【文档说明】【精准解析】2021届高考数学北师大版单元检测十二　概率、随机变量及其分布（提升卷）【高考】.docx，共(12)页，82.896 KB，由小赞的店铺上传

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单元检测十二概率、随机变量及其分布(提升卷)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间100分钟，满分130分．4．请在密封

线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个

数构成一组勾股数的概率为()A.110B.15C.310D.1202．在一个棱长为3cm的正方体的表面涂上颜色，将其适当分割成棱长为1cm的小正方体，全部放入不透明的口袋中，搅拌均匀后，从中任取一个，取出的小正方体表面仅有一个面涂有颜色的概率是

()A.49B.827C.29D.1273．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量p＝(m，n)，q＝(3,6)．则向量p与q共线的概率为()A.13B.14C.16D.1124．已知A

BCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为()A.π4B．1－π4C.π8D．1－π85．一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0～9中任选一个，某人在银行

自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为()A.25B.310C.15D.1106.如图所示，在圆心角为90°的扇形AOB中，以圆心O作为起点作射线OC，OD，则使∠AOC＋∠BOD＜45°的概率

为()A.12B.14C.18D.1167．(2019·西安统考)十二生肖，又称十二属相，中国古人拿十二种动物来配十二地支，组成子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪十二属相．现有十二生肖吉祥物各一件，甲、乙、丙三位同学一次随机抽取一件作为礼物，甲同学喜欢马

、牛，乙同学喜欢马、龙、狗，丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢，则这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率是()A.388B.344C.120D.9448．我国成功申办2022年第24届冬季奥林匹克运动会，届时冬奥会的高山速降运动将给我们以速度与激情的完美展现，某选手的速度ξ服从正态分布(100，σ

2)(σ>0)，若ξ在(80,120)内的概率为0.7，则其速度超过120的概率为()A．0.05B．0.1C．0.15D．0.29．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概

率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A．0.4B．0.6C．0.75D．0.810．随机变量X的分布列如下表，且EX＝2，则D(2X－3)等于()X02aP16p13A.2B．

3C．4D．511．甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为23，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为()A.13B.25C.23D.4512．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取

一个球，数列{}an满足：an＝－1，第n次摸到红球，1，第n次摸到白球，如果Sn为数列{}an的前n项和，那么S7＝3的概率为()A．C57232·235B．C27232·135C．C57132·135D．

C57132·235第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若连续掷两次骰子，第一次掷得的点数为m，第二次掷得的点数为n，则点P(m，n)落在

圆x2＋y2＝16内的概率是________．(骰子为正方体，且六个面分别标有数字1,2，…，6)14．甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去．两人能会面的概率为________．15．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝ck(k＋1)，k＝1,2

,3，c为常数，则P(0.5<ξ<2.5)＝________.16．(2019·洛阳统考)“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大．假设李某智商较高，他独自一人解决项目M的概率为P1＝0.9；同时，有n个水平

相同的人也在研究项目M，他们各自独立的解决项目M的概率都是0.5.现在李某单独研究项目M，且这n个人组成的团队也同时研究项目M，且这n个人研究项目M的结果相互独立．设这n个人组成的团队解决项目M的概率为P2，若P2≥P1，则n的最

小值是________．三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是13，25，12.(1)现3人各投篮1次，求3人至少一人投进的概率；

(2)用ξ表示乙投篮4次的进球数，求随机变量ξ的分布列及均值Eξ和方差Dξ.18.(12分)某校高三模考后，为了解考生对模考数学试卷难度的评价，随机抽取了该校50名男考生与50名女考生，得到下面的列联表：非常困难一般男考生2030女考

生4010(1)分别估计该校男考生、女考生觉得模考数学试卷非常困难的概率；(2)从该校随机抽取3名男考生，2名女考生，求恰有4名考生觉得模考数学试卷非常困难的概率．19．(13分)(2020·商丘模拟)某市为了解本市1万名小学生的普通话水平，在全市范围内进行了普通话测试，测试后对每个小学生的普通

话测试成绩进行统计，发现总体(这1万名小学生普通话测试成绩)服从正态分布N(69,49)．(1)从这1万名小学生中任意抽取1名小学生，求这名小学生的普通话测试成绩在(62,90)内的概率；(2)现在从总体中随机抽取12名小学生的普通话测试成绩，对应的数据如下：50

,52,56,62,63,68,65,64,72,80,67,90.从这12个数据中随机选取4个，记X表示大于总体平均分的个数，求X的方差．参考数据：若Y～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Y<μ＋σ)＝0.683

，P(μ－2σ<Y<μ＋2σ)＝0.954，P(μ－3σ<Y<μ＋3σ)＝0.997.20.(13分)(2019·临川模拟)某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：(平均每天锻炼的时间

单位：分钟)平均每天锻炼的时间/分钟[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)总人数203644504010将学生日均体育锻炼时间在[40,60)的学生评价为“锻炼达标”．(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面的2×2列联表；锻炼不达标锻炼

达标总计男女20110总计并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？(2)在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出10人，进行体育锻炼体会交流，①求这10人中，男生、女生各有多少人？

②从参加体会交流的10人中，随机选出2人做重点发言，记这2人中女生的人数为X，求X的分布列和期望．参考公式：χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.临界值表：P(χ2≥k)0.100.050.0250.01

0k2.7063.8415.0246.635答案精析1．A[从1,2,3,4,5中任取3个不同的数的基本事件为：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)共10个，其中满足勾股

数的只有(3,4,5)，共1个，所以所求概率P＝110.]2．C[由题意，在27个小正方体中，恰好有三个面都涂有颜色的共有8个，恰好有两个面都涂有颜色的共12个，恰好有一个面都涂有颜色的共6个，表面没涂

颜色的1个，可得试验发生包含的事件是从27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，满足条件的事件是取出的小正方体表面仅有一个面涂有颜色，有6种结果，所以所求概率为627＝29.]3．D[由题意，将一枚骰子抛掷两次，共有6×6＝36(种)结果，又由向量p＝(

m，n)，q＝(3,6)共线，即6m－3n＝0，即n＝2m，满足这种条件的基本事件有(1,2)，(2,4)，(3,6)，共有3种结果，所以向量p与q共线的概率为P＝336＝112.]4．B[根据几何概型得，取到的点到O的距离大于1的概率P＝dD＝圆外部分的面积矩

形的面积＝2－π22×1＝1－π4.]5．C[一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为P＝110＋910×19＝15.]6．C[设∠A

OC＝x°，∠BOD＝y°，把(x，y)看作坐标平面上的点，则试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{(x，y)|0≤x≤90,0≤y≤90}，若事件A表示∠AOC＋∠BOD＜45°，则其所构成的区域为A＝{(x，y)|x＋y<45,0≤x≤90,0≤y≤

90}，即图中的阴影部分，故S阴影＝12×45×45.由几何概型的概率公式，得所求概率P(A)＝12×45×4590×90＝18.]7．A[现有十二生肖吉祥物各一件，甲、乙、丙三位同学依次随机抽取一件作为礼物，甲同学喜欢马、牛，乙同学喜欢马、龙、狗，丙同学除

了鼠不喜欢外其他的都喜欢，基本事件总数n＝A312＝1320，这三位同学抽取的礼物都喜欢包含的基本事件个数m＝1×2×9＋1×3×9＝45，所以这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率是P＝mn＝451320＝388.]8．C[由题意可得，μ＝100，且P(80＜ξ＜1

20)＝0.7，则P(ξ＜80或ξ＞120)＝1－P(80＜ξ＜120)＝1－0.7＝0.3.∴P(ξ＞120)＝12P(ξ＜80或ξ＞120)＝0.15.则其速度超过120的概率为0.15.]9．D[

设“某一天的空气质量为优良”为事件A,“随后一天的空气质量为优良”为事件B，则P(A)＝0.75，P(AB)＝0.6，∴P(B|A)＝P(AB)P(A)＝0.60.75＝0.8.]10．C[p＝1－16－13＝12，EX＝0×16＋

2×12＋a×13＝2，则a＝3，∴DX＝(0－2)2×16＋(2－2)2×12＋(3－2)2×13＝1，∴D(2X－3)＝22DX＝4.]11．B[由题意，甲获得冠军的概率为23×23＋23×13×23＋13×23×23＝2027，其中比赛进行了3局的概率为23×1

3×23＋13×23×23＝827，∴所求概率为827÷2027＝25.]12．B[据题意可知7次中有5次摸到白球，2次摸到红球，由独立重复试验即可确定其概率，故选B.]13.29解析由题意得，基本事件总数为36，点P落在圆内包含的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2

,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共8个，由古典概型概率公式可得所求概率为836＝29.14.716解析设甲、乙两人从6时起分别经过x分钟和y分钟到达会面地点，记事件A为“两人能够会面”，则0≤

x≤60，0≤y≤60，若两人能够会面，则需0≤x≤60，0≤y≤60，|x－y|≤15，作出约束条件表示的可行域，如图所示，可得(x，y)的所有可能的结果是边长为60的正方形区域，而事件A由图中的阴影部

分表示，由几何概型的概率公式，可得P(A)＝SAS＝602－452602＝3600－20253600＝716，所以，两人能会面的概率是716.15.89解析随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝ck(k＋1)，k＝1,2,3，∴c2＋c6＋c12＝1，即6c＋2c＋c12＝1，

解得c＝43，∴P(0.5＜ξ＜2.5)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝c2＋c6＝46×43＝89.16．4解析依题意，这n个人组成的团队不能解决项目M的概率为P＝1－12n＝12n，所以P2＝1－P＝1－

12n，所以1－12n≥0.9，即110≥12n(n∈N＋)，解得n≥4，所以n的最小值是4.17．解(1)记“甲投篮1次投进”为事件A，“乙投篮1次投进”为事件B，“丙投篮1次投进”为事件C，“至少一人投进”为事件D.P(D)＝1－P(A)P(B)P(C)＝4

5.(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ～B4，25，所以，P(ξ＝k)＝Ck425k354－k(k＝0,1,2,3,4)，故随机变量ξ的分布列为ξ01234P816252166252166259662516625Eξ＝0×

81625＋1×216625＋2×216625＋3×96625＋4×16625＝85，Dξ＝0－852×81625＋1－852×216625＋2－852×216625＋

3－852×96625＋4－852×16625＝2425.18．解(1)由题可知男考生觉得模考数学试卷非常困难的概率为P1＝2050＝25，女考生觉得模考数学试卷非常困难的概率为P2＝4050＝45.(2)设男考生、女考生觉

得模考数学试卷非常困难的人数分別为X，Y，则X～B3，25，Y～B2，45.记事件A为“恰有4名考生觉得模考数学试卷非常困难”，A＝{(X＝3)∩(Y＝1)}∪{(X＝2)∩(Y＝2)}

，P(A)＝P{(X＝3)∩(Y＝1)}＋P{(X＝2)∩(Y＝2)}＝C33×253×C12×45×15＋C23×35×252×C22×452＝128625.19．解(1)因为学生的普通话测试成绩Y服从正态

分布N(69,49)，所以μ＝69，σ＝7，所以P(62<Y<90)＝P(μ－σ<Y<μ＋3σ)＝0.683＋0.9972＝0.84.(2)因为总体平均分为μ＝69，所以这12个数据中大于总体平均分的有3个，所以X的可能取值为0,1,2,3，则P(X＝0

)＝C49C412＝1455，P(X＝1)＝C13C39C412＝2855，P(X＝2)＝C23C29C412＝1255，P(X＝3)＝C33C19C412＝155，所以E(X)＝0×1455＋1×2855＋2×1255＋3×155＝1，D(X)＝(0－1)2×145

5＋(1－1)2×2855＋(2－1)2×1255＋(3－1)2×155＝611.20．解(1)锻炼不达标锻炼达标总计男603090女9020110总计15050200由2×2列联表中数据，计算得到χ2＝200(60×20－

30×90)2150×50×90×110＝20033≈6.061>5.024.所以可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关．(2)①“锻炼达标”的学生有50人，男、女生人数比为3∶2，故用分层抽样方法从中抽出10人，男生有6人，女

生有4人．②X的可能取值为0,1,2；P(X＝0)＝C26C210＝13，P(X＝1)＝C16C14C210＝815，P(X＝2)＝C24C210＝215，∴X的分布列为X012P13815215∴X的期望EX＝0×13＋1×815＋2×215＝45.获得更多资源

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