【文档说明】山东省肥城市2025届高三上学期开学考试数学试题（解析版）.docx，共(17)页，1.207 MB，由小赞的店铺上传

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高三数学试题本试卷共19题，满分150分，共6页．考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上．用2B铅笔将试卷类型A填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角

“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后

再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合1,2,3,4,5,9A=，{|},Byyx

xA==，则AB=（）A.1,2,3B.1,2,4C.2,3,5D.1,4,9【答案】A【解析】【分析】先求出集合B，再由交集的定义求解即可.【详解】因为集合1,2,3,4,5,9A=，{|},ByyxxA==，所以1,2,3,2,5,3B=，所以AB=

1,2,3.故选：A.2.若复数z满足(1i)iz−=，则复数z的共轭复数对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根据复数的运算求出z，再根据共轭复数的概念

及复数的几何意义即可求解.【详解】因为(1i)iz−=，所以()()()i1ii11i1i1i1i22z+===−+−−+.所以11i22z=−−，对应的点为11,22−−，位于第三象限.故选:C.3.已知向量()1,0a=，()1,1b=，()()//abab+−，则（）A

.1+=B.0+=C.1=D.1=−【答案】B【解析】【分析】先求出ab+，ab−，再由平行向量的坐标表示求解即可得出答案.【详解】因为()1,0a=，()1,1b=，所以()1,ab+=+，()1,ab−=−−，因为()()//abab+−，所以()()

()110+−−−=，则0+=故选：B.4.已知()1sin3+=，()1sin2−=，则tantan=（）A.15B.15−C.5D.-5【答案】D【解析】【分析】根据题意，利用两角和与差的正弦公式，联立方程组求得sincos,cossin的值，结合tansinc

ostancossin=，即可求解.【详解】根据题意，由两角和与差的正弦公式，可得：()1sinsincoscossin3+=+=，()1sinsincoscossin2−=−=，联立方程组，可得51sincos,cossin1212==−，

.又由5tansincos1251tancossin12===−−.故选：D.5.已知两个圆台甲、乙的上底面半径均为r，下底面半径均为2r，圆台的母线长分别为3r和5r，则圆台甲、乙的体积之比为（）A.13B.33C.3D.3【答案】B【解析

】【分析】设甲圆台的高为1h，乙圆台的高为2h，利用勾股定理求出1h，2h，再由圆台的体积公式计算可得.【详解】设甲圆台的高为1h，乙圆台的高为2h，则()()2213222hrrrr=−−=，()()2225226hrrrr=−−=，所以圆台甲的体积

()222311142π4π2π22π33Vrrrrr=++=，圆台乙的体积()222321146π4π2π26π33Vrrrrr=++=，所以圆台甲、乙的体积之比为3132142π333146π3rVVr==.故选：B6.若函数()

7,42log(1),4axxfxxx−+=+−（其中0a，且1a）的最小值是3，则a的取值范围是（）A.113aB.113aC.13aD.13a<?【答案】D【解析】【分析】根据题意，利用分段函数的性质，结合对数的运算法则，列出不等式，即可求解

.【详解】由函数()7,42log(1),4axxfxxx−+=+−（其中0a，且1a）的最小值是3，当4x时，函数()7fxx=−+为单调递减函数，所以()()min43fxf==，则当4x时，函数()2log(1)afxx=+−为单调递增函数，则1a

且满足()()42log33afxf=+，即log31a，解得13a<?，综上可得，实数a的取值范围为(1,3].故选：D.7.曲线()sin1yx=+与lgyx=交点个数是（）A.3B.4C.5D.6【答案】A【解析】【分析】作

出曲线()sin1yx=+与lgyx=图象，结合图象即可得出答案.【详解】作出曲线()sin1yx=+与lgyx=大致图象，可知()sin11,1yx=+−，而lg101=，由曲线()sin1yx=+与lgy

x=图象知，曲线()sin1yx=+与lgyx=有3个交点.故选：A.8.已知函数()fx，()gx的定义域为R，()yfx=的图象关于直线1x=对称，且()()110fxgx−+=，()()45fxgx−−=，若()21f=，则(

)()12gg+=（）A.－5B.－6C.5D.6【答案】C【解析】【分析】由()yfx=的图象关于直线1x=对称，得()()11fxfx−=+，由()()45fxgx−−=，得()()135fxgx+−−=，结合()()110fxgx−+=，得()()35gxgx+−=，

进而代入相关值求结果即可.【详解】因为()yfx=的图象关于直线1x=对称，则()()11fxfx−=+①，又()()110fxgx−+=，即()()110fxgx−=−，结合①得()()110gxfx++=②，因为()()45fxgx−−=，则()()135fxgx+−

−=，结合②得()()35gxgx+−=，则，令1x=，得()()125gg+−=，令2x=，得()()125gg−+=，由()()110fxgx−+=，得()()2110fg+−=，由()()45fxgx−−=，得()()225fg−−=，则()()125gg−+−=，所以()()1

25gg+=.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在某市举行的一次期末质量检测中，经抽样分析，该市某学校的数学成绩X近似服从正态分布()2

86,N，且()82860.3PX=．该校有1000人参加此次考试，则（）A.()()9082PXPXB.()82900.6PX=C.估计成绩不低于90分的有200人D.估计成绩不低于86分的有300人【答案】BC【解析】【分析】通过数学

成绩X近似服从正态分布()286,N，可以看出数学成绩X关于86X=对称，通过()82860.3PX=，可以计算出()()9082PXPX=，()8290PX由此可判断A，B；再求出()8290PX，()86PX，由此可判断C，D.【详解】因为数学

成绩X近似服从正态分布()286,N，所以数学成绩X关于86X=对称，已知()82860.3PX=，所以(8690)=0.3PX，10.32(90)(82)=0.22PXPX−==，故A错误；所以()82900.6PX

=，故B正确；估计成绩不低于90分的有0.21000200=人，故C正确；()860.5PX=，估计成绩不低于90分的有0.51000500=人，故D错误；故选：BC.10.已知函数()()2exfxaxaa=−+R，则（）A.当0a时

，()fx是R上减函数B.当0a时，lnxa=是()fx的极小值点C.当ea=时，()fx取到最小值2e2+D.当0a时，()32ln2fxa+恒成立【答案】ACD【解析】【分析】对于A，当0a时，()0fx即可；对于BC，由导数判断函数的单调

性即可求解；对于D，由导数判断函数的单调性，并求函数()fx最小值2min()1lnfxaa=++，再通过导数证明231ln2ln2aaa+++即可.【详解】由题意，函数2()exfxaxa=−+，定义域为R，则导函数为()e1xfxa

=−，对于A，当0a时，()0fx，则函数()fx在R上单调递减，故A正确；对于B，当0a时，令()0fx=，解得lnxa=−，当lnxa−时，()0fx，则函数()fx在(ln,)a−+单调递增；当lnxa−时，()0fx，则

函数()fx在(ln)a−−，单调递减；的所以lnxa=−为()fx的极小值点，故B错误；对于C，当ea=时，令1()e10xfx+=−=，解得1x=−，当1x−时，()0fx，则函数()fx在(1,)−+单调递增；当1x−

时，()0fx，则函数()fx(1)−−，单调递减；所以函数()fx的最小值为2(1)e2f−=+，故C正确；对于D，由B选项知，函数()fx在lnxa=−取最小值，则ln22()(ln)eln1lnafxfaaaaaa−−=++=++，假设3()2ln2f

xa+，则min3()2ln2fxa+，即21ln02aa−−在0a恒成立，令21()ln,02gxxxx=−−，则2121()2xgxxxx−=−=，令()0gx，则22x，()gx2(,)2+单调递增，令()0gx，则202x，(

)gx在2(0)2，单调递减，所以min2112()()ln()ln202222gxg==−−=，所以()0gx恒成立，所以当0a时，3()2ln2fxa+恒成立，故D正确.故选：ACD.11.已知抛物线()2:20Cypxp=的焦点为F，其准线与x轴交于点A，过点A作斜率为k直线l与C

交于11(,)Mxy，22(,)Nxy两点．若直线3(1)yx=−经过点F，则（）A.2p=B.121xx=在在C.1k≥D.22FMFN+的取值范围是(8,)+【答案】ABD【解析】【分析】首先求出(1,0)F，从而得到2p=，

判断A，联立直线与抛物线方程，由根的判别式和韦达定理可判断B,C，由焦半径公式化简可得：2222442FMFNkk+=−，结合二次函数的最值问题即可判断D.【详解】因为抛物线()2:20Cypxp=的焦点为F，且直线3(1)yx=−经过点F，所以(1,

0)F，则12p=，解得：2p=，故A正确；所以抛物线方程为：24yx=，则(1,0)A−，设过点A作斜率为k直线l的方程为：ykxk=+，联立：24yxykxk==+，消去y可得：2222(24)0kxkxk−++=，显然0k

，2242(24)416160kkk=−−=−，解得10k−或01k，故C错误；由韦达定理可得：212224kxxk=−+−，121xx=，故B正确；因为11FMx=+，21FNx=+，所以22222121212121222442()2(

)2()222FMFNxxxxxxxxxxkk+=++++=+++−+=−，令24tk=，则()4,t+，则2222442(2)(1)1(41)18tttkk−=−=−−−−=

，所以22FMFN+的取值范围是(8,)+，故D正确；故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若双曲线()222210,0xyabab−=的一个焦点()5,0F，一条渐近线方程为34yx=，则ab+=________．【答案】7【

解析】【分析】由条件列出关于,,abc的方程，解方程可得,ab的值，由此可得结论.【详解】双曲线22221xyab−=的渐近线方程为byxa=，又34yx=为双曲线22221xyab−=的一条渐近线，所以34ba=，设双曲线22221xyab−=的半焦距为c，因为()5,0

F为其一个焦点，所以5c=，又222abc+=，所以4,3ab==，所以7ab+=.故答案为：7.13.若函数()()321fxxmxmx=+++为奇函数，则曲线()yfx=在点()1,0−处的切线方程为________．【答案】220xy−+=【解析】【分析】由奇函数的性质求出m，再

由导数的几何意义求出曲线()yfx=在点()1,0−处的切线的斜率，由点斜式方程即可得出答案.【详解】函数()()321fxxmxmx=+++为奇函数，则10m+=，所以1m=−，所以()3fxxx=−，()231fxx=−，所以曲线()yfx=在点()1,0

−处的切线的斜率为()12kf=−=，所以曲线()yfx=在点()1,0−处的切线方程为：()021yx−=+，则化简为：220xy−+=.故答案为：220xy−+=.14.为了将课堂所学的专业理论知识与实际生活相结合，提升学生的

个人综合素质，增强社会责任感和使命感，某知名大学的校团委安排该校一个大学生志愿服务团体在暑假期间开展“环境保护”、“社区文化”、“便民服务”、“法律援助”、“教育服务”、“公益慈善”六项社区服务活动，并对活动开展顺序提出了如下要求，重点活动“法律援助”必须排在前三位，且“便民服务”和“教

育服务”两项活动必须排在一起，则这六项活动完成顺序的不同安排方案种数是________．【答案】120【解析】【分析】分别在“法律援助”排第一位，第二位，第三位时，结合捆绑法及分步乘法计数原理求解即可.

【详解】根据题意,由于活动“法律援助”必须排在前三位，分3种情况讨论:①“法律援助”排在第一位，活动“便民服务”和“教育服务”必须排在一起，则活动“便民服务”和“教育服务”相邻的位置有4个,考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个活动全排列，安排在其他三个位置，有33A6=种安排方法，则此时

有42648=种安排方案；②“法律援助”排在第二位，活动“便民服务”和“教育服务”必须排在一起，则活动“便民服务”和“教育服务”相邻的位置有3个，考虑两者的顺序,有2种情况，将剩下的3个活动全排列，安排在其他三个位置，有33A6=种安排方

法，则此时有32636=种安排方案；③“法律援助”排在第三位，活动“便民服务”和“教育服务”必须排在一起，则活动“便民服务”和“教育服务”相邻的位置有3个,考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个活动全排列，安排在其他三个位置，有33

A6=种安排方法，则此时有32636=种安排方案；故符合题意的安排方案有483636120++=种.故答案为：120.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知在ABCV中，a，b，c分别是角A，B，

C的对边，21CACB=，且3cos5C=．（1）求ABCV的面积；（2）若5b=时，求边c和角B．【答案】（1）14（2）42c=，π4B=【解析】【分析】（1）由数量积的定义可得35ab=，由同角三角函数的基本公式求出sinC，再由面积

公式即可得出答案.（2）由余弦定理结合35ab=，可求出c，再由正弦定理求解即可.【小问1详解】由已知可得3cos215CACBabCab===，可得35ab=由3cos5C=，可求得4sin5C=，所以114sin3514225ABCSabC===△.【小问2详解

】因为5,35bab==，可得7a=.由余弦定理得2222cos32cababC=+−=，可得42c=.由正弦定理sinsinbcBC=,可得45sin25sin242bCBc===，由于ba，所以π02B，可得π4B=.16.设椭圆()

2222:10xyCabab+=的左右焦点分别为1F，2F，点21,2P在C上，且2PFx⊥轴．（1）求C的方程．（2）过左焦点1F作倾斜角为60°的直线l．直线l与C相交于A，B两点，求

2ABF△的周长和面积．【答案】（1）2212xy+=（2）周长为42，面积为467.【解析】【分析】（1）由2PFx⊥轴且𝑃(1,√22)求出c，由椭圆的定义求出a，即可得到椭圆C的方程；（2）联立直线l与椭圆方程，利用根与系数的关系求出1212,xxxx+的值，

由弦长公式求出|𝐴𝐵|，由点到直线的距离公式求出点𝐹2(1,0)到直线l的距离，即可求出AOBV的面积.【小问1详解】由已知2PFx⊥轴且𝑃(1,√22)，知1c=，()()121,0,1,0FF−，由椭圆的定义221222222222aPFPF=+=++=

，所以2a=，221bac=−=，C的方程为2212xy+=.【小问2详解】可知直线l的斜率tan603k==，l的方程为()31yx=+.设𝐴(𝑥1,𝑦1),𝐵(𝑥2,𝑦2)，联立方程组()223112yxxy

=++=，消去y得271240xx++=，可得1212124,77xxxx+=−=，可得()22221212121216821142777ABkxxkxxxx=+−=++−=−−=，点𝐹2(1,0)到直线:330lxy−+=的距离()2303331d−+==+，所以2A

BF△的周长为442a=，214627ABFSABd==.17.如图，在三棱柱ABCDEF−中，P为AD的中点，6AC=，4=AD，2ABBCCP===，2π3ABE=.（1）求证：PEBC⊥；（2）

求平面ECP与平面PCD夹角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）取BP中点M，连接AM、CM，利用等腰三角形性质及线面垂直判定定理得BP⊥平面ACM，利用等边三角形的性质及线面垂直判定定理得CM⊥平面ABED，进

而证得PE⊥平面BCP，即可利用线面垂直的定义可得证明；（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量的夹角公式及同角三角函数关系求解即可.【小问1详解】取BP的中点M，连接AM、CM，P为AD的中点，=42=2ADAPAB=，，，AMBP⊥，==2BCCP，CMBP⊥，又因为

AMCMM=，,AMCM平面ACM，因此BP⊥平面ACM，又ABCDEF−是三棱柱，ABED是平行四边形，2π3ABE=，π3BAP=，ABP、BPC均为等边三角形，2BP=，则3CMAM==，

2226,ACAMCMAC=+=，AMCM⊥，CMBP⊥，,,AMBPMAMBP=平面ABED，CM⊥平面ABED，PEQ平面ABED，CMPE⊥，2BP=，在PDF△中，2PDED==，2π3PDE=，23PE=，又4BE=，2

22+=BPPEEB，即PEBP⊥，又,,CMBPMCMBP=平面BCP，PE⊥平面BCP，BC平面BCP，PEBC⊥.【小问2详解】由（1）可知MA、MP、MC两两垂直，以M为原点，MA所在直线为x轴，MP所在直线为y轴，MC所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则()0,0,3C，(

)0,1,0P，𝐴(√3,0,0)，()0,1,0B−，由于P是AD的中点，得()3,2,0D−，又由BAED=可得()23,1,0E−，()0,1,3PC=−，()23,0,0PE=−，()3,1,0PD=−，设平面ECP的法向量为()1111,,nxyz=，则

1100nPCnPE==，即11130230yzx−+=−=，令13y=，得()10,3,1n=，设平面PCD的法向量为()2222,,nxyz=，则2200nPCnPD==，即22223030yzxy−+=−+=

，令23y=，得()21,3,1n=，设平面ECP与平面PCD的夹角为，则12121242coscos,5525nnnnnn====，225sin1(5)55=−=，即平面ECP与平面PCD夹角的正弦值为55.18.已知函数()ln,Rmfxxmx=+.（1）讨论

()fx的单调性；（2）证明：当0m时，()21mfxm−.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数()fx的导函数()fx，对m进行分类讨论，判断()fx的正负作答即可；（2）把

()fx代入不等式，化简转化为()min11ln2fxmm=+−，构造新函数()11ln2gmmm=+−−，对新函数求导，并求出其最小值为()()min10gmg==，即可判断原不等式成立.【小问

1详解】函数()fx的定义域是()0,+，可得()221mxmfxxxx−=−=.当0m时，可知()0fx，所以()fx在()0,+上单调递增；当0m时，由()=0fx得xm=，可得()0,xm时，有()0fx，(),+xm时，有()0fx，所以()fx在()0,m上

单调递减，()fx在(),+m上单调递增.综上所述：当0m时，()fx在()0,+上单调递增；当0m时，()fx在()0,m上单调递减，在(),+m上单调递增.【小问2详解】证明：当0m时，要证(

)21mfxm−成立，只需证()211=2mfxmm−−成立，只需证()min12fxm−即可.因为0m，由（1）知，()()min1lnfxfmm==+.令()111ln2ln1gmmmmm=+−−=+−，则()22111mgmmmm−=−=，可得()0

,1m时，有()0gm；()1,m+时，有()0gm，所以()gm在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增，可知()()min10gmg==，则有()0gm，所以有11ln2mm

+−，所以当0m时，()21mfxm−成立.【点睛】方法点睛：不等式证明问题往往转化为函数恒成立问题解决.19.数列na满足()2111,(1,2,),nnaannan+==+−=是常数．（1）当21a=−时，求及3a的值；（2）数列na是否可能

为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；（3）求的取值范围，使得存在正整数m，当nm时总有0na．【答案】（1）3=；33a=−；（2）数列na不可能为等差数列，详见解析；（3）22*4242(N)kkkkk−+．【解析】【分析】（

1）根据条件代入递推关系即得；（2）假设存在使数列na为等差数列，根据等差数列的定义结合条件即得；（3）记2(12)nbnnn=+−=，，，02(12)nkk==，，，结合条件可得满足()()222212202

1210kkbkkbkk−=+−=−+−−，进而即得.【小问1详解】由于21()(12)nnannan+=+−=，，，且11a=，所以当21a=−时，得12−=−，解得3=，从而23(223)(1)3a=+−

−=−；【小问2详解】数列na不可能为等差数列，证明如下：由11a=，21()nnanna+=+−，得22a=−，3(6)(2)a=−−，4(12)(6)(2)a=−−−，若存在，使na为等差数列，则3221aaaa−=−，即

(5)(2)1−−=−，解得3=，于是2112aa−=−=−，43(11)(6)(2)24aa−=−−−=−，这与na为等差数列矛盾，所以，对任意，na都不可能是等差数列；【小问3详解

】记2(12)nbnnn=+−=，，，根据题意可知，10b且0nb，即2，且2*(N)nnn+，这时总存在*0Nn，满足：当0nn时，0nb，当01nn−时，0nb，所以由1nnnaba+=及110a=可知，若0n

为偶数，则00na，从而当0nn时，0na；若0n为奇数，则00na，从而当0nn时0na；因此“存在*Nm，当nm时总有0na”的充分必要条件是：0n为偶数，记02(12)nkk==，，，则满足()()2222122021210kkbkkbkk−=+−=−

+−−，故的取值范围是22*4242(N)kkkkk−+．