【文档说明】辽宁省辽阳市2020届高三下学期第三次模拟考试数学（理）试题【精准解析】.doc，共(27)页，2.038 MB，由小赞的店铺上传

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2019-2020学年度下学期高三第三次模拟考试试题数学（理科）―、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合|128xAx=，

0,1,2B=，则下列选项正确的是（）A.ABB.ABC.0,1,2AB=D.1,2AB=【答案】D【解析】【分析】计算03Axx=，根据集合的包含关系，交集并集运算依次判断每个选项得到答案.

【详解】,|12803xAxxx==，0,1,2B=，则AB，AB，AB错误；03ABxx=，C错误；1,2AB=，D正确.故选：D.【点睛】本题考查了解指数不等式，集合的包含关系，交集并集运算，意在考查学生的计算能力和综合应用

能力.2.设0.53a=，0.5log3b=，30.5c=，则a，b，c的大小关系为（）A.abcB.cbaC.acbD.cab【答案】C【解析】【分析】由指数函数的性质和对数函数的性质，分别求得,,abc的取值范围，

即可求解.【详解】由指数函数的性质，可得0.531a=，30.5(0,1)c=，由对数函数的性质，可得0.5log30b=，所以acb.故选：C.【点睛】本题主要考查了指数函数和对数函数的性质的应用，其中解答中熟记指数函数和对数

函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.3.已知平面，，直线n，直线m，则下列命题正确的是（）A.////mnB.mn⊥⊥C.m⊥⊥D.mnm⊥⊥【答案】C【解

析】【分析】根据空间线面、面面的位置关系，对选项进行逐一判断得出答案.【详解】选项A.由直线n，直线m，//，则m与n可能异面，可能平行.则选项A错误.选项B.由直线n，直线m,⊥,则m与n可能平行，可能相交，可能异面，

则选项B错误.选项C.由直线m,m⊥⊥，则选项C正确.选项D.由直线n，直线m,mn⊥,则m与可能平行，可能相交,则选项D错误.故选：C【点睛】本题考查空间线面、面面的位置关系的综合应用，属于基础题.4.已知随

机变量X服从正态分布()22,N，且()020.3PX=，则()4PX=（）A.0.6B.0.2C.0.4D.0.35【答案】B【解析】【分析】根据随机变量X服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得()4PX．【详解】∵随机变量X服从正态分布(

)22,N，∴正态曲线的对称轴是2x=，∵()020.3PX=，∴()40.50.30.2PX=−=.故选：B．【点睛】本题考查的知识点是正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.5.为了普及垃圾分类

的知识，某宣传小组到小区内进行宣传.该小组准备了100张垃圾的图片，其中可回收垃圾40张.为了检验宣传成果，该小组从这100张图片中选取20张做调查问卷，则这20张中恰有10张可回收垃圾的概率是（）A

.104020100CCB.1010406020100CCCC.101010202355CD.10102025C【答案】B【解析】【分析】由题知，该小组从这100张图片中选取20张共有20100C个结果，而这20张中恰有10张可回收垃

圾的共有10104060CC个结果，由古典概率公式计算即可得结果.【详解】由题知，该小组从这100张图片中选取20张共有20100C个结果，而这20张中恰有10张可回收垃圾的共有10104060CC个结果，由古典概率公式得这20张中恰有10张可回收垃圾的概率

为1010406020100CCC.故选：B【点睛】本题主要考查古典概率，属于基础题.6.与双曲线2213xy−=有共同的渐近线，且焦点在y轴上的双曲线的离心率为（）A.2B.233C.32D.63【答案】A【解析】【分析】设双曲线的方程22221(0,

0)yxabab−=，根据题意，求得33ab=，再结合离心率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，双曲线2213xy−=，可得其渐近线方程为33yx=，又由与双曲线2213xy−=有共同的渐近线，且焦点在y轴上，设双曲线的方程22221(0,0

)yxabab−=，则33ab=，所以离心率为22221()2cabbeaaa+===+=.故选：A.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其几何性质，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确计算是解答的关键，着重考

查推理与运算能力.7.在()()6113xx+−展开式中，含5x的项的系数是（）A.39−B.9−C.15D.51【答案】A【解析】【分析】首先将()61x+利用二项式定理展开，再求含5x的项的系数即可.【详解】因

为()()()()62345611316152015613xxxxxxxxx+−=++++++−所以含5x的项的系数为631539−=−.故选：A【点睛】本题主要考查利用二项式定理求指定项的系数，属于简单题.8.已知数阵

111213212223313233aaaaaaaaa中，每行的三个数依次成等比数列，每列的三个数也依次成等比数列，若222a=，则该数阵中九个数的积为（）A.36B.256C.512D.1024【答案】C【解析】【分析】根据等比中项的性质计算可得；

【详解】解：依题意可得2111312aaa=，2212322aaa=，2313332aaa=，2321222aaa=，因为222a=所以()()()111213212223313233111312212322313332aaaaaaaaaaaaaaaaaa=312233232aaa=9

9222512a===故选：C【点睛】本题考查等比数列的性质的应用，属于基础题；9.已知一个正四面体和一个正四棱锥，它们的各条棱长均相等，则下列说法：①它们的高相等；②它们的内切球半径相等；③它们的侧棱与底面所成的线面角的大小相等；④若正

四面体的体积为1V，正四棱锥的体积为2V，则12:1:2VV=；⑤它们能拼成一个斜三棱柱.其中正确的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】【分析】①正四面体的高263AO=，正四棱锥的高2PO=，所以该命题错误

；②设正四面体的内切球半径为,r66r=.设正四棱锥的内切球半径为,R则622R−=.所以该命题不正确；③在正四面体中，ACO就是侧棱和底面所成的角，2663sin23ACO==.在正四棱锥中，PAO

就是侧棱和底面所成的角，26sin23PAO=，所以该命题不正确；④计算得12:1:2VV=.所以该命题正确；⑤把一个斜三棱柱分解成一个正四面体和正四棱锥，所以该命题正确.【详解】设正四面体和正四棱锥的棱长都为2，①，如图1，22333C

OCE==,所以正四面体的高22222(3)633AO=−=.如图2，正四棱锥的棱长都为2，它的高22222PO=−=,所以该命题不正确；②设正四面体的内切球半径为,r则1121122sin606422sin6032332r=，所以66r=.设正四棱锥的内切球半径为,R则

1111222422sin60223323RR=+,所以622R−=.所以该命题不正确；③如图1，在正四面体中，ACO就是侧棱和底面所成的角，2663sin23ACO==.如图2，在正四棱锥中，PAO就是

侧棱和底面所成的角，26sin23PAO=，所以该命题不正确；④若正四面体的体积为1V，1112222sin60623233V==，正四棱锥的体积为2V，214222233V==，则12:1

:2VV=.所以该命题正确；⑤如图3，是一个斜三棱柱，其中四棱锥PABCD−是一个棱长都为2的正四棱锥，四面体EPAB−是棱长都为2的正四面体，所以它们能拼成一个斜三棱柱.所以该命题正确.故选：B.【点睛】本题主要考查几何体的体

积的计算，考查几何体的内切球问题，考查直线和平面所成的角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象计算能力.10.设02x，则2“cos?xx是“cos?xx的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分

必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：根据条件分别做出cosyx=和2yx=，以及yx=的图象，利用数形结合进行判断，即可得到结论.详解：由2xx=得0x=或1x=，作出函数cosyx=和2yx=，以及yx=的图象，如图所示，则由图象可知当

2cosxx时，2Bxx，当cosxx时，2Axx，因为ABxx，所以“2cosxx”是“cosxx”的充分不必要条件，故选A.点睛：本题主要考查了充分条件和必要条件的判定问题，其中正确作出相应函数的图象，利用数形结合法求解是解答的关键，着重考查了数形

结合思想方法的应用，以及推理与论证能力.11.在直线l：1yx=−上有两个点A、B，且A、B的中点坐标为()4,3，线段AB的长度8AB=，则过A、B两点且与y轴相切的圆的方程为（）A.()()224316xy−+−=或()()22114121xy−++=B.()

()22234xy−+−=或()()22125144xy−++=C.()()224316xy−+−=或()()22125144xy−++=D.()()22234xy−+−=或()()22114121xy−++=【答案】C【解析】【分析】首先求出线段AB的垂直平分线方程，设出圆心坐标和半径，

再利用圆的弦长性质得到圆心坐标和半径，即可得到圆的标准方程.【详解】由题知：线段AB的垂直平分线方程为：()34yx−=−−，即7yx=−+.设圆心(),7Caa−，因为圆C与y轴相切，所以ra=，如图所示：因为8AB=，所以()()222473

16aaa−+−−+=，整理得：216480aa−+=，解得4a=或12a=.当4a=时，圆心为()4,3，4r=，圆:C()()224316xy−+−=.当12a=时，圆心为()12,5−，12r=，圆:C()()22125144xy−++=.故选：C【点睛】

本题主要考查直线与圆的位置关系中的弦长问题，数形结合为解决本题的关键，属于中档题.12.函数()fx是定义在R上的奇函数，且函数()1fx−为偶函数，当0,1x时，()22fxxx=−+，若()()gxfxxb=−−有三个零点，则实数b的取值集合是（）A

.()221,221kk−++−，kZB.112,444kk−+，kZC.()421,421kk−++−，kZD.114,444kk−+，kZ【答案】C【解析】【分析】由条件可推得函数()fx是以

4为周期的周期函数，且图象关于直线1x=对称，关于原点对称，作出函数()fx与函数yxb=+的图象，结合图象即可得实数b的范围.【详解】由已知得，()()()(),11fxfxfxfx−=−−=−−，则()()()()1111fxfxfxfx+=−

−−=−−=−，所以函数()fx的图象关于直线1x=对称，关于原点对称，又()()()()()()21111fxfxfxfx+=++=−+−=−，进而有()()()42fxfxfx+=−+=，所以得函数()fx是以4为周期的周期函数，由()()gxfxxb

=−−有三个零点可知函数()fx与函数yxb=+的图象有三个交点，当直线yxb=+与函数()fx图象在0,1上相切时，即22xbxx+=−+有两个相等的实数根，即()222220xbxb+−+=，由0=

得，12b=−，当0,1x时，()22fxxx=−+，作出函数()fx与函数yxb=+的图象如图：由图知当直线yxb=+与函数()fx图象在0,1上相切时，12b=−+，数形结合可得()gx在22−,有三个零点时，实数b满足1212b−−+，再根据函数()

fx的周期为4，可得所求的实数b的范围()421,421kk−++−.故选：C【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和周期性的应用，函数的零点和方程的根的关系，体现了转化与化归的思想和数形结合的思想.二、填空题（本大题共4

小题，每小题5分，共20分）13.设x，y满足约束条件220240240xyxyxy+−−−+−，则zyx=−的最大值为______.【答案】2【解析】【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合平面区域确定目标函数的最优解，代入，即可求解.【详解】由题

意，画出约束条件220240240xyxyxy+−−−+−所表示的平面区域，如图所示，目标函数zyx=−，可化为直线y=x+z，当直线y=x+z过点A时，此时在y轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由220240xyxy+−=+−=，

解得(0,2)A，所以目标函数zyx=−的最大值为max2z=.故答案为：2.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算

能力．14.已知i是虚数单位，则20201nnni==______．【答案】10101010i−【解析】【分析】根据虚数ni的计算规律，合理利用数列的求和，即可求解.【详解】由题意，2020234567820201123456782020nnniiiii

iiiii==+++++++++23456782020iiii=−−++−−+++(135720172019)(246820182020)i=−+−++−+−+−+−−+10101010i=−故答案为：10101010i−.【点睛】本题主要考查了复数的运算性质的应用，其

中解答中合理利用复数的运算性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.15.对数是简化繁杂运算的产物.16世纪时，为了简化数值计算，数学家希望将乘除法归结为简单的加减法.当时已经有数学家发现这在某些情况下是可以实现的.比如，利用以下2的次幂的对应表可以方便地算出

16256的值.456789101112163264128256512102420484096首先，在第二行找到16与256；然后找出它们在第一行对应的数，即4与8，并求它们的和，即12；最后在第一行中找到12，读出其对应的

第二行中的数4096，这就是16256的值.用类似的方法可以算出4096128的值，首先，在第二行找到4096与128；然后找出它们在第一行对应的数，即12与7，并求它们的______；最后在第一行中找到______，读出其对应的第二行中的数______，这就是4096128值.【答案】(1)

.差(2).5(3).32【解析】【分析】题设中给出的是第一行数的加法与第二行数的乘法的对应关系，类比到所求的问题中就是第一行数的减法与第二行数的除法之间的对应关系，从而可求规定的值.【详解】题设中给出的计算方法是：第一行数中两数的和与与第二行数的对应

的两数的乘积是匹配的，因此，若在在第二行找到4096与128，要求它们的商，可以找出它们在第一行对应的数，即12与7，它们的差（5）在第二行中对应的数（32）即为4096128.故答案为：差，5，32.【点睛】本题考查类比推理，一般地，类比推

理有结论的类比、公式定理的类比，也有解题方法的类比，解题中注意寻找两类问题的相似之处.16.在ABC中，点P满足3BPPC=，过点P的直线与AB，AC所在直线分别交于E，F.若AExAB=，AFyAC=，()0,0xy，则3xy+

的最小值为______.【答案】4【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性运算与共线定理，再利用基本不等式，即可求解.【详解】如图所示，在ABC中，,BPBAAPPCPAAC=+=+，点P满足3BPPC=，所以3()BAAPPAAC+

=+，即3()ABAPAPAC−+=−+，可得3144APACAB=+，因为,AAEFyAxABC==，()0,0xy，所以3144APAFAEyx=+，因为,,EPF三点共线，所以13144xy+=，()0,0xy，所以13335335324444424193(3)

()44422yxyxxyxyxxyxyy+++=+=+=++=+，当且仅当3344yxxy=，即1xy==时等号成立，所以3xy+的最小值为4.【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算与向量的共线定理，以及基本不等式的应用

，其中解答中熟记向量的线性运算和共线定理，得到,xy的关系式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.三、解答题17.已知函数()()22cos2sincos10fxxxx=−−且当()()()12120fxfxxx==时，12xx−最小值为2.（1）求函数()fx的单调减区间；

（2）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且满足2a=，712ABC=，()1fA=−，求ABC的面积.【答案】（1）3,88kk−+，kz；（2）314+.【解析】【分析】（1）先将函数()fx化简得()2cos24xfx=+，由

()()()12120fxfxxx==时，12xx−的最小值为2，得函数()fx的周期T=，从而求出1=，再求函数的单调减区间.（2）由()1fA=−可得4A=，又712ABC=，所以6C=，根据正弦定理可得c边长，再由

面积公式求三角形面积.【详解】解：（1）()1cos2sin212cos24fxxxx=+−−=+，∵()()()12120fxfxxx==时，12xx−的最小值为2，∴周期T

=，∴22=，∴1=，∴()2cos24fxx=+.令2224kxk++，kz，得388kxk−+，kz，单调递减区间为3,88kk−+，kz.（2）()1fA=−，得2cos242A+=−，

∵0,2A，∴52,444A+，∴3244A+=，∴4A=，∴6C=，由sinsincaCA=得12sin21sin22aCcA===，7321262sinsin123422224+

=+=+=，116231sin212244ScaB++===.【点睛】本题考查三角函数的恒等变形和三角函数的图像性质，考查正弦定理和三角形的面积，属于中档题.18.多面体ABCDEF−中，△DEF为等边三角形，△

ABC为等腰直角三角形，//BE平面ACFD，//AD平面BCFE.（1）求证：//ADBE；（2）若1ADBEACBC====，2FC=，求平面ABC与平面DEF所成的较小的二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析

；（2）33.【解析】【分析】（1）利用线面平行的性质定理，分别证得//BEFC和//ADFC，即可证；（2）分别证得,,CACBCF两两垂直，建立空间直角坐标系即可求解.【详解】解：（1）证明：因为//BE平面ACFD，BE平面BEFC，平面BEF

C平面ACFDFC=，所以//BEFC，同理可证，//ADFC，所以//ADBE.（2）因为△ABC为等腰直角三角形，1ACBC==，所以90ACB=，2AB=，又//ADBE，=1ADBE=，所以四边形ABED为平行四边形，所以2DEAB==，因为△DEF为等边三角形，所以2DEE

FFD===，取FC的中点H，连结DH、EH，因为2FC=，则1FHCH==，又//ADHC，且ADHC=，所以四边形ACHD为平行四边形，所以1DHAC==，在DHF△中，222DHFHDF+=，所

以90DHF=，即DHFC⊥，进而ACFC⊥，同理可证EHFC⊥，进而BCFC⊥，以点C为原点，分别以CA，CB，CF所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则()1,0,1D，()0,1,1E，()0,0,2F，()1,1,0DE=−，

()1,0,1DF=−，设平面DEF的一个法向量为(),,nabc=，则00nDEabnDFac=−+==−+=，令1a=，则1b=，1c=，所以()1,1,1n=，易知平面ABC的一个法向量为()0,0,1m=，13cos,331nmnmnm===，所以平面ABC

与平面DEF所成的较小的二面角的余弦值为33.【点睛】本题主要考查了线线、线面平行的判定与证明，以及计算二面角大小.计算二面角大小的常用方法:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.19

.已知圆锥曲线221xymn+=过点()1,2A−，且过抛物线28xy=的焦点B．（1）求该圆锥曲线的标准方程；（2）设点P在该圆锥曲线上，点D的坐标为(),0m，点E的坐标为()0,n，直线PD与y轴交于点M，直线PE与x轴交于点N，求证：DNEM为定值．【答案】（1）2214

2yx+=；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）首先求出抛物线的焦点坐标，再代入解析式中求出方程即可得解；（2）由（1）问可知该圆锥曲线为椭圆，且()2,0D，()0,2E，设椭圆上一点()00,Pxy，表

示出直线PD，直线PE，得到0022Myyx−=−，0022Nxxy−=−；所以0000222222DNEMxyyx=++−−计算可得；【详解】解：（1）抛物线28xy=的焦点()0,2B，将点()1,2A−，()0,2B代入方程得121041mnmn+

=+=，解得24mn==，所以圆锥曲线的标准方程为22142yx+=．（2）由（1）问可知该圆锥曲线为椭圆，且()2,0D，()0,2E，设椭圆上一点()00,Pxy，则直线PD：()0022yyxx=−−，令0x=，得0022Myyx−=−．∴00222yEMx=

+−，直线PE：0022yyxx−=+，令0y=，得0022Nxxy−=−．∴00222xDNy=+−．所以0000222222DNEMxyyx=++−−0000002222222222yxxyyx−+−+=−−0000002222222222yxxyy

x−+−+=−−()220000000000224422242222yxyxxyxyxy+−−++=−−+因为点P在椭圆上，所以2200142yx+=，即220024yx+=，代入上式得()00000000244422

242222yxxyxyxDMyNE−−++=−−+()0000000024422282222yxxyxyxy−−++=−−+42=．故DNEM为定值．【点睛】本题考查待定系数法求曲线方程，直线与圆锥曲线中的定值问题，属于中档题.20.盲盒里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计

出来的玩偶.由于盒子上没有标注，购买者只有打开才会知道自己买到了什么，因此这种惊喜吸引了众多年轻人，形成了“盲盒经济”.某款盲盒内可能装有某一套玩偶的A、B、C三种样式，且每个盲盒只装一个.（1）若每个盲盒装有A、B、C三种样式玩偶的概率相同.某同学已经

有了A样式的玩偶，若他再购买两个这款盲盒，恰好能收集齐这三种样式的概率是多少？（2）某销售网点为调查该款盲盒的受欢迎程度，随机发放了200份问卷，并全部收回.经统计，有30%的人购买了该款盲盒，在这些购

买者当中，女生占23；而在未购买者当中，男生女生各占50%.请根据以上信息填写下表，并分析是否有95%的把握认为购买该款盲盒与性别有关？女生男生总计购买未购买总计参考公式：()()()()()22nadbcabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++.参

考数据：()20Pk0.100.050.0250.0100.0050.0010k2.7063.8415.0246.6357.87910.828（3）该销售网点已经售卖该款盲盒6周，并记录了销售情况，如下表

：周数x123456盒数y16______23252630由于电脑故障，第二周数据现已丢失，该销售网点负责人决定用第4、5、6周的数据求线性回归方程，再用第1、3周数据进行检验.①请用4、5、6周的数据求出y关于x的线性回归方程ybxa=+；（注：

()()()1122211nniiiiiinniiiixxyyxynxybxxxnx====−−−==−−，aybx=−$$）②若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2盒，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问①中所得的线性回归方

程是否可靠？【答案】（1）29；（2）填表见解析，有95%把握认为“购买该款盲盒与性别有关”；（3）①2.514.5yx=+；②可靠.【解析】【分析】（1）列举出基本事件的总数和事件“他恰好能收集齐这三种样式”所包含的基本事件的个数，利用古典概型

的概率计算公式，即可求解.（2）根据题意，得出22的列联表，利用公式求得2的值，结合附表，即可得到结论；（3）①求得,xy的值，根据公式求得ˆˆ,ba的值，求得回归直线方程；②当1x=和3x=时，比较即可得到结论.【详解】（1）由题意，基本事件空间为(

,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)AAABACBABBBCCACBCC=，其中基本事件的个数为9个，设事件D为：“他恰好能收集齐这三种样式”，则()(),,,DBCCB=，其中基本事件的个数为2，所以他恰好能

收集齐这三种样式的概率29P=.（2）女生男生总计购买402060未购买7070140总计11090200则22200(40702070)4.7141109060140−=.又因为4.7143.

841，故有95%把握认为“购买该款盲盒与性别有关”.（3）①由数据，求得5x=，27y=.由公式求得222(45)(2527)(55)(2627)(65)(3027)5(45)(55)(65)2b−−+−−+−−==−+−+−，527514.52a=−=.所以y关于x的线性回归方程为

2.514.5yx=+.②当1x=时，2.5114.517y=+=，17162−；同样，当3x=时，2.5314.522y=+=，22232−.所以，所得到的线性回归方程是可靠的.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，独立性检验的应用，以及回归直线方程的求

解及应用，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.21.已知函数()2lnfxaxx=+.（1）若()0,x+使()0fx成立，求a的取值范围；（2）若1a=，证明不等式()xfxe.【答案】（1）1,2e−+；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）当0a

时，可由()0fe知命题成立，当0a时，利用导数可求()minfx，由()min0fx可得1,02ae−，故可求实数a的取值范围.（2）()xfxe成立等价于22ln1xxexx+成立，令2ln()1xgxx=+，2()xehxx=，利用导数可证3()2gx，3

()2hx，从而可知原不等式成立.【详解】解：定义域()0,+，（1）①0a时，()210feae=+，∴()0,x+使()0fx成立.②0a时，()21212axfxaxxx+=+=

，由2210ax+得102xa−，由2210ax+得12xa−，∴函数()fx在区间10,2a−单调递增，函数()fx在区间1,2a−+单调递减，故()x2ma111ln222fafaaax

=−=−+−11ln022a=−+−，得12ae−，∴1,02ae−，∴由①②得1,2ae−+.（2）1a=时，由()xfxe得2lnxxxe+需证22ln

1xxexx+，令2ln()1xgxx=+，2()xehxx=，312ln()xgxx−=,令12ln0x−得0xe，令12ln0x−得xe∴函数()gx在区间()0,e单调递增，在区间(),e+

单调递减，()()()2max11l31112n22egxgeee==+=++=，()()32xexhxx−=，0x，令()0hx得02x，令()0hx得2x.函数()hx在区间()0,2单调

递减，在区间()2,+单调递增，()22min2.763(2)4442hxeh===，∴()0,x+时，()()hxgx成立，∴()xfxe成立.【点睛】本题考查含参数的函数的单调性以及函数不等式的恒成立，前者依据导数的符号，注

意合理的分类讨论，后者需变形后构建新函数，通过导数求出新函数的最值，通过最值的关系来证明不等式.22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为cossin1xy==−（为参数），以原点O为极点，以x轴

正半轴为极轴建极坐标系．（1）求C的极坐标方程；（2）直线1l，2l的极坐标方程分别为()6R=，()3R=，直线1l与曲线C的交点为O、M，直线2l与曲线C的交点为O、N，求线段MN的长度．【答案】

（1）2sin=−；（2）1．【解析】【分析】（1）先根据三角函数平方关系消元得普通方程，再根据cos,sinxy==化为极坐标方程；（2）根据直线与曲线C极坐标方程可得MN、极坐标，再根据余弦定理求MN的长度．【详解】解：（1）由曲线C的参数方程为cossin1

xy==−得曲线C的直角坐标方程为：()2211xy++=，所以极坐标方程为2222cossin2sin0++=即2sin=−．（2）将6=代入2sin=−中有1M=−，即1OM=，将3

=代入2sin=−中有3N=−，即3ON=，366MON=−=，余弦定理得2222cos16MNOMONOMON=+−=，1MN=．【点睛】本题考查参数方程化普通方程、普通方程化极坐标方程、余弦定理，考查综合分析求解能力，属基础题.23.设函数()234fx

xx=−+−．（1）解不等式()2fx；（2）若()fx最小值为m，实数a、b满足343abm+=，求()222ab−+的最小值．【答案】（1）{|1xx或2}x；（2）1625．【解析】【分析】（1）分类讨论2x，423x，43x三种情况，解不等式得到答案.（2

）计算342ab+=，所求可看作点()2,0到直线3420xy+−=的距离的平方，计算得到答案.【详解】（1）()46,2423422,23446,3xxfxxxxxxx−=−+−=−−+，由()2fx得2462xx

−或423222xx−或43462xx−+，得2x或或1x，∴不等式解集{|1xx或2}x．（2）根据图象知：()min4233fxf==，∴342ab+=，

所求可看做点()2,0到直线3420xy+−=的距离的平方，223224534d−==+．∴()222ab−+的最小值为1625．【点睛】本题考查了解绝对值不等式，求函数最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，转化为点到直线的距离

是解题的关键.