【文档说明】吉林省长春市外国语学校2022-2023学年高一下学期期中数学试题含答案.docx，共(6)页，187.871 KB，由小赞的店铺上传

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长春外国语学校2022-2023学年第二学期期中考试高一年级数学试卷出题人：马竞审题人：王先师本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页。考试结束后，将答题卡交回。注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必

须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔

画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1.若复数z满足𝑧=4−3𝑖，则z的虚部是()A.3B.−3C.3iD.

−3𝑖2.已知𝑎?=(2,3)，2𝑎?+𝑏?=(6,2)，则𝑏?=()A.(2,4)−B.(2,4)−C.1(2,)2−D.1(2,)2−3.如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是()A.是棱台

B.是圆台C.是棱锥D.不是棱柱4.正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长为1，则|𝐴𝐵?+𝐴𝐷?|为()A.1B.√2C.3D.2√25.如图所示，正方形𝑂′𝐴′𝐵′𝐶′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是()A.6B.8C.2+3

√2D.2+2√36.在△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴，𝐵，𝐶所对的边分别为𝑎，𝑏，𝑐，𝑎=2，𝑏2+𝑐2=𝑎2+𝑏𝑐，则△𝐴𝐵𝐶外接圆的直径是()A.33B.233C.3D.4337.复数

𝑧满足𝑧(1+𝑖)=|1−√3𝑖|，则复数𝑧=()A.√2(cos𝑝4+𝑖sin𝑝4)B.√2(cos3𝑝4+𝑖sin3𝑝4)C.√2(cos𝑝4−𝑖sin𝑝4)D.√2(cos7𝑝4−𝑖sin7𝑝4

)8.△𝐴𝐵𝐶中，如果𝑙𝑔𝑐𝑜𝑠𝐴=𝑙𝑔𝑠𝑖𝑛𝐶−𝑙𝑔𝑠𝑖𝑛𝐵=−𝑙𝑔2，则△𝐴𝐵𝐶的形状是()A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每

小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.下列说法正确的是()A.棱台的侧面都是等腰梯形B.棱柱的侧棱长都相等，但侧棱不一定都垂直于底面C.底面半径为𝑟，母线长为2𝑟的圆锥的轴截面为等边三角形D.以三角形

的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥10.下列命题错误的是()A.在复平面内，实轴上的点都表示实数B.∀𝑧∈𝐶，𝑧2≥0C.若𝑧1，𝑧2为复数，且𝑧12+𝑧22=0，则𝑧1=𝑧2=0D.若实数𝑎，𝑏互为相反数，则𝑧=𝑎+𝑏𝑖在复平面内

对应的点位于第二或第四象限11.下列说法正确的有()A.△𝐴𝐵𝐶中，𝑠𝑖𝑛𝐴>𝑠𝑖𝑛𝐵是𝐴>𝐵的充要条件B.在△𝐴𝐵𝐶中，若𝑠𝑖𝑛2𝐴=𝑠𝑖𝑛2𝐵，则△𝐴𝐵𝐶一定为等腰三角形C.在△𝐴𝐵𝐶中，若𝑠𝑖𝑛𝐴=12，则𝐴=

𝑝6D.在△𝐴𝐵𝐶中，𝑎：𝑏：𝑐=𝑠𝑖𝑛𝐴：𝑠𝑖𝑛𝐵：𝑠𝑖𝑛𝐶12.下列说法正确的是()A.若𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗>0，则△𝐴𝐵𝐶是锐角三角形B.若点𝐺为△𝐴𝐵𝐶的垂心，则�

�𝐴?+𝐺𝐵?+𝐺𝐶?=0?C.方向为北偏西60∘的向量与方向为东偏南30∘的向量是共线向量D.记△𝐴𝐵𝐶的内角𝐴，𝐵，𝐶的对边分别为𝑎，𝑏，𝑐，𝐵=𝑝3，𝑎=2√3，若△𝐴𝐵𝐶

有两解，则𝑏的取值范围是(3,2√3)第Ⅱ卷三、填空题（每道题5分，共20分)13．𝑎?=(−1,𝑚)，𝑏?=(𝑚+1,2)，且𝑎⊥𝑏⃗，则𝑚=__________．14．已知△𝐴𝐵𝐶的内角𝐴，𝐵，𝐶所对的边分

别为𝑎，𝑏，𝑐，若𝑎=2，𝑏=√2，𝐴=𝑝4，则𝐵=__________．15．已知𝑖是虚数单位，若复数𝑧满足𝑧𝑖2019=1+𝑖，则|𝑧|=__________．16．如图，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=4，𝐵𝐶=5，𝑀，𝑁是𝐵𝐶上的两动点

，𝑀在𝑁的左边，且𝑀𝑁=2，则𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐷𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最小值为______．四、解答题：本大题共6小题，满分70分。解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤。17.（10分）已知向量a与b的夹角𝜃=2𝜋3，且2a=，1b=．(1)求ab，ab+；(2)

求向量a与ab+的夹角的余弦值．18.（12分）已知复数𝑧=(𝑚2−1)+(𝑚2−𝑚−2)𝑖，𝑚∈𝑅.（1）若z是纯虚数，求m的值；（2）若z在复平面内对应的点在直线10xy−+=上，求m的值；（3）若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围.19.（12分）如图

，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点(𝐴𝐹=13𝐴𝐷,𝐵𝐺=13𝐵𝐶.）设𝐴𝐵?=𝑎?，𝐴𝐷?=𝑏?.(1)用𝑎?，𝑏?表示𝐸𝐹?，𝐸𝐺?；(2)如果|𝑏?|=32|𝑎

?|，EF，EG有什么位置关系？用向量方法证明你的结论．20.（12分）在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴，𝐵，𝐶的对边分别是𝑎，𝑏，𝑐，√3𝑎𝑐𝑜𝑠𝐵−𝑏𝑠𝑖𝑛𝐴=0．(1)求角𝐵的大小；(2)若𝑏=√7，𝑎+𝑐=5，求△𝐴𝐵𝐶的面积．21.（12分）已

知向量𝑚?=(sin𝑥,−1)，向量𝑛?=(√3cos𝑥,−12)，．(1)当//mn时，求𝑡𝑎𝑛𝑥的值；(2)设函数f(x)=(m→+n→)⋅m→，且𝑥∈[0,𝜋2]，求𝑓(𝑥)的最大值以及对应的𝑥的值．22

.（12分）已知在锐角△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴，𝐵，𝐶的对边分别为𝑎，𝑏，𝑐，𝑆为△𝐴𝐵𝐶的面积，且2𝑆=𝑎2−(𝑏−𝑐)2，（1）求sinA的值;（2）求222bcbc+的取值范围.长春外国语学校2022-2023学年第二学期期中考试高一年级数学试卷一、选择题：本题

共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案BACBBDCA二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.题号9101112答案

BCBCDADCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分）13．114．615．216．554四、解答题：本大题共6小题，满分70分。解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤。17.解：（1）1ab=−，3ab+=．(2)设向量𝑎?与𝑎?+𝑏?的夹角为𝜃

，则3cos2=．18.解：(1)若𝑧是纯虚数，则{𝑚2−1=0𝑚2−𝑚−2?0，∴𝑚=1，则𝑚的值为1；(2)2m=−(3)若𝑧在复平面内对应的点在第四象限，则{𝑚2−1>0𝑚2−𝑚−2<0，∴1<𝑚<2，则𝑚的取值范围为(1,2)．19.解：(1)

𝐸𝐹?=𝐴𝐹?−𝐴𝐸?=13𝐴𝐷?−12𝐴𝐵?=13𝑏?−12𝑎?，𝐸𝐺?=𝐸𝐵?+𝐵𝐺?=12𝐴𝐵?+𝐴𝐹?=12𝐴𝐵?+13𝐴𝐷?=12𝑎?+13𝑏?，(2)𝐸𝐹

⊥𝐸𝐺，证明：由(1)得，𝐸𝐹?=13𝑏?−12𝑎?，𝐸𝐺?=13𝑏?+12𝑎?，∴𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐸𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=(13𝑏⃗−12𝑎⃗⃗)⋅(13𝑏⃗+12𝑎⃗⃗)=19𝑏⃗2−14𝑎⃗⃗2=19×94𝑎⃗⃗2−14𝑎⃗⃗2

=0，?𝐸𝐹??𝐸𝐺?，∴𝐸𝐹⊥𝐸𝐺．20.解：(1)∵△𝐴𝐵𝐶中，√3𝑎𝑐𝑜𝑠𝐵−𝑏𝑠𝑖𝑛𝐴=0．∴由正弦定理可得：√3𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵−𝑠𝑖

𝑛𝐵𝑠𝑖𝑛𝐴=0，∵𝑠𝑖𝑛𝐴>0，?√3𝑐𝑜𝑠𝐵−𝑠𝑖𝑛𝐵=0，可得𝑡𝑎𝑛𝐵=√3，∵𝐵∈(0,𝜋)，∴𝐵=𝜋3．(2)∵𝐵=𝜋3，𝑏=√7，𝑎+𝑐=5，?𝑏2=𝑎2+𝑐2−2𝑎𝑐𝑐𝑜𝑠𝐵

=𝑎2+𝑐2−𝑎𝑐，即7=(𝑎+𝑐)2−3𝑎𝑐，∴𝑎𝑐=6，?𝑆?𝐴𝐵𝐶=12𝑎𝑐𝑠𝑖𝑛𝐵=3√32.21.解：（1）tan23x=（2）()sin(2)26fxx=−+，当3x=，max()3fx=22.解

：（1）△𝐴𝐵𝐶中，由余弦定理得𝑎2=𝑏2+𝑐2−2𝑏𝑐𝑐𝑜𝑠𝐴，且△𝐴𝐵𝐶的面积为𝑆=12𝑏𝑐𝑠𝑖𝑛𝐴，由2𝑆=𝑎2−(𝑏−𝑐)2，得𝑏𝑐𝑠𝑖𝑛𝐴=2𝑏𝑐−2𝑏𝑐𝑐𝑜𝑠𝐴，化简得𝑠𝑖𝑛𝐴+2

𝑐𝑜𝑠𝐴=2，又𝐴∈(0,𝜋2)，sin2𝐴+cos2𝐴=1，所以𝑠𝑖𝑛𝐴+2√1−sin2𝐴=2，化简得5𝑠𝑖𝑛2𝐴−4𝑠𝑖𝑛𝐴=0，解得𝑠𝑖𝑛𝐴=45，或𝑠𝑖𝑛𝐴=0(不合题意，舍去)（2）由（1）可得cos𝐴=√1−sin2𝐴=3

5，所以𝑏𝑐=𝑠𝑖𝑛𝐵𝑠𝑖𝑛𝐶=sin(𝐴+𝐶)𝑠𝑖𝑛𝐶=𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐶+𝑐𝑜𝑠𝐴𝑠𝑖𝑛𝐶𝑠𝑖𝑛𝐶=45𝑡𝑎𝑛𝐶+35，由𝐵+𝐶=𝜋−𝐴，且𝐵∈(0,𝜋2)，𝜋−𝐴∈

(𝜋2,𝜋)，解得𝐶?(𝑝2−𝐴,𝑝−𝐴)𝑛(0,𝑝2)=(𝑝2−𝐴,𝑝2)，所以𝑡𝑎𝑛𝐶>1𝑡𝑎𝑛𝐴=34，所以1𝑡𝑎𝑛𝐶?(0,43)，所以𝑏𝑐∈(35,53)，设𝑡=𝑏𝑐，其中𝑡∈(35,5

3)，所以𝑦=2𝑏2+𝑐2𝑏𝑐=2𝑡2+1𝑡=2𝑡+1𝑡=2√2，当且仅当2𝑡=1𝑡时，即𝑡=√22时取最小值2√2，由于35<√22<53，且函数𝑓(𝑡)=2𝑡+1𝑡在(3

5,√22]上单调递减，在[√22,53)上单调递增，又𝑓(35)=2×35+53=4315，𝑓(53)=2×53+35=5915，所以𝑦=2𝑏2+𝑐2𝑏𝑐=2𝑡2+1𝑡=2𝑡+1𝑡?[2√2,5915).获得更多资

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