【文档说明】八年级数学第16讲 等腰三角形-【暑假辅导班】新八年级数学暑假精品课程（华师大版）（原卷版）.doc，共(12)页，223.000 KB，由管理员店铺上传

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1第16讲等腰三角形【学习目标】1.了解等腰三角形、等边三角形的有关概念,掌握等腰三角形的轴对称性；2.掌握等腰三角形、等边三角形的性质，会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图．3.理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程.通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培

养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.4.理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题.【基础知识】考点一、等腰三角形的定义1.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝

AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．2.等腰三角形的对称性(1)等腰三角形是轴对称图形；(2)∠B＝∠C；(3)BD＝CD，AD为底边上的中线.2

(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线.结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.4.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个

角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.考点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A−.（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角

形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.考点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线

和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．2.等腰三角形中重要线段的性质等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等.考点诠释：这条性质，还可以推广到一下结论：（1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。（2）等腰三角形底边上的中点

到两腰的距离相等.（3）等腰三角形两底角平分线，两腰上的中线，两腰上的高的交点到两腰的距离相等，到底边两端上的距离相等.（4）等腰三角形顶点到两腰上的高、中线、角平分线的距离相等.考点三、等腰三角形的判定定理1.等腰三角形的判

定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.考点诠释：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角

形，得到边和角关系.3（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．2.等边三角形的判定定理三个角相等的三角形是等边三角形.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.3.含有30°角的直角三

角形定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.考点四、反证法在证明时，先假设命题的结论不成立，然后从这个假设出发，经过逐步推导论证，最后推出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立

，这种证明命题的方法叫做反证法.考点诠释：反证法也称归谬法，是一种间接证明的方法，一般适用于直接证明有困难的命题．一般证明步骤如下：（1）假定命题的结论不成立；（2）从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果；（3）

由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的.【考点剖析】考点一：等腰三角形中有关角度的计算题例1．如图，已知△ABC中，AB=BD=DC，∠ABC=105°，求∠A，∠C度数．举一反三：【变式】已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE

，求∠B的度数．4考点二：等腰三角形中的分类讨论例2．在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角．例3、已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．举一反三：【变式】已知等腰三角形的底边BC＝8cm，且|AC－BC|＝2cm，那么腰AC的长为()．A．10

cm或6cmB．10cmC．6cmD．8cm或6cm考点三：等腰三角形的性质及其运用例4．如图，在△ABC中，边AB＞AC．求证：∠ACB＞∠ABC5举一反三：【变式】已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BD是中线，延长BC至点E，使CE=CD．求证：

DB=DE．考点四：等腰三角形的判定例5．如图1，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．（1）试找出图中的等腰三角形，并说明理由；（2）若BD=4、C

E=3，求DE的长；（3）若AB=12、AC=9，求△ADE的周长；（4）若将原题中平行线DE的方向改变，如图2，OD∥AB，OE∥AC，BC=16，你能得出什么结论呢？举一反三【变式】如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列四个条件：①∠EBD=∠D

CO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC．上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形，选择其中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形．6考点五：含有30°角的直角三角形例6.如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥

AB，垂足是D，∠A=60°.求证：BD=3AD.举一反三：【变式】如图，已知，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°，CD=4cm，∠ABC=∠DCB，求BC的长．考点六：反证法例7.求

证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。7【真题演练】一.选择题1.等腰三角形中一个外角等于100°，则另两个内角的度数分别为（）A．40°，40°B．80°，20°C．50°，50°D．50°，50°或80°，

20°2.用反证法证明命题：如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF，证明的第一个步骤是（）A.假设CD∥EF;B.假设AB∥EFC.假设CD和EF不平行D.假设AB和EF不平行3.将两个全等的且有一个

角为30°的直角三角形拼成如图所示形状，两条长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形的个数是（）A.4个B.3个C.2个D.1个4.已知实数x，y满足|x−4|+(y−8)2＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A．20或

16B．20C．16D．以上答案均不对5.如图，D是AB边上的中点，将ABC沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若50B=，则BDF度数是（）A．60°B．70°C．80°D．不确定86.在直角坐标系中，已知A（1，1），在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有

（）A．1个B．2个C．3个D．4个二.填空题7．如图，△ABC中，D为AC边上一点，AD＝BD＝BC，若∠A＝40°，则∠CBD＝_____°．8.等腰三角形的两边长分别是2和5，那么它的周长是．9.用反证法证明“如果同位角不相等，那么这两条直线不平行“的第一步应假设

_________.10.等腰三角形的一个角是70°，则它的顶角的度数是.11.如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是_________．（把所有正确答案的序号都填写在横线上）①∠BAD=∠ACD；②∠BAD=∠

CAD；③AB+BD=AC+CD；④AB﹣BD=AC﹣CD．12.如图，△ABC的周长为32，且AB=AC，AD⊥BC于D，△ACD的周长为24，那么AD的长为.9三.解答题13．已知：如图，ΔABC中，AB＝AC，D是AB上一点，延长C

A至E，使AE＝AD．试确定ED与BC的位置关系，并证明你的结论．14.等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成了21和27两个部分，求等腰三角形的底边和腰长．15.用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角．【过关检测】一.选择题1．如图，在△ABC中，若AB＝AC，B

C＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A等于()．10A．30°B．36°C．45°D．54°2．用反证法证明：a，b至少有一个为0，应假设（）A.a，b没有一个为0B.a，b只有一个为0C.a，b至多有一个为0D.a，b两个都为03.如图，在△ABC中，∠ABC、∠

ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的有()①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE＝DB＋CE；③AD＋DE＋AE＝AB＋AC；④BF＝CF.A．1个B．2个C

．3个D．4个4.等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（）A．顶角的一半B．底角的一半C．90°减去顶角的一半D．90°减去底角的一半5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A=30°，AE=6cm，那么CE等

于（）A．cmB．2cmC．3cmD．4cm6.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（）A．3.5B．4.2C．5.8D．711二.填空题7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角

为48°，则该等腰三角形的底角的度数为．8.用反证法证明“若|a|≠|b|，则a≠b．”时，应假设．9.等腰三角形的周长为22cm，其中一边的长是8cm,则其余两边长分别为________.10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm．动点D

从点A出发，以每秒1cm的速度沿射线AC运动，当t=时，△ABD为等腰三角形．11．如图，钝角三角形纸片ABC中，∠BAC＝110°，D为AC边的中点．现将纸片沿过点D的直线折叠，折痕与BC交于点E，点C的

落点记为F．若点F恰好在BA的延长线上，则∠ADF＝_________°．12.如图，在ΔABC中，∠ABC＝120°，点D、E分别在AC和AB上，且AE＝ED＝DB＝BC，则∠A的度数为______°．三.解答题13.用反证法证明：一条线段只有一

个中点．1214．一个等腰三角形的三边长分别为x，2x﹣3，4x﹣6，求这个三角形的周长．15.如图，△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出

发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求△ABP的周长．（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部

分？