为点(,)nnnPxy到点111(,)nnnPxy+++的变换，我们把它称为点变换，已知1(1,0)P，222(,)Pxy，333(,)Pxy，是经过点变换得到一组无穷点列，设112nnnnnaP

PPP+++=uuuuuruuuuuuur，则满足不等式122020naaa+++最小正整数n的值为（）A.9B.10C.11D.12【答案】C【解析】【分析】可以先求得1a（当然可求得234,,,aaa，然后归纳出na，对填空、选择题这是不错的解法），然后求得2

2nnnaxy=+，从而可以得12nnaa+=，说明数列{}na是等比数列，求得通项公式na后求和，由2020nS得解．【详解】由定义知1110xy==，2211xy==，330,2xy==，即23(1,1),(0,2)PP．11223(0,1)

(1,1)1aPPPP==−=，观察可得，112,nnnnnaPPPP+++=112121(,)(,)nnnnnnnnxxyyxxyy++++++=−−−−11(,)(,)nnnnyxyx++=

−−2211()()nnnnnnnnnnnnyyxxyxyxxyxy++=+=++−=+，222222111()()2()nnnnnnnnnaxyxyxyxy+++=+=−++=+2na=，∴数列{}na

是等比数列，公比为2，首项为1．∴12nna-=．2112122221nnnaaa−+++=++++=−，由212020n−，解得11n．即n的最小值为11.故答案为：C【点睛】本题考查向量的数量积，考查等比数列的通项公式与前n项和公

式．解题关键是求出22nnnaxy=+．接着顺理成章地写出1na+，观察两项之间的关系，问题得以解决．属于难题二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.已知复数(),zabiaRbR=+满足()13zii+=−，则z=_________；z=______

_____.【答案】(1).12i−(2).5【解析】【分析】首先得到31izi−=+，再化简z，求模长即可.【详解】()()()()31324121112iiiiziiii−−−−====−++−，22125z=+=.故答案为：12i−；5【点睛】本题主要考查复数的运算，同时考查

复数的几何意义，属于简单题.12.已知圆221:4Cxy+=与圆222:860Cxyxym+−++=外切，则m=__________，此时直线:0lxy+=被圆2C所截的弦长为______________.【答案】(1).16(2).34【解析】【分析】将圆2C的方程写成

标准形式，，然后根据两圆外切，可得圆心距离为半径之和，可得m，接着计算2C到直线的距离，最后根据圆的弦长公式计算可得结果.【详解】由题可知：221:4Cxy+=222:860Cxyxym+−++=，即()()224325−++=−xym且25025−mm由两圆向外切可知()()2240

30225−+−−=+−m，解得16m=所以2:C()()22439xy−++=2C到直线的距离为22431211−==+d，设圆2C的半径为R则直线:0lxy+=被圆2C所截的弦长为221229342−=−=Rd故答案为：16，34【点

睛】本题考查圆与圆的位置关系以及圆的弦长公式，掌握直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系，同时识记圆的弦长公式，便于计算，属基础题.13.512xx+−的展开式中所有系数的和为____________，含4x项的系数为_______

______.【答案】(1).0(2).10−【解析】【分析】将1x=代入512xx+−即可得到展开式中所有系数的和.再将512xx+−化简为101xx−，求出展开式通项()51101rrrrTCx−+=−，令54−=r得到1r=，即可得到答案.【详解

】令1x=，得()51120+−=，故512xx+−的展开式中所有系数的和为0.因为105112xxxx+−=−，所以展开式通项()()1051101011rrrrrrrTCxCxx−−+=−=−令54−=r，解得1r=.所以4

x项的系数为()110110C−=−.故答案为：0；10−【点睛】本题主要考查二项式定理，熟记二项式展开式的通项为解题关键，属于中档题.14.在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2c=，6cosbaCab+=，则22ab+=____________，

ABC的面积的取值范围是___________.【答案】(1).6(2).(1,2【解析】【分析】根据6cosbaCab+=得226cosababC+=，再根据余弦定理便可解出22ab+的值及cosabC的值；由2

11sin1cos22ABCSabCabC==−列出ABCS关于a的表达式，根据ABCS为锐角三角形确定边a的取值范围，再结合函数思想处理ABCS的最值.【详解】因为6cosbaCab+=，则226cosababC+=又2222cos42cosabcabCabC+=+=+，得cos1a

bC=，所以226ab+=.2222211111sin1cos112222ABCSabCabCababab==−=−=−()224211616122aaaa=−−=−+−又ABC为锐角三角形，所以又222244abba++，得22224664aaaa+−−+，所

以215a，424618aa−+−所以(421611,22Saa=−+−.故答案为：6，(1,2.【点睛】本题考查余弦定理的应用及利用三角形中边角关系求面积的最值问题，难点在于面积取值范围的确定，解答时将面积最值转化为处理函数最值来

解决，注意边长的取值范围确定.15.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX=____________．【答案】1.96【解析】【分析】根据二项分布()~100,0.02XB，由公式得到结果.【详解】由

于是有放回的抽样，所以是二项分布()~100,0.02XB，1000.020.981.96DXnpq===,填1.96【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函

数与方程思想，是基础题．16.椭圆()222210xyabab+=的左焦点为F，过F作斜率为1的直线l交椭圆于A，B两点，且8AB=，若过A的椭圆的切线斜率为1k，直线OA斜率为2k（其中O为坐标原点），当1214kk=−时，椭圆的焦距为_________________.【答

案】103【解析】【分析】假设点()00,Axy以及直线l方程为yxc=+，可得在点A处的切线方程为00221xxyyab+=，根据1214kk=−，可得224ab=，然后结合8AB=，222abc=+，计算

可得结果【详解】由题可知：直线l方程为yxc=+，设点()()0011,,,AxyBxy，则椭圆在点A处的切线方程为00221xxyyab+=，斜率21200=−xbayk020ykx=，由1214kk=−，所以

224ab=，又222abc=+，所以223cb=，椭圆方程为222214xybb+=则22222221584404xyxcxcbbbyxc+=++−==+即225880xcxb++=所以2010188,55cbxxxx+=−=所以()2

22010164321+142255=+−=−cbABxxxx由223cb=，所以8855===bABb所以22375==cb所以椭圆的焦距为2103=c故答案为：103【点睛】本题考查直线与椭圆的几何关系，还考查椭圆上的点的切线方程，考查分析能力以及计算能力，属难题.17.已知函数()()

()sin0xxfxaeexa−=−−存在唯一零点，则实数a的取值范围是____________.【答案】,2+【解析】【分析】计算()0f，可知唯一零点，同时可知该函数为奇函数，转化为当0x时，函数()f

x无零点，利用不等式sinxx，以及构造函数()−=−−xxxgxeea，最后有导数进行判读即可.【详解】由题可知：函数定义域为R且()00f=因为函数()()()sin0xxfxaeexa−=−−存在唯一零点所以()fx只

有一个零点0因为()()()sinxxfxaeexfx−−=−+=−所以函数()fx为奇函数，故只考虑当0x时，函数()fx无零点当0x时，有sinxx，所以()sin−−=−−−−xxxxxxfxaee

aeeaa令()(),0−=−−xxxgxeexa，则()00g=因为()(),0−−=+−=−xxxxgxeegxeea所以函数()gx在()0,+上单调递增，又()00g=所以()()0202=−gxgaa故答案为：,2+

【点睛】本题考查函数零点问题，熟练使用等价转化的思想，化繁为简，掌握函数零点问题等价于方程根的问题又等价于两函数图象交点问题，属中档题.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.函数()()()sin0,

0,fxAxA=+在一个周期内的图象如图所示.已知06f=，5312f=.（1）求函数()yfx=的解析式；（2）将函数()yfx=的图象向左平移4个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()ygx=

的图象，求()gx在2,33−上的最小值.【答案】（1）()3sin23fxx=−；（2）32−.【解析】【分析】（1）首先根据函数图象得到3A=，根据周期得到2=，再根据5312f=得到3=−，从而得到函数解析式.

（2）根据函数的变换得到()3sin6gxx=+，再求最小值即可.【详解】（1）由图可得3A=.因为1541264T=−=，所以2T==，即2=.又5312f=，所以()522122kkZ

+=+，()23kkZ=−+.因为，所以3=−.所以()3sin23fxx=−.（2）()3sin23fxx=−的图象向左平移4个单位得到：3sin

23sin2436yxx=+−=+，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到：()3sin6gxx=+，因为2,33x−，所以5,666x+−.当66x+=−

，即3x=−时，()gx取得最小值32−.【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换，同时考查了()()sinfxAx=+的图象和三角函数的最值问题，属于中档题.19.矩形ABCD中，3AB=，2AD=，E

、F分别为线段CD、AB上的点，且13BFCEBACD==，现将ADE沿AE翻折成四棱锥PABCE−，且二面角PAEB−−的大小为23.（1）证明：AEPF⊥；（2）求直线PB与平面PAE所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）31520.【解析】【分析

】（1）连接,DFEF，根据四边形ADEF为正方形，可得AEPM⊥，AEMF⊥，然后根据线面垂直的判定定理可得AE⊥面PMF，最后可得结果.（2）根据二面角PAEB−−的大小为23，计算点F到平面PAE的距离1d，然后根据13

=BFBA，计算点B到平面PAE的距离d，同时计算PB，最后计算即可.【详解】（1）由题意在矩形ABCD中3AB=，2AD=，13BFCEBACD==，∴四边形ADEF为边长为2的正方形.连结DF，交

AE于点M，如图则AEDF⊥，且2PMMF==.在四棱锥PABCE−中，AEPM⊥，AEMF⊥，∴AE⊥面PMF，又PF面PMF，∴AEPF⊥（2）设点F到平面PAE的距离为1d，点B到平面PAE的距离

为d由（1）PMF就是二面角PAEB−−的平面角，∴23PMF=.∵AE⊥面PMF，∴面PMF⊥面PAE，过F作FHPM⊥于H，∵面PMF面PAEPM=，∴FH⊥面PAE.又∵在PMF△中，2P

MMF==，∴6FPM=，6PF=，∴11622dFHPF===，∵23AFAB=，∴133624dd==.由题意可得10PB=，∴315sin20dPB==，∴直线PB与平面PAE所成角的正弦值为31520.【

点睛】本题考查通过线面垂直证明线线垂直，还考查利用几何法求解下面角，考查对线面关系的认识，考查分析能力以及计算能力，属中档题.20.各项都是正数的数列na中，11a=，它的前n项和nS满足141nnnaaS+=−.（1）求数列na的通项公式；（2）

若()11nnnnbba++−=，求数列nb的前4n项和4nT.【答案】（1）21nan=−；（2）2428nTnn=+.【解析】【分析】（1）令1n=可求得2a的值，再令2n，由141nnnaaS+=−得出12141nnnaaS+++=−，两式作差可得出24nnaa

+−=，然后对n分奇数和偶数两种情况讨论，利用等差数列的通项公式可分别求得当n为奇数和偶数时na的表达式，综合可得出数列na的通项公式；（2）推导出21212kkbb−++=和()22281kkbbk−+=−，进而可求得4nT.【详解】（1）对任意的nN，0na.当1n=

时，12141aaS=−，即23a=；当2n时，由141nnnaaS+=−可得12141nnnaaS+++=−，两式作差得()1214nnnnaaaa+++−=，24nnaa+−=，所以，数列

na中的奇数项成以1为首项，以4为公差的等差数列.数列na中的偶数项成以3为首项，以4为公差的等差数列.①当n为正奇数时，设()21nkkN=−，则()()2114143221121nkaaakkkn−==+−=−=−−=−；②当n为正偶数时，设()2n

kkN=，则()22414121nkaaakkn==+−=−=−.综上所述，对任意的nN，21nan=−；（2）当()21nkkN=−时，22143kkbbk−−=−，①当()2nknN=时，21241kkbbk++=−，②①②两

式相减得()212121kkbbk−++=.当22nk=−时，212245kkbbk−−+=−，③①③两式相加得()22281kkbbk−+=−，()2k.()()413434124424nnnnnTbbbbbbbb−−−=+

+++++++++()()212128132128282nnnnnnn+−=++++−=+=+.【点睛】本题考查利用nS与na的关系求通项，同时也考查了分组求和法，考查计算能力属于中等题.21.已知点F是抛物线21:4Cyx=和椭圆222

22:1xyCab+=的公共焦点，M是1C与2C的交点，()321MF=−.（1）求椭圆2C的方程；（2）直线l与抛物线1C相切于点()00,Pxy，与椭圆2C交于A，B，点P关于x轴的对称点为Q.求ABQS△的最大值及相应的0x.【答案】（1）2212

xy+=；（2）22，01174x+=.【解析】【分析】（1）根据题意可得1c=，然后根据()()222222aMFMFMFMF−−=−−，()321MF=−，计算可得,ab，最后可得结果.（2）假设直线l的方程为()00xnyyx=−+，根据l与抛物线相切，可得02yn=，然后l与椭圆联

立，计算AB，然后计算点Q到l的距离，计算ABQS△，利用函数性质可得结果.【详解】（1）由题意知：()1,0F，1c=.()()222222aMFMFMFMF−−=−−，()321MF=−.得：2a=，所以1b=.所以2C

的方程为2212xy+=.（2）设直线l的方程为()00xnyyx=−+，则由()0024xnyyxyx=−+=，得2004440ynynyx−+−=()22100016816420nnyxny=−+=−=得：02yn=所以直线l的方程为

()0002yxyyx=−+.由()00022212yxyyxxy=−++=，得()222000084480yyxyyx+−+−=()()()22222200000016484832481280xyyxxx=−+−=+−得002x()()2222000201212

20224841448yyxyAByyyyy++−=++−=+.又()00,Qxy−，所以点Q到l的距离为2002044xyhy+=+.20000422122ABQxxxSABhx+−==+.令02tx=+，则02xt=−，()24222444

25422ABQtttSttttt−−−==−++−△.此时9174t+=，即01174x+=【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的综合以及三角形面积问题，本题着重考查对问题分析能力以及计算能力，属难题.22.已知()()()10xfxaxbxex=++.

（1）若()fx不存在极值点，求ab的最小值；（2）当0b=时，设函数()()()xfxgxaeaaRx=−−，记()ygx=在1,22x上最大值和最小值分别为M，m，若Mm−是常数，求a的取值范围.【答案】（1）14

；（2）ae或2ae.【解析】【分析】（1）依据题意转化为()0fx=无解，令zab=，利用换元法，可得()210xxxebebz+++=，然后使用0并构造函数()1xeFxx=+，求()minFx即可.（2）依题

意可知()xxegxeax=−−，按ae，2ae，2eae分类讨论，对2eae，去掉绝对值然后51ln2a−，51ln2a−继续讨论，计算可得结果.【详解】（1）()()10xfxabxb

e=+++=无解.令zab=，即zab=，将它代入()fx得：()210xxxebebz+++=()2410xxexez=−+.所以41xezx+，令()1xeFxx=+，()()201xxeFxx=+

∴()()()()minmin401401zFxFzFxF−====∴ab的最小值为14，此时12a=−，12b=−.（2）()xxegxeax=−−，1,22x，则当ae时，()xxegxeax=−+，1,22x

，显然符合；当2ae时，()xxegxeax=+−，1,22x，也显然符合；当2eae时，(),ln,21,,ln2xxxxeeaxaxgxeeaxax−+=+−，在ln,2xa上()()221xegxxxx=−+

−，则()gx单调递减，在1,ln2xa上()()221xegxxxx=+−，若51ln2a−，则()gx单调递减，则()2123222eMmggea−=−=+−，舍；若51ln2a−，则()gx在151

,22x−单调递减，51,ln2xa−单调递增，则()1max,lnmax3,2lnaMggaeaa==−，()51225135min,2min,222emggeaa−−+==−−+

，当3lnaeaa−且12253522eeaa−+−−+同时成立，即3lnaaea+且51223544eae−++，而51223544eee−++，显然不符合；综

上：ae或2ae.【点睛】本题考查含参数函数的应用，本题着重考查分类讨论的方法，考查对问题的分析能力以及逻辑推理能力，同时考查计算能力，属难题.