【文档说明】2021全国卷Ⅰ高考压轴卷 数学（理）含解析.docx，共(20)页，1.072 MB，由小赞的店铺上传

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-1-2021新课标Ⅰ高考压轴卷数学（理）第I卷（选择题）一.选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.1．已知集合02Axx=，集合lg0Bxx=，则AB=（）A．((),12,−+B．()(),01

,2−C．)1,2D．(1,22．复数z满足()3,ziiii+=−+为虚数单位，则z等于（）A．12i+B．12i−C．12i−+D．12i−−3．执行如图所示的程序框图，若输入n的值是30，则输出的n的值是（）A．2

B．3C．6D．74．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）-2-A．38B．4C．712D．7245．已知||2a=，1b||=，且a与b的夹角为3，则()abb+=（）A．31+B．1C．2D．36．等差数列{}na前n项和为nS，281112aa

a++=，则13S=（）A．32B．42C．52D．627．设,mn是空间中两条不同的直线，,,是空间中三个不同的平面，给出下列四个命题：（1）若,//mn⊥，则mn⊥；（2）若//,//,m⊥，则m⊥；（3）若//,//mn，则//mn；（4）,⊥⊥

，则//.其中正确命题的序号是（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）8．将甲､乙等4名交警随机分配到两个不同路口疏导交通，每个路口两人，则甲和乙不在同一路口的概率为（）-3-A．12B．13C．23D．149．已知实数,xy满足101010

kxykxy−+−−+……，若2zxy=+的最大值为8，则k的值为（）A．32B．72C．1D．310．P为双曲线()2222100xyabab−=，左支上一点，1F，2F，为其左右焦点，若221PFPF的最小值为10a，则双曲线的离心率为（）A．45+

B．45−C．45D．411．已知函数131,(1)()ln(1),(1)xxfxxx−+=−，若24()()2()3Fxfxafx=−+的零点个数为4，则实数a取值范围为（）A．654(,](,)

363+B．65(,](2,)36+C．5[,2)6D．4(,)3+12．已知数列na的前n项和nS，且满足1nnaS+=，则39121239SSSSaaaa++++=（）A．1013B．10

22C．2036D．2037第II卷（非选择题）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知coscos2bCcBb+=，则ab=______.14．

已知A(1,1)m+−，()22,Bmm+，若直线AB与斜率为2的直线平行，则m的值为____________15．数式11111+++中省略号“···”代表无限重复，但该式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式=t，则11tt+=，则210tt−−=，取正值得512t+=.用类似方法可

得-4-1212+++=__________.16．如图，平面四边形ACBD中，ABBC⊥，3AB=，2BC=，ABD△为等边三角形，现将ABD△沿AB翻折，使点D移动至点P，且PBBC⊥，则三棱锥PABC−的外接球的表面积为_____.三、解答题（共70

分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.地17-21为必做题，每个试题都必须作答.第22、23题为选做题，考生按要求作答）(一).必做题17．已知ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知2cos2aCcb+=.（1）求角A的大小；（2）若ABC的面积为3，若ABC的周

长为6，求三角形的边长a.18．如图1，在直角ABC中，90ABC=，23AC=，3AB=，D，E分别为AC，BD的中点，连结AE并延长交BC于点F，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，如图2所示.-5-（1

）求证：AECD⊥；（2）求平面AEF与平面ADC所成二面角的正弦值.19．宁夏西海固地区，在1972年被联合国粮食开发署确定为最不适宜人类生存的地区之一.为改善这一地区人民生活的贫困状态，上世纪90年代，党中央和自治区政府决定开始吊庄移民，将西海固地区的人口成批地

迁移到更加适合生活的地区.为了帮助移民人口尽快脱贫，党中央作出推进东西部对口协作的战略部署，其中确定福建对口帮扶宁夏，在福建人民的帮助下，原西海固人民实现了快速脱贫，下表是对2016年以来近5年某移民村庄100位移民的年人均收入的统计

：年份20162017201820192020年份代码x12345人均年收入y（千元）1.32.85.78.913.8现要建立y关于x的回归方程，有两个不同回归模型可以选择，模型一(1)ˆˆˆybxa=+；模型二(2)2ˆˆˆycxd=+，即使画出y关于x的散点图，也无法确定哪个模

型拟合效果更好，现用最小二乘法原理，已经求得模型一的方程为ˆ3.12.8yx=−.（1）请你用最小二乘法原理，结合下面的参考数据及参考公式求出模型二的方程（计算结果保留到小数点后一位）；（2）用计算残差平方和的方法比较哪个模型拟合效果

更好，已经计算出模型一的残差平方和为521ˆ)3.7iiiyy=−=（.-6-附：参考数据：51522150.525iiiiitytytt==−−，其中2iitx=，1,2,3,4,5i=.参考公式：对于一组数据()11,uv，()22,uv，…，(),nnuv，其回归直线ˆˆ

ˆvau=+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为1221ˆniiiniiuvnuvunu==−=−，ˆˆavu=−.20．已知焦点在x轴上的椭圆C：222210)xyabab+=（，短轴长为23，椭圆左顶点到左焦点的距离为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，已知点2(

,0)3P，点A是椭圆的右顶点，直线l与椭圆C交于不同的两点,EF，,EF两点都在x轴上方，且APEOPF=．证明直线l过定点，并求出该定点坐标．21．已知函数()()24,(,),0fxxxalnxaRafx=−+为函数()fx的导函数．（1）求函数()f

x的单调区间﹔（2）若存在实数12,xx，且12xx使得()()120fxfx==，求证∶()24fx−．(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2244(2x

mmmymm=+−=−为参数，且0)m，-7-以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos3sin10−−=.（1）写出曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）若直线l与x轴

交点记为M，与曲线C交于,PQ两点，求11||||PMQM+的值.23．已知函数()fx=1(0)xxaaa++−．（1）当1a=时，求不等式()4fx的解集；（2）证明：()fx2．KS5U2021新课标Ⅰ高考压轴卷数学word版参考答案1．【KS5U答案】D

【KS5U解析】因为集合02Axx=，集合lg01Bxxxx==，因此，(1,2AB=.故选：D.2．【KS5U答案】A【KS5U解析】解：()3ziii+=−+，()(3)iiziii−+=−−+，化为31zii+=+，21zi=+，故选：A．3．【KS5U答案】C【

KS5U解析】第一次循环，30n=，30S=，否，15n=，否，第二次循环，15n=，45S=，是，14n=，否，第三次循环，14n=，59S=，否，7n=，否，第四次循环，7n=，66S=，是，6n=，是，输出6n=，故选：C.4．【KS5U答案】D【KS5U解析】观察三视图发现：该几何

体的形状为圆柱从上方削去一部分，削去部分的体积-8-为圆柱体积一半的一半即14，下方挖去半个球，故几何体的体积为：22311114172224223224V=−−=

，故选：D.5．【KS5U答案】C【KS5U解析】()2221cos211232abbabbabb+=+=+=+=,故选：C6．【KS5U答案】C【KS5U解析】()()28111111()71031812aaaadad

adad++=+++++=+=164ad+=，即74a=()1131371313134522aaSa+====故选：C.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题思路如下：（1）根据题中所给的条件，结合等差数列通项公式，将其转化为关于首项与

公差的式子；（2）化简求得数列的某一项；（3）结合等差数列求和公式，得到和与项的关系，求得结果.7．【KS5U答案】A【KS5U解析】解：对于（1），因为//n，所以经过n作平面，使l=，可得

//nl，又因为m⊥，l，所以ml⊥，结合//nl得mn⊥．由此可得（1）是真命题；-9-对于（2），因为//且//，所以//，结合m⊥，可得m⊥，故（2）是真命题；对于（3），设直线m、n是位于正

方体上底面所在平面内的相交直线，而平面是正方体下底面所在的平面，则有//m且//n成立，但不能推出//mn，故（3）不正确；对于（4），设平面、、是位于正方体经过同一个顶点的三个面，则有⊥且⊥，但是⊥，推不出//，故（4）不正确．综

上所述，其中正确命题的序号是（1）和（2）故选：A【点睛】本题考查空间点线面的位置关系判断，考查空间想象能力，逻辑推理能力，是中档题.本题解题的关键在于熟练的掌握线面平行、面面平行的性质和线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识．8．【KS5U答案】C【KS5U解析】将4

名交警随机分配到两个不同路口疏导交通，方法数有22426CC=种，其中甲和乙不在同一路口的方法数由()1122124CCA=种，故所求概率为4263=.故选：C9．【KS5U答案】B【KS5U解析】如图，由821xyx=+=，解得(1,6)A-10-由图及

线性规划知识可推测直线10kxyk−+−=必过点(1,6)A，得72k=，经验证符合题目条件故选：B【点睛】本题主要考查了根据最值求参数，属于中档题.10．【KS5U答案】A【KS5U解析】设21PFmPFn

==，，则由双曲线的定义得：2mna−=，∴())2222124=4,,PFananancaPFnn+=++−+.记())244,,afnnancan=++−+()2241afnn=−，令()2241=0afnn=−，得2na=（1）当2caa−时，),2nc

aa−，()22410afnn=−，()yfn=单减；()2,na+，()22410afnn=−，()yfn=单增，∴()()min=28fnfaa=，不合题意，舍去；-11-（2）当2caa−时，()22410afnn=−恒成立，∴()yfn=单增，∴()(

)2min4=3afnfcacaca−=++−∴22243=10,8110acaacacaca++−+=−∴解得：()45ca=+或()45ca=−∵()45ca=−不满足2caa−，应舍去∴当()4

5ca=+时，离心率45e=+.故选：A【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a、b、c的关系，消去b，构造离心率e的方程或（不等式）即可求出离心率．11．【KS5U答案】D【KS5U解析】()fx的图象如

图所示：因为()24()2()3Fxfxafx=−+有4个不同的零点，故24203tat−+=有解，设此关于t方程的解为1t、2t，其中12,tt均不为零且1243tt=.由题设可得关于x的方程()1fxt=和()2fxt=共有4个不同的解，-12-故1212010

1tttt（舍）或1212012tttt或121222tttt（舍）.所以4120344403402003aaa−+−+−+，解

得43a.故选：D.【点睛】方法点睛：复合方程的解的讨论，一般通过换元转化为内、外方程的解来处理，注意根据已知零点的个数合理推断二次方程的根的情况.12．【KS5U答案】A【KS5U解析】由数列na的前n项和nS，且满足1nnaS+=，当2n时，111nnaS−−+=，两式相减，

可得111()20nnnnnnaaSSaa−−−−+−=−=，即11(2)2nnana−=，令1n=，可得11121aSa+==，解得112a=，所以数列na表示首项为12，公比为12的等比数列，所以1()2nna=，则11[1()]1221()1212

nnnS−==−−，所以11()2211()2nnnnnSa−==−，所以2939121239(222)(111)SSSSaaaa++++=+++−++9102(12)9211101312−−=−=−.故选：A.【点睛】本题考查了等比

数列的定义，等比数列的通项公式以及等比数列的前n项和公式的综合应用，-13-着重考查推理与计算能力，属于中档试题.13．【KS5U答案】2【KS5U解析】将coscos2bCcBb+=，利用正弦定理化简得：sincossincos2sinBCCBB+=，即()s

in2sinBCB+=，∵()sinsinBCA+=，∴sin2sinAB=，利用正弦定理化简得：2ab=，则2ab=．故答案为：2.14．【KS5U答案】1或12【KS5U解析】由题可知：直线AB的斜率为()2121ABmkmm+=

+−+即211ABmkmm+=−+又直线AB与斜率为2的直线平行所以2121mmm+=−+则22310mm−+=所以1m=或12m=故答案为：1或12【点睛】本题考查直线斜率的坐标表示以及直线的平行关系，掌握直线平行的斜率关系，属基础题.15．【KS5U答案】4

【KS5U解析】根据题意类比，令()12120tt+++=，两边平方得，21212t+++=，即212tt+=，则2120tt−−=，解得4t=，或3t=−（舍去）.故答案为：4【点睛】-14-本题主要考查类比推理，根据题意类比写出方程求解即可，属于基础题.16．【KS

5U答案】8【KS5U解析】因为BC⊥平面PAB，将三棱锥PABC−补形为如图所示的直三棱柱，则它们的外接球相同，由直三棱柱性质易知外接球球心O应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，记ABP△的外心为E，由ABD△为

等边三角形，即ABD△为等边三角形，3AB=，可得1BE=．又12BCOE==，故在RtOBE中，222OBOEEB=+=，此即为外接球半径，从而外接球表面积为248SOB==．故答案为：8.【点睛】本题考查了三棱锥外接球的表面积

，考查了学生空间想象，逻辑推理，综合分析，数学运算的能力，属于较难题.17．【KS5U答案】（1）3A=；（2）2a=.【KS5U解析】（1）由正弦定理得：2sincossin2sinACCB+=，∵ABC++=，∴()sinsinBAC=+，∴()2sincoss

in2sin2sincos2cossinACCACACAC+=+=+，整理可得：sin2cossinCAC=，∵()0,C，∴sin0C，∴1cos2A=，又()0,A，∴3A=.（2）由（1）知3A=，若ABC的面积为3，∴1sin32

ABCbcSA==，若ABC的周长为6，∴6ABCCabc=++=△，-15-由余弦定理，得2222cosabcbcA=+−，解得2a=.【点睛】本题考查了解三角形问题，解题的关键点是要熟练掌握正弦定理、余弦定理

、面积公式，考查了学生的计算能力.18．【KS5U答案】（1）证明见解析；（2）正弦值为105.【KS5U解析】（1）证明：由题意知ABAD=，而E为BD的中点，∴AEBD⊥，又面ABD⊥面BCD，面ABD面BCDBD=，且AE平面ABD，∴AE⊥平面BCD，

又CD平面BCD，∴AECD⊥.（2）由（1）可知，EB，EF，EA两两相互垂直，可构建以E为原点，,,EBEFEA为x轴、y轴、z轴正方向空间直角坐标系，则(0,0,0)E，30,0,2A，10,,02F，3,0,02D−

，33,,02C−，易知面AEF的一个法向量为3(,0,0)2ED=−，3333(,0,),(,,0)2222DADC==−，设平面ACD的法向量为(,,)nxyz=，则：0{0nDAnDC==，

即3302233022xzxy+=−+=，令1y=，则(3,1,1)n=−，-16-设平面AEF与平面ADC所成锐二面角为，则15cos|cos,|5EDn==，所以其正弦值为105.【点睛】关键点点睛：（1）利用含30°角的

直角三角形性质，结合面面垂直的性质、线面垂直的判定及性质证线线垂直；（2）应用向量法求二面角的余弦值，进而求正弦值即可.19．【KS5U答案】（1）20.50.8yx=+$；（2）模型二的拟合效果更好.【KS5U解析】（1）令2tx=，则模型二可化为

y关于t的线性回归问题，则1491625115t++++==，1.32.85.78.913.86.55y++++==，则由参考数据可得51522150.520.55iiiiitytyctt==−=−$，6.50.52110.8dyct=−=−

，则模型二的方程为20.50.8yx=+$；（2）由模型二的回归方程可得，(2)10.510.81.3y=+=$，(2)20.540.82.8y=+=$，(2)30.590.85.3y=+=$，(2

)40.5160.88.8y=+=$，(2)50.5250.813.3y=+=$，5(2)2222221ˆ)000.40.10.50.423.7iiiyy=−=++++=（，故模型二的拟合效果更好.【点睛

】本题考查线性回归方程和残差平方和的计算，解题的关键是正确计算出各个值，避免计算出错，正确应用公式.20．【KS5U答案】（1）22143xy+=；（2）证明见解析，(6,0).-17-【KS5U解析】（1）由2222231bacacb=−=−=得321bac===，所以

椭圆C的标准方程为22143xy+=.（2）当直线l斜率不存在时，直线l与椭圆C交于不同的两点分布在x轴两侧，不合题意.所以直线l斜率存在，设直线l的方程为ykxm=+.设11(,)Exy、22(,)Fxy，由22143xyykxm+==

+得222(34)84120kxkmxm+++−=，所以122834kmxxk−+=+，212241234mxxk−=+.因为APEOPF=，所以0PEPFkk+=，即121202233yyxx+=−−，整理得1212242()()033mkxxmkxx+−+−=化简得6mk=−，

所以直线l的方程为6(6)ykxkkx=−=−，所以直线l过定点(6,0).21．【KS5U答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析；【KS5U解析】解：（1）函数2()4fxxxalnx=−+的导数为()24(0)afxxxx=−+224xxax−+=，①当

1680a=−，即2a，2240xxa−+恒成立，可得()0fx恒成立．即有()fx的增区间为(0,)+，无减区间；当1680a=−，即2a，可得2240xxa−+=的两根为112ax=−，②当02a时，1111022aa+−−−，-18-()0fx，可得112

ax+−，或0112ax−−；()0fx，可得111122aax−−+−，即()fx的增区间为11,2a+−+，0,112a−−；减区间为11,1122aa

−−+−；③当0a„时，1102a+−，1102a−−„，()0fx，可得112ax+−；()0fx，可得0112ax+−，即()fx的增区间为11,2a+−+；减区间为0,112a+−；综上可得：当2a时，()fx在(0,

)+上单调递增，无减区间；当02a时，()fx的增区间为11,2a+−+，0,112a−−；减区间为11,1122aa−−+−；当0a„时，()fx的增区间为11,2a+

−+；减区间为0,112a+−；（2）证明：函数2()4fxxxalnx=−+的导数为224()24(0)axxafxxxxx−+=−+=，由题意可得1x，2x是2240xxa−+=的两根，且2112ax=+−，02a，可得2(1,2)x，设2()()444

gxfxxxalnx=+=−++，12x，又242axx=−，可得22()4(42)4gxxxxxlnx=−+−+，21()24(44)(42)4(1)gxxxlnxxxxlnxx=−+−+−=−，由12x可得4(1)0xlnx−，即()gx在(1,2)递减，则()(0gx

，1)，显然()0gx恒成立，则2()4fx−．-19-【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，考查分类讨论的思想方法，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用构造函数法，运用单调性解决，考查化简整理的运算能力.2

2．【KS5U答案】（1）曲线C：2yx=，直线l：310−−=xy；（2）13010.【KS5U解析】（1）曲线C的参数方程为2244(2xmmmymm=+−=−为参数，且0)m，即22()xmm=−，∴曲线C的直角坐标方程为2yx=.直线l的极坐标方程为cos3sin10

−−=，而cos,sinxy==，∴直线l的直角坐标方程为310−−=xy.（2）直线l与x轴交点记为M，即(1,0)，其参数方程可写为3110(110xttyt=+=为参数)，与曲线C交于P，Q两点，∴把直线的参数方程代入方程2yx=，得到2310100tt

−−=，即有12310tt+=，12100tt=−∴21212(3110)4001113010ttPMQMtt−++===.【点睛】关键点点睛：（1）应用因式分解、极坐标与直角坐标关系，写出直角坐标方程；（2）求直线与x轴交点，以交点为极点写出直线的参数方程，结合曲线方程

，由韦达定理求直线与曲线的两个交点与极点的距离(它们的数量关系)，进而求11||||PMQM+.-20-23．【KS5U答案】（1）2xx−或2x；（2）证明见解析.【KS5U解析】（1）当1a=时，()11fx

xx=++−.当1x−时，()1124fxxxx=−−−+=−，解得2x−≤；当11x−时，()1124fxxx=+−+=，无解；当1x时，()1124fxxxx=++−=，解得2x；综上所述：()4fx的解集为2xx−或2x.（2）111x

xaxaxxaxaaa++−=++−++−12aa=+，当且仅当1a=时等号成立，所以()fx2.